PDF (673 ko) - Electrodynamique quantique en cavité

3.
Chats de Schrödinger du champ et étude de
la décohérence
Préparation d’une superposition mésoscopique d’états cohérents
par une méthode non résonnante et étude de sa décohérence en
fonction du temps: une expérience fondamentale illustrant la
théorie quantique de la mesure
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
0
-1
2 -2
2
1
T~1/Γα 2 =1/nΓ
Fonction de Wigner d’un « chat de Schrödinger »
et sa décohérence
-4
-2
0
2
4
-2
-1
0
1
0
-1
2 -2
2
1

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un
oscillateur matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence « saisie
en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

Le problème des superpositions macroscopiques
Les superpositions macroscopiques d’état jouent un rôle essentiel dans la
théorie de la mesure et en information quantique.
L’exemple le plus simple de superposition est celui d’une particule, délocalisée
en deux points séparés par une distance grande devant sa longueur d’onde de
de Broglie thermique. C’est le cas d’un atome ou d’une molécule dans un
interféromètre de type Young. L’expérience a été faite avec de nombreux
atomes et même avec de grosses molécules (C 60).
C’est encore le cas d’une particule dans un puits de potentiel harmonique,
oscillant avec deux mouvements de phases opposées (expérience effectuée
sur un ion par Wineland et al. La particule est alors périodiquement délocalisée
(en particulier aux points tournants du mouvement).
En optique quantique, un mode du champ joue le rôle d’oscillateur que l’on
peut préparer dans une superposition macroscopique. Les composantes de la
superposition sont des états cohérents, de phase ou d’amplitudes différentes. Il
y a une grande analogie entre cette situation et celle d’un oscillateur matériel.

Superpositions macroscopiques d’états de
position d’une particule matérielle
σ
-a
|Ψ(x)| 2
0
a
x
Superposition de 2 paquets gaussiens de largeur σ décrivant la particule
centrée en x= ± a (a>>σ) , avec une impulsion moyenne nulle. Cette situation
décrit la position (normale à la direction de propagation) du centre de masse
d’un atome ou d’une molécule au moment de sa traversée des trous d’un
interféromètre de Young. C’est aussi l’état d’un oscillateur mécanique dans une
superposition de 2 états correspondant aux points tournants du mouvement
d’amplitudes opposées. La cohérence de la superposition se manifeste dans la
distribution des impulsions: modulation de période h/2a, avec une enveloppe
gaussienne de largeur h/σ correspondant à la distribution d’impulsion obtenue
pour un paquet d’onde. C’est une conséquence directe de la conjugaison de
Fourier position-impulsion:
ψ (x) ∝ ϕ(x − a) +ϕ(x + a) → ˜ ψ (p) ∝ dx ϕ(x − a) + ϕ(x + a)
−ipx/
∝ sin(pa / ) ∫ dx ϕ(x) e
∫
0
~
|Ψ(p)| 2
[ ]
(11−1)
−ipx /
e
p

Oscillateur mécanique et champ dans une
uperposition d’états cohérents de phases différentes
t=0
p
X π/2
x
X 0
x
X 0
t=π/2ω
Correspondance entre x,p
(pour la particule) et
quadratures conjuguées
X0,Xπ/2 (pour le champ).
Les distributions des
quadratures s’échangent
tous les quart de
période.Interférence entre
les deux paquets
x gaussiens «en collision».
X Mesure des quadratures
0 du champ par
homodynage
La fonction de Wigner présente deux pics gaussiens et un terme
d’interférence entre les deux, signature de la cohérence. Ce terme disparaît
vite sous l’effet de la décohérence.

Rappels sur la description d’un mode du champ
n
1
0
Nombre
de
photons
Opérateurs d’annihilation et de création de photons:
Hamiltonien du mode:
an = n n −1 ; a + n = n +1 n +1
a,a + [ ]=1
H = ω a + a + 1 ⎛ ⎞
⎝ 2⎠
Etat cohérent (loi de Poisson pour la distribution du nombre de photons):
α = Cn (α) n ; Cn (α) = e − α 2 /2 α n
∑ ; n = α
n!
2 et ∆n = n = α
n
Les états cohérents sont états propres de a:
aα = α α (9 − 4)
Evolution libre d’un état cohérent pour un mode isolé (pas d’amortissement):
α(t) = U(t,0)α = e−iHt / α = e − iω t /2 −iω t
α e
Rotation de la phase
dans le plan de Fresnel

−α
X π/2
α
Ο X 0
Parité du nombre de photons:
Les « chats de phase » (|α|>>1)
chat pair − α
Pn ≈ e 2 α 2n
n!
pair α + −α
Ψchat =
( )
−2α
2
21+ e
impair α −−α
Ψchat =
( )
−2 α
2
21+ e
n
chat impair − α [ 1 + (−1) ] ; Pn ≈ e 2 α 2n
n!
≈ (1 / 2) ( α +−α )
≈ (1 / 2) ( α −−α)
n [ 1− (−1) ]
Les chats de phase pairs (resp. impairs) ne contiennent que des nombres pairs
(resp. impairs) de photons. Ils sont états propres de l’opérateur parité P = e :
iπ a + a
P Ψ pair pair
chat
=Ψchat
impair impair
; P Ψchat =−Ψchat
L’opérateur d’annihilation transforme un chat pair en chat impair et vice versa:
pair α
a Ψchat ≈
2
impair
[ α −−α ]= α Ψchat impair α
; a Ψchat ≈ [ α +−α ]= α Ψchat 2
pair

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un oscillateur
matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence « saisie
en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

|α> A
Evolution paradoxale d’un état cohérent en
présence d’un environnement (dissipation)
D
Qu’arrive-il à un état cohérent stocké dans une
cavité quand un photon s’échappe et est détecté?
a α
α →
= α Il reste invariant!
α a + a α
Qu’arrive-t-il à l’état cohérent entre les pertes de deux photons?
Pseudo-hamiltonien
non hermitique
α → e
⎛ Γ⎞
− i⎜ ω −i ⎟ a
⎝ 2⎠
+ at
α ∝
∑
n
α n
n!
⎛ Γ ⎞
⎜ ω −i ⎟ t
⎝ 2 ⎠
e−in
n = αe
⎛ ⎞
−i ⎜ ω − iΓ ⎟ t
⎝ 2 ⎠
Quelle que soit la séquence de détection de
photons, l’état cohérent évolue de la même
façon, restant cohérent, avec une amplitude
se réduisant exponentiellement.
= α e −iω t −Γt /2
e
ϕ(t n ) ∝ ae− Γ0( t n −tn−1 )a + a
2 ae − Γ0( t n−1 −t n−2 )a + a
2 ……ae − Γ0( t2 − t1)a
+ a
2 ae − Γ0t1a + a
Rotation de phase et
décroissance
exponentielle de
l’amplitude
0 t1 t2 tn-2 tn-1 tn t
2 α = αe −Γt n /2
Représentation d’interaction par rapport à l’évolution libre du champ

Non intrication de l’état cohérent avec
l’environnement
Un état cohérent reste un cas pur au cours du processus
dissipatif: il ne s’intrique pas avec l’environnement.
|α> A
E
−Γt /2
α A ⊗ 0 E → α e
A ⊗ ψ α (t) E
L’échange d’information de l’état cohérent avec
l’environnement est de nature classique: chaque état
cohérent se corrèle à un état différent du réservoir

Evolution d’une superposition d’états cohérents:
intrication avec l’environnement et décohérence
E ψ α (t) ψ β (t) E
−Γt /2
( α A + β A)⊗0E→αe
A ⊗ ψ α (t) E
+ β e−Γt /2
A ⊗ ψ β (t) E
Les composantes se corrèlent à des états orthogonaux de E:
l’opérateur densité devient très vite un mélange statistique:
t ≈1/Γ α − β 2
t ≈1/Γα −β
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → 0 → ρA (t)
2
⎯ ⎯ ⎯ ⎯ →
1
Cas particulier d’un chat de phase pair:
2 α e−Γt /2 α e −Γt /2 + 1
2 β e−Γ t /2 −Γt /2
β e
pair
Ψchat = (1 / 2) ( α +−α )
Le premier saut quantique le transforme en un chat impair. Le second saut
recrée un chat pair et ainsi de suite. La fréquence moyenne des sauts est
égale à Γ|α| 2 , les sauts se produisant à des instants aléatoires. Un grand
nombre de sauts se produit avant une décroissance appréciable de
l’amplitude du champ (on suppose |α|>> 1 ). Au bout d’un temps de l’ordre de
1/ Γ|α| 2

Propriété essentielle des superpositions d’états
cohérents
Deux constantes de temps très différentes:
Décohérence en un temps T D =1/(Γ |α−β| 2 ) inversement
proportionnel à la distance des composantes dans l’espace des
phases.
Amortissement de l’amplitude des composantes en un temps
T c =1/Γ très long devant le temps de décohérence pour |α−β| >>1.
Le temps de décohérence (transformation de la superposition en
mélange) correspond au temps caractéristique de perte du
premier photon dans l’environnement. Ce photon emporte avec lui
assez d’information pour détruire, par complémentarité, la
cohérence quantique (voir leçon 2)

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un oscillateur
matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence « saisie
en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

Etats cohérents, Pointer states et mesure
Les états qui ne s’intriquent pas avec leur environnement sont appelés de façon
générale des «pointer states». Les états cohérents en sont un exemple
canonique. Ces états jouent un rôle essentiel dans la théorie de la mesure.
Considérons la mesure d’une observable O A d’un système A. Modélisons le
mètre M par un curseur à une dimension subissant une translation conditionnelle
dépendant de l’état de A. Le Hamiltonien d’interaction A-M est de la forme:
H AM = gO A .P M
où P M est l’opérateur impulsion du mètre, générateur de ses translations et g
une constante de couplage homogène à une vitesse. Appelons ε i les valeurs
propres de O A et P i les projecteurs sur les espaces propres associés. Appelons
|X 0> M l’état initial du mètre. On peut se le représenter comme un paquet
Gaussien de petite largeur ∆X autour de X=0. Supposons que l’on effectue la
mesure sur A dans l’état |ϕ > A. L’évolution unitaire du système A+M (première
étape de la mesure) s’écrit:
ϕ A ⊗ X 0 M → e−iH AM τ / ϕ A ⊗ X 0 M = P i ϕ A ⊗ X 0 + gτε i A
i
où |X 0+gτε i> M est le paquet gaussien translaté de l’origine de gτε i. (Nous
supposons que le couplage A-M s’effectue en un temps court par rapport au
temps caractéristique d’évolution libre des deux systèmes et nous négligeons
cette évolution ici).
∑
(10 −13)

Pointer states et mesure (suite)
L’intrication décrite ici est une étape essentielle de la mesure. Elle implique que
la mesure des états de M entraîne celle des états propres de O A. Cette analyse
laisse cependant non résolue une ambiguïté du problème de la mesure. Pour le
comprendre, considérons une situation simple: la mesure de l’observable Z
d’un qubit préparé dans l’état |0> x. Après achèvement du processus unitaire, le
système A+M est dans l’état:
0 x,A X 0 M
[ ]
1
→
2 0 z,A X0 + gτ + 1 z,A X0 − gτ
qui peut s’écrire aussi, par changement de base:
1
2 0 x,A ⊗ X0 + gτ + X0 − gτ
+ 1 x ,A ⊗
2
X ⎡
0 + gτ − X0 − gτ ⎤
⎢
⎥
⎣ ⎢
2 ⎦ ⎥
Ces expressions équivalentes décrivent 2 situations physiques très différentes.
La 1ère forme indique que M mesure le qubit A, avec des probabilités égales,
dans les états 0 et 1 de la base Z. La 2ème forme semble indiquer que le
même appareil mesure A, avec des probabilités égales, dans les états 0 et 1 de
la base X. Or les deux observables Z et X ne commutent pas et ces deux
mesures sont donc incompatibles! Dans le 1er cas les états de M sont des
paquets gaussiens centrés sur des positions définies. Dans le second, se sont
des superpositions de tels paquets, des chats de Schrödinger. Si M est
considéré comme un système quantique isolé, le paradoxe ne peut être levé.

A
M
E
Pointer states et mesure (fin)
Pour résoudre ce problème, la théorie de la décohérence
décrit M comme un système ouvert, couplé à un
environnement macroscopique E. Sous l’effet de ce
couplage, les états de position distincts de M sont des
pointer states . Ils restent purs, mais se corrèlent en un
temps très court à des états mutuellement orthogonaux
de E. Le système A+M+E évolue suivant:
ϕ ⊗ X A 0 M ⊗ 0 E → Pi ϕ ⊗ X A 0 + gτεi A ⊗
∑ ei ; E
i
E e i e j E = δ ij
A+M est ainsi rapidement décrit par un opérateur densité où n’apparaissent
que les corrélations classiques entre états propres de O A et états position de M:
∑ P i ⊗ X 0 + gτε i MM X 0 + gτε i
ρ AM → P i ϕ AA ϕ
i
Les corrélations de type «chat» ont disparu!
Un appareil de mesure d’une observable O A de A est constitué d’un mètre M
et d’un environnement E. Il corrèle par une transformation unitaire les états
propres de O A à des états «classiques»de position de M, pointer states par
rapport au couplage à E. Par extension, les produits des états classiques de M
et des états propres de O A sont des pointer states de A+M en présence de E.

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un oscillateur
matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence « saisie
en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

Niveaux d ’énergie atome-champ dans le cas non-résonnant
e,n ≈ e,n +
1
E e,n
Ω n +1
2δ
g,n +1 ; g,n ≈ g,n −
1
= (n +
2 )ω + ω0 2 + Ω2 (n +1)
;
4δ
1
Eg,n 1
|e,n>
Energie
(n + 1
2 )ω ω0 |g,n>
Couplage entre un atome et le mode de la
cavité avec un désaccord de fréquence δ.
S’il y a n photons dans le mode, les états e
et g en présence du champ sont donnés
par les expressions perturbatives:
Ω n
2δ
e,n −1
= (n + 1
2 )ω − ω 0
2 − Ω2 n
4δ
Ω 2 (n+1)
4δ
−Ω 2 n
4δ
« contamination »
des états au premier
ordre et des énergies
au second ordre
Le couplage déplace
les niveaux d ’énergie
(«light shift» et Lamb
shift)

Déphasage dispersif d’un champ cohérent: indice d’un atome
Couplons adiabatiquement un atome dans l ’état | e> avec un champ cohérent
|α > en le faisant traverser la cavité. Tenant compte de la variation des énergies
qui dépend du couplage, on obtient, en appelant Ω eff le couplage moyenné sur la
position de l’atome le long du jet dans la cavité:
Ψe,α (0) = e α = ∑Cn e,n →Ψe ,α (t) ≈ Cn e
n
−i
E t
e, n
n
soit en représentation d ’interaction:
∑
Ψ ˜
e,α (t) ≈ Cn e
n
∑ e,n
1
− i(n +
2 → Cne )ωt
∑
n
2
Ωeff (n+1)
−i t
4δ
e,n
= e
− iΩeff
4δ t
alors qu ’en partant de l ’état |g>, le même calcul donne:
∑
Ψ ˜
g,α (t) ≈ Cn e +i Ω eff
n
2 n
4δ t
g,n
2
e −iω 0
2 t
e ⊗ α e
= g ⊗ α e +i Ω eff
2
4δ t
e −i Ω eff 2 (n+1)
t
4δ
2
− iΩeff
4δ t
Le couplage étant non-résonnant, l ’atome et le champ n ’échangent pas
d ’énergie et l ’atome reste dans son niveau initial (e ou g). Chacun de ces
niveaux déphase le champ d ’un angle proportionnel au temps d ’interaction,
avec un signe dépendant du niveau.
e,n

Un indice atomique géant dépendant du niveau
Ceci s ’interprète comme un effet d ’indice de réfraction dispersif à un seul
atome. L’indice s’écrit:
N indice = 1± Ω 2
eff
4δω
Il s ’agit d ’un effet dispersif (il dépend en 1/ δ de la fréquence du champ). Dans
le système atome de Rydberg - Cavité, N indice -1 est de l ’ordre de ± 2.510 -8
pour δ ≈10 Ω. Il s’agit d’un effet énorme pour un seul atome. Il correspond à un
déplacement de fréquence de l’ordre du kHz pour le champ de la cavité.
Noter l ’analogie avec le cas résonnant (voir leçon précédente). Les états
atomiques quasi-invariants sont alors |e> ± |g> et eux aussi déphasent le
champ de deux angles opposés.
Nous allons exploiter le fait que cet indice dépend du niveau (signe + ou -)
et corréler ainsi le signe du déphasage du champ avec l’état de l’atome,
faisant du champ un véritable « mètre » mesurant l’énergie atomique.

Couplage avec un atome dans une superposition
d ’états: intrication dispersive atome-champ
Impulsion
classique π/2
superposant e
et g (R 1 )
e
|e>+|g>
Source
classique
(injection
initiale d ’un
champ
cohérent |α>)
Atome préparé dans superposition symétrique
de e et g avant de traverser la cavité contenant
| α > . Les deux composantes de l ’état
atomique font tourner la phase du champ de
deux angles opposés. On appelle t i et t f les
instants d ’entrée et de sortie de l ’atome du
mode et on exprime la phase comme:
χ = 1
4δ
∫
t f
t i
dt Ω 2 (t)
L’état final atome-cavité est intriqué: le système évolue vers deux états de
phase différentes, corrélés aux deux états atomiques. C ’est un exemple idéal
de pré-mesure: l’état du champ est un «mètre»pointant vers l’énergie de
l ’atome:
R1 e α ⎯ →
1
2
( e + g )α
C
⎯ →
e−iχ
2 e α e− iχ + 1
2
−χ
+
g α eiχ
χ

Préparation conditionnelle d ’un chat de
Schrödinger
e −iχ
2 e α e− iχ + 1
2
g α eiχ
Pour séparer finalement l ’état de l ’atome de celui du champ, on mesure
l ’énergie atomique, ce qui projette le champ dans l’état correspondant au
résultat de la mesure. Cette procédure, faite sur l’atome sortant de la cavité,
conduit cependant à un simple état cohérent de phase -χ ou + χ selon le
résultat (e ou g) et l ’ambiguïté quantique est perdue. Pour maintenir cette
ambiguïté et obtenir finalement un chat de Schrödinger, il faut mélanger à
nouveau les états e et g par une seconde impulsion avant de mesurer l ’atome.
On réalise ainsi a nouveau un interféromètre de Ramsey (voir leçon 1). On peut
ajuster la phase φ de la seconde impulsion π/2 relative à la première. Nous
écrirons l ’effet des deux impulsions unitaires sur l ’atome:
Première impulsion classique (R 1 ):
1ère
impulsion
(R 1 )
2ème
impulsion
(R 2 )
Détecteur
e →
Deuxième impulsion classique (R2): 1
( e + g )
2
; g → 1
( g − e )
2
e → 1
2 e + eiφ g
( ) ; g → 1
2 g − e−iφ e
( )

Préparation conditionnelle d ’un chat de
Schrödinger (suite)
On obtient alors simplement l ’état du système après la seconde impulsion:
Ψ après pulse n °2 = 1
2 e ⊗ e−iχ α e −iχ − e −iφ α e iχ
[ ] + 1
2 g ⊗ ei(φ − χ ) α e − iχ + α e iχ [ ]
et on constate que les deux états e et g sont maintenant corrélés à deux états
de type «chat» (à condition que χ >> 1/√n) . On peut en particulier ajuster la
phase χ pour obtenir un chat dont les composantes sont en opposition de
phase. Pour χ = φ = π/2, on obtient un chat «impair» ou «pair»:
α e −iπ /2 + iπ /2
− α e
α e −iπ /2 +iπ /2
+ α e
si atome détecté dans e
si atome détecté dans g
Ces deux cas sont équiprobables. On ne sait pas avant la mesure si le «chat»
sera pair ou impair.

Préparation de chat de phase pair ou impair
interprétée comme une mesure de la parité du
nombre de photons à l’aide d’un atome
1ère impulsion
(R 1 )
2ème impulsion
(R 2 )
Détecteur
P g
P g
Nombre
pair de
photons
Nombre
impair de
photons
L’interféromètre de Ramsey est combiné à une cavité qui déphase la
cohérence atomique de π par photon: L’atome émerge dans g si le nombre de
photon vaut 0 (ou un nombre pair quelconque) et dans e si le nombre de
photon est 1 (ou un nombre impair quelconque). La situation rappelle la
mesure QND de 0 ou 1 photon (voir Leçon 1). La détection de l’atome après
couplage dispersif atome-cavité est maintenant une mesure de la parité du
nombre de photons de l’état cohérent initial. Le résultat de la mesure projette le
champ dans un état propre correspondant: état de chat pair si atome détecté
dans g, état de chat impair si atome détecté dans e.

Signature du chat de Schrödinger: démontrer la
séparation des composantes par une expérience de
complémentarité
e
g
α = 0
Ψ
après pulse n°2
Les deux impulsions Ramsey séparent et recombinent
les états atomiques, avant détection dans l ’une des
deux voies de sortie e ou g. En absence de champ dans
la cavité, l ’évolution de l ’atome dans l ’interféromètre
est donnée par:
= 1
2 e−iχ −i(φ − χ ) [ 1− e ] e + 1
⎧
⎨
⎩
2
− χ ) [ 1 + ei(φ ] g
et les probabilités de trouver l ’atome dans e ou g sont:
0 0 1− cos(φ − χ)
Pe (t) =1− Pg (t) =
2
⎫
⎬ ⊗ 0
⎭
On retrouve un signal de franges de contraste 100% lorsqu ’on balaie φ. Noter
le déphasage de χ des franges par rapport à leur position en absence de
cavité: cet effet est dû au déplacement de Lamb de l ’état e produit par les
fluctuations du vide dans le mode quantique.

Signature du chat de Schrödinger: démontrer la
séparation des composantes par une expérience de
complémentarité (suite)
e
g
Lorsqu ’un champ α est présent, il joue, en s ’intriquant à l ’atome, le rôle d ’un
détecteur de chemin susceptible d’informer sur la « route » suivie par l’atome
dans l’interféromètre. On s ’attend donc à voir disparaître les franges dès que χ
>1/√n (états finals du détecteur quasi-orthogonaux).Les probabilités de détecter
l ’atome en e ou g,calculées sont en effet:
n n 1
Pe (t) =1− Pg (t) =
2 1− Re ei( χ −φ ) α e −iχ α e iχ
[ { } ]=
1− cos(φ − χ − n sin2χ)e− n (1−cos2 χ )
et on constate bien que le contraste des franges diminue lorsque n et χ
augmentent.
2

Séparation des composantes du chat: démonstration
expérimentale (Brune et al, Phys.Rev.Lett. 77, 4887 (1996)).
Expression approchée du signal pour χ

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un oscillateur
matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence
« saisie en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

La cohérence du chat révélée par un signal de
corrélation à 2 atomes.
1ère impulsion
(R 1 )
2ème impulsion
(R 2 )
Détecteur
On mesure les corrélations à
deux atomes: le premier crée un
chat et le second vient le
sonder. Commençons par
étudier le cas d’un chat de
phase pair (déphasage de π
entre les deux composantes)
Si le premier atome est détecté dans e, le chat préparé est impair et le second
atome qui vient remesurer la parité doit également être trouvé dans e. La
probabilité conditionnelle P(e 2 /e 1) de détecter le 2ème atome dans e après avoir
trouvé le premier dans cet état vaut donc 1. De même, si le premier atome est
dans g, le second est aussi dans g. Autrement dit la probabilité conditionnelle
P(e 2 /g 1) vaut 0 et l ’interaction avec C corrèle de façon parfaite les atomes. Ceci
n ’est vrai cependant que si le champ est resté dans une superposition
cohérente entre les deux atomes. S ’il a évolué vers le mélange:
ρchamp = (1 / 2)αe −iπ /2 αe −iπ /2 + (1/ 2) αe iπ /2 iπ /2
αe
il est évident que le 2ème atome sera trouvé à probabilités égales dans e ou g
Le signal de corrélation η = P(e 2 /e 1) - P(e 2 /g 1) vaut donc 1 pour un chat
cohérent et 0 pour un mélange statistique.

La décohérence observée
(Brune et al, Phys.Rev.Lett. 77, 4887 (1996)).
En absence de décohérence, la corrélation entre 2 atomes est parfaite lorsque
le déphasage entre les composantes du chat vaut π. Pour un déphasage plus
petit, il y a une corrélation partielle, le signal η ayant un maximum de 0.5 au lieu
de 1. L’expérience a été réalisée avec un chat dont les composantes forment
un angle d’environ 100°. Le signal de corrélation η = P(e 2 /e 1) - P(e 2 /g 1), a été
reconstruit en répétant l’expérience un grand nombre de fois, par accumulation
statistique sur des ensembles de couples d’atomes. Le délai entre les deux
atomes a été varié et la diminution de
η a révélé la décohérence. Expérience
effectuée pour n = 3.3 et pour des valeurs
différentes de χ obtenues en variant δ.
Le délai τ entre les deux atomes varie de
T cav/5 à 1.5 T cav. Les résultats mettent en
évidence l ’existence de la décohérence
et son accélération lorsque la séparation
des composantes est augmentée. Les
points de la figure sont expérimentaux et
la courbe théorique. Une illustration de
la théorie de la mesure quantique.
Variation de η en fonction du délai entre les deux
atomes pour deux valeurs de χ . La valeur maximale de η
(0.5 idéalement) est réduite à 0.18 par des imperfections.

Plan de la leçon
3.1 Introduction sur les superpositions d’états cohérents pour un oscillateur
matériel et pour un champ
3.2 Notions sur la décohérence des superpositions d’états cohérents
3.3 Relation avec la théorie de la mesure: les « pointer states »
3.4 Préparation de superpositions mésoscopiques d’états par méthode
dispersive en CQED
3.5 Tests de la cohérence de la superposition: la décohérence « saisie
en vol »
3.6 Perspectives: « chats » délocalisés

Proposition pour préparer un chat non-local de deux cavités
(d ’après Davidovich et al, Phys.Rev.Lett.71, 2360 (1993)
L ’impulsion R2 S échange les niveaux e
et g (pulse π)
e
R1 R2 R3
C1 C2 On commence par préparer un état du champ | α , α > dans C 1 -C 2 à l ’aide la
source classique S et un atome dans l ’état (1/ √2)(| e >+| g >) par application
d ’une première impulsion π/2 dans R 1. L ’évolution ultérieure est donnée par
les équations qui décrivent les transformations successives du système quand
l ’atome traverse C 1, R 2, C 2 et R 3:
( ) →
1
( e + g )⊗α ,α
2
→ 1
2 e−iχ e ⊗ α e −iχ , α + g ⊗ α e +iχ , α
1
2 e−iχ g ⊗ α e −iχ , α − e ⊗ α e + iχ ( , α ) → 1
2 e−iχ g ⊗ α e − iχ , αe + iχ −e −iχ e ⊗ α e +iχ ,α e −iχ
→
1
2 e−iχ ( g −e −iφ e ) ⊗ α e −iχ , αe + iχ −e −iχ ( e + e + iφ g ) ⊗ α e + iχ C1 R2 C2 R3 − iχ
( , α e ) (9 −17)
±
Ψ ˜ () χ C1C 2
( )
La détection finale de l ’atome dans e ou g projette le système C1-C2 dans l ’un
des états:
= 1
2 α e−iχ ,α e +iχ ± α e + iχ ,α e −iχ
[ ]

Préparation d ’un chat non-local d ’amplitude:
plusieurs photons délocalisés dans deux cavités
±
On peut transformer le chat de phase en un chat non-local d’amplitude en
ajoutant grâce à S un champ d ’amplitude complexe − α exp(iχ ) dans les deux
cavités. L ’état du système devient:
±
Ξ ˜ (χ)
C1C 2
= 1
2 −2iα sin χ,0 ± eiφ [ 0, − 2iα sin χ ]
Un champ avec en moyenne n’ = 4 | α | 2 sin 2 χ = 4 nsin 2 χ photons est
délocalisé entre 2 cavités: superposition de la situation où tous les photons sont
dans C 1 avec C 2 vide et de celle où ils sont dans C 2 avec C 1 vide. En
choisissant χ = π / 6 , on a un champ délocalisé dont les composantes ont la
même amplitude que celle du champ initial. Pour φ = 0 l ’état du système est:
±
Ξ ˜ (χ = π /6)
C1C 2
+ iπ /2
[ ]
= 1
2 α e−iπ /2 ,0 ± 0,α e

Conclusions and perspectives
Larger and longer lived cats (n in the hundreds) with
better cavities
Prepare and detect | α , 0> + | 0, α >
(similar to |n,0> + |0,n > « high noon states »)
Non local field states in two cavities
Wigner function measurements and
decoherence studies of cat states
-4
-2
0
2
4
-1
0
1
0
-1
2 -2
2
1

S.Gleyzes
Support:JST (ICORP, Japan), EC, CNRS, UMPC, IUF, CdF
P.Maioli
G.Nogues
M.Brune
T.Meunier
Alexia
Auffeves
J.M.Raimond