Logarithme Népérien

f ’(x) + 0 -
Variation
de f
d) Représentation graphique
Exercice 14
1
-∞ 0
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x - 3(ln x) 2
Faire l'étude et la représentation graphique de f. Etudier le signe de f(x) pour x ∈ ]0 ; +∞[.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x - 3(ln x) 2
Étude et la représentation graphique de f.
a) Limites :
Limites en zéro
f(x) = (lnx) 2
lim(lnx)
x→0
⎛ 1 ⎞
- 3
⎝
⎜ lnx ⎠
⎟ : lim lnx = -∞,
x→0 2 ⎧ = +∞
⎪
⎨ ⎛ 1 ⎞ donc par produit lim f(x) = -∞
x→0
⎪lim
- 3
x→0 ⎝
⎜ lnx ⎠
⎟ = -3
⎩
Limite en +∞ :
lim (lnx)
x→+∞
lim lnx = +∞, donc
x→+∞
2 ⎧ = +∞
⎪
⎨ ⎛ 1 ⎞ donc par produit, lim f(x) = -∞
x→+∞
⎪ lim - 3
x→+∞⎝
⎜ lnx ⎠
⎟ = -3
⎩
b) Variations de f
f '(x) = lnx - 3(lnx) 2 donc f '(x) = 1
1 1
- 3× 2 × ln(x) = ( 1- 6ln(x) )
x x x
Pour x > 0, f '(x) > 0 ⇔ (1- 6ln(x)) > 0 donc si ln(x) < 1
1
6
, c'est à dire si x > e
6
1 ⎤
f est décroissante sur ⎥e
⎦
⎤
f est croissante sur ⎥0;e
⎦
6 ;+∞
1
6
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
1
⎛
6 et f admet un maximum en e qui vaut : f ⎜ e
⎝
c) Tableau de varaition de f
1
6 0 e
+∞
Signe de f ’(x) + 0 -
Variation de f
1/12
-∞ -∞
Etude du signe de f(x) pour x ∈ ]0 ; +∞[.
X = ln x
⎧X
= ln x
f(x) > 0 ⇔ ⎨
⇔
⎩X(1−
3X) > 0 X ∈ 0; 1
⎧
⎪
⎨ ⎤ ⎡
⎪ ⎥ ⎢
⎩ ⎦ 3⎣
f(x) > 0 ⇔ x ∈ e 0 ⎧
1
1
⎤ ⎡ ⎤ ⎡
3
3
⎪
⎥ ;e ⎢ = ⎥1;e
⎢
1
6
⎞
⎟
⎠
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= 1
6
⎛ 1⎞
- 3
⎝
⎜ 6 ⎠
⎟
2
= 1
12