Logarithme Népérien

x - 1
b) Soit f(x) =
x +1
Trouver une primitive de f(x) sur ]-1 ;+∞[
x
c) Soit f(x) =
2 + x - 2
x +1
Trouver une primitive de f(x) sur ]-1 ;+∞[
x - 1
d) Soit f(x) =
2
(x +1)
Trouver une primitive de f(x) sur ]-1 ;+∞[
a) si x > 3 on pose u = x - 3 > 0 , u' = 1 et f(x) = 2 u'
u
si x > 3 , x - 3 < 0 , donc F(x) = 2ln u et F(x) = 2ln(3- x)
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donc F(x) = 2ln u et F(x) = 2ln(x - 3)
b) si x > -1 , f(x) = 1- 2 1
x + 1
on pose u = x + 1 > 0 , u' = 1 et f(x) = 1- 2 u'
x(x + 1) - 2
c) si x > 1 , f(x) = = x - 2 donc F(x) = x - 2ln u(x) et F(x) = x - 2ln(x + 1)
x + 1
u 1
x + 1
on pose u = x + 1 > 0 , u' = 1 et f(x) = x - 2 u'
u
d) si x > 1 , On cherche a et b tels que f(x) = a
x + 1 +
donc a = 1 et a + b = -1 donc b = -2 et f(x) = 1
- 2
x + 1
on pose u = x + 1 > 0 , u' = 1 et f(x) = u'
u
Exercice 13
Déterminer les limites suivantes :
lim
x→0
x>0
(x - ln x)
lim
x→+∞ ln (1 + 1 + x2 )
lim
x→+∞
a)
b)
( x - ln x )
lim (x - ln x) =0+∞=+∞
x→0
x>0
lim
x→0
x>0
c) lim
x→+∞
d)
ln x
x
= ( lim lnx )(
x→0
x>0
( ln x +
1
- 1 ) = +∞
x
lim
x→+∞ ln (1 + 1 + x2 )
1
lim
x→0 x
x>0
)=-∞
- 2 u'
u
lim
x→0
x>0
donc F(x) = 1
2 x2 - 2ln u(x) et F(x) = 1
2 x2 - 2ln(x + 1)
b a(x + 1) + b
= 2
(x + 1) (x + 1) 2 x -1
=
(x + 1) 2
1
(x + 1) 2
⎛ -1 ⎞
donc F(x) = ln u(x) - 2
2
⎝
⎜ u(x) ⎠
⎟
ln x
x
et F(x) = ln(x + 1) + 2
x + 1
lim
x→+∞
lim ln (1 + 1 + x
x→−∞
2 ) lim
x→0
lim
x→+∞
( x + 1
x
lim 1+ 1+ x
x→+∞
2 ⎧
⎪
= +∞
⎨
lim lnx = +∞
⎩
⎪
x→+∞
+
ln x
)
x2 lim
x→0
x>0
( ln x +
1
- 1 )
x
ln (1 + 1 + x 2 )
(x + 1
x
+
ln x
)
x2 donc ( th lim de fct composées) lim ln(1+ 1+ x
x→+∞
2 ) = +∞