Logarithme Népérien

Par définition du nombre dérivé, on peut donc écrire
Donc
lim
ln (1 + h)
= 1 ou encore
h→0 h
lim
h→0
lim
ln (1 + x)
= 1.
x→0 x
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ln (1 + h) - ln 1
= 1
h
• Pour une fonction f dérivable en x 0 , l'approximation affine de f(x 0 + h) est f(x 0 ) + f'(x 0 ) x h
L'approximation affine de ln(1 + h) est donc ln 1 + ln' (1) x h = 0 + h = h
L'approximation affine de ln(1 + x) au voisinage de 0 est donc x .
Cela revient à dire que la courbe de la fonction ln a pour tangente au point d'abscisse 1 la droite d'équation y = x-1
Propriété 6 Croissance comparée
•
lnx
lim = 0 •
x→+∞ x
lim xlnx = 0
x→0
x>0
Au voisinage de l'infini x l'emporte sur le logarithme népérien de x.
• Pour déterminer
lim
x→+∞
ln x
x , posons X = ln x on a alors eX = x
Lorsque x tend vers +∞ , ln x tend vers +∞, donc X tend vers +∞.
On peut écrire
Or on sait que
• Pour déterminer
ln x
x
lim
X→+∞
=
X
donc lim
eX x→+∞
eX
= +∞ donc
X
ln x
x =
lim
X→+∞
lim x ln x = 0 , posons X =
x→0
x >0
1
x
lim
X→+∞
X
.
eX X
= 0 et par conséquent
eX on a alors x = 1
X
lim
X→+∞
Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives , 1
tend vers +∞, donc X tend vers +∞
x
On peut écrire x ln x = 1
ln
1
= -
1
ln X = -
ln X
X X X X
Or on sait que
lim
X→+∞
ln X
= 0 donc
X
lim
X→+∞
- ln X
X
= 0 et par conséquent
ln x
= 0 .
x
lim x ln x = 0 .
x→0
x >0
lnx
Remarque : On a vu que lim = 0
x→+∞ x
On dit que la courbe a pour direction asymptotique l'axe (Ox) au voisinage de +∞
Propriété 7
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln o u qui à x
associe ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a : (ln o u)' = u'
u
La fonction ln étant dérivable sur ]0 ; +∞[.
L’application de la propriété de dérivation des fonctions composées permet d'affirmer que si u est une fonction
dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction
ln o u qui à x associe ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a : (ln o u)' = u' x ln' o u = u' x 1
=
u'
u u
Remarque si u < 0 sur I lno(-u) est dérivable sur I et (lno(-u))’= -u' u'
=
-u u
Propriété 8
Si u est une fonction dérivable non nulle sur un intervalle I,