Logarithme Népérien

e)
f)
g)
h)
lim
x→−∞ ln (1 + 1 + x2 )=
lim
x→0 ln (1 + 1 + x2 )= ln (1 + 1 ) = ln2
lim
x→+∞
i)
lim
x→0
x>0
lim
x→+∞
lim
x→+∞
lim
x→0
x>0
lnx
lnx
x
( x - ln x ) =
( x + 1
x
+
ln x
)
x2 = 0 et lim
2
x x→+∞
(x + 1
x +
lnx
) 2
x
2 = -∞ et lim
x→0
x>0
lim
x→+∞
lim ln (1 + 1 + x
x→−∞
2 )=+∞
x 1- lnx ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
⎜
⎝ ⎝
⎜ x ⎠
⎟ ⎟
⎠
1
= 0 donc par somme, lim
x x→+∞
lnx
or lim
x→+∞ x
⎛
⎝
⎜
x + 1
x
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= 0 donc lim ( x - lnx)
= lim x = +∞
+ lnx
x 2
1
= +∞ donc on a une forme indétèrminée
x
( )
x + 1 lnx 1
+ = 2
x x x 2 x3 + x 2 + lnx
lim x
x→0
x>0
3 + x 2 ( ) = 0⎞
⎟
⎟ Par somme lim
x→0
lim lnx = -∞ ⎟
x>0
x→0
x>0
⎠
x 3 + x 2 ⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪ 1
lim = +∞
⎪x→0
2
x
⎩x>0
+ lnx
Exercice 13
( ) = -∞
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) =
Faire l'étude et la représentation graphique de f.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) =
a) Limites :
1 + ln x
x
⎞
⎠
⎟
x→+∞
= lim x = +∞
x→+∞
⎛
par produit lim
⎝
⎜
1 + ln x
x
x→0
x>0
x + 1
x
lim
1 lnx
f(x) = lim + lim = 0 + 0 = 0 la droite y=0 est asymptote à (C) en +∞
x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x
⎛ 1 ⎞
lim f(x) = lim (1+ lnx)
x→0 x→0 ⎝
⎜ x ⎠
⎟
x>0
x>0
or
⎧ 1
⎪lim
= +∞
⎪ x→0 x
x>0
⎨
donc lim f(x) = -∞
x→0
⎪lim(1+
lnx) = -∞ x>0
x→0
⎩⎪
x>0
b) Variations de f
⎛ 1+ lnx ⎞
f'(x) =
⎝
⎜ x ⎠
⎟ ' =
1
x - (1+ lnx)
x
x 2
si x ∈⎤⎦ 0;1⎡⎣
alors f '(x) > 0 et f croissante
si x ∈⎤⎦ 1;+∞⎡⎣
alors f '(x) < 0 et f est décroissante
c) Tableau de variation de f
x 0 1 +∞
= - lnx
donc f ' a le signe de -lnx
2
x
+ lnx
x 2
x→+∞
⎞
⎠
⎟ = -∞