Logarithme Népérien

Sachant que si e x = y , alors x = ln y , on en déduit ln a + ln b = ln (a x b)
e- ln a = 1
=
1
eln a a
e ln a - ln b =
eln a
=
a
eln b b
donc - ln a = ln 1
a
donc ln a - ln b = ln a
b
On peut écrire ln a = ln ( a x a ) = ln a + ln a = 2ln a donc ln a = 1
ln a
2
Pour tout n ∈ZZ , e n ln a = (e ln a ) n = a n donc n ln a = ln a n
Propriété (admise)
Si a 1 , a 2 , ..., a n sont n réels strictement positifs, alors ln (a 1 .a 2 . .a n ) = ln a 1 + ln a 2 + ... + ln a n
Propriétés 3 Équations et inéquations logarithmiques
Équation : ( lna = lnb)
⇔ ( a = b > 0)
Inéquation : ( lna < lnb)
⇔ ( 0 < a < b)
Car la fonction ln est une bijection strictement croissante strictement croissante
⎧lna
= ln b
⎨
⇔
⎩a
> 0 et b > 0
eln a ln b ⎧ = e ⎧a
= b
⎨
⇔ ⎨
⇔ a = b > 0
⎩⎪ a > 0 et b > 0 ⎩a
> 0 et b > 0
⎧lna
≤ ln b
⎨
⇔
⎩a
> 0 et b > 0
eln a ln b ⎧ ≤ e ⎧a
≤ b
⎨
⇔ ⎨
⇔ 0 < a ≤ b
⎩⎪ a > 0 et b > 0 ⎩a
> 0 et b > 0
Exercice 3
Résoudre dans IR les équations : (1) ln x + ln (x - 1) = ln 2 + ln 3 b) (2) ln(x 2 – x) =ln6
⎧x
> 0
⎪
a) (1) ⇔ ⎨x
− 1 > 0
⎪
⎩
ln x(x − 1)
( ) = ln6
⎧x
> 1
⎧x
> 1
⇔ ⎨
aprés résolution : ⎨
⎩x(x
− 1) = 6 > 0
⎩x
= 3 ou x = −2
b) (2) ⇔ x2 − x = 6 > 0 aprés résolution, x = 3 ou x = −2 donc S = −2;3
Exercice 4
Résoudre dans IR les équations :
• lnx + ln(x+4) = ln21 • ln[x(x+4)] = ln7 + ln3
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{ }
• ln (x 2 + 4x) = ln 21 donc x 2 + 4x = 21 > 0 ou x2 + 4x - 21 = 0
Δ = 16 + 84 = 10 2 −4 + 10
−4 − 10
donc x = = 3 et x = = −7 soit S = −7;3
1 2
2
2
• ln x + ln(x + 4) = ln21
⎧x
> 0
⎪
x > 0
donc ⎨x
+ 4 > 0 ⇔
⎪
x
⎩
ln ⎡⎣ x(x + 4) ⎤⎦ = ln21
2 ⎧
x > 0
⎨
⇔
⎩⎪ + 4x = 21 > 0 x 2 ⎧
⎨
⎩⎪ + 4x - 21 = 0
on a deux solutions : x ⎧⎪
= -7 < 0
1
⎨ Une solution convient : S = { 3}
⎩⎪ x = 3 > 0
2
{ }
donc S = { 3}