Logarithme Népérien

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f ’(x) + 0 - Variation de f d) Représentation graphique Exercice 14 1 -∞ 0 On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x - 3(ln x) 2 Faire l'étude et la représentation graphique de f. Etudier le signe de f(x) pour x ∈ ]0 ; +∞[. On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = ln x - 3(ln x) 2 Étude et la représentation graphique de f. a) Limites : Limites en zéro f(x) = (lnx) 2 lim(lnx) x→0 ⎛ 1 ⎞ - 3 ⎝ ⎜ lnx ⎠ ⎟ : lim lnx = -∞, x→0 2 ⎧ = +∞ ⎪ ⎨ ⎛ 1 ⎞ donc par produit lim f(x) = -∞ x→0 ⎪lim - 3 x→0 ⎝ ⎜ lnx ⎠ ⎟ = -3 ⎩ Limite en +∞ : lim (lnx) x→+∞ lim lnx = +∞, donc x→+∞ 2 ⎧ = +∞ ⎪ ⎨ ⎛ 1 ⎞ donc par produit, lim f(x) = -∞ x→+∞ ⎪ lim - 3 x→+∞⎝ ⎜ lnx ⎠ ⎟ = -3 ⎩ b) Variations de f f '(x) = lnx - 3(lnx) 2 donc f '(x) = 1 1 1 - 3× 2 × ln(x) = ( 1- 6ln(x) ) x x x Pour x > 0, f '(x) > 0 ⇔ (1- 6ln(x)) > 0 donc si ln(x) < 1 1 6 , c'est à dire si x > e 6 1 ⎤ f est décroissante sur ⎥e ⎦ ⎤ f est croissante sur ⎥0;e ⎦ 6 ;+∞ 1 6 ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ 1 ⎛ 6 et f admet un maximum en e qui vaut : f ⎜ e ⎝ c) Tableau de varaition de f 1 6 0 e +∞ Signe de f ’(x) + 0 - Variation de f 1/12 -∞ -∞ Etude du signe de f(x) pour x ∈ ]0 ; +∞[. X = ln x ⎧X = ln x f(x) > 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎩X(1− 3X) > 0 X ∈ 0; 1 ⎧ ⎪ ⎨ ⎤ ⎡ ⎪ ⎥ ⎢ ⎩ ⎦ 3⎣ f(x) > 0 ⇔ x ∈ e 0 ⎧ 1 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 3 3 ⎪ ⎥ ;e ⎢ = ⎥1;e ⎢ 1 6 ⎞ ⎟ ⎠ page 10 / 16 = 1 6 ⎛ 1⎞ - 3 ⎝ ⎜ 6 ⎠ ⎟ 2 = 1 12
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