Logarithme Népérien

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Par définition du nombre dérivé, on peut donc écrire Donc lim ln (1 + h) = 1 ou encore h→0 h lim h→0 lim ln (1 + x) = 1. x→0 x page 6 / 16 ln (1 + h) - ln 1 = 1 h • Pour une fonction f dérivable en x 0 , l'approximation affine de f(x 0 + h) est f(x 0 ) + f'(x 0 ) x h L'approximation affine de ln(1 + h) est donc ln 1 + ln' (1) x h = 0 + h = h L'approximation affine de ln(1 + x) au voisinage de 0 est donc x . Cela revient à dire que la courbe de la fonction ln a pour tangente au point d'abscisse 1 la droite d'équation y = x-1 Propriété 6 Croissance comparée • lnx lim = 0 • x→+∞ x lim xlnx = 0 x→0 x>0 Au voisinage de l'infini x l'emporte sur le logarithme népérien de x. • Pour déterminer lim x→+∞ ln x x , posons X = ln x on a alors eX = x Lorsque x tend vers +∞ , ln x tend vers +∞, donc X tend vers +∞. On peut écrire Or on sait que • Pour déterminer ln x x lim X→+∞ = X donc lim eX x→+∞ eX = +∞ donc X ln x x = lim X→+∞ lim x ln x = 0 , posons X = x→0 x >0 1 x lim X→+∞ X . eX X = 0 et par conséquent eX on a alors x = 1 X lim X→+∞ Lorsque x tend vers 0 par valeurs positives , 1 tend vers +∞, donc X tend vers +∞ x On peut écrire x ln x = 1 ln 1 = - 1 ln X = - ln X X X X X Or on sait que lim X→+∞ ln X = 0 donc X lim X→+∞ - ln X X = 0 et par conséquent ln x = 0 . x lim x ln x = 0 . x→0 x >0 lnx Remarque : On a vu que lim = 0 x→+∞ x On dit que la courbe a pour direction asymptotique l'axe (Ox) au voisinage de +∞ Propriété 7 Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln o u qui à x associe ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a : (ln o u)' = u' u La fonction ln étant dérivable sur ]0 ; +∞[. L’application de la propriété de dérivation des fonctions composées permet d'affirmer que si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, la fonction ln o u qui à x associe ln(u(x)) est dérivable sur I, et on a : (ln o u)' = u' x ln' o u = u' x 1 = u' u u Remarque si u < 0 sur I lno(-u) est dérivable sur I et (lno(-u))’= -u' u' = -u u Propriété 8 Si u est une fonction dérivable non nulle sur un intervalle I,
La dérivée de ln u sur I est Exercice 11 u' u . Donc une primitive de page 7 / 16 u' u sur I, est ln u Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer dans quel(s) intervalle(s) elle est dérivable et calculer sa dérivée. a) f(x) = ln (3x - 1) b) h(x) = ln(x2 ) c) f(x) = 2x + 1 + ln x d) g(x) = ln (1 + x2 ) e) h(x) = ln (2x - x2 ) f) f(x) = x ln x - x g) g(x) = 2 ln (x + 1) x + 1 h) h(x) = ln(1 + x ) i) f(x) = ln(e x + 1) j) g(x) = x 2 + (ln x) 2 k) h(x) = e x ln x a) f(x) = ln (3x - 1) 1 f est dérivable si 3x-1>0 donc pour x > et f '(x) = 3 3 3x -1 b) h(x) = ln(x2 ) h est dérivable pour x non nul et h'(x) = 2 x c) f(x) = 2x + 1 + ln x il faut que x > 0 et f'(x) = 2 + 1 x d) g(x) = ln (1 + x2 ) dérivable sur R et g'(x) = 2x 1+ x 2 e) h(x) = ln (2x - x2 ) dérivable sur 0;2 ⎤⎦ -2x + 2 ⎡⎣ et h'(x) = 2x - x 2 f) f(x) = x ln x – x est dérivable pour x > 0 et f '(x) = 1lnx + x 1 -1 = lnx x 2ln(x + 1) f(x) = , est dérivable pour x+1> 0 donc pour x > -1 g) x + 1 1 (x + 1) - ln(x + 1) et f '(x) = 2 x + 1 (x + 1) 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1- ln(x + 1) ⎜ ⎟ = 2 ⎜ ⎟ (x + 1) ⎝ ⎠ 2 ⎛ ⎞ ⎝ ⎜ ⎠ ⎟ h) h(x) = ln(1 + x ) est dérivable pour x≥0 et 1 f'(x) = 2 x 1+ x = 1 2 x(1+ x) = 1 2x + 2 x i) f(x) = ln(e x + 1) est dérivable pour tout x réels car 1+e x > 0 et f'(x) = ex e x + 1 j) g(x) = x2 + (ln x) 2 est dérivable pour tout x > 0 et f'(x) = 2x + 2lnx × 1 ⎛ ⎞ ⎝ ⎜ x ⎠ ⎟ k) h(x) = e x ln x est dérivable pour tout x > 0 et Exercice 12 a) Soit f(x) = 2 x - 3 f'(x) = e x lnx + ex x Trouver une primitive de f(x) sur ]3 ;+∞[ et sur ]-∞ ;3[ = 2x + 2 lnx x
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