N°11 Nov. - Déc. 2004 - AstroSurf

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Discussion des formules obtenues Une combinaison Cassegrain est caractérisée principalement par le diamètre D et le rapport focale sur diamètre M du miroir primaire ainsi que par le grandissement γ et l’obstruction q du miroir secondaire hyperbolique ; le rapport focale sur diamètre équivalent Q est alors égal au produit (γ.M). Fixons d’abord la géométrie du télescope, c’est-à-dire les paramètres q, M, γ et donc Q, et faisons varier son échelle, représentée par le diamètre D. L’excentricité e de l’hyperboloïde, fonction seulement de γ (formule 17), est également constante par hypothèse et, pourvu que le rapport ε/f ne varie pas, la quantité C(ε/f, γ) est aussi une constante. A géométrie fixée donc, on arrive à cette constatation que les tolérances angulaires α et β varient en proportion inverse du diamètre D du miroir primaire tandis que la tolérance de centrage linéaire ξ est invariante et ne dépend pas, en conséquence, de l’échelle de l’instrument. Fixons à présent le diamètre primaire D, l’obstruction q, le rapport ε/f, le grandissement γ, autrement dit gardons le même miroir secondaire, et faisons varier le rapport focale sur diamètre équivalent Q en agissant sur le rapport d’ouverture M du miroir primaire. Nous voyons que les tolérances angulaires α et β croissent (deviennent plus lâches) comme le carré de Q tandis que la tolérance de centrage linéaire ξ croît comme le cube de Q. Pour les Cassegrain aussi la compacité se paye donc cher en termes de tolérances de collimation : l’emploi d’une combinaison Schmidt-Cassegrain (Q voisin de 10) nécessite de respecter des tolérances linéaires 27 fois plus strictes que celles d’un Cassegrain classique de même diamètre (Q voisin de 30). On notera que les propriétés énoncées, touchant à l’influence de l’échelle et de la compacité de l’instrument, sont analogues à celles du télescope de Newton déjà traité (partie II, formule 12). Tolérance sur la rotation des vis de collimation du miroir secondaire D'un point de vue pratique ou «manuel», il est intéressant de traduire les tolérances précédentes en termes de rotation acceptable des vis définissant l’orientation du petit miroir. Cette question n’a de sens mécanique, on le comprendra, que pour une distance ε quasi nulle (pivot R et sommet S de l’hyperboloïde quasiment confondus) ; c’est en tout cas l’hypothèse que l’on fait ici. Soit ν la distance des vis à l’axe optique rapportée au rayon du petit miroir ; soit d’autre part π le pas des mêmes vis. On convertit aisément la tolérance sur l’inclinaison α du petit miroir (formule 35 avec ε = 0) en termes de rotation acceptable Ω de ses vis de collimation exprimée en degrés : (Formule 38) 12 Cette formule enseigne que la tolérance Ω ne dépend pas du diamètre D du miroir primaire. Donnons-en un ordre de grandeur pour une combinaison typique de type Schmidt-Cassegrain ayant pour paramètres : λ=0,56 micromètre, Q=10, M=2, =5, ν=2/3, p=0,77 mm (valeurs mesurées sur un 9 pouces 1/4 de marque bien connue). En admettant une perte relative d’intensité de 20 % (K= 5), on obtient une tolérance Ω de 6 degrés, soit seulement un soixantième de tour ! On est d’ailleurs en droit de se montrer plus exigeant encore car une perte de 20 % correspond à un défaut sur l’onde respectable de λ/2,5 ; si l’on veut ramener ce défaut à λ/10, la tolérance Ω devient quatre fois plus faible soit 1,5 degré (K=80, cf. tableau 1 de la partie II). On conçoit au vu de ces chiffres que la collimation des Schmidt-Cassegrain soit particulièrement critique et qu’il faille régulièrement la retoucher. A titre de comparaison, pour un Cassegrain classique (Q=30, tous paramètres égaux par ailleurs) la tolérance est neuf fois supérieure : 54 degrés pour une perte de 20 %. Courbes de tolérance pour un rapport F/D équivalent de 10 La figure 6 reproduit la tolérance Ω sur la rotation des vis de collimation pour le rapport focale sur diamètre équivalent typique des combinaisons Schmidt-Cassegrain (Q = 10). La courbe est tracée en fonction du rapport d’ouverture M du miroir primaire ; le grandissement γ de l’hyperboloïde est donc variable (γ = 10/M). Les autres paramètres sont : - la longueur d’onde λ : 0,56 micromètre, - la distance des vis à l’axe optique ν : 0,67 fois le rayon du petit miroir, - le pas des vis : 0,77 mm, - la tolérance sur la baisse d’intensité de la tache d’Airy : 20 % soit K=5. Comme prévu (formule 38), la tolérance augmente avec le rapport d’ouverture M ; avec M=2,6 elle est environ 1,6 fois plus grande qu’avec M=2. Il y donc intérêt, toutes choses égales par ailleurs, à disposer d’un miroir primaire plus fermé plutôt que plus ouvert. On constate une nouvelle fois que la recherche de la compacité a un coût en termes de collimation. Cette considération a peut-être inspiré en partie la conception du télescope de 9 pouces 1/4 d’un fabricant bien connu. Néanmoins, même avec un rapport d’ouverture de 3 la tolérance reste très sévère : 12 degrés seulement. La figure 7 reproduit la tolérance de centrage linéaire ξ, indépendante on le rappelle du diamètre D de l’instrument, pour diverses valeurs du paramètre ε/f compris entre 0 et 1. Les autres paramètres sont identiques à ceux de la figure 6. On constate les propriétés suivantes, qu’on peut d’ailleurs démontrer à l’aide des formules 27 et 37 : la tolérance ξ est une fonction croissante du rapport d’ouverture M du miroir primaire ainsi que du paramètre ε/f ; pour ε/f égal à l’unité (centre de rotation ou pivot R de Astrosurf Magazine - N°11 Nov./Déc. 2004
Figure 7 : tolérance de centrage linéaire d’un Schmidt-Cassegrain (F/D = 10) en fonction du rapport d’ouverture M du miroir primaire pour cinq valeurs de la distance réduite ε/f : 0 (pivot R confondu avec le sommet S de l’hyperboloïde, courbe du bas), 0.75, 0.95, 0.99 et 1 (pivot R confondu avec le foyer F du miroir primaire, ligne droite du haut) Critère : perte d’intensité de 20 % soit un défaut sur l’onde de λ/2,5 l’hyperboloïde confondu avec le foyer F du miroir primaire) la tolérance ξ est maximale et indépendante de M. Si le rapport d’ouverture M a la valeur courante de 2, la tolérance est seulement de 0,8 millimètre dans le cas concret où ε/f est nul, elle est 7 fois plus large et vaut 5,4 mm dans le cas plus hypothétique où le paramètre ε/f est égal à l’unité. Suggestion d’amélioration du système de fixation de l’hyperboloïde Comme on le voit les tolérances de centrage des combinaisons Schmidt-Cassegrain typiques du commerce sont extrêmement sévères. Mais en plaçant le pivot R du miroir hyperbolique sur le foyer primaire F, on bénéficie de tolérances linéaires augmentées du facteur approximatif η suivant : soit du facteur 7 pour le grandissement γ typique de 5, ce qui paraît très avantageux. Comment dans la pratique exploiter cette propriété ? Evidemment le système de fixation habituel du miroir secondaire à base de vis poussantes ne convient pas, puisqu’il conduit à un rapport ε/f faible. Une solution pourrait consister à rôder la face arrière du miroir secondaire de manière à la rendre concave et sphéri- Astrosurf Magazine - N°11 Nov./Déc. 2004 13 que avec un rayon de courbure précisément égal à la longueur focale objet f, cette face étant appliquée sur un support convexe de même rayon, solidaire de la lame correctrice. La viabilité de ce système reste à établir du point de vue industriel mais il offre a priori une perspective séduisante : il serait susceptible d’un réglage définitif en usine, libérant ainsi l’observateur de la contrainte de contrôler fréquemment la collimation de son télescope. Le Schmidt-Cassegrain deviendrait alors aussi indéréglable que le Maksutov. Conclusions Il apparaît que l’instrument sans doute le plus populaire chez les amateurs, à savoir le Schmidt- Cassegrain, est aussi celui qui exige la collimation la plus soignée et de loin. Au delà des tolérances de collimation, qui nous ont servi de fil d’Ariane au long des trois parties du présent article, puisse le lecteur prendre goût, si ce n’est déjà fait, à cette belle science toujours vivante [5] qu’est l’optique astronomique. Ses développements sont parfois difficiles à suivre de prime abord, mais les efforts consentis sont payants : connaître et comprendre les propriétés d’un instrument n’est-ce pas aussi - à moindre frais - le posséder un peu ?
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