Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)

Ecole doctorale de Physique de la région Parisienne (ED107)
THÈSE de DOCTORAT de l’Université PARIS VII
présentée par
Loïc VILLAIN
pour obtenir le grade de DOCTEUR de l’Université Paris VII
Spécialité : Physique Théorique
Instabilités hydrodynamiques relativistes et processus Urca
hors équilibre dans les étoiles à neutrons en rotation
Soutenue le 17 Décembre 2002, devant le jury composé de :
M. Jacques LEBOURLOT président
M. Silvano BONAZZOLA directeur de thèse
M. Michel RIEUTORD rapporteur
M. Kostas KOKKOTAS rapporteur
M. Pawe̷l HAENSEL examinateur
M. Claude BARRABES examinateur
M. Nils ANDERSSON invité

“Science : A way of finding things out and
then making them work. Science explains what
is happening around us the whole time. So does
RELIGION, but science is better because it comes
up with more understandable excuses when it’s
wrong. There is a lot more Science than you think.
Gravity : This is not properly understood, but it
is what makes small things, like nomes, stick to
big things, like planets. Because of SCIENCE, this
happens whether you know about gravity or not.
Which goes to show that Science is happening all
the time.”
From A Scientific Encyclopedia for the Enquiring
Young Nome by Angalo de Haberdasheri
Terry Pratchett, Wings, The third book of the
nomes
“C’est une erreur flagrante que d’assimiler la
science à la raison pure et à la logique, comme l’art
à l’intuition et à l’émotion. Nulle découverte n’a jamais
été faite par déduction logique, aucune oeuvre
d’art sans calcul, ni métier ; dans l’une comme dans
l’autre interviennent les jeux émotifs de l’inconscient.”
Arthur Koestler, Le cri d’Archimède

Table des matières
Résumé v
Abstract vii
Introduction 1
1 Relativité générale et ondes gravitationnelles 5
1.1 Relativité générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Gravitation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Cadre mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Tests et prédictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Sources d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Critères “newtoniens” d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Critères “relativistes” d’émission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Sources astrophysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Défi technologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Détecteurs acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Interféromètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Etoiles à neutrons 27
2.1 Naissance d’une étoile à neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Evolution stellaire et supernova de type II . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Résidus compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Observation et pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Structure interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Modèles théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Vue d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Le noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.4 Superfluidité et superconductivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

ii TABLE DES MATIÈRES
2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Pulsars et étoiles à neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Refroidissement des pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 Refroidissement en présence de superfluidité . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) . . . . . . . . . 60
2.4.1 Idées générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.2 Processus hors équilibre bêta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.3 Processus hors équilibre bêta avec superfluidité . . . . . . . . . . . 64
2.4.4 Résultats numériques et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale 77
3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1 Hydrodynamique newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2 Perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.3 Modes d’oscillations newtoniens d’une étoile . . . . . . . . . . . . . 84
3.2 Oscillations d’une étoile relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1 Hydrodynamique relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.2 Modes relativistes et approximation de Cowling forte . . . . . . . . 89
3.2.3 Instabilités et ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Modes inertiels et r-modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Historique et généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 Etudes non-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3.3 Etoiles barotropes ou isentropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.4 Questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description 103
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Equations and numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.1 The barotropic case in Newtonian gravity . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2.2 Dimensionless equations of motion for the spherical components of
the velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.3 Characteristic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Mass conservation, boundary conditions and approximations . . . . . . . . 115
4.3.1 Solving the exact system of equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.2 The divergence-free approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.3 The anelastic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.4 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Test and calibration of the code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.1 Conservation of the energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4.2 Modes driven to instability in the rigidly rotating case . . . . . . . 119
4.4.3 Test of the anelastic approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Differential rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.1 Modifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

TABLE DES MATIÈRES iii
4.5.2 Noise with huge RR force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5.3 Free evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Strong Cowling approximation in GR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées 145
5.1 Etoiles relativistes en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.1 Etoiles statiques et équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff . . . 146
5.1.2 Etoiles stationnaires et approximation conforme . . . . . . . . . . . 147
5.1.3 Euler en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.1 Fluide barotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.2 Fluide non-barotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.2.3 Equation d’état non-barotrope de PAL . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3.1 Configuration d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3.2 Modes g dans une étoile à neutrons statique . . . . . . . . . . . . . 163
5.3.3 Modes g dans une étoile en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Conclusions et perspectives 169
Remerciements 171
A Géométrie différentielle 173
A.1 Rappels de topologie et variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Espaces vectoriels tangents et connexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B Spectral methods and vectorial equations 177
B.1 Spirit of the spectral methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.1.1 The scalar heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.1.2 Analysis in vectorial case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
B.2.1 Exact Euler equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.2 Implementation of physical approximations . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Liste des Tableaux 187
Liste des Figures 189
Bibliographie 193

iv TABLE DES MATIÈRES

Résumé
Résumé v
Cette étude traite de différents aspects de la physique des étoiles à neutrons en rotation.
La première partie s’intéresse au phénomène des pulsars. L’effet de la superfluidité
des nucléons sur le temps de retour à l’équilibre bêta des réactions nucléaires responsables
du refroidissement d’un pulsar est étudié. Les calculs présentés sont une première
étape vers une modélisation détaillée de l’évolution cinétique et thermique d’un tel objet
dont on sait qu’il est composé de nucléons superfluides et que sa déformation, provoquée
par son ralentissement, implique une brisure de l’équilibre bêta. Cependant, la majeure
partie de ce travail est consacrée aux étoiles à neutrons en rotation en tant que sources
d’ondes gravitationnelles. Il est en effet connu que certains de leurs modes d’oscillations
(les modes inertiels) sont rendus instables par un couplage rétroactif avec les ondes gravitationnelles
qu’ils génèrent. Ce résultat étant obtenu pour l’hydrodynamique linéaire
d’un fluide parfait, deux incertitudes majeures persistent : la valeur de l’amplitude de saturation
non-linéaire, ainsi que l’impact de la viscosité dans une étoile réelle. Cette thèse
présente le premier code hydrodynamique relativiste utilisant les méthodes spectrales écrit
pour une étude précise des modes inertiels. La généralisation relativiste de l’approximation
anélastique née en physique de l’atmosphère y est introduite. Ce mémoire se conclut
par un travail qui sera étendu par la suite dans lequel le couplage des modes inertiels
aux modes de gravité est étudié à l’aide d’équations d’état valables hors-équilibre bêta.
Ces modes g semblant sensibles vis-à-vis de l’équation d’état, des résultats préliminaires
laissent penser que l’observation d’ondes gravitationnelles nées de modes inertiels couplés
aux modes de gravité pourrait être très instructive quant à l’équation d’état de la matière
nucléaire formant les étoiles à neutrons.

vi Résumé

Abstract
Abstract vii
This study deals with the physics of rotating neutron stars. The first part concerns the
influence of the superfluidity of nucleons on the thermal and kinetic evolutions of pulsars.
Indeed, a precise model of their time evolution should take into account the fact that
due to the slowing down, their shape changes and hence beta equilibrium is broken. But
the existence of superfluidity makes the departure from equilibrium last longer than its
duration within a star composed of normal nucleons. Here the time of return to equilibrium
is calculated for several reactions with superfluidity of the nucleons. Nevertheless, the main
part of this thesis concerns hydrodynamics of rotating neutrons stars and gravitational
waves. Some oscillations of these relativistic objects are known to be easily driven to
instability by their coupling to gravitational waves. But the proof of it is only valid for
perfect fluids, and the relevance of the mechanism in real and viscous neutron stars is still
an open issue. This work exposes the first relativistic hydrocode written to study inertial
modes in relativistic neutrons stars using spherical coordinates and spectral methods.
Another particularity is the employment of the relativistic generalization of the anelastic
approximation born in atmospheric physics. It makes this code appropriate to do precise
time evolutions of inertial modes and to study the fundamental question of the value of
the amplitude of saturation. In this thesis, only the linear hydrodynamics is studied, and
the manuscript ends with results extracted from a work to pursue on the coupling between
inertial and gravity modes. Using realistic equations of states coming from nuclear physics,
we show that purely axial modes exist if the equation of states is non-barotropic, and that
the coupling between r and g modes implied by the rotation could enable us to have a
deep insight into the interior of neutrons stars thanks to the observation of gravitational
waves.

viii Abstract

Introduction
Les sens dont l’a dotée la Nature étant limités, l’humanité a toujours cherché à les
suppléer par des inventions issues de son imagination. Celle-ci s’étant révélée être son
meilleur atout pour explorer l’Univers, l’Homme se trouve désormais à la tête de tout un
arsenal presqu’aussi magique que celui que contenaient ses rêves les plus fous. Mais alors
que certains voient la technologie la plus moderne comme une fin en soi, ou pire ne la
considèrent que comme un moyen pour s’enrichir toujours plus, de nombreuses personnes
préfèrent l’utiliser pour sonder un peu plus les mystères que nous offre le monde. Ainsi,
grâce aux inventions les plus récentes, les biologistes sont aujourd’hui capables de déchiffrer
les caractères avec lesquels nous semblons être au moins partiellement “codés”, les astrophysiciens
observent l’Univers dans la quasi-totalité de son spectre électromagnétique, et
les physiciens des hautes énergies scrutent la plus profonde intimité de la matière. Mais
non contents de s’être créé des doigts d’acier pour aller toucher directement d’autres
mondes situés dans notre système solaire ou pour palper les briques élémentaires, la recherche
fondamentale a même commencé à s’inventer des sens artificiels et à se fabriquer
de nouveaux organes adaptés.
Des inventions humaines les plus récentes, les détecteurs d’ondes gravitationnelles sont
probablement parmi les plus audacieuses. Ce sont tout simplement des machines qui ont
pour ambition de tâter les vibrations de l’espace-temps lui-même. Ce qui pourrait a priori
sembler n’être qu’un projet dément et sans avenir est en fait réalisable selon la théorie de
la relativité générale développée par Einstein au début du vingtième siècle. Cette théorie
ayant fait ses preuves à chaque fois qu’elle a été confrontée à la Nature, cette prédiction
paraît fondée à la communauté scientifique et plusieurs télescopes gravitationnels sont en
cours de calibration.
Cependant, les signaux gravitationnels attendus sont tellement faibles que, pour qu’ils
puissent être captés et nous permettre d’enrichir notre compréhension des objets astrophysiques
à même d’émettre des ondes gravitationnelles, il nous faut des appareils de
mesure incroyablement précis. De tels détecteurs doivent, par exemple, comporter des
miroirs d’environ 30 centimètres de diamètre, dont on mesurera des variations de taille de
l’ordre de l’attomètre (∼ 10 −18 m) et dont les défauts de surface ne doivent pas avoir une
amplitude supérieure, en moyenne, à quelques nanomètres (∼ 10 −9 m). Ainsi, une étude
préalable des éventuelles sources d’ondes gravitationnelles, afin de mieux caractériser les

2 Introduction
signaux potentiels, est un complément nécessaire à ces expériences à venir. De tels calculs
permettent en effet de faciliter le travail ultérieur d’analyse des données qui, compte tenu
des nombreuses et intenses sources de bruit, sera assez ardu.
Mais ce travail théorique est lui-même très loin d’être aisé et doit souvent faire appel à
des “supercalculateurs” issus de la science moderne. En effet, tout calcul dans le cadre de
la relativité générale revient à la résolution de systèmes d’équations aux dérivées partielles
plus ou moins complexes. Or, de tels systèmes d’équations n’admettent de solutions analytiques
exactes que pour des situations simplifiées. De plus, les éventuelles sources d’ondes
gravitationnelles sont elles-mêmes souvent des objets à la structure très riche et encore
imparfaitement connue. Ainsi, une description qui soit suffisamment précise pour aller
au-delà d’un simple calcul d’ordres de grandeurs passe a priori presqu’inévitablement par
l’emploi d’ordinateurs et de calculs numériques employant des méthodes plus ou moins
sophistiquées.
Parmi les différentes sources astrophysiques possibles d’ondes gravitationnelles, les
étoiles à neutrons isolées ont connu un regain de popularité depuis quelques années. En
effet, on sait depuis longtemps que leurs oscillations sont susceptibles de générer des ondes
gravitationnelles et l’on connaît même depuis les années 70 (grâce à Chandrasekhar, Friedman
et Schutz) un critère (qui est une condition suffisante mais non nécessaire) pour
déterminer si une oscillation est pertinente du point de vue de l’émission de rayonnement
gravitationnel. Mais quelques travaux avaient suffi pour montrer que, pour les modes d’oscillation
qui étaient a priori les plus intéressants, des signaux détectables ne pouvaient
provenir que d’étoiles en rotation si rapide qu’elles seraient presque sur le point de se
disloquer. Ainsi, leur étude avait été en quelques sortes délaissée jusqu’à ce qu’en 1998,
Andersson, Friedman et Morsink prouvent que certains modes d’oscillation des fluides
relativistes, que l’on avait négligés jusque là, pouvaient se révéler très prometteurs. La
principale raison en est que, même s’ils ont des fréquences non-nulles uniquement dans
les fluides en rotation et sont donc sans importance dans une étoile supposée statique, les
modes inertiels axiaux sont instables (via leur couplage au rayonnement gravitationnel)
dans un fluide parfait relativiste, quelque soit sa vitesse de rotation. Aucune contrainte sur
la vitesse de rotation ne provenant d’un critère pour l’émission d’ondes gravitationnelles,
le vrai problème reste (encore aujourd’hui) la pertinence de ce mécanisme d’émission dans
un fluide relativiste en rotation qui existe réellement et n’est donc pas parfait.
Or, les étoiles à neutrons font partie des objets astrophysiques qui vérifient les conditions
nécessaires pour potentiellement être des sources notables d’ondes gravitationnelles
et sont des fluides relativistes en rotation. Cependant, leur structure interne est assez
extrême puisqu’un dé à coudre de la matière qui les compose pèse plus d’une centaine de
millions de tonnes. Ainsi, pour mieux les connaître, pour bien comprendre leur physique
et pour être capable de dire si leurs modes inertiels axiaux sont viables et intéressants
pour l’émission d’ondes gravitationnelles, il est nécessaire de les étudier à la fois du point
de vue de la physique nucléaire et de celui des instabilités de fluides relativistes. De

Introduction 3
même, leurs observations électromagnétique et gravitationnelle doivent se compléter afin
de mieux contraindre les théories et tester nos modèles.
Le travail de thèse présenté ici a été entrepris au sein de l’un des groupes qui, dans le
monde, étudient les sources d’ondes gravitationnelles. Bien qu’il y ait eu une restructuration
de l’Observatoire de Paris-Meudon au cours des trois années pendant lesquelles cette
thèse a été effectuée, le groupe en question a perduré, après la disparition du Département
d’Astrophysique Relativiste et de Cosmologie (D.A.R.C.), dans le nouveau Laboratoire
de l’Univers et de ses THéories (L.U.T.H.). Cette équipe comporte plusieurs chercheurs
(permanents ou non) qui sont cités à la fin du mémoire et dont les travaux en rapport
avec les ondes gravitationnelles correspondent à deux thèmes principaux :
- l’étude numérique de sources d’ondes gravitationnelles ;
- la physique des étoiles à neutrons.
Ces domaines étant évidemment fortement corrélés, le travail de thèse s’est naturellement
trouvé partie prenante des deux. Ainsi, même si la direction en a été assurée par
Silvano Bonazzola (sur le thème principal de l’étude, à l’aide de méthodes numériques,
d’oscillations des étoiles à neutrons en rotation), la collaboration avec Pawe̷l Haensel, professeur
au Centrum Astronomiczne im. Miko̷laja Kopernika (C.A.M.K.) à Varsovie (sur
le thème de l’impact de la superfluidité des nucléons sur le temps de retour à l’équilibre
des processus Urca) en représente finalement une part non-négligeable.
Le manuscrit est organisé de la façon suivante :
- Le chapitre 1, Relativité générale et ondes gravitationnelles, présente le cadre
de la thèse. L’essentiel à savoir (pour mieux comprendre le travail réalisé avec S.
Bonazzola) sur l’émission et la détection des ondes gravitationnelles y est brièvement
présenté.
- Le chapitre 2, Etoiles à neutrons, est une introduction assez générale à la physique de
l’une des sources astrophysiques possibles d’ondes gravitationnelles. Leur structure
interne ainsi que leur évolution y sont décrites. La fin du chapitre présente la collaboration
entreprise avec P. Haensel et se conclut avec des résultats préliminaires
issus d’un article commun en préparation.
- Le chapitre 3, Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale,
est à la fois un résumé des notions fondamentales de la physique des oscillations
stellaires (newtoniennes et relativistes), mais aussi une sorte d’historique/état des
lieux des idées actuelles sur les modes inertiels et sur leur pertinence pour faire des
étoiles à neutrons des sources intéressantes d’ondes gravitationnelles. Le chapitre se
termine par une discussion un peu plus détaillée des motivations du travail présenté
dans les chapitres suivants.
- Le chapitre 4, Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description,
est un article publié dans Physical Review D. Il décrit une partie du travail
numérique réalisé en collaboration avec S. Bonazzola. Le code d’hydrodynamique

4 Introduction
relativiste développé pour étudier les modes inertiels y est présenté, ainsi que les
tests ayant servi à le valider. Les premiers résultats obtenus avec la version linéaire
relativiste de ce code concluent le chapitre.
- Le chapitre 5, Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées,
termine le manuscrit avec une présentation du travail entrepris dans la
continuité de cet article. Il s’agit d’une étude des modes inertiels à l’aide du même
code numérique, mais qui repose sur une description plus réaliste de la microphysique
des étoiles à neutrons. Le chapitre illustre ainsi en quelques sortes la nécessité
du recours à la physique nucléaire dans l’étude hydrodynamique de ces étoiles, ainsi
que la façon dont l’observation des ondes gravitationnelles émises par les modes inertiels
peut en retour nous renseigner sur cette même physique nucléaire. Les résultats
présentés feront l’objet d’un article en préparation avec S. Bonazzola et P. Haensel.
- A la fin du volume, des appendices apportent un éclairage supplémentaire sur certains
points.

Chapitre 1
Relativité générale et ondes
gravitationnelles
Sommaire
1.1 Relativité générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Sources d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Détection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Vingt-trois ans à peine séparent le moment où Maxwell prédit l’existence d’ondes
électromagnétiques (1864) de celui où Hertz les mit en évidence expérimentalement (1887).
En revanche, même si Einstein montra dès 1916 que sa théorie relativiste de la gravitation
prévoyait un phénomène semblable, à savoir la possibilité d’oscillations du champ de
gravitation se propageant à la même vitesse que la lumière, les ondes gravitationnelles
n’ont toujours pas été observées directement en 2002. Néanmoins, les efforts pour essayer
de les détecter ont commencé dans les années soixante, sous l’impulsion de Weber, et il
existe aujourd’hui plusieurs télescopes gravitationnels bientôt opérationnels ou en projet.
Ainsi, il est désormais raisonnable de croire que la première détection directe d’une onde
gravitationnelle devrait avoir lieu dans un futur assez proche.
Les raisons pour lesquelles il y a une telle différence entre l’histoire des ondes gravitationnelles
et celles des ondes électromagnétiques sont multiples mais fort instructives sur
ces théories. En effet, l’une de ces raisons est que même si ces deux théories entrent dans
le cadre des théories de jauge, la relativité générale semble bien souvent plus exotique par
la façon dont elle brusque les concepts a priori bien établis d’espace et de temps, déjà
violentés par sa petite sœur, la relativité dite restreinte. Cette caractéristique fut probablement
à l’origine de la longue période qu’il fallut à la communauté scientifique pour
admettre la relativité générale, bien qu’Eddington vérifia dès 1919 l’une de ses principales

6 Relativité générale et ondes gravitationnelles
prédictions 1 (voir section 1.1.3). Mais en plus de remettre en cause les idées reçues sur
l’espace et le temps, la relativité générale fait appel à un formalisme mathématique qui
n’était alors pas encore très répandu dans la communauté des physiciens : la géométrie
différentielle. Ces deux difficultés combinées rendent assez compréhensible la réticence
vis-à-vis de la relativité générale dont firent preuve les scientifiques n’en maîtrisant pas
parfaitement les fondements. Et ce d’autant plus que les spécialistes eux-mêmes restèrent
longtemps partagés sur la validité de certaines prédictions, telles celle de l’existence de
singularités de l’espace-temps - les trous noirs - ou celle des ondes gravitationnelles. Dans
ces deux cas, il fallut attendre près de cinquante ans après la naissance de la théorie pour
que la réalité physique des phénomènes soit définitivement admise. Ainsi, aujourd’hui,
le dernier obstacle à la détection des ondes gravitationnelles reste le défi technologique
que représente une telle observation. Ici réside en effet une autre grande différence entre
la théorie d’Einstein et celle de Maxwell : autant l’émission ou la détection d’un signal
électromagnétique peuvent être facilement réalisées naturellement ou artificiellement, autant
un signal gravitationnel intense exige de grands moyens de la part des scientifiques
ou de la Nature pour être émis ou capté.
Même s’il est très loin de se prétendre exhaustif et parfaitement rigoureux, ce premier
chapitre a plusieurs objectifs. Il vise tout d’abord à résumer assez sommairement les
idées principales de la théorie d’Einstein, et de manière un peu plus générale celles des
théories dites métriques de la gravitation. Afin de rendre sa lecture plus aisée, la plupart
des définitions qui auraient pu intervenir ici sont regroupées dans l’appendice A où elles
sont données avec un semblant de rigueur mathématique. Le chapitre se poursuit par
une présentation des ondes gravitationnelles, dans le cadre de la relativité générale. Vient
ensuite une brève description des principes et conditions de leur émission ainsi que de
leur détection, description qui se conclut logiquement par celle des principaux détecteurs
d’ondes gravitationnelles à venir. Plus de détails sur chacun de ces sujets ainsi que des
démonstrations et définitions plus précises peuvent être trouvés dans de nombreux ouvrages
de référence. On peut, entre autres, citer Misner et al. (1973), Hawking & Ellis
(1973), Wald (1984), Carter & Hartle (1987) ou bien encore Tourrenc (1992) qui est probablement
moins approfondi et complet, mais a pour thème principal la physique des ondes
gravitationnelles. Au sujet de ces dernières, on peut finalement citer les comptes-rendus
de conférences ou écoles Deruelle & Piran (1983), Ciufolini & Fidecaro (1997), Marck &
Lasota (1997) et Barone et al. (2000).
1Sans compter le fait qu’Einstein fut le premier à expliquer, grâce à sa théorie, quantitativement et
dès 1915, l’avancée du périhélie de Mercure.

1.1 Relativité générale
1.1.1 Gravitation relativiste
1.1 Relativité générale 7
La relativité générale fut introduite par Einstein pour, comme son nom l’indique,
généraliser la relativité restreinte. Cette dernière postulait l’équivalence de tous les observateurs
inertiels - dits aussi galiléens ou encore lorentziens - vis-à-vis des lois de
la physique. Intégrant dans ces lois la théorie de Maxwell de l’électromagnétisme, elle
prédisait 1 ainsi l’existence d’une vitesse fondamentale et infranchissable qui est aussi celle
de la lumière dans le vide. Cependant, deux problèmes majeurs subsistaient :
- tous les observateurs n’étaient pas fondamentalement égaux, puisqu’il existait une classe
de privilégiés et que les lois de la physique changeaient de forme pour les observateurs
non-inertiels ;
- la théorie de la gravitation de Newton, dont la validité avait pourtant été bien montrée
avec le système solaire, était exclue. En effet, cette dernière reposait sur un transfert
instantané d’information d’une masse à une autre. Même si cette caractéristique de
sa théorie embarrassait déjà Newton, elle devenait bien plus gênante lorsqu’on la
confrontait au principe de causalité et à l’existence d’une vitesse limite prédite par
la relativité restreinte.
Par diverses expériences de pensées - Gedanken-experiment - désormais célèbres, Einstein
eut l’intuition que la réconciliation de la relativité et de la gravitation passait
par une “géométrisation” de cette dernière. Déjà, Minkowski avait montré que la relativité
restreinte faisait du temps et de l’espace deux aspects indissociables d’un objet
géométrique fondamental, l’espace-temps. La relativité restreinte reposait ainsi sur
l’invariance, par changement de référentiels lorentziens, de tout élément de longueur
spatio-temporel séparant deux événements quelconques, de coordonnées (t, x, y, z) et
(t + ∆t, x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z), intervalle défini par
s 2 = − (c∆t) 2 + (∆x) 2 + (∆y) 2 + (∆z) 2 . (1.1)
Dans cette équation, où l’on a supposé que la partie spatiale du système de coordonnées
sur l’espace-temps est cartésienne, apparaît la constante fondamentale de la théorie c. Si
l’on pose maintenant x µ : (x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z), que l’on introduit la métrique
de Minkowski ηµν : diag(−1, 1, 1, 1) et que l’on utilise la convention de sommation d’Einstein,
on peut écrire
s 2 = ηµν∆x µ ∆x ν , (1.2)
où la différence entre temps et espace a été définitivement effacée, tout au moins visuellement.
Un changement de référentiel par transformation de Lorentz ne s’interprète alors
plus que comme une sorte de rotation d’angle imaginaire autour d’un axe spatial, rotation
1 ou plutôt “postdisait” puisque la démarche d’Einstein fut au contraire de prendre comme hypothèse
initiale la constance de la vitesse de la lumière mise en évidence par l’expérience de Michelson.

8 Relativité générale et ondes gravitationnelles
qui laisse invariantes la distance s 2 et les lois de la physique écrites de manière tensorielle,
tout comme le font les rotations usuelles d’angles réels.
Afin de généraliser le principe de relativité, c’est-à-dire d’étendre au maximum le
groupe de symétrie de la théorie, il était nécessaire d’autoriser l’invariance de l’intervalle
et des équations décrivant la physique sous des changements de coordonnées quelconques.
Mais de telles transformations ne peuvent être définies que localement, et l’invariant doit
donc être lui-même local, non plus s 2 défini par l’équation (1.2) mais ds 2 défini comme
ds 2 = gµν dx µ dx ν , (1.3)
où gµν dépend du point considéré et où les dx µ sont des différences infinitésimales de
coordonnées.
Au cours de ses expériences de pensée, Einstein mit ce “besoin” de localité en parallèle
avec ce qui restait jusqu’à ce moment-là une sorte de mystère : l’apparente égalité des
masses grave (qui dicte comment un objet interagit avec le champ de gravitation) et
inerte (qui caractérise sa faculté à rester dans un état de mouvement donné). Il réalisa
en effet que cette identité permettait à la gravitation de se faire localement oublier par
un changement de référentiel astucieusement choisi. En d’autres mots : un observateur
en chute libre dans un champ de gravitation peut toujours se croire inertiel, au moins
quelques temps. Il posa donc, comme un postulat fondamental de sa théorie à venir, le
principe d’équivalence faible qui dit qu’en tout point p de l’espace-temps, il existe une
classe de systèmes de coordonnées 1 dans laquelle on a
et
gµν[p] = ηµν
(1.4)
∂αgµν[p] = 0 , ∀α. (1.5)
La conclusion d’Einstein est que, puisque ces égalités ne peuvent pas être étendues à
l’ensemble de l’espace-temps lorsque le champ de gravitation n’est pas nul, cela signifie que
l’existence de ce dernier n’est qu’un effet géométrique. Il doit donc affecter le mouvement
de toute particule libre de la même façon. C’est pourquoi Einstein postule finalement que :
- toute l’information concernant le champ de gravitation est contenue dans les 10 fonctions
gµν qui servent à faire des mesures locales de distances spatio-temporelles ;
- toutes les particules en chute libre suivent des géodésiques associées à la métrique.
Une théorie relativiste de la gravitation passait donc par l’abandon de l’idée d’un
espace-temps passif et plat - ou minkowskien - pour lequel une métrique globale ηµν existe,
pour envisager un espace-temps actif et courbe - ou (pseudo)-riemannien - de métrique
gµν[p] qui est aussi la mesure du champ de gravitation, déterminée par le contenu matériel
de l’espace-temps.
1 tous reliés entre eux par les transformations de Lorentz locales.

1.1 Relativité générale 9
La relativité générale ne fut que la première d’une longue liste de théories relativistes
de la gravitation. Cependant, à ce jour, elle a passé avec succès de nombreux tests qui
ont également permis de rejeter définitivement plusieurs de ses rivales. Par ailleurs, les
énergies mises en jeu dans la physique des étoiles à neutrons étant loin des domaines où
l’on peut être certain qu’elle ne s’applique plus 1 , il ne sera ici question que de la relativité
générale [comme exemple d’étude sortant de son cadre, on peut consulter Novak (1998)
sur la physique des étoiles à neutrons en théorie tenseur-scalaire de la gravitation].
1.1.2 Cadre mathématique
Le modèle mathématique 2 de l’espace-temps E que considère la relativité générale
est celui d’une variété pseudo-riemanienne (M, g) de dimension 4. Toute l’information
concernant le champ de gravitation est supposée être contenue dans la métrique g,
tenseur symétrique non-dégénéré de rang (0,2) et de signature lorentzienne 2. Ce tenseur
permet d’effectuer des mesures de distance spatio-temporelle, vérifie le principe
d’équivalence 3 et définit un produit scalaire sur l’espace tangent. Etant donnés deux points
(ou événements) de E séparés par un intervalle infinitésimal dx µ dans un certain système
de coordonnées, la distance entre ces points est
ds 2 = gµν dx µ dx ν , (1.6)
où les gµν sont dites composantes covariantes de la métrique par rapport à la base
naturelle (duale) associée au système de coordonnées. Le fait qu’il n’existe pas d’observateurs
privilégiés se traduit par l’invariance de cette distance et des lois de la physique
sous des changements de coordonnées quelconques. Ceci généralise bien la relativité restreinte,
puisque le groupe local d’invariance n’est alors plus seulement le groupe de Lorentz
O(3, 1) mais GL(4, R), celui des matrices réelles 4 × 4 inversibles. Par ailleurs, le principe
d’équivalence d’Einstein suppose que l’on peut toujours localement oublier la gravitation
par un changement de coordonnées approprié. En tout point p de E, il existe donc une
classe de systèmes de coordonnées dans laquelle on a
et
avec cependant
si un champ de gravitation existe.
gµν[p] = ηµν
(1.7)
∂αgµν[p] = 0 , ∀α (1.8)
∃(α, β), ∂α∂βgµν[p] = 0 (1.9)
1 19 par exemple à l’échelle de Planck (∼ 10 GeV), où une théorie quantique de la gravitation devient
nécessaire.
2Voir appendice A pour plus de détails sur les définitions qui suivent.
3Ces deux conditions font que la relativité générale appartient à la catégorie des théories relativistes
de la gravitation dites métriques.

10 Relativité générale et ondes gravitationnelles
Pour que ceci puisse être vérifié en tout point de E, la torsion de la connexion affine
1 choisie doit être nulle. Par ailleurs, l’invariance du produit scalaire par transport
parallèle 2 revient à imposer à la connexion affine d’être compatible avec la métrique
(i.e. de vérifier dans tout système de coordonnées ∇αgµν ≡ 0). Or, on peut montrer que
sur une variété riemannienne, il existe une unique connexion affine sans torsion compatible
avec la métrique, la connexion affine de Levi-Civita.
Par ailleurs, l’équation de Newton pour la gravitation peut s’écrire de manière symbolique
Gravitation locale = Densité de masse.
Du fait de sa célèbre formule E = mc 2 (qui exprime l’équivalence entre masse et
énergie) et de ses réflexions (qui l’ont conduit à comprendre que la gravitation n’était que
l’expression de la courbure de l’espace-temps), Einstein fut donc amené à généraliser la
loi de Newton sous la forme symbolique
Courbure de l’espace-temps = Densité d’énergie.
Plus précisément, les équations d’Einstein (sans constante cosmologique) 3 sont
Rµν − 1
2 Rgµν = κTµν , (1.10)
où Rµν et R sont respectivement le tenseur et le scalaire de Ricci (définis à partir de la
connexion de Levi-Civita), alors que Tµν est le tenseur d’énergie-impulsion de la source (nul
dans le vide). La conservation de l’énergie-impulsion, qui donne l’équation du mouvement
de la matière “une fois l’espace-temps et sa métrique connus” (voir section 3.2.1), s’écrit
∇ µ Tµν = 0 , (1.11)
où ∇ est la dérivée covariante associée à la connexion de Levi-Civita.
La constante κ est quant à elle déterminée par la condition qu’à la limite newtonienne,
la théorie doit redonner l’équation de Poisson pour le champ de gravitation
∆ U = 4π GN n , (1.12)
où ∆ est le Laplacien scalaire, U le potentiel gravitationnel, GN la constante de Newton
et n la densité de masse. On a
κ = 8πGN
c 4 , (1.13)
où c est la vitesse fondamentale introduite par la relativité restreinte, la vitesse de la
lumière dans le vide.
1Structure introduite pour pouvoir dériver ou comparer des vecteurs en différents points.
2pour permettre la comparaison sans ambiguïté de grandeurs mesurées en différents points de l’espacetemps.
3On peut montrer, par des calculs d’ordres de grandeur, que même s’il existe réellement une constante
cosmologique non nulle, comme le laissent croire les observations actuelles, celle-ci est sans influence sur
la physique aux échelles locales qui nous intéresse ici.

1.1.3 Tests et prédictions
1.1 Relativité générale 11
Ainsi formulée, la théorie d’Einstein de la gravitation prédit ou explique quantitativement
divers phénomènes qui ont pu être vérifiés expérimentalement :
- la déviation de la lumière par un champ de pesanteur, observée dès 1919 par Eddington
pendant une éclipse totale de Soleil 1 . Une illustration assez remarquable de ce
phénomène est la célèbre “Croix d’Einstein”, voir la figure 1.1, où la lumière d’une
galaxie lointaine (quasar Q2237+030) nous parvient amplifiée et par quatre chemins
différents, du fait de la présence d’une autre galaxie sur la ligne de visée ;
- l’influence de la gravitation sur le cours des horloges ;
- l’avance du périhélie de Mercure ;
- l’expansion de l’Univers et le décalage vers le rouge associé ;
- etc.
La plupart de ces prédictions ne sont pas propres à la relativité générale et peuvent assez
facilement être faites par d’autres théories [tenseur-scalaire type Fierz (1956), Jordan
(1959), Brans & Dicke (1961) par exemple] 2 . Ceci se comprend bien lorsque l’on remarque
que dans chacun des exemples cités, la cosmologie restant à part, l’effet de la gravitation
n’est mis en évidence que sur une particule test dont la nature n’influence pas la mesure.
Ainsi l’on peut considérer comme une épreuve plus décisive pour la théorie une situation
où “l’appareil de mesure” lui-même influence le champ de gravitation. On peut alors tester
la théorie en champ fort et le principe d’équivalence fort. Ce dernier, qui est une
particularité de la théorie d’Einstein et de quelques rares autres théories, suppose que
la gravitation elle-même est soumise au principe d’équivalence faible et peut donc être
localement formulée comme en l’absence de champ 3 . Lorsque l’on étudie la dynamique
d’un système auto-gravitant, tel le pulsar binaire PSR B1913+16 dont l’observation minutieuse
(voir figure 1.2) valut à Hulse & Taylor (1975) le prix Nobel de Physique 1993,
on peut tester ce principe et la gravitation en champ fort. Hulse et Taylor vérifièrent
ainsi que la période orbitale du pulsar binaire diminue dans le temps exactement de la
façon prévue par la relativité générale qui interprète ce phénomène comme la perte, par le
système, d’énergie émise sous forme d’ondes gravitationnelles. Cette expérience ne rejette
pas complètement les théories alternatives de la gravitation, mais elle les contraint bien
plus fortement que beaucoup d’autres 4 .
1 même si en toute rigueur l’expérience ne pouvait pas vraiment être jugée concluante.
2 Il convient toutefois de noter que ceci est surtout vrai qualitativement car les mesures faites par Very
Long Baseline Interferometry (VLBI) à l’intérieur du système solaire sur la déviation de la lumière sont
tellement contraignantes pour la théorie de Jordan-Fierz-Brans-Dicke qu’elles l’interdisent. Voir Lebach
et al. (1995).
3 Pour tenter d’éclaircir ce principe, on peut dire qu’il stipule l’égalité entre les masses gravitationnelles
actives et passives ou bien encore que, selon lui, la gravitation elle-même doit graviter.
4 Les expériences qui mesurent des distances internes au système solaire - distance Terre/Lune par
exemple - font elles aussi appel à des objets non ponctuels auto-gravitants. Mais ces expériences correspondent
à des régimes de plus faible champ et apportent donc des contraintes complémentaires de celles
du pulsar. Pour plus de détails, voir par exemple Damour & Esposito-Farèse (1998).

12 Relativité générale et ondes gravitationnelles
Figure 1.1 – Effet de lentille gravitationnelle illustré par quatre images de la même
galaxie Q2237+030. La lumière a été “déviée” de la ligne droite par une autre galaxie.
Source NASA, ESA. http ://hubblesite.org/newscenter/archive/1990/20/
Figure 1.2 – Décroissance de la période orbitale du pulsar binaire PSR B1913+16 mesurée
par le décalage du passage au périastre par rapport au cas d’une orbite de période
constante. La courbe en trait plein est la prédiction faite par relativité générale (voir section
1.2) et les points sont les mesures expérimentales réparties sur plus de 20 ans [d’après
Lorimer (2001)].

1.2 Ondes gravitationnelles
1.2.1 Existence
1.2 Ondes gravitationnelles 13
Dès 1916, soit un an seulement après l’énoncé des équations de la relativité générale,
Einstein comprit que leur caractère hyperbolique permettait de trouver, à l’approximation
linéaire, une solution dans le vide qui décrive la propagation d’une onde. Deux ans plus
tard, il montra de plus que l’émission de ces ondes par une source en mouvement lent
correspondait à une perte d’énergie de ce même système [Einstein (1918)]. Cependant,
l’invariance de jauge de la théorie et son caractère intrinsèquement non-linéaire firent que
la réalité physique de ces ondes gravitationnelles fut longtemps douteuse. Il était en effet
a priori concevable qu’elles ne soient que des ondes de coordonnées, un artefact sans
contenu physique, et que la formule du quadrupôle (voir section 1.3), trouvée par Einstein
dans un système de coordonnées fixé pour décrire la perte d’énergie d’un système,
ne traduise plus la réalité lorsque les effets non-linéaires sont pris en compte.
Il fallut donc attendre le début des années soixante pour que la question soit presque
définitivement éclaircie. Les arguments décisifs pour la communauté vinrent de deux sortes
d’études. D’abord, il y eut la réponse, par Pirani (1956), à la question “Que verrais-je
si une onde gravitationnelle passait dans mon laboratoire ?” Mais les travaux sur les
éventuelles sources jouèrent également un rôle important. On peut citer, par exemple,
la démonstration par Bonnor (1959) et Bondi et al. (1962) du fait que la masse gravitationnelle
(qui, déterminée à l’infini, mesure proprement l’énergie totale) d’un système
émettant des ondes gravitationnelles ne pouvait que diminuer 1 . Il ne restait alors plus qu’à
montrer que cette masse gravitationnelle ne pouvait pas être négative pour qu’aucune critique
fondamentale ne puisse plus être adressée à la prédiction de l’existence physique
de ces ondes. Cette question, en apparence anodine, ne fut cependant réglée qu’au début
des années quatre-vingt [Schoen & Yau (1981), Witten (1981), Schoen & Yau (1982) et
Horowitz & Perry (1982)].
1.2.2 Description
Indépendamment de l’existence, ou non, d’éventuels processus physiques réalistes au
cours desquels elles pourraient être émises, les ondes gravitationnelles sont, en soi, assez
facilement descriptibles. Cependant, du fait du principe d’équivalence, un observateur
isolé et ponctuel ne peut pas dire “une onde gravitationnelle passe en ce moment où je
suis”. Pour que la question de l’existence d’une onde gravitationnelle ait un sens, il faut
au minimum deux observateurs proches en chute libre (ou inertiels) qui peuvent alors mesurer
une accélération relative entre leurs référentiels. Si cette accélération relative vient
à varier de manière oscillatoire dans le temps, ils auront un critère pour affirmer qu’une
1 Une autre démonstration, qui aurait pu être décisive mais reste encore aujourd’hui ignorée par la
majorité de la communauté, est celle de Finzi (1949) qui montra, de manière covariante, que les surfaces
caractéristiques associées aux équations d’Einstein se déplacent à la vitesse de la lumière.

14 Relativité générale et ondes gravitationnelles
telle onde se fait ressentir. Pour avoir une idée sommaire mais un peu plus mathématique
du phénomène du point de vue d’un observateur subissant passivement une onde gravitationnelle,
il est suffisant de regarder le cas d’un espace-temps plat qui se retrouve perturbé
par une onde de faible amplitude. Pour cela, on écrit la métrique sous la forme
gµν = ηµν + hµν , |h|

y
1.2 Ondes gravitationnelles 15
x
Figure 1.3 – Effet d’une onde gravitationnelle plane de polarisation + sur un anneau
circulaire de particules matérielles disposé dans un plan orthogonal à l’onde.
y
x
Figure 1.4 – Effet d’une onde gravitationnelle plane de polarisation × sur un anneau
circulaire de particules matérielles disposé dans un plan orthogonal à l’onde.
y
x
Figure 1.5 – Effet d’une onde gravitationnelle plane de polarisation droite sur un anneau
elliptique de particules matérielles disposé dans un plan orthogonal à l’onde.

16 Relativité générale et ondes gravitationnelles
1.3 Sources d’ondes gravitationnelles
1.3.1 Critères “newtoniens” d’émission
Pour les rendre intéressantes d’un point de vue astrophysique, il ne suffit pas de savoir
décrire les ondes gravitationnelles dans le vide. Il faut pouvoir en plus prédire leurs
éventuelles amplitudes, fréquences et sources. Une fois encore, Einstein fut l’un des premiers
à tenter de répondre à ces questions. Bien que restreints à un cas limite, ses calculs
[Einstein (1918)] permettent de comprendre les idées de base, et ils sont donc une
première approche assez instructive [pour plus de précisions, voir par exemple Bonazzola
& Gourgoulhon (2000)]. Einstein regarda le cas d’une source qui soit une masse accélérée
(condition nécessaire à l’émission d’ondes gravitationnelles) mais supposa celle-ci en mouvement
lent 1 et associée à un faible champ de gravitation interne 2 .
Sans entrer ici non plus dans les détails des calculs [on peut par exemple consulter
Blanchet (2002)], l’idée est de résoudre les équations d’Einstein linéarisées, non plus dans
le vide mais en présence d’un tenseur énergie-impulsion correspondant à la source. On
obtient alors la solution retardée
hµν[t, x] = 4GN
c 4
1
|x − y| Tµν[tr, y] d 3 y , (1.18)
où tr = t − |x − y|/c est le temps retardé. Si l’on suppose maintenant que la source est
lointaine, isolée et newtonienne, et que l’on projette cette solution sur un système de
coordonnées transverse sans trace [voir équations (1.16) et (1.17)] lié à un observateur
de quadrivitesse u µ = (1,0), on arrive, pour la partie purement spatiale de h, qui est la
seule non nulle, à
hij[t, x] = 2GN
c4 1 d
r
2Qij dt2 [tr], (1.19)
où r est la distance entre le point de coordonnées x et l’origine située “au centre” de la
source. Qij est quant à lui le moment quadrupolaire sans trace newtonien de la
source défini par
Qij[t] = P k
i P l
j − 1
kl
PijP
2
n[t, x] xkxl − 1
3 x2
δkl d 3 x
avec Pij = δij − xixj/r 2 projecteur sans trace transverse par rapport à la direction de la
source et n ∼ T 00 /c 2 densité de masse dans le référentiel de la matière.
1 Autres façons de le dire : “la lumière traverse la source en bien moins de temps que ne le font les
constituants de cette dernière” ou encore : “la longueur d’onde correspondant à la vitesse des constituants
est beaucoup plus grande que la taille typique de la source”.
2 Landau et Lifshitz ont montré dès la première édition de leur livre de théorie des champs [voir par
exemple Landau & Lifshitz (1975)] qu’inclure dans le tenseur énergie-impulsion de la source une part
venant de la gravitation newtonienne ne changeait rien à la formule d’Einstein.

1.3 Sources d’ondes gravitationnelles 17
Si l’on s’intéresse à la puissance totale émise, on trouve
dE
dt
GN
=
5c5 3 d Qij
dt3 d3Qij dt3
,
où < ... > désigne une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. En introduisant une
fréquence d’évolution (et donc d’émission) ω, une taille R, une masse M et un facteur
d’écart à la symétrie sphérique s, tous caractéristiques de la source, on peut écrire
dE
dt
∼ GN
c 5 s2 ω 6 M 2 R 4
(1.20)
ou bien, en introduisant le rayon de Schwarzschild de la source Rs = 2MGN /c 2 et la vitesse
caractéristique v associée à ω ∼ v/R,
dE
dt
∼ c5
GN
s 2
Rs
R
2 v
c
6
. (1.21)
En procédant de même, l’équation (1.19) réécrite en unités astronomiques devient
h ∼ 2 × 10 −19
1/2
M 1 Mpc 1 kHz 1 ms
r f τ
M⊙
1/2
ε 1/2 , (1.22)
où M⊙ est la masse du soleil, Mpc désigne un megaparsec (soit environ 3×10 22 mètres), τ
est la durée de l’émission et ε l’efficacité du processus, définie par le rapport entre l’énergie
totale émise et l’énergie de masse de la source.
Les formules précédentes amènent à plusieurs conclusions :
- Le fait que la relativité générale soit une théorie tensorielle de spin 2, sans champ scalaire
ni vectoriel, explique l’absence de multipôles inférieurs au quadrupôle. Le monopôle
est ici la masse qui, conservée, ne produit aucun rayonnement. De même, l’absence
de terme dipolaire traduit à ce niveau la conservation de l’impulsion (via l’égalité
supposée entre masse inerte et masse grave, le principe d’équivalence jouant donc
une rôle fondamental).
- Les caractéristiques précédentes ainsi que la faiblesse du facteur GN /c 5 ∼ 3 × 10 −53 S.I.
expliquent pourquoi les ondes gravitationnelles sont bien moins faciles à détecter ou
à produire que les ondes électromagnétiques.
- Cette valeur et l’équation (1.20) montrent qu’il est illusoire d’espérer produire en laboratoire
des ondes gravitationnelles de manière détectable. En revanche, cette même
équation écrite sous la forme équivalente (1.21) prouve qu’un objet astrophysique
compact et relativiste (R ∼ Rs et v ∼ c) peut être une source pertinente comme
l’ont confirmé les mesures de Hulse et Taylor pour le pulsar binaire PSR B1913+16
(voir figure 1.2 et section 1.1.3).

18 Relativité générale et ondes gravitationnelles
- Malgré la très importante valeur de l’émissivité dans le cas astrophysique [voir équation
(1.21)], on voit par la formule (1.22) que les amplitudes attendues aux distances
stellaires sont très faibles. Ces amplitudes caractérisant les variations de longueur
relatives à mesurer (on a δL/L ∼ h), il faut des détecteurs très sensibles pour des
sources extragalactiques (voir section 1.3.3 pour plus de détails sur les amplitudes
estimées).
1.3.2 Critères “relativistes” d’émission
Les formules obtenues précédemment l’ont été sous de fortes hypothèses concernant
la source. Cependant, les objets astrophysiques auxquels on est amené à s’intéresser (et
en particulier les étoiles à neutrons) ne vérifient pas nécessairement toutes ces conditions.
Par ailleurs, ces mêmes calculs n’ont absolument pas pris en compte l’effet sur la source
de l’émission d’ondes gravitationnelles. Il est ainsi doublement souhaitable d’aller au-delà
du formalisme quadrupolaire newtonien pour étudier convenablement un système astrophysique
et son rayonnement gravitationnel.
La méthode qui pourrait paraître la plus naturelle serait de résoudre, sans aucune approximation
et de manière dynamique, les équations d’Einstein et les équations d’évolution
et de structure de la source, le tout en imposant les bonnes conditions initiales et au
contour (correspondant à l’infini à des ondes gravitationnelles sortantes). Cependant, il
est évidemment impossible de résoudre ce problème de manière exacte et analytique 1 , et
en fait, même une résolution numérique “exacte” est encore loin d’être facile [voir par
exemple Piran (1983) ou Marck & Lasota (1997)].
Plusieurs tactiques sont alors envisageables. D’un point de vue analytique, on peut
chercher à s’inspirer de la méthode ayant mené à l’équation (1.18) en ne la restreignant
plus à l’étude linéaire. Ce développement multipolaire peut être résumé ainsi : loin
de la source 2 , on utilise la faiblesse du champ de gravitation pour faire, au-delà d’une
certaine distance, un développement post-minkowskien (ou en puissances de GN ) de
la métrique. A l’intérieur d’un domaine centré sur la source, on fait au contraire un
développement post-newtonien (en puissances de v/c). On obtient ainsi deux systèmes
infinis d’équations différentielles dans lesquels les seconds membres sont des termes sources
calculés à partir des solutions aux ordres inférieurs (l’ordre 0 étant bien évidemment le
calcul newtonien de la section 1.3.1). Il ne reste alors “plus qu’à” imposer des conditions
de raccordement dont il a été prouvé qu’elles existent. Les difficultés rencontrées dans
ces méthodes post-newtoniennes sont nombreuses et chacun des cas astrophysiques doit
presque être traité individuellement [pour plus de détails sur le formalisme général, voir
Blanchet (2002)]. Néanmoins, dès le premier ordre post-newtonien, une conclusion de ces
1 Les difficultés sont multiples, liées à la physique complexe des objets astrophysiques mais surtout
à la nature des équations d’Einstein qui font que le problème n’est pas trivial à définir d’une manière
mathématiquement propre.
2 supposée à support compact, au sens mathématique du terme.

1.3 Sources d’ondes gravitationnelles 19
études qui sera importante pour la suite ressort. C’est le fait qu’en plus des multipôles de
masse, des multipôles de courant peuvent contribuer de manière sensible à l’émission
d’ondes gravitationnelles. Ces termes de courant apparaissent à partir du moment où
les constituants de l’objet émetteur sont en mouvement cohérent, sans symétrie axiale et
dépendant du temps. Leur rôle devient primordial lorsque les variations de densité, et
donc les multipôles de masse, sont faibles.
Une autre approche possible et complémentaire consiste à ne plus essayer de résoudre
les équations explicitement, mais à en chercher les modes propres (voir chapitre 3). On
reste alors dans un premier temps au niveau linéaire du problème, mais on prend en
compte le couplage 1 entre les ondes gravitationnelles et les modes d’oscillation du fluide
constituant l’objet. Si ce calcul est fait numériquement, il permet de plus de chercher à
décrire de manière assez réaliste la source. C’est dans ce contexte qu’est né l’intérêt actuel
que la communauté porte aux r-modes. Il a en effet été découvert numériquement par Andersson
(1998), puis prouvé analytiquement par Friedman & Morsink (1998), qu’il existe
une classe de modes axiaux d’un fluide parfait relativiste en rotation qui sont instables
via leur couplage au rayonnement gravitationnel, et ce quelque soit la vitesse de rotation
du fluide. Ce couplage se fait grâce aux multipôles de courant cités précédemment. Cependant,
les objets astrophysiques qui peuvent être concernés (typiquement les étoiles à
neutrons) ne sont pas constitués d’un fluide parfait, et la question de la pertinence des
r-modes en tant que mécanisme d’émission d’ondes gravitationnelles reste encore ouverte.
C’est cette question qui a motivé le travail de thèse engagé sous la direction de
S. Bonazzola. L’approche employée appartient à un autre type de stratégies et sera
décrite plus précisément dans la section 4. L’idée est d’essayer de résoudre numériquement
les équations, mais sans chercher spécifiquement des modes propres. A la place, une
intégration temporelle des équations hydrodynamiques est réalisée.
1.3.3 Sources astrophysiques
D’après les résultats précédents, pour être une source efficace d’ondes gravitationnelles
un astre doit être :
- dans une configuration qui varie dans le temps [les formules de la section 1.3.1 et celles
obtenues dans l’étude post-newtonienne dépendant de dérivées temporelles au moins
d’ordre 3] et qui brise la symétrie sphérique [le théorème de Birkhoff - voir par
exemple Wald (1984) - dit en effet que “toute solution à symétrie sphérique des
équations d’Einstein dans le vide est inclue dans la solution de Schwarzschild” qui,
étant statique, ne rayonne pas] ;
- de masse importante et très compact 2 ;
1 qui se traduit mathématiquement par le fait que la fréquence - liée à la valeur propre - du mode
acquiert une partie imaginaire traduisant un gain ou une perte d’énergie de ce dernier.
2 On peut rappeler ici que la densité (∼ M/R 3 ) et la compacité (∼ M/R) sont des notions distinctes.

20 Relativité générale et ondes gravitationnelles
- en mouvement cohérent (afin que les dérivées temporelles de la densité intégrées sur
l’étoile, et donc les dérivées temporelles des moments multipolaires, ne soient pas
trop faibles).
Dans la nature, on connaît plusieurs objets ou phénomènes vérifiant ces critères. On
peut les classer en fonction de la nature du signal que l’on attend d’eux. On distingue
ainsi :
- le fond stochastique composé d’un rayonnement cosmologique primordial et d’une très
grande distribution aléatoire de sources régulières ;
- les sources éruptives pour lesquelles on a une émission bien localisée dans l’espace et
assez limitée dans le temps (ex. supernovæ) ;
- les sources périodiques qui sont localisées spatialement et ont en plus le bon goût
de durer et d’être régulières. Parmi celles-ci, on trouve les systèmes binaires avant
effondrement et les oscillations d’objets compacts.
La liste qui suit ne se veut absolument pas exhaustive mais seulement illustrative [pour
plus de détails consulter par exemple l’une des références données en début de chapitre
ou encore Bonazzola & Marck (1994)]. Des ordres de grandeur concernant les fréquences
et les amplitudes attendues ainsi que leur pertinence vis-à-vis des détecteurs actuels se
trouvent sur la figure 1.7 en fin de chapitre.
Fond stochastique
L’une des principales prédictions du modèle du Big-bang est l’existence d’un rayonnement
de fond cosmologique à 3 K qui a été mis en évidence par Penzias et Wilson dès 1965.
Ce rayonnement électromagnétique résulte grossièrement du découplage entre la matière
et les photons, et il constitue l’événement le plus ancien dont peuvent témoigner ces derniers.
Mais la soupe primordiale étant composée de nombreux autres ingrédients dont les
énergies caractéristiques sont bien plus élevées, plusieurs d’entre eux ont dû se découpler
du reste beaucoup plus tôt. Et parmi ceux-ci, les gravitons issus de l’ère de Planck (et
les ondes gravitationnelles associées) sont l’une des plus vieilles reliques que l’on puisse
espérer découvrir un jour. Par ailleurs, divers autres objets ou phénomènes cosmologiques
sont susceptibles d’avoir généré des ondes gravitationnelles de manière notable. On peut
citer les transitions de phase prédites par les diverses théories d’interaction (du modèle
standard ou non), l’évolution ultérieure des défauts topologiques (ex. cordes cosmiques)
auxquels elles peuvent avoir donné naissance, ou encore des événements provenant de
scénarios du type pre-Big-bang liés aux théories de supercordes ou autres. A cela s’ajoute
la somme incohérente des émissions de toutes les sources astrophysiques existant dans
l’univers observable.
Malgré le caractère stochastique que présentent toutes ces sources, il convient de noter
qu’elles correspondent à des fréquences bien plus basses que celles des sources astrophysiques
vraiment intéressantes d’un point de vue ondes gravitationnelles et ne sont donc
pas vraiment gênantes. Par exemple, le bruit de fond cosmologique pourra tout au plus

1.3 Sources d’ondes gravitationnelles 21
être contraint par la plupart des détecteurs (voir la figure 1.7) s’intéressant à des sources
plus intenses.
Sources catastrophiques
Cette catégorie est assez vaste et regroupe tous les événements astrophysiques mettant
en jeu des objets compacts dont l’évolution change brutalement. Sans entrer dans les
détails, on peut citer les coalescences de binaires (étoile à neutrons/étoile à neutrons mais
aussi tout couple formé d’un trou noir, d’une étoile à neutrons ou d’une étoile étrange),
les effondrements en trous noirs d’étoiles à neutrons ou autres objets, les brisures de
symétrie dans des objets en rotation, l’absorption d’étoiles par un trou noir super-massif
(placé au centre d’une galaxie) ou encore les supernovæ 1 . Il faut cependant noter pour ces
dernières que, contrairement à ce que l’on a longtemps cru, l’effondrement étant quasiment
sphérique et l’énergie principalement émise sous forme de neutrinos, le signal gravitationnel
attendu est assez faible.
Toutes ces émissions ont en commun le fait d’être localisées en un point de l’univers et
d’avoir lieu à un instant donné de manière éruptive. Par ailleurs, l’observation précise de
chacune d’entre elles permettrait certes d’avoir des contraintes supplémentaires tant sur
les équations d’état de la matière que sur les paramètres post-newtoniens (et ainsi sur la
“vraie” théorie de la gravitation), mais il faut regarder au bon endroit au bon moment. Les
sources plus régulières, bien que créant généralement des ondes d’amplitudes moindres,
sont donc peut-être plus intéressantes si l’on dispose de longues observations suffisamment
sensibles. Et ce d’autant plus que leur régularité permet justement l’emploi de filtres lors
de l’analyse du signal. Pour plus de détails sur l’analyse des données dans les expériences
de détection d’ondes gravitationnelles, on pourra, par exemple, se reporter à Ciufolini &
Fidecaro (1997), Marck & Lasota (1997) ou Barone et al. (2000).
Sources périodiques
Avant leur coalescence, les binaires (telles que le pulsar binaire PSR B1913+16, voir
figure 1.2 et section 1.1.3) forment des sources périodiques mais faibles de rayonnement
gravitationnel, comme l’a montré l’observation de Taylor et Hulse. Cependant, contrairement
à ce qu’il en est pour la phase finale qui pourrait être observée même en dehors de
notre galaxie, un tel système n’est pas détectable dans un futur proche pour deux raisons
distinctes mais corrélées. En effet, de telles binaires émettent des signaux d’amplitudes très
faibles (et devraient donc être situées relativement près de nous dans la Voie Lactée pour
pouvoir donner des signaux observables) mais en plus à des fréquences bien trop faibles
pour les détecteurs opérationnels dans les prochaines années. Pour avoir des sources qui
soient périodiques mais qui produisent des ondes d’amplitudes plus importantes, on peut
1 Pour plus de détails sur les supernovæ de type II, voir section 2.1.1.

22 Relativité générale et ondes gravitationnelles
donc s’intéresser à des objets plus compacts 1 comme des étoiles à neutrons ou des trous
noirs isolés en rotation. Si, pour une étoile à neutrons, la rotation est accompagnée d’une
asymétrie axiale, on a en effet un moment quadrupolaire de masse variant dans le temps. Il
faut cependant que cette asymétrie dure suffisamment longtemps par rapport à la période
de rotation de l’objet. Parmi les mécanismes aptes à créer de telles asymétries de manières
stationnaires, ont été proposées l’existence d’une déformation locale de l’écorce cristalline
d’une étoile à neutrons, ou encore l’existence une déformation globale provoquée par la
tension due à un intense champ magnétique. Finalement, on a aussi suggéré la possibilité
de déformations qui soient variables dans le temps, i.e. des oscillations. Dans le cas des
trous noirs, il a été montré autant pour le trou noir de Schwarzschild (sans rotation) que
pour celui de Kerr (en rotation) que les modes n’ont que de très courtes durées de vie 2
(voir section 3.2.2). En quelques millisecondes à peine, toute l’énergie a été émise sous
forme d’ondes gravitationnelles. En revanche, les objets compacts faits de matière (fluide)
se sont révélés beaucoup plus intéressants. En effet, les oscillations d’étoiles à neutrons
s’accompagnent la plupart du temps d’un moment quadrupolaire de masse variant dans
le temps, mais parfois aussi de multipôles de courant. Ce mode d’émission d’ondes gravitationnelles
par couplage entre les oscillations du fluide et celles du champ (voir section
3.2.3) est à l’origine du fort intérêt que porte depuis 1998 la communauté relativiste aux
instabilités inertielles. Les idées principales de la physique des étoiles à neutrons sont
présentées dans le chapitre 2 alors que celle de leurs oscillations ainsi que l’état actuel de
la compréhension de la physique des modes inertiels sont résumés dans le chapitre 3.
1.4 Détection
1.4.1 Défi technologique
Dès les années soixante, Weber fut le pionnier de l’étude théorique nécessaire à la
réalisation d’un détecteur d’ondes gravitationnelles, mais il restera dans l’histoire avant
tout pour en avoir construit un. Commencé avant même que tous les théoriciens ne soient
d’accord sur la réalité physique du rayonnement gravitationnel et que l’on ait de bonnes
idées sur d’éventuelles sources astrophysiques, son travail n’aboutit cependant à aucune
véritable détection. Malgré tout, il permit aux chercheurs de réellement prendre conscience
des difficultés qu’ils allaient rencontrer, et la course aux ondes gravitationnelles fut lancée.
Pour arriver aux détecteurs et projets de détecteurs actuels, il fallut améliorer de plusieurs
ordres de grandeurs la sensibilité des appareils, mais aussi comprendre les multiples sources
possibles de bruit. La faiblesse des signaux attendus est en effet telle que les fluctuations
thermiques du détecteur lui-même ou de très faibles ondes sismiques (dans le cas d’un
1 Dans un système binaire, la distance caractéristique, à prendre en compte pour l’estimation de l’amplitude
de l’onde gravitationnelle émise, est la distance séparant les deux corps, distance qui est égale à
plusieurs fois le diamètre de ces derniers. Une étoile à neutrons isolée est donc bien plus compacte qu’un
système binaire d’étoiles à neutrons.
2 On parle d’ailleurs de QPO, quasi-periodic oscillations, plutôt que d’oscillations proprement dites.

1.4 Détection 23
Figure 1.6 – Sensibilité de l’interféromètre VIRGO.
[Sensibilité de l’interféromètre VIRGO. Source M. Punturo, INFN.
http ://www.virgo.infn.it/senscurve/]
détecteur au sol) sont des parasites à prendre en compte (Voir la figure 1.6, courbe de sensibilité
du projet franco-italien VIRGO). Cependant, pour chaque expérience, les sources
de bruits diffèrent, et il en est donc de même des choix faits pour les réduire.
On distingue ainsi deux grands types de détecteurs. Les détecteurs acoustiques pour lesquels
le principe est de regarder les vibrations d’un ensemble continu de points matériels,
et les détecteurs interférométriques, où l’on mesure plutôt les distances entre quatre masses
qui sont les miroirs d’un interféromètre de Michelson.
1.4.2 Détecteurs acoustiques
La première barre résonnante fut celle de Weber. Il y en eut depuis plusieurs, dont
certaines sont toujours en service, voire en projet. Ce sont typiquement des barres cylindriques
(par exemple EXPLORER au CERN, ALLEGRO en Louisiane) ou des sphères
(par exemple GRAIL à Leiden) d’environ deux tonnes de métal 1 , et qui sont refroidies
à des températures de l’ordre du kelvin ou même inférieures. Le principal inconvénient
1 La matière et la masse sont choisies afin que la vitesse du son dans la barre implique des fréquences
propres de l’ordre du kHz, valeur qui est celle typiquement attendue pour une source astrophysique.

24 Relativité générale et ondes gravitationnelles
de ce type d’expérience est que les signaux pouvant être détectés doivent avoir quasiment
les mêmes fréquences que les modes propres d’oscillation des solides (aux alentours
du kHz). Leur grand avantage est leur faible coût, comparativement aux télescopes interférométriques,
qui permet facilement d’envisager de faire des réseaux. On augmente
ainsi la section efficace et, pour les cylindres, on acquiert l’avantage que présentent les
sphères : l’absence de direction privilégiée qui assure de mieux localiser la source.
1.4.3 Interféromètres
L’autre grande catégorie de télescopes gravitationnels est celle des interféromètres, tels
VIRGO (projet franco-italien type Michelson avec des bras de 3 km de long. Voir schéma
1.8), LIGO (expérience américaine composée de deux interféromètres munis de bras de 4
km), GEO 600 (anglo-allemand, 600 m) et TAMA 300 (japonais, 300 m). Ce dernier est
le seul à avoir déjà pris des données, même si l’on sait qu’aucune source astrophysique ne
devrait être détectable par lui. Il sert cependant d’une certaine façon “d’étude de faisabilité”
pour les autres, et l’absence de signal reste en soi une information. Enfin, il y a le
projet spatial LISA formé de trois satellites placés sur la même orbite que la Terre, mais
en retrait (voir figure 1.9).
Le principal avantage des interféromètres est leur large bande passante allant de 10
Hz à quelques kHz pour les expériences terrestres et de 10 −4 à 0.1 Hz pour LISA. Comme
le montre la figure 1.6 pour VIRGO, le bruit à basses fréquences est surtout d’origine
sismique. Un projet spatial comme LISA est donc la meilleure possibilité pour explorer
ce domaine du spectre qui correspond par exemple aux coalescences de systèmes binaires
massifs ou au bruit de fond cosmologique. Concernant les basses fréquences, on peut signaler
le fait que VIRGO possède un système d’amortissement sophistiqué qui est l’une
de ses particularités vis-à-vis de LIGO. VIRGO peut ainsi être sensible jusqu’à 10 Hz,
alors que LIGO est aveugle en dessous de 60 Hz. L’autre particularité de l’expérience
franco-italienne est la cryogénie qui devrait être mise en place dès la deuxième génération
et sur laquelle les équipes travaillent déjà depuis longtemps. Par ailleurs, la figure 1.6
montre aussi que l’un des principaux bruits à hautes fréquences est la fluctuation d’origine
quantique du nombre de photons. Ces derniers points illustrent assez bien la haute
technicité des télescopes gravitationnels. Malgré tout, la figure 1.7 révèle que beaucoup
de progrès reste encore à faire pour avoir des télescopes aptes à étudier des signaux provenant
d’étoiles à neutrons isolées et à nous renseigner sur leur physique. On voit en effet
que les courbes de sensibilité de GEO 600 et LIGO I sont au-dessus des estimations actuelles
d’éventuels signaux provenant de ce type de sources (modes f ou r sur la figure).
C’est pourquoi un travail d’étude théorique de la structure interne des étoiles à neutrons
et de leur hydrodynamique est nécessaire pour mieux cerner les caractéristiques des signaux
attendus (ce qui permet par exemple l’utilisation de filtres précis). Et en retour,
les premières observations d’ondes gravitationnelles provenant d’étoiles à neutrons nous
permettront de mieux contraindre et connaître la physique de ces dernières.

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1.4 Détection 25
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Figure 1.7 – Illustration comparée des sensibilités de divers détecteurs interférométriques
et des amplitudes estimées de quelques sources possibles. La courbe de sensibilité de
VIRGO serait intercalée entre celle de LIGO et celle de LIGO II, particulièrement
meilleure sur les basses fréquences grâce au système d’isolement sismique. D’après Lobo
(2002).
Figure 1.8 – Schéma de l’interféromètre VIRGO. On note la présence de deux cavités
Fabri-Perot dont le but est d’agrandir la longueur utile des bras et de filtrer le laser.
Source IN2P3/INFN. http ://wwwlapp.in2p3.fr/virgo/gw.html

26 Relativité générale et ondes gravitationnelles
Figure 1.9 – Schémas du projet spatial LISA.
[Schémas du projet spatial LISA. Source ESA, NASA. http ://lisa.jpl.nasa.gov/]

Chapitre 2
Etoiles à neutrons
Sommaire
2.1 Naissance d’une étoile à neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Structure interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 60
Notre compréhension actuelle de l’évolution stellaire suggère que le destin d’une étoile
née isolée dépendrait avant tout de sa masse initiale. La valeur de celle-ci déterminerait
en effet quelles sont les différentes réactions nucléaires qui vont pouvoir se succéder, la
nature des déchets issus de la dernière réaction possible, ainsi que la quantité qu’il en restera.
Or, cette masse inerte va ensuite décider du stade ultime de l’évolution de l’étoile.
Approximativement, plus la masse initiale est importante, plus la quantité de déchets
générés sera conséquente et plus le cadavre sera un objet compact, la limite extrême étant
le trou noir. Les étoiles naissant assez souvent en couples, les scénarios d’évolution sont
généralement complexes et leurs détails restent incertains. Néanmoins, pour une étoile de
masse initiale supérieure à 10 à 12 fois la masse du Soleil (notée M⊙ ∼ 2 × 10 33 g), une
étoile à neutrons peut raisonnablement être attendue. Mais même si l’étoile à neutrons est
le stade ultime de la vie d’une étoile, un tel objet est très loin d’être mort. En effet, une
étoile à neutrons a une structure très diversifiée, est le siège de diverses réactions entre
particules subatomiques, tout en étant généralement en rotation rapide et dotée d’un fort
champ magnétique. Ainsi, en plus des éventuelles ondes gravitationnelles émises par une
étoile à neutrons, il existe une autre source d’information sur sa structure interne : l’observation
de l’évolution thermique et cinétique du pulsar.
Après une présentation des principales étapes de l’évolution stellaire pour un astre
destiné à produire une étoile à neutrons, suit une brève description de la structure interne
d’un tel objet. Un résumé succinct des théories concernant l’évolution des pulsars permet
alors de décrire l’objectif de la collaboration entreprise avec P. Haensel. Des résultats
préliminaires extraits de Villain & Haensel (2003) (en préparation) concluent ce chapitre.

28 Etoiles à neutrons
2.1 Naissance d’une étoile à neutrons
2.1.1 Evolution stellaire et supernova de type II
Même si la gravitation est à l’origine de leur naissance, les étoiles passent toute leur
existence à s’insurger contre ses intentions. En effet, l’auto-gravitation de toute étendue
matérielle tend à la contracter au maximum. Mais la matière n’est pas soumise uniquement
à la gravitation et d’autres processus physiques assurent ainsi des compromis plus ou
moins longs avec cette première. Dans le cas des étoiles, l’histoire commence avec le lent
effondrement d’un nuage gazeux sous l’effet de son auto-gravitation (on parle d’instabilité
de Jeans). Peu à peu, la température et la densité du gaz croissent, et des réactions de
fusions nucléaires finissent par s’amorcer 1 au cœur de ce qui est devenu une proto-étoile
(voir figure 2.1 pour un schéma récapitulatif). A partir de cet instant, de l’hydrogène
est consommé, et des éléments plus lourds, principalement de l’hélium dans un premier
temps, sont produits. Mais avant tout, de l’énergie (de rayonnement + thermique) est
libérée, qui crée une pression capable de résister à la gravitation. L’étoile s’engage alors
dans la période de sa vie où elle est mature et cesse de changer : on dit qu’elle entre dans
la séquence principale. Selon sa masse initiale, le taux auquel elle brûle son hydrogène
est plus ou moins élevé et elle reste ainsi entre quelques millions d’années (pour les plus
massives) et quelques 10 milliards d’années (pour les moins massives) dans cette séquence.
Cependant, lorsqu’une grande partie de l’hydrogène du cœur a été utilisée, celui-ci devient
stérile. L’hydrogène des couches environnantes entre donc à son tour en combustion. Ce
phénomène s’accompagne de l’expansion et du refroidissement des couches externes, et l’on
dit que l’étoile quitte la séquence principale. Dans le cœur, la pression de dégénérescence 2
des électrons prend le relais pour résister à la gravitation. Néanmoins, la lente contraction
se poursuit, et finalement, au bout d’un milliard d’années environ, l’hélium du cœur
commence lui aussi à réagir et à produire des éléments encore plus lourds, tels le carbone,
l’azote et l’oxygène.
Suivant la valeur de la masse initiale de l’étoile, deux grandes catégories de destins
s’offrent à elle. Si sa masse est trop faible, l’étoile devient stérile une fois tous les carburants
possibles épuisés. Dans ce cas, il reste, après diverses péripéties, un cadavre petit (un
rayon de l’ordre de celui de la Terre) et dense (la même masse que le soleil environ, soit
un million de fois celle de la Terre), de composition variable (une structure en couches
dont l’élément central est le plus lourd d’entre les éléments qui ont été produits), une
naine blanche, condamnée à se refroidir lentement. Si la masse initiale de gaz est assez
importante, les diverses réactions qui se succèdent vont au contraire le faire jusqu’à ce
que du fer soit produit en grande quantité au cœur de la structure en pelure d’oignon
1 Ces réactions apparaissent lorsque les barrières coulombiennes peuvent être franchies. On note
d’ailleurs que si la masse de gaz n’est pas suffisante, inférieure à 8% environ de la masse du Soleil,
ces réactions ne se déclenchent jamais et l’effondrement ne conduit pas à une étoile mais à une planète
ou à une naine brune.
2 Effet purement quantique qui tire son origine du caractère fermionique des électrons. Ces derniers
respectent le principe de Pauli qui interdit à deux d’entre eux d’occuper le même état quantique.

2.1 Naissance d’une étoile à neutrons 29
de l’étoile. L’élément 56 Fe étant le plus stable, il ne peut plus réagir. Ce fer s’accumule
donc, et lorsque la masse du cœur dépasse une valeur critique dite de Chandrasekhar
(∼ 1.2M⊙), il s’effondre brusquement sous l’effet de la gravitation. Cet effondrement
s’accompagne de l’augmentation de la densité et ainsi de celle de l’énergie de Fermi des
électrons (voir section 2.2.3). Par conséquent, des captures électroniques
e − + p → n + νe,
débutent et font disparaître certains des électrons. Or, cette disparition d’une partie des
électrons diminue la source principale de résistance à la gravitation. Le processus entre
donc dans un cercle vicieux et s’accélère. Cependant, lorsque la densité atteint des valeurs
de l’ordre de 10 11 g.cm −3 pour une température d’environ 10 11 K, la matière devient soudain
opaque aux neutrinos 1 (sauf à ceux de basses énergies) qui se retrouvent piégés [voir
Lamb et al. (1978)]. A partir de ce moment, l’effondrement se poursuit alors de manière
adiabatique jusqu’à ce qu’à peine 10 ms après le début de l’effondrement, la densité centrale
avoisine la densité de saturation 2 ρ0 ∼ 2.56 × 10 14 g.cm −3 . Or, cette valeur est
aussi typique de la matière nucléaire au sein des noyaux usuels. Mais cette similarité n’est
pas fortuite et s’explique par le fait qu’elle correspond à une distance moyenne entre les
particules qui minimise l’énergie par nucléon. Ainsi, si la matière est comprimée au-delà
de cette densité, l’interaction nucléaire forte devient répulsive. Le cœur étant en chute
libre, ses constituants parviennent à cette densité avec une énergie cinétique non nulle et
un mouvement d’ensemble contractant. Si cette énergie est suffisante, l’interaction forte
ne parvient pas à arrêter l’effondrement, et un trou noir finit par apparaître. Mais pour
des énergies cinétiques de valeurs inférieures, la chute de la matière finit par provoquer le
rebond de l’intérieur, entouré de l’extérieur qui s’effondre toujours 3 . Il s’ensuit une onde
de choc qui conduit à l’éjection des couches externes, accompagnée d’une intense émission
électromagnétique : un observateur éloigné assiste à une supernova de type II 4 . Il faut
toutefois noter que le scénario décrit ici n’est que celui dont on pense actuellement qu’il
relate la formation d’une étoile à neutrons. Cependant, dans les simulations numériques,
l’expulsion de la matière externe reste encore une sorte de mystère puisque difficile à reproduire.
Initialement même, aucune simulation ne permettait de la mettre en évidence,
1 Tout au long de ce travail, la distinction entre neutrinos et anti-neutrinos ne sera pas toujours faite,
leurs rôles étant semblables et se limitant à évacuer de l’énergie hors du système considéré.
2 La densité de saturation doit son nom à une propriété observée des noyaux d’atomes qui est que la
densité centrale moyenne des noyaux lourds (A 100) est quasiment indépendante du noyau. Cette propriété
de saturation de la densité moyenne de la matière nucléaire traduit la faible portée de l’interaction
forte et amène à définir proprement le concept de matière nucléaire. Il s’agit d’un système idéal infini
de nucléons dont on oublie par la pensée l’énergie coulombienne afin de définir un système invariant par
changement d’isospin. Par définition, sa densité baryonique est n0 = 0.16 nucléons.fm −3 , valeur à laquelle
correspond la densité de masse ρ0 définie par ρ0 = n0 mnuc ∼ 2.56 × 10 14 g.cm −3 , où mnuc est la masse
moyenne d’un nucléon, soit 1.67 × 10 −27 kg.
3 En effet, son temps de chute est (GN ρwd) −1/2 ∼ 1 s avec ρwd ∼ 10 7 g.cm −3 densité typique d’une
naine blanche. Voir tableau 2.1.
4 L’une des plus célèbres, car très récente, est la supernova du siècle SN 1987A qui apparut dans le
Grand Nuage de Magellan le 23 Février 1987. Voir aussi la figure 2.2.

30 Etoiles à neutrons
Figure 2.1 – Evolution schématique de la vie d’une étoile en fonction de sa
masse initiale. Source J. Lewis, Dep. Phys., Univ. de Bakersfield, Californie.
http ://www.cs.csubak.edu/Physics/phys110/
le choc étant amorti trop tôt. Le problème fut partiellement résolu grâce à la prise en
compte de l’effet de la convection thermique ainsi que de celui des neutrinos de basses
énergies émis par les captures électroniques dans le cœur et qui s’échappent de ce dernier.
Ces neutrinos revitalisent en effet le choc pour lui permettre d’éjecter la matière en chute
libre. Mais cette résolution de la difficulté à observer un rebond nécessite un ajustement
très minutieux de plusieurs paramètres et traduit probablement notre compréhension imparfaite
de la réalité. Par ailleurs, il n’est pas non plus impossible que ce fine-tuning
nécessaire dans les études numériques ne soit que l’illustration du fait que, dans la nature,
beaucoup d’effondrements en supernova n’aboutissent pas et donnent lieu à des supernovæ
avortées. Cependant, si l’on suppose que l’explosion se produit bien et que la masse externe
est soufflée, il subsiste alors un objet central très dense : une proto-étoile à neutrons. En
fonction des conditions initiales, dans les secondes ou minutes qui suivent, cette dernière
va se refroidir et devenir une étoile à neutrons proprement dite, ou bien s’effondrer en trou
noir [voir par exemple Prakash et al. (1997) ou Prakash et al. (2001) dont est extraite la
figure 2.3]. Finalement, on peut mentionner un autre mécanisme pouvant potentiellement
donner naissance à une étoile à neutrons. Il s’agit de l’effondrement d’une naine blanche
initialement placée dans un système binaire et accrétant de la matière depuis son compagnon.
L’issue d’un tel phénomène reste encore incertaine, mais les deux scénarios les plus
probables sont l’explosion de la naine blanche due à une instabilité nucléaire explosive en
surface ou bien l’effondrement en étoile à neutrons.

2.1 Naissance d’une étoile à neutrons 31
Figure 2.2 – Photo de la nébuleuse du Crabe, reste de la supernova observée en 1054.
On peut remarquer les ondes de densité, traces de l’explosion initiale.
Figure 2.3 – Evolution schématique d’une supernova. Source Prakash et al. (2001).

32 Etoiles à neutrons
2.1.2 Résidus compacts
Les naines blanches, les étoiles à neutrons et les trous noirs sont souvent rangés dans la
même catégorie, celle des objets compacts 1 . Cependant, même si ces trois types d’astres
sont les résidus d’effondrements gravitationnels d’étoiles de la séquence principale ayant
épuisé tout leur combustible nucléaire, ils restent qualitativement très différents. Pour
quantifier la diversité de leurs propriétés, il est possible d’introduire un paramètre les
caractérisant et que l’on nomme leur compacité C ou paramètre de relativité.
Ce nombre, utile pour classifier les objets auto-gravitants et pour estimer l’importance
de la relativité générale dans leur physique, peut être défini à partir de deux rapports tout
aussi significatifs l’un que l’autre. La première possibilité est de prendre le rapport entre
la valeur absolue de leur énergie gravitationnelle (évaluée de façon newtonienne) et leur
énergie de masse. Pour un objet de densité uniforme 2 , on a par exemple
et
Egrav = − 3 GN M
5
2
R
C ∼ |Egrav|
M c2 ∼ 3 GN M
.
5 R c2 La deuxième possibilité est le rapport entre le rayon de Schwarzschild Rs =(2MGN )/c 2
de l’astre et son rayon qui donne
C ∼ Rs
R ∼ 2 GN M
R c 2 .
On retient souvent la deuxième définition
C = 2 GN M
R c 2 ,
de manière à ce qu’un trou noir (objet le plus relativiste et compact envisageable) ait une
compacité égale à 1.
Dans le tableau 2.1 sont rassemblées les valeurs typiques des rayons, des masses, des
densités et des compacités de divers objets astrophysiques. Apparaissent aussi les forces
responsables de leur résistance à l’effondrement gravitationnel, lorsqu’elles existent. On
note tout de suite que les naines blanches sont en effet beaucoup plus denses et relativistes
que le Soleil, mais qu’elles restent cependant bien moins compactes que les étoiles à
neutrons ou les trous noirs. Cette différence d’ordre de grandeur de C se comprend assez
facilement par le fait que même si dans les naines blanches la matière est sous des densités
1dans laquelle il faut aussi inclure les étoiles étranges ou autres astres constitués de quarks déconfinés,
si de tels objets existent réellement.
2Les facteurs numériques, tel le 3/5, ont très peu d’importance et seuls les ordres de grandeur comptent
vraiment, puisqu’eux restent valables pour des équations d’état plus réalistes.

astre
Terre
Soleil
naine blanche
étoile à neutrons
trou noir
stellaire
trou noir
massif
2.1 Naissance d’une étoile à neutrons 33
contrepoids
de la gravitation
masse M
[M⊙]
rayon R
[km]
densité ρ
[g.cm −3 forces électromag.
(struct. cristalline)
3 × 10
]
Compacité
C
−6 6 × 103 5 10−10 press. thermique
press. de radiation
1 7 × 105 1 10−6 press. de dégén.
des e− (Pauli)
interaction forte
entre les baryons 1 à ∼ 3 ∼ 10 1015 pas de
contrepoids
pas de
contrepoids
>∼ 3
∼ 10
>∼ 9 non définie
∼ 0.2
1
9 20 UA non définie 1
0.1 à 1.4 ∼ 10 4 ∼ 10 7 10 −4 à 10 −3
Tableau 2.1 – Caractéristiques typiques de divers objets astrophysiques dont leur compacité
C ∼ |Egrav|/Mc 2 ∼ Rs/R. Par convention, la compacité d’un trou noir, objet le plus relativiste qui soit,
est égale à 1. Pour rappel : M⊙ ∼ 2 × 10 30 kg.
bien plus importantes que celles rencontrées dans la matière qui nous entoure, il n’y a
pas encore eu de “grande” transition de phase. Il existe ainsi toujours des noyaux et des
électrons. En revanche, lorsque la matière a été condensée jusqu’aux densités atteintes en
moyenne dans les étoiles à neutrons, les noyaux ont commencé à perdre leur individualité,
à être brisés et une sorte de liquide neutronique est né. C’est pour cela que l’on dit parfois
que les étoiles à neutrons sont comme de gigantesques noyaux 1 .
Les trous noirs sont quant à eux le cas extrême, puisque la gravitation y a été plus
forte que tout. En outre, elle a été si efficace qu’il ne reste, a priori, de matière qu’en un
seul point de l’espace (la singularité centrale). Ce que l’on nomme trou noir est donc avant
tout un objet géométrique. Dans le cas le plus simple dit “de Schwarzschild” (trou noir
sans rotation ni charge électrique), ce n’est qu’une portion de l’espace-temps caractérisée
par l’existence d’une singularité métrique unidimensionnelle du genre temps et d’un rayon
de Schwarzschild. Il ne sera pas plus question des trous noirs ici.
2.1.3 Observation et pulsars
L’un des plus célèbres mythes concernant Landau est qu’il aurait eu l’idée de l’existence
d’étoiles très majoritairement constituées de neutrons le soir même où lui a été annoncée
la découverte de ces derniers par Chadwick (1932). Or, il semblerait qu’une fois encore
la réalité soit plus surprenante que la légende, puisque l’on pense maintenant que Landau
aurait en fait eu l’intuition de leur existence avant même la découverte de Chadwick
(Haensel 2002). Quoiqu’il en soit, cette prédiction et la théorie ont devancé de beaucoup
leur découverte observationnelle. En effet, dès 1934, Baade et Zwicky émirent (de manière
1 A la différence près qu’une étoile à neutrons possède, a priori, une charge électrique globale quelconque
et un cœur liquide généralement considéré comme neutre, alors qu’un noyau atomique a toujours une
charge électrique positive et ne contient pas d’électrons autres que virtuels.

34 Etoiles à neutrons
très prudente) l’hypothèse qu’une supernova serait le témoignage de la transition entre
une étoile ordinaire et une étoile à neutrons : “With all reserve we advance the view that
supernovæ represent the transitions from ordinary stars into neutrons stars, which in their
final stages consist of extremely closely packed neutrons”. Leur idée, qui s’est révélée être
juste pour les supernovæ II ainsi que les Ib et Ic 1 , est que la source d’énergie à l’origine des
supernovæ est l’énergie potentielle gravitationnelle libérée par l’effondrement du cœur de
l’étoile. Par ailleurs, dès 1939, Oppenheimer et Volkoff calculèrent le premier modèle de la
structure d’une étoile à neutrons. Pour cela, ils supposèrent que l’étoile est constituée d’un
gaz de neutrons dégénéré et résolurent les équations d’Einstein stationnaires à symétrie
sphérique associées. Les équations ainsi obtenues portent aujourd’hui le nom de système
de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) et seront décrites dans le chapitre 5.
Pour ce qui est de l’observation, il fallut en revanche attendre les années soixante
pour que soit détecté le premier pulsar. Pendant longtemps, on avait cherché à observer
le rayonnement thermique d’une étoile à neutrons 2 , mais la température de surface est
tellement élevée que le spectre de corps noir est fortement décalé vers les basses longueurs
d’ondes et la partie visible très peu intense. La première observation fut donc accidentelle
et absolument sans rapport avec un rayonnement thermique de surface. Hewish et ses
collaborateurs de l’Université de Cambridge avaient en effet construit un récepteur radio
prévu pour mesurer la scintillation de sources extragalactiques quasi-ponctuelles. Or, fin
1967, Bell enregistra un signal périodique se répétant toutes les secondes de manière très
régulière. Il fut assez simple pour Hewish et Bell de comprendre que le signal n’était pas
d’origine terrestre, et après un bref moment où une source intelligente fut même envisagée,
ils conclurent que le signal provenait probablement d’une naine blanche ou d’une étoile
à neutrons 3 . En quelques mois, divers autres pulsars furent observés et le mystère fut
rapidement élucidé : les pulsars étaient des étoiles à neutrons en rotation très rapide et
possédant un très fort champ magnétique d’axe non parallèle à celui de la rotation (voir
figure 2.4). Ils ont ainsi des périodes pouvant être de l’ordre de la milliseconde, alors que
leurs champs magnétiques ont des valeurs typiquement comprises entre 10 4 et 10 9 teslas,
le champ magnétique à la surface de la Terre étant environ de 10 −5 T. Le mécanisme
d’émission du signal pulsant sera expliqué un peu plus en détails dans la section 2.3,
après une description plus précise de l’intérieur d’une étoile à neutrons.
1 Comme beaucoup de phénomènes en astrophysique, les supernovæ sont classées, pour des raisons
historiques, en fonction de leur spectre et non du mécanisme physique dont elles sont issues.
2 Ce n’est qu’en 1996 que l’on a réussi à identifier pour la première fois une étoile à neutrons isolée en
optique et en X (RXJ185635-3754). Voir Walter et al. (1996) et Walter & Matthews (1997).
3 La découverte de Hewish et Bell valut à ce premier le prix Nobel de Physique en 1974.

2.2 Structure interne 35
Figure 2.4 – Schéma du principe d’émission d’un pulsar. Source University
of Manchester - Jodrell Bank Observatory. Image de M. Kramer.
http ://www.jb.man.ac.uk/news/neutronstar/
2.2 Structure interne
2.2.1 Modèles théoriques
L’éventuelle transition d’une proto-étoile à neutrons issue d’une supernova (astre chaud
et de fraction leptonique 1 Yl élevée) à une étoile à neutrons (température plus faible et
fraction leptonique quasi-nulle) est très rapide. Les détails de cette évolution sont assez
complexes [voir Burrows & Lattimer (1986) et Prakash et al. (1997)], mais pour ce qui
concerne les sujets qui vont être traités par la suite, seuls deux points importent : en
une vingtaine de secondes, la matière de la proto-étoile à neutrons devient transparente
pour les neutrinos, et en une journée à peine, la température interne a chuté d’une valeur
initiale supérieure à 10 11 K à une valeur comprise entre 10 9 et 10 10 K. Ainsi, pour étudier
l’influence de la superfluidité des nucléons sur les réactions Urca hors équilibre bêta dans
un pulsar âgé de plus d’un an (voir section 2.4), ou les modes inertiels dans une étoile
à neutrons elle aussi suffisamment âgée (voir chapitres suivants), on peut se contenter,
en première approximation, de considérer des objets devenus “froids” 2 et dénués de neutrinos.
L’évolution thermique ultérieure de l’étoile à neutrons, gouvernée par l’émission
de neutrinos, est décrite dans la section 2.3. Mais puisqu’elle dépend évidemment de la
structure interne de l’étoile, quelques mots sur celle-ci sont nécessaires auparavant.
Une description de la structure interne d’une étoile à neutrons plus réaliste que celle
d’Oppenheimer et Volkoff découle d’un calcul en deux temps. Au préalable, il faut une
1 définie comme le rapport entre la densité de nombre leptonique et la densité baryonique.
2 Plutôt que “froid”, on devrait en fait dire “dégénéré”. Voir section 2.2.3.

36 Etoiles à neutrons
étude locale de physique statistique dont le principe est de chercher la configuration d’un
système local (i.e. d’un élément de matière correspondant à une certaine densité), étant
donnés :
- les constituants possibles de ce système 1 ;
- les interactions entre ces derniers ;
- d’éventuelles conditions imposées (valeurs de paramètres extérieurs) par l’environnement.
Dans cette dernière catégorie, figure généralement l’hypothèse dite de matière froide
catalysée. Cette expression désigne la supposition selon laquelle l’étoile serait suffisamment
âgée pour avoir atteint un état d’équilibre thermique, chimique et mécanique. L’équilibre
thermique d’un corps en contact avec le vide étant la température nulle 2 , l’hypothèse de
matière froide catalysée permet de déterminer la composition et l’équation d’état d’un
élément de matière par la minimisation du potentiel thermodynamique approprié en imposant
l’équilibre chimique et une température nulle. Une fois obtenues des équations
d’état partielles et moins simplistes que celle du modèle du gaz de fermions, elles sont
raccordées pour former une équation d’état globale (i.e. correspondant à un large intervalle
de densité). On procède alors ensuite à un calcul de configuration de l’étoile dans
son ensemble, calcul où la gravitation 3 “décide” de l’extension géométrique des différents
domaines. Dans ce calcul, l’équation d’état est l’ingrédient principal venant de la physique
nucléaire nécessaire à la résolution du système de TOV (voir chapitre 5). Or, on
peut montrer [voir Harrison et al. (1965)] que le modèle de la matière froide catalysée
permet de décrire toutes les grandeurs physiques macroscopiques comme des fonctions ne
dépendant que d’un seul paramètre scalaire. La variable retenue sera souvent la densité
baryonique (définie dans le référentiel de la matière) et on attribue donc à l’étoile une
équation d’état barotrope
ρ = ρ[nb] ,
où ρ et nb sont respectivement la densité d’énergie et la densité baryonique. Cette équation
effective sera suffisante en première approximation ou pour des calculs de configurations
stationnaires (équilibre mécanique). Cependant, la discussion de l’évolution cinétique et
thermique d’un pulsar (où la température n’est plus supposée nulle, voir section 2.3) ou
l’étude d’oscillations hydrodynamiques dépendant du temps (écarts à l’équilibre mécanique,
voir chapitres 3, 4 et 5) sont des situations où une équation plus générale est nécessaire.
Néanmoins, pour une description stationnaire idéalisée, et malgré les incertitudes que
comporte encore la physique nucléaire à de telles densités, une description assez qualitative
reste possible. Celle qui suit donne uniquement des ordres de grandeurs sur les
1Il serait plus exact de parler de degrés de liberté possibles. En effet, on peut autoriser ou non la
coexistence de mêmes particules sous différentes phases (et avoir ainsi comme variables les densités
relatives) ou même autoriser ou non des changements de topologie (voir par exemple plus loin l’enveloppe
interne) caractérisés par des variables géométriques et non plus chimiques.
2Cela reste en fait approximatif, même pour un vide non quantique, puisqu’il contient, par exemple,
le fameux rayonnement à 3K.
3qui a la particularité d’être associée à une énergie non extensive du fait de sa portée infinie et de
l’absence de masses négatives.

2.2 Structure interne 37
extensions géométriques de différents domaines tout en se référant à plusieurs équations
d’état plus ou moins bien déterminées. Pour plus de détails, on peut consulter Shapiro &
Teukolsky (1983).
2.2.2 Vue d’ensemble
Comme l’indiquait le tableau 2.1, une étoile à neutrons est un objet compact d’une
masse typiquement égale à 1.4 M⊙ pour un rayon d’une dizaine de kilomètres 1 . La densité
moyenne d’une étoile à neutrons est donc supérieure à 10 14 g.cm −3 , ce qui confère à
la matière plusieurs propriétés très étonnantes, par comparaison avec celle qui nous entoure.
Un assez large éventail de ces phénomènes exotiques est illustré sur la figure 2.5.
Cependant, une description précise de tous les détails n’est pas toujours indispensable, et
quelques points fondamentaux apparaissent. Parmi ceux-ci, il y a une structure en couches
qui peut se résumer ainsi depuis la surface vers le cœur (voir aussi la figure 2.6) :
- Une magnétosphère [ou électrosphère, voir Pétri (2002)], plasma de densité variable
dépendant de la valeur du champ magnétique de l’étoile. La dynamo engendrée par
la rotation du champ magnétique dipolaire de l’étoile produit des champs électriques
supérieurs à 10 12 V qui arrachent des particules chargées aux calottes polaires. Ces
particules atteignent alors des vitesses relativistes et se propagent le long des lignes
de champ magnétique ouvertes et proches de l’axe magnétique. L’accélération transverse
qu’elles subissent provoque l’émission radio associée au phénomène de pulsar.
Le premier modèle fut proposé par Goldreich & Julian (1969).
- Une atmosphère (ρ 10 6 g.cm −3 ), très fine couche de plasma dont l’épaisseur varie de
10 cm pour une étoile chaude à quelques millimètres pour une étoile froide. Suivant
les conditions (étoile isolée ou accrétant), elle contient ou non des éléments plus
lourds que l’hydrogène. Du fait de l’existence d’un fort champ magnétique inhomogène,
l’étude de cette atmosphère comporte toujours de nombreuses incertitudes
théoriques. Pour une revue du sujet, voir par exemple Pavlov et al. (1995).
- Une enveloppe externe (10 6 g.cm −3 ρ 4×10 11 g.cm −3 ), région formée d’un cristal
coulombien d’ions lourds baigné d’électrons dégénérés et relativistes. Son épaisseur
est de quelques centaines de mètres. Plus la densité est élevée, plus les noyaux
capturent d’électrons et deviennent riches en neutrons. Lorsque la densité atteint
des valeurs de l’ordre de dp ∼ 4 × 10 11 g.cm −3 , la densité dite de neutron drip est
dépassée. L’état occupé de plus haute énergie des neutrons n’est alors plus un état
lié dans un noyau, mais un état libre. En plus des électrons et des noyaux, un liquide
de neutrons commence donc à apparaître. Les équations d’état dans ces domaines
ont été étudiées par Baym, Bethe & Pethick (équation BBP) et Baym, Pethick &
1 Il est à noter que les équations d’équilibre relativistes de TOV impliquent l’existence d’une masse
maximale pour toute équation d’état alors que leurs équivalentes newtoniennes n’en imposent pas toujours.
Cette limitation contribue à réduire la diversité possible et participe probablement à assurer que
toutes les étoiles à neutrons sont assez semblables.

38 Etoiles à neutrons
Sutherland (équation BPS). Pour une discussion plus récente, consulter Haensel &
Pichon (1994).
- Une enveloppe interne (4×10 11 g.cm −3 ρ 2×10 14 g.cm −3 ), de plusieurs kilomètres
d’épaisseur. Elle est constituée de noyaux très riches en neutrons, d’électrons (toujours
dégénérés et relativistes) et de neutrons libres. Comme le montre la figure 2.5,
lorsque la densité augmente (suite aux captures électroniques), en plus de s’enrichir
en neutrons, les noyaux et le liquide neutronique changent de topologie. En effet,
l’augmentation du nombre moyen de neutrons que contiennent les noyaux s’accompagne
de l’augmentation de leur volume et de leur surface. Or, une forte proportion
de leur énergie est de l’énergie surfacique, et il devient finalement préférable pour
minimiser l’énergie libre 1 de faire des bulles de vide dans un liquide de noyaux. Vide
désigne ici le liquide de Fermi neutronique [voir Lamb et al. (1978)]. Cette transition
se fait par apparitions successives de différents types de pâtes. On a ainsi des
spaghetti (tubes de noyaux dans un liquide de neutrons), des lasagnes (plans alternés
de matière nucléaire et de liquide de neutrons) puis des anti-spaghetti (tubes
de neutrons dans un continuum de matière nucléaire) avant d’arriver aux bulles de
neutrons dans un liquide de noyaux [voir Lorenz et al. (1993)]. Finalement, lorsque
la densité croît encore, survient un moment où les densités de neutrons interne et
externe aux noyaux sont égales. Le continuum de noyaux cesse alors d’exister et
commence le coeur, formé d’un liquide de neutrons et de protons, ainsi que d’un gaz
d’électrons. Il faut cependant noter de plus que dès l’enveloppe interne, les neutrons
présents peuvent être superfluides. Ce point sera discuté plus précisément dans la
section 2.2.4.
- Un noyau (ou cœur) externe (2 × 10 14 g.cm −3 ρ 5 × 10 14 g.cm −3 ) mesurant lui
aussi plusieurs kilomètres d’épaisseur. Il est constitué de liquides de Fermi dégénérés
de neutrons et de protons 2 (non-idéaux et non-relativistes), ainsi que d’un gaz de
Fermi dégénéré (parfait et ultrarelativiste) d’électrons. Cet ensemble est nommé
matière npe et résiste à la gravitation principalement grâce à l’interaction forte
répulsive à courtes distances. Suivant les modèles et la température, les protons
peuvent être par endroit superconducteurs et les neutrons superfluides (voir la section
2.2.4). De plus, si le potentiel chimique des électrons est supérieur à l’énergie
de masse des muons, quelques muons sont présents.
- Un noyau (ou cœur) interne (5×10 14 g.cm −3 ρ) complètement hypothétique dans
lequel la matière subirait une autre transition de phase [voir Glendenning (2001)].
Son existence dépend de la densité centrale de l’étoile, et donc de la masse initiale du
progéniteur. Ce noyau interne pourrait faire jusqu’à plusieurs kilomètres de rayon et
atteindre des densités de l’ordre de plusieurs fois 10 15 g.cm −3 . Les équations d’état
à de telles densités sont assez mal connues et il y a presque autant de compositions
envisagées que de chercheurs travaillant sur le domaine. Pour n’en citer que quelques
unes et en commençant par la moins exotique, on a :
1 à température et volume donnés donc.
2 Une fraction de quelques pour cent au maximum.

2.2 Structure interne 39
Figure 2.5 – Schéma de la structure interne d’une étoile à neutrons. Source
D.P Page, Institut d’Astrophysique, Université Nationale Autonome de Mexico.
http ://www.astroscu.unam.mx/neutrones/home.html
⋆ De la matière npe avec des muons, une très large fraction de protons et éventuellement
quelques pions et/ou hypérons ;
⋆ Un condensat de Bose de pions, d’hypérons, kaons ou autres ;
⋆ Une structure cristalline formée de paires d’hypérons baignée par divers ingrédients ;
⋆ Un plasma quarks-gluons né avec le déconfinement des quarks (même phénomène
qu’au sein des étoiles étranges) ;
⋆ Ce même plasma mais présentant des propriétés de superconductivité colorée où
des diquarks de charge de couleur non nulle (ou non blanche plutôt) sont produits
;
⋆ ...
De toutes les couches citées dans la description précédente, celles qui gouvernent principalement
l’évolution thermique (voir la section 2.3) d’une étoile à neutrons sont celles
du noyau. Elles concentrent la plus grosse fraction de la masse (plus de 99%), mais surtout
les réactions qui ont les émissivités neutriniques les plus importantes y prennent
place. En effet, la cause prédominante du refroidissement d’un pulsar suffisamment âgé

40 Etoiles à neutrons
Figure 2.6 – Coupe représentant les principales caractéristiques de la
structure interne d’une étoile à neutrons. Source NASA. http ://heasarc.gsfc.nasa.gov/docs/objects/binaries/
neutron star structure.html
est l’émission de neutrinos via les réactions dites Urca. Il faut attendre environ un million
d’années pour que la température soit inférieure à 10 8 K et que le rôle du rayonnement
électromagnétique redevienne fondamental. De même, lorsque l’on s’intéresse à l’hydrodynamique
de l’étoile (voir les chapitres 3, 4 et 5), c’est évidemment là aussi le noyau
fluide qui est l’acteur principal. Cependant, il ne faudrait pas se hâter de conclure que
l’on peut complètement négliger l’existence de l’enveloppe dans l’une ou l’autre de ces
études. Ce qui précède n’est vrai qu’en première approximation [voir Haensel (2001) et
Yakovlev et al. (2001b)] puisque :
- l’enveloppe sépare le cœur où est produite la chaleur, de l’atmosphère où les rayons X
observables sont émis. De plus, elle semble avoir un rôle assez important pour l’histoire
thermique d’une étoile âgée de moins d’une centaine (ou un millier) d’années,
noyau et enveloppe étant deux réservoirs de chaleur indépendants durant la première
année et la relaxation thermique n’étant pas instantanée ;
- à la fin de la période de refroidissement par émission de neutrinos (et au début de celle
par émission de photons), les neutrinos émis au sein de l’enveloppe jouent un rôle
non négligeable 1 ;
- le rôle de l’enveloppe rigide est fondamental dans l’évolution magnétique (rigidification
du champ), et donc dans le ralentissement régulier des pulsars (voir section 2.3),
mais aussi dans le phénomène plus irrégulier des glitches [cf. explication à l’aide de
superfluidité. Voir Baym et al. (1969), Anderson & Itoh (1975) et Carter (2001)] ;
- l’existence d’une montagne ou d’une déformation permanente de l’enveloppe liée à sa
1 Les réactions par lesquelles ils sont émis sont multiples, allant des annihilations de paires e − e + à
divers bremsstrahlung en passant par la formation de paires de Cooper. Voir Yakovlev et al. (2001b).

2.2 Structure interne 41
rigidité peut faire d’un pulsar en rotation rapide une source d’ondes gravitationnelles
intéressantes [voir section 1.3.3 et Haensel (1997)] ;
- une enveloppe, rigide ou non, impose des contraintes différentes à d’éventuelles oscillations
du fluide du noyau [voir chapitres 3, 4 et 5]. De plus, un tel solide peut
lui-même être le siège d’oscillations différentes de celles d’un liquide ;
- l’accrétion de matière provenant d’un éventuel compagnon sur l’enveloppe pourrait être
responsable de sursauts X ;
- etc.
2.2.3 Le noyau
Bien que le cœur d’une étoile à neutrons puisse, a priori, être composé de matière très
exotique, la preuve n’en a pas encore été faite. Et même si récemment, beaucoup d’encre
a coulé au sujet de la soi-disant découverte par la NASA de deux étoiles étranges, pour
l’une de ces deux étoiles, on est certain qu’une telle conclusion est bien trop prématurée.
Ainsi, les dernières estimations du rayon de la source X RXJ185635-3754 1 semblent indiquer
des valeurs trop faibles pour une étoile à neutrons. En effet, le rayon est évalué
à environ 6 km alors que la valeur minimale prédite par la physique nucléaire est assez
difficilement inférieure à 10 km. Puisque pour une étoile composée de quarks déconfinés
il n’y a pas de minimum 2 et que les modèles reposant sur l’hypothèse d’une étoile à neutrons
doivent être fort complexes, ce candidat est à retenir. En revanche, il a été avancé
que 3C 58, reste de la supernova SN 1181, était une étoile étrange puisqu’elle était trop
froide (étant donné son âge) pour être une étoile à neutrons. Mais Yakovlev et al., par
exemple, ont prouvé que l’existence de superfluidité au sein du cœur était une explication
suffisante [voir Yakovlev et al. (2002)]. D’ailleurs, d’une manière plus générale, plusieurs
articles précédents de ces auteurs ont montré que les contraintes sur la superfluidité des
nucléons dans les étoiles à neutrons étaient telles qu’elles autorisaient, en jouant avec divers
paramètres indéterminés, de rendre compte de toutes les observations actuelles, pour
lesquelles on connaît l’âge et la température, sans faire intervenir de matière autre que
npe [voir Kaminker et al. (2001), Yakovlev et al. (2001a) et Kaminker et al. (2002)]. Dans
tout ce qui suit, la démarche adoptée sera la même : nulle particule plus extra-ordinaire
que le muon ne sera introduite.
Par définition, le cœur d’une étoile à neutrons commence à l’endroit où n’existe plus
qu’un fluide plus ou moins homogène de neutrons, protons et électrons. En effet, à des
températures de l’ordre de 10 8−9 K pour des densités légèrement supérieures à la densité
de saturation ρ0 ∼ 2 × 10 14 g.cm −3 , les neutrinos ont un libre parcours moyen bien
supérieur au rayon de l’étoile et l’on peut considérer qu’ils s’échappent instantanément. La
1 à partir de son spectre de corps noir et de modèles d’atmosphères.
2 Cette propriété découle du fait que les étoiles de faibles masses composées de quarks sont liées par
la QCD et non par la gravitation. Pour une discussion générale de ces observations et des conclusions
actuelles, voir Gourgoulhon (2002).

42 Etoiles à neutrons
matière npe en équilibre stationnaire est alors composée de neutrons, protons et électrons
à l’équilibre bêta et dans une configuration localement électriquement neutre. Tout ceci
signifie que l’on a l’égalité entre potentiels chimiques 1
µn = µp + µe
et l’égalité des densités d’électrons et de protons
(2.1)
np = ne. (2.2)
Cependant, l’hypothèse de matière froide catalysée (voir section 2.2.1), qui implique
que la température de chacun des composants est nulle, peut sembler contradictoire avec
la valeur 10 8−9 K annoncée ici. Pour comprendre que tout reste consistant, il est nécessaire
de réaliser que le concept de température basse n’a pas de signification en soi. Il n’en a
que par rapport à une certaine échelle caractéristique. Or, la température qui joue un rôle
particulier pour un gaz de fermions est sa température de Fermi, qui donne l’allure de la
distribution des particules en fonction de leur énergie. Ainsi, le nombre moyen de fermions
d’un spin fixé se trouvant dans un quanta de volume de l’espace des phases centré en (x, p)
est donné par la distribution de Fermi-Dirac
fF [x, p] =
1
exp[ E−µ , (2.3)
] + 1 kBT
où E est l’énergie associée au point (x, p), T la température, kB ∼ 1.38 × 10 −23 J.K −1 la
constante de Boltzmann et µ le potentiel chimique. On définit ensuite l’énergie de Fermi
et la température de Fermi par
et
EF = µ − m c 2
TF = EF
kB
(2.4)
. (2.5)
En effet, on remarque qu’à une température rigoureusement nulle, la distribution de
Fermi-Dirac d’un gaz de fermions libres devient une fonction de Heaviside 2
fF [E] =
1, E ≤ EF
0, E > EF ,
(2.6)
le résultat étant approximativement le même si la température T est très inférieure à la
température de Fermi. Si l’on définit l’impulsion de Fermi pF comme l’impulsion de
l’état occupé d’énergie la plus élevée, on peut montrer que l’on a dans ces conditions la
relation
pF = (3 π 2 n) 1
3 , (2.7)
1 Pour rappel, le potentiel chimique d’une espèce i de densité ni est défini par µi = ∂ρ
∂ni
densité d’énergie qui, dans le cas relativiste, doit inclure l’énergie de masse.
2 On parle alors de gaz de Fermions complètement dégénéré.
où ρ est la

2.2 Structure interne 43
où = h/2π ∼ 1.054×10 −34 J.s est la constante de Planck réduite et n la densité volumique
de particules du type considéré dans l’élément d’espace. De manière générale, pF et EF
sont reliés par la relation de dispersion relativiste
EF = (pF c) 2 + (m c 2 ) 2 − m c 2 , (2.8)
où m est la masse au repos de la particule, mais pour les particules newtoniennes (ou non
relativistes), on utilise plutôt
EF = p2F . (2.9)
2 m
La densité du noyau de l’étoile à neutrons (∼ 10 14 g.cm −3 ) et la relation (2.7) permettent
de montrer que dans le cœur d’une étoile à neutrons :
- les températures de Fermi, différentes pour chaque type de particule, sont au moins de
l’ordre de 10 11 K. Les neutrons, les protons et les électrons sont donc dégénérés ;
- les nucléons sont non-relativistes et les électrons ultra-relativistes (on utilise alors l’approximation
EF = pF c).
Il faut cependant noter que :
⋆ si l’on peut considérer les électrons comme un gaz parfait de Fermi (sans interactions),
il n’en est pas de même des nucléons. Ceux-ci, fortement corrélés par l’interaction
forte, sont plutôt des liquides de Fermi [voir Landau & Lifshitz (1980)] ;
⋆ l’interaction forte étant effective (approximation de la chromodynamique quantique à
basses énergies) et loin d’être connue de manière consistante aux densités en jeu dans
les étoiles à neutrons, il persiste beaucoup d’incertitudes et l’obtention de l’ Équation
d’état reste un problème épineux abordé de diverses manières ;
⋆ même s’ils sont de première importance, ces deux points pourront presque être oubliés
pour la suite pour des raisons qui apparaîtront plus loin. En revanche, le fait que
les nucléons puissent être superfluides va se révéler fondamental.
2.2.4 Superfluidité et superconductivité
La superconductivité et la superfluidité ont déjà été le sujet de beaucoup de
livres autant historiques que techniques [voir par exemple Matricon & Waysand (1994)
pour l’historique et Tilley & Tilley (1974) pour une introduction à la physique de ces
phénomènes]. Ici ne sera donné qu’un bref aperçu, tant historique que technique, qui
essaiera de mettre en évidence leur importance dans les étoiles à neutrons tout en introduisant
les notions nécessaires par la suite.
L’événement fondateur de la superfluidité eut lieu au début du siècle précédent, lorsque
Onnes réussit le premier à liquéfier l’hélium puis découvrit en 1911 que le mercure acquiert
une résistivité électrique nulle quand sa température est inférieure à 4.2 kelvins. Keesom

44 Etoiles à neutrons
et son équipe mirent ensuite en évidence l’existence de deux phases de l’hélium liquide, et
peu après, Kapitza, et indépendemment Allen et Misemer1 , comprirent que la phase la plus
refroidie manifestait un comportement pouvant rappeler la superconductivité puisqu’elle
est caractérisée par une conductivité thermique et une viscosité quasiment nulles. Quelques
jours après la publication de leurs résultats, London suggéra d’interpréter la superfluidité
comme une manifestation du phénomène de condensation de Bose-Einstein, prédit par ce
dernier pour un gaz de bosons en 1924. N’obéissant pas au principe d’exclusion de Pauli
et ayant pour fonction de distribution non pas celle de Fermi-Dirac [équation (2.3)] mais
celle de Bose-Einstein
1
fB[x, p] =
exp[ E−µ
] − 1,
kBT (2.10)
les bosons peuvent en effet se retrouver en nombre macroscopique dans l’état fondamental,
si la température est inférieure à une température critique. On observe alors un
comportement quantique à grande échelle exhibant plusieurs propriétés exotiques. Il fallut
cependant attendre Landau, Bogolioubov ainsi que Penrose & Onsager pour que l’on
réussisse à avoir une théorie microscopique consistante de la condensation non plus dans
le cas simple d’un gaz mais dans celui d’un liquide. Et ce n’est qu’en 1957 que Bardeen,
Cooper & Schrieffer publièrent leur théorie microscopique de la superconductivité dont
un autre aspect surprenant avait été mis en évidence par Meissner en 1933 : l’expulsion
d’un champ magnétique hors d’un superconducteur, l’effet Meissner. La théorie BCS explique
la raison de l’analogie entre superfluidité et superconductivité par la formation de
paires de Cooper de fermions près de la surface de Fermi, grâce à une interaction effective,
faible mais attractive, entre ces derniers. Dans le cas des électrons dans les métaux,
cette attraction résulte d’une déformation du réseau ionique provoquée par l’interaction
fondamentale entre particules chargées et phonons.
Un an après la publication de la théorie BCS, Bohr et al. proposèrent que le même
phénomène puisse se produire par formation de paires de nucléons au sein des noyaux
atomiques. Du fait de la grande différence entre les ordres de grandeur énergétiques des
électrons dans les métaux et des nucléons dans les noyaux, la température critique des
nucléons devait être très élevée et fut estimée à 10 11 K. Migdal (1959) fut le premier à
appliquer la théorie BCS à la matière nucléaire, et il prédit la possibilité de l’existence de
neutrons superfluides dans une étoile à neutrons avec une température critique d’environ
10 10 K. La création de paires de nucléons s’y faisant par l’intermédiaire de l’interaction
nucléaire forte qui reste encore assez mal déterminée, il persiste en fait beaucoup d’incertitudes
sur les aspects quantitatifs de la superfluidité dans les étoiles à neutrons. Mais
avant de discuter un peu plus en détails de la superfluidité, il est nécessaire de préciser la
différence entre gaz et liquides de Fermi.
Sans surprise, la théorie quantique d’un ensemble de particules en interaction est
évidemment plus complexe que celle d’un gaz parfait. Néanmoins, lorsque l’on s’intéresse
1 Ils publièrent leurs travaux dans le même numéro de Nature en 1938.

2.2 Structure interne 45
à des fermions à l’équilibre, ces deux systèmes ont en commun l’existence d’une surface
de Fermi séparant (à température nulle dans l’espace des impulsions) les états occupés
des états libres. Le résultat principal de la théorie des liquides de Fermi, développée par
Landau, est la démonstration de la possibilité de travailler avec comme objets fondamentaux
non pas les particules originelles mais les quanta - ou pseudo-particules - créés lors
d’une excitation de la mer de Fermi, nom donné au fondamental du système. Ces quasiparticules
portent souvent par abus de langage le même nom que les particules initiales (il
en est ainsi des neutrons et des protons dans une étoile à neutrons), mais leur masse est
différente. Le grand avantage mis en évidence par Landau est que, près de la surface de
Fermi, on peut traiter ces particules comme un gaz parfait sans interaction avec la mer 1 .
En utilisant l’égalité de l’énergie de Fermi et du potentiel chimique, on peut alors écrire
localement (|p − pF | ≪ pF ) la relation de dispersion 2
E − µ = vF (p − pF ) (2.11)
qui est une version linéarisée d’une relation globale inconnue E = E[p], où l’on a introduit
la vitesse de Fermi
vF = ∂E
∂p . (2.12)
p=pF
La théorie BCS repose sur l’hypothèse de l’existence d’un état fondamental du type
mer de Fermi et tel que, lorsque la température est inférieure à une valeur critique, il y
ait une faible attraction entre des quanta du liquide situés près de la surface de Fermi et
ayant des impulsions opposées. Puisqu’il intervient ainsi une énergie potentielle négative,
on comprend qu’il existe un problème variationnel pour minimiser l’énergie totale du
fait de la compétition entre cette énergie et la contribution cinétique positive. On peut
d’ailleurs démontrer que, si une telle interaction attractive agit, le fondamental ne correspond
plus à un vide de quanta d’excitation, même à température nulle. En revanche, une
transformation de Bogolioubov appropriée permet de réécrire ce fondamental comme un
état vide de paires et d’anti-paires, équivalents des trous dans les conducteurs. Ces paires
sont formées de quasi-particules fermioniques qui obéissent à la relation de dispersion
E − µ = − δ 2 + η 2 pour p < pF et E − µ = δ 2 + η 2 pour p > pF , (2.13)
où δ est nommé gap (supposé ≪ µ) et η = vF (p − pF ). Ce gap dans la relation de dispersion
joue le rôle de paramètre d’ordre (il dépend donc, entre autres, de la température)
et traduit le fait que la brisure de paires de Cooper nécessite de l’énergie. Par ailleurs,
ces équations permettent de comprendre immédiatement l’un des principaux effets de la
superfluidité : le gap réduit considérablement l’espace des phases disponible près de la surface
de Fermi. Or, c’est là que, pour un liquide de Fermi à température très basse, prend
1 C’est ce qui se passe pour les électrons de conduction dans un métal où le phénomène d’écrantage de
l’interaction coulombienne joue un rôle fondamental.
2 Toutes les formules précédentes et celle-ci sont rigoureusement valables dans le cas où l’énergie est bien
isotrope. Si ce n’est pas le cas, comme dans certains solides, le formalisme subit de légères modifications
et des dérivées vectorielles apparaissent à la place des dérivées scalaires.

46 Etoiles à neutrons
place la plupart de la physique. On verra par exemple dans la section 2.3 que l’existence
d’un gap diminue de manière “exponentielle” l’émissivité en neutrinos lors du refroidissement.
Pour finir, une dernière remarque sur le gap : dans le cadre de la théorie BCS, sa
valeur est reliée à l’énergie caractérisant la température critique par une équivalence du
type δ ∼ kBTc. Cette relation, presque naturelle après coup, explique donc pourquoi, si le
système est à une température trop élevée, les fluctuations thermiques brisent les paires
et la superfluidité n’apparaît pas.
Dès la naissance de la théorie BCS, la possibilité de formation de paires dans des états
qui ne soient pas des singulets de spin (états dits 1 S0) fut établie. Ces paires interviennent
par exemple dans la superfluidité de l’hélium 3 [voir Cooper et al. (1959), Anderson &
Morel (1961) et Balian & Werthamer (1963)]. Or, depuis 1966, on a compris, à la suite des
travaux de Wolf, que dans les étoiles à neutrons il fallait également prendre en compte ce
type de couplage. En effet, même si dans l’enveloppe interne les neutrons sont superfluides
en paires 1 S0 (alors que les protons n’y sont absolument pas superfluides), Wolf montra
qu’à des densités plus élevées (et dans le noyau donc), leur interaction devient répulsive
dans cet état (alors que les protons peuvent ici devenir superconducteurs en singulets
1 S0) 1 . Par ailleurs, en 1970, Hoffberg et al. prouvèrent que pour des valeurs de la densité
où l’état 1 S0 de neutrons n’est plus lié, l’état 3 P2 le devient. La conclusion est donc qu’il y
a très probablement des nucléons superfluides aussi bien dans l’écorce que dans le noyau
d’une étoile à neutrons. Il faut cependant différencier les neutrons superfluides présents
dans l’écorce de ceux qui le sont dans le noyau, car le fait qu’ils soient liés dans des états
de spin dissemblables n’est pas anodin. Ainsi, la théorie BCS montre que dans le cas
3 P2, la superfluidité devient anisotrope puisque le gap dépend alors de l’angle entre le
moment de Fermi de la paire et l’axe de quantification. Bien que l’on ne sache pas pour
une paire 3 P2 quel est l’état de la projection du moment orbital total qui est favorable d’un
point de vue énergétique, les cas considérés sont généralement mJ = 0 ou |mJ| = 2 [voir
Yakovlev et al. (1999) et autres articles par le groupe de Saint-Petersbourg]. La deuxième
possibilité est introduite pour la simple raison qu’elle donne des résultats qualitativement
assez différents de ceux de la première tout en ne compliquant pas trop les calculs. Pour la
suite de la thèse, le même choix sera retenu, de même qu’il le fut dans Villain & Haensel
(2003). On peut alors écrire le gap sous la forme 2
δ 2 [T, ϑ] = ∆ 2 [T ] F [ϑ], (2.14)
où T est la température, ∆[T ] l’amplitude du gap, ϑ l’angle entre le moment de Fermi
de la paire et l’axe de quantification et où F [ϑ] décrit la dépendance angulaire. Les cas
considérés sont résumés dans le tableau 2.2. La figure 2.7 illustre quant à elle des valeurs
typiques de gaps dans une étoile à neutrons en fonction de la densité. On y observe bien le
fait que pour les faibles valeurs de la densité (correspondant à l’enveloppe), les neutrons
1 Les surfaces de Fermi des neutrons et des protons étant assez éloignées et la théorie BCS exigeant
des impulsions de mêmes normes, il n’y a pas de paires de Cooper mixtes dans une étoile à neutrons.
2 Lorsque l’appariement se fait dans un état qui est une superposition de vecteurs propres de valeurs
|mJ| différentes, le gap peut dépendre des deux angles sphériques.

2.2 Structure interne 47
Type de superfluidité F [ϑ] kBTc/∆(0)
A 1 S0 1 0.5669
B 3 P2 (mJ = 0) (1 + 3 cos 2 ϑ) 0.8416
C 3 P2 (|mJ| = 2) sin 2 ϑ 0.4926
Tableau 2.2 – Description sommaire des trois types de superfluidité considérés.
∆ F [MeV]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
neutron 1 S 0
proton 1 S 0
neutron 3 PF 2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
ρ [fm -3 ]
Figure 2.7 – Illustration des valeurs typiques des gaps en fonction de la densité - et donc
indirectement en fonction de la distance au centre de l’étoile - pour les protons et neutrons
dans une étoile à neutrons. Extrait de Lombardo & Schulze (2001) à consulter pour plus
de détails.
seuls sont superfluides (et de manière isotrope) puis que, lorsque la densité augmente,
cet état disparaît pour être remplacé (dans le cœur) par une superfluidité isotrope des
protons et anisotrope des neutrons.
Par ailleurs, même si elle ne prédit pas la valeur de la température critique, la théorie
BCS permet de calculer la fonction ∆[T ] [voir par exemple Landau & Lifshitz (1980)] par
l’équation
∞
∆0 dΩ
ln = 2λ
∆[T ] 4π 0
où l’on a introduit des notations usuelles qui reviendront par la suite.
On a ainsi :
- ∆0 qui est la valeur de la fonction ∆ à température nulle ;
dx
z
f F [ϑ], (2.15)
- dΩ qui est l’angle solide infinitésimal dans la direction de l’impulsion p ;

48 Etoiles à neutrons
- λ qui est un scalaire dépendant du cas A, B ou C considéré (on a λA = 1, λB = 1/2 et
λC = 3/2) ;
- f qui est la distribution de Fermi-Dirac [équation (2.3)] évaluée en z avec
z = sign[η]
√ δ 2 +η 2
kB T = sign[x] x 2 + y 2 , (2.16)
x = η
δ
, y = . (2.17)
kB T kBT
Finalement, il est utile de définir également une variable dédimensionnée caractérisant
l’amplitude du gap, ainsi qu’une température dédimensionnée. On pose
v =
∆[T ]
kBT
et τ = T
, (2.18)
ce qui permet d’aboutir à
yA = vA,
√
yB = vB 1 + 3 cos2 ϑ et yC = vC sin ϑ. (2.19)
A l’aide de l’équation (2.15), on peut calculer les valeurs asymptotiques des amplitudes
vi dans les cas
- T → Tc ;
- T ≪ Tc (hypothèse de superfluidité forte).
On obtient ainsi dans le premier cas (T ∼ Tc), v = β √ 1 − τ, avec βA = 3.063,
βB = 1.977, βC = 3.425 [voir Landau & Lifshitz (1980) ou Levenfish & Yakovlev (1994b)],
et dans le deuxième cas (T ≪ Tc), v = ∆0/(kBTc τ). Levenfish et Yakovlev (1993, 1994b)
ont calculé pour chacun de ces cas de superfluidité des formules paramétrées rendant
compte de ces limites et de valeurs intermédiaires obtenues numériquement. Ils ont proposé
les fonctions
Tc
vA = √
1 − τ 1.456 − 0.157 √ + τ 1.764
, τ
vB = √ 1 − τ 0.7893 + 1.188
, (2.20)
τ
vC = √ 1−τ 4
(2.030 − 0.4903τ τ
4 + 0.1727τ 8 ) ,
qui sont valables avec une erreur moyenne de 1 à 2% et une erreur maximale inférieure à
5%.
Ces formules seront par exemple utiles pour évaluer l’évolution du gap au cours du
refroidissement d’un pulsar. Cependant, pour un tel calcul, le problème majeur reste
une évaluation précise des températures critiques et des gaps à température nulle (les
constantes d’intégration ∆0). Ces quantités sont en effet très sensibles vis-à-vis des incertitudes
concernant l’interaction forte 1 (voir la figure 2.8 qui illustre les incertitudes sur les
1 Pour plus de détails concernant la superfluidité dans les étoiles à neutrons et son effet sur leur
refroidissement (ce qui sera discuté dans la section 2.3), voir par exemple Yakovlev et al. (1999).

2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 49
Figure 2.8 – Illustration de la dépendance de la température critique vis-à-vis de la
densité pour diverses équations d’état dans le cas d’un appariement 3 P2 de neutrons
(ligne pleine) et 1 S0 de protons (ligne en pointillés). Les résultats varient de plusieurs
ordres de grandeurs selon l’équation et illustrent ainsi notre ignorance. Figure issue de
Yakovlev et al. (1999), à consulter pour plus de détails sur ces équations d’état et sur
l’effet de la superfluidité sur le refroidissement des pulsars.
températures critiques). Malgré cela, il est néanmoins possible d’étudier l’effet relatif de
l’existence de superfluidité. C’est la démarche qui est utilisée dans la section 2.4 où sont
présentés des résultats provenant de Villain & Haensel (2003). Le principe est de calculer
non pas les grandeurs physiques elles-mêmes, mais les rapports entre leurs valeurs lorsque
les nucléons sont normaux et lorsqu’ils sont superfluides.
2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar
2.3.1 Pulsars et étoiles à neutrons
Quelques jours à peine après la publication de la découverte de Bell et Hewish,
Gold (1968) et Pacini (1968) proposèrent indépendamment d’interpréter le signal pulsant
comme l’émission synchrotron produite par des particules chargées de hautes énergies se
propageant le long des lignes de champ de la magnétosphère d’une étoile à neutrons en
rotation. Bien qu’il y eut initialement d’autres modèles, ce modèle dit du phare fut rapidement
retenu. En effet, après la première observation d’un pulsar, beaucoup d’astronomes
tentèrent d’en trouver d’autres. Ainsi, à la fin de l’année 1968, une vingtaine déjà étaient

50 Etoiles à neutrons
connus 1 . Or, le modèle du phare prédisait :
- un ralentissement des pulsars qui fut vérifié par Richards & Comella (1969) ;
- une association avec les restes d’une supernova, et l’on découvrit dès 1968 un pulsar au
centre de la Nébuleuse du crabe (figure 2.2), reste de la supernova de 1054 observée
par les Chinois, ainsi que dans Vela [voir Large et al. (1968)] ;
- la possibilité de périodes de rotation aussi faibles que celles du Crabe ou de Vela,
respectivement 33 et 89 ms.
Ce dernier point repose sur l’existence d’une vitesse de rotation maximale pour un
système auto-gravitant, la vitesse de Kepler. Celle-ci s’obtient en calculant la vitesse à
laquelle la gravitation compense tout juste la force centrifuge à l’équateur. On a ainsi
R ΩK 2 = GN M
R 2 , (2.21)
où R est le rayon équatorial 2 de l’étoile et M sa masse. En définissant la densité moyenne
¯ρ = 3 M/(4πR 3 ), on peut réécrire cette expression sous la forme
π
ΩK = 2
3 GN ¯ρ. (2.22)
On en déduit une estimation de la période de rotation minimale
Pmin = 2π
ΩK
3π
= . (2.23)
GN ¯ρ
Pour une naine blanche dont la densité moyenne est d’environ de 10 7 g.cm −3 (voir tableau
2.1), on trouve que la période minimale est de l’ordre de la seconde. En revanche,
pour une étoile à neutrons, 8 ordres de grandeur de différence sur la densité assurent 4
ordres de grandeur de différence sur cette période, qui est donc inférieure à la milliseconde
et autorise les valeurs observées.
Quant au ralentissement, il s’explique qualitativement de manière assez simple par le
modèle dit du rotateur magnétique dipolaire rigide oblique (voir figure 2.4). L’ingrédient
de base est l’intense champ magnétique dont sont dotées les étoiles à neutrons et dont
l’existence découle principalement de leur compacité très élevée. En effet, le plasma qui
compose la pre-supernova ayant une très faible résistance électrique, le flux magnétique
se conserve au cours de l’effondrement. L’intensité du champ magnétique se trouve donc
amplifiée par un facteur équivalent au rapport des surfaces initiale et finale de l’étoile,
1 On en connaît aujourd’hui bien plus d’un millier.
2 On néglige ici toute description de la déformation de l’étoile due à la rotation pour ne s’intéresser
qu’à des ordres de grandeur obtenus dans le cas d’une symétrie sphérique.

2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 51
soit environ 10 10 , pour aboutir 1 à une étoile à neutrons avec un champ supérieur à 10 5 T.
Or, il est bien connu que tout dipôle magnétique variant dans le temps émet des ondes
électromagnétiques. Ainsi, si l’axe de rotation et l’axe magnétique associé au dipôle ne
sont pas alignés (mais séparés par un angle α), il est émis une puissance électromagnétique
Pem = 4 π B2 p R 6 Ω 4 sin 2 α
6 µ0 c 3 , (2.24)
où R est le rayon de l’étoile, Ω sa vitesse angulaire et où Bp est la valeur du champ
magnétique au pôle (dont on peut montrer qu’elle est reliée à la norme du moment m
par la relation B = 2 m/ R 3 ). Or, puisque la matière nucléaire est suffisamment rigide,
l’étoile ne change pas vraiment de structure, et puisque sa conductivité est très bonne, on
peut considérer que le champ magnétique est gelé. Ainsi, la puissance émise traduit avant
tout une diminution de l’énergie cinétique de rotation. En supposant par ailleurs que le
moment d’inertie I de l’étoile sphérique est constant, on a
dE
dt
Cette dernière équation ajoutée aux mesures de dP
= I Ω dΩ
dt = − Pem. (2.25)
permet d’estimer l’ordre de gran-
dt
deur de B pour les pulsars connus. Ce calcul confirme que les pulsars radios2 ont des
champs magnétiques supérieurs à 105 T, valeurs compatibles avec les très faibles variations
de périodes observées ( 10−12 ).
2.3.2 Refroidissement des pulsars
Il existe désormais des modèles de refroidissement de pulsars très sophistiqués et
précis prenant en compte une grande variété de réactions et de phénomènes physiques
[voir par exemple Yakovlev et al. (2001b)]. Mais puisque pour une étoile d’âge “moyen”,
le mécanisme qui domine le refroidissement est l’émission de neutrinos dans le cœur 3 ,
un modèle très simple est suffisant pour introduire les caractéristiques principales de
l’évolution thermique, l’effet de la superfluidité sur celle-ci (section 2.3.3), et surtout le
but de la collaboration entreprise avec P. Haensel (section 2.4). Ainsi, on supposera dans
un premier temps que :
- seul le cœur intervient dans l’évolution thermique et que sa composition est la classique
matière npe non-superfluide ;
1Le même genre d’argument qualitatif, associé à la quasi-conservation du moment angulaire tout au
long de l’évolution d’une étoile, permet de comprendre l’ordre de grandeur des très courtes périodes
observées pour les pulsars.
2On observe aussi des pulsars émettant principalement des rayons X. Ceux-ci sont généralement en
accélération, et le modèle les décrivant est celui d’une étoile à neutrons située dans un système binaire
et accrétant de la matière depuis son compagnon. Cette matière accrétée est responsable à la fois de
l’émission en X et de l’accélération de l’étoile à neutrons.
3 3 5 6 Pour 10 − 10 ans t 10 − 10 ans, la relaxation thermique post-supernova est finie mais le
rayonnement en photons reste négligeable.

52 Etoiles à neutrons
- les seules réactions à prendre en compte sont les réactions dites Urca ;
- l’étoile est isotherme et non relativiste (on néglige les effets géométriques liés à la courbure
de l’espace-temps).
Dans ces conditions, l’équation régissant le refroidissement d’un pulsar est de la forme
dEth
dt
= C dT
dt = − QUr. , (2.26)
où Eth est l’énergie thermique de l’étoile, C sa capacité calorifique 1 et Q Ur. l’émissivité
des processus Urca, toutes ces quantités étant définies par unité de volume.
La grandeur la plus simple à estimer dans l’équation précédente est la capacité calorifique.
Pour la matière npe, la capacité calorifique totale est la somme des capacités
calorifiques partielles de chacune de ces espèces. On a donc C =
j Cj, avec j = n, p, e
et où [voir Landau & Lifshitz (1980)]
Cj =
2
(2 π ) 3
dpj (εj − µj) dfF j
, (2.27)
dT
avec εj et pj qui sont les énergie et impulsion de la particule, µj son potentiel chimique
et fF j la distribution de Fermi-Dirac calculée pour l’impulsion pj.
Les électrons formant un gaz parfait de fermions dégénérés ultrarelativistes, on aboutit
facilement à l’expression
Ce = m∗ e pFe kB 2 T
3 3
∼ 5.7 × 10 19
2/3 ne
T9
n0
erg
cm3 , (2.28)
K
où pFe est l’impulsion de Fermi des électrons, m ∗ e = µe/c 2 ∼ pFe/c leur “masse effective”,
ne leur densité, n0 = 0.16 nucléons.fm −3 la densité de saturation et T9 = T/10 9 K.
Pour les neutrons et les protons qui forment des liquides de Fermi dégénérés non
relativistes et fortement corrélés, on montre
CN = m∗ N pFN kB 2 T
3 3
∼ 1.6 × 10 20 m∗ N
mN
1/3 nN
T9
n0
où N désigne le neutron ou le proton. Leurs masses effectives m ∗ N
erg
cm3 , (2.29)
K
proviennent d’un calcul
auto-cohérent d’interaction nucléaire forte et leurs valeurs dépendent donc des modèles
d’interaction et du milieu. Mais, à l’ordre le plus bas, on pourra négliger la différence entre
les masses des protons et des neutrons et considérer que cette masse habillée du nucléon
1 Comme la matière est fortement dégénérée, les capacités à pression ou volume constants sont iden-
tiques.

est environ 0.7 fois la masse nue 1 .
2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 53
Pour ces capacités comme pour les processus Urca décrits par la suite, les particules
dont la contribution est la plus importante sont celles qui sont proches des surfaces de
Fermi. En effet, à des températures très basses 2 , tous les états situés sous les surfaces de
Fermi sont occupés, et ceux situés bien au-delà sont vides. Ainsi, il n’y a qu’à proximité de
ces surfaces que des échanges ou des réactions sont possibles. Ce fait qui pourrait sembler
anodin se révèle crucial lorsque la superfluidité est prise en compte, puisqu’un gap dans
les énergies possibles près de la surface de Fermi apparaît alors. Mais même en l’absence
de superfluidité, l’impossibilité d’avoir des réactions loin des surfaces de Fermi peut être
significative comme on le voit en étudiant les réactions dites Urca direct.
Les réactions Urca direct (ou Durca en adoptant la suggestion de K.P. Levenfish),
introduites par Gamow & Schoenberg (1941) dans le contexte des pre-supernovæ, sont,
dans les cœurs d’étoiles à neutrons, du type
n → p + e − + ¯νe, p + e − → n + νe. (2.30)
En plus d’être majoritairement responsables du refroidissement de l’étoile, de telles
réactions changent donc la composition de la matière et mènent à l’habituelle contrainte
bêta sur les potentiels chimiques3 µn = µp +µe. D’après Lattimer et al. (1991), l’émissivité
des réactions (2.30), à l’équilibre, est environ QD ∼ 1027 T 6 9 erg cm−3 s−1 , où la notation
usuelle T9 = T/109 K a été introduite4 . Mais même si cette émissivité est très grande devant
celles de toutes les autres réactions possibles, la dégénérescence de la matière peut
complètement supprimer ces processus. En effet, les impulsions des neutrons, protons et
électrons sont bien supérieures à celles des neutrinos puisqu’à la densité de saturation,
on a pFn ∼ 340 MeV/c > pFp ∼ pFe ∼ 60 − 100 MeV/c et pour les neutrinos (qui sont
thermiques), pν ∼ kB T / c 0.1 MeV/c. On peut donc négliger dans la conservation de
l’impulsion celle des neutrinos et, du fait de la dégénérescence, remplacer les autres impulsions
par leurs valeurs à la surface de Fermi, d’où −→
pFn = −→
pFp + −→
pFe. Cette conservation
implique ainsi une inégalité triangulaire entre les normes des trois impulsions, et la norme
de l’impulsion de Fermi des neutrons étant la plus grande, on a la contrainte triangulaire
pFn < pFp + pFe. (2.31)
Les valeurs citées précédemment montrent donc qu’à la densité de saturation n0 les
processus Durca sont impossibles.
1On rappelle que l’on devrait en toute rigueur parler de quasi-proton et quasi-neutron, voir section
2.2.4.
2par rapport aux températures de dégénérescence, voir section 2.2.4.
3La matière étant transparente aux neutrinos, leurs potentiels chimiques sont nuls.
4Pour faire de tels calculs, il est suffisant d’employer la théorie de l’interaction faible de Fermi puisque
les énergies en jeu sont faibles devant les masses des bosons intermédiaires 80 GeV .

54 Etoiles à neutrons
Mais en exprimant la contrainte impulsionnelle (2.31) en fonction des densités [voir
équation (2.7)] et en utilisant la neutralité électrique de la matière npe, cette inégalité
devient
n 2/3
n
≤ 2 n 2/3
p
(2.32)
ou encore
xp > 1
, (2.33)
9
où l’on a défini la fraction protonique xp = np/nb comme le rapport entre la densité protonique
et la densité baryonique. On voit donc que pour des densités quelconques, les
réactions Durca sont possibles si la fraction protonique est suffisamment élevée. Or, la
valeur de cette dernière à l’équilibre bêta est déterminée par une grandeur fondamentale
dont la donnée est cruciale pour la plupart des propriétés de la matière. Cette grandeur
est l’énergie de symétrie par baryon1 . Cette énergie est la partie de l’énergie par baryon
qui est nulle pour la matière symétrique xp = 1/2. Cette énergie totale par baryon reste
assez mal connue (sauf à la densité de saturation où l’on sait, grâce aux expériences de
physique nucléaire, qu’elle vaut environ −16 MeV pour la matière symétrique) et très fortement
dépendante de l’équation d’état. L’énergie par baryon intervenant lors de l’étude
des oscillations d’une étoile à neutrons avec une équation d’état assez réaliste (voir chapitre
5), il est utile d’approfondir un peu plus sa description dès à présent.
Les contributions thermique et coulombienne étant faibles, elles sont négligées et
l’énergie par baryon de la matière npe à température nulle peut s’écrire comme la somme
de celle d’un gaz de Fermi d’électrons et de celle des nucléons. Par ailleurs, tout élément
de matière peut raisonnablement être considéré comme électriquement neutre, et l’énergie
par nucléon ne dépend alors que de la densité baryonique nb et de la fraction protonique
xp qui est égale à la fraction électronique. Des calculs complexes d’interaction forte à
N-corps prenant en compte des termes à deux et trois corps réalistes ont montré [voir
Wiringa et al. (1988) et Akmal et al. (1998)] qu’avec une très bonne approximation,
cette énergie peut être traitée, dans tout le domaine 0 ≤ xp ≤ 1, comme quadratique
en (1 − 2 xp) = (nn − np) / nb, paramètre d’écart à la symétrie. Ainsi, on peut écrire
l’énergie par nucléon sous la forme
EN[nb, xp] = Eo nb, 1
+ S[nb] (1 − 2 xp)
2
2 , (2.34)
où l’énergie de masse a été exclue et doit être ajoutée pour des calculs de configurations
globales.
Eo nb, 1
est l’énergie par baryon de la matière symétrique. Comme elle n’intervient
2
pas dans le calcul de la fraction protonique, elle ne sera pas décrite plus en détails dans
ce chapitre. Néanmoins, une équation d’état analytique paramétrée proposée par Prakash
1 On utilise l’énergie par baryon et non celle par particule car le nombre de particules n’est pas conservé
alors que le nombre baryonique l’est.

2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 55
et al. (1988) sera utilisée dans une étude des modes inertiels d’une étoile à neutrons
relativiste avec équation d’état non-barotrope et assez réaliste (voir la section 5.2). S[nb]
est quant à lui dit terme d’énergie de symétrie (∼ 30 MeV à la densité de saturation)
et sa valeur est capitale pour la composition de la matière et donc pour l’existence des
réactions Durca. En effet, imposer l’équilibre bêta et la neutralité électrique revient à
minimiser (par rapport à xp, nb étant fixé) la fonction
E[nb, xp] = EN[nb, xp] + Ee[nb, xp], (2.35)
où le second terme est la contribution des électrons et vaut (gaz de Fermi ultrarelativiste
à température nulle)
Ee[nb, xp] = 3
4 b u1/3 x 4/3
e
(2.36)
avec les définitions u = nb / n0 et b = c (3 π 2 n0) 1/3 . xe est bien évidemment la fraction
électronique égale à la fraction protonique. Dans ces conditions, on aboutit à l’équation
où y 3 = xp et α = (b u 1/3 )/(8 S[nb]).
y 3 + α y − 1
2
= 0, (2.37)
Cette équation se résout analytiquement par la méthode de Cardan et l’on peut montrer
(α étant un réel strictement positif) qu’elle admet une seule racine réelle
xβ[u] = 1
2 − α 2−2/3 (Γ + 1) 1/3 − (Γ − 1) 1/3
avec Γ = 1 + 16
27 α3 .
(2.38)
Il est alors facile de vérifier que la solution est une fonction croissante de S[nb] et qu’à
la limite où S[nb] tend vers +∞, la solution tend vers une matière symétrique xβ = 1/2.
Pour nb ∼ n0, les réactions Durca ne sont pas possibles (voir les valeurs données
précédemment), mais pour des densités supérieures (plusieurs fois n0), la situation reste
indéterminée. En effet, dans un modèle où chacune des particules est un gaz parfait de
Fermi, les processus Durca sont toujours interdits [Shapiro & Teukolsky (1983)]. Mais
avec des équations d’état plus réalistes, Lattimer et al. (1991) ont montré que la question
n’était pas tranchée, l’énergie de symétrie étant assez mal connue et suffisamment élevée
pour certains modèles. Finalement, on note également que l’inclusion de muons (comme
un gaz de Fermi parfait et non relativiste) dans la composition de la matière autorise des
fractions protoniques à l’équilibre légèrement plus élevées, mais négliger leur présence est
une très bonne approximation pour des étoiles qui ne sont pas trop massives. La conclusion
provisoire semble donc que dans le cœur des étoiles très massives, où la densité peut
atteindre des valeurs importantes, des réactions Durca conduisant à un refroidissement
rapide sont envisageables. En revanche, les étoiles moins massives doivent se refroidir par

56 Etoiles à neutrons
un autre mécanisme.
Lorsque les réactions Durca sont interdites, les processus dominants pour le refroidissement
par émission de neutrinos sont les processus dits Urca modifiés (ou toujours
selon K.P. Levenfish, Murca). La seule différence entre les réactions Durca et Murca est
la présence d’un nucléon spectateur 1 . On a ainsi
n + N → N + p + e − + ¯νe N + p + e − → n + νe + N. (2.39)
Si ce nucléon N est un neutron, on parle de branche neutronique de la réaction, et si
c’est un proton de la branche protonique. Les réactions Murca ont été introduites dans
des calculs de refroidissement de pulsars par Chiu & Salpeter (1964), puis analysées plus
précisément par Friman & Maxwell (1979) et Maxwell (1987), mais ces derniers articles
avaient négligé, à tort, la branche protonique 2 . L’importance de celle-ci (dont l’émissivité
est comparable à celle de la branche neutronique dans une étoile à neutrons) fut rétablie
par Yakovlev & Levenfish (1995). Les estimations actuelles (et toujours incertaines) de
l’émissivité prévoient des valeurs telles que Q M ∼ 10 20 T 8 9 erg cm −3 s −1 .
Une fois calculées les émissivités et la capacité calorifique, un premier exemple simple
d’évolution thermique est possible. Ce calcul peut même être fait analytiquement pour
une étoile isotherme et homogène. La conclusion évidente est que si les processus Durca
sont autorisés, l’étoile se refroidira en un temps beaucoup plus court que s’ils sont interdits
et les réactions Murca dominantes. Ce point est illustré sur la figure 2.9. Celle-ci présente
le refroidissement de pulsars de température initiale 2 × 10 9 K sur une durée de 10 4
années. Plutôt que de parler de l’évolution thermique d’une “étoile”, il serait plus juste
de parler de celle d’un élément de matière nucléaire isotherme et de densité nb = 2 n0
ou nb = n0. Dans le premier cas, cet élément a une énergie de symétrie de l’ordre de 48
MeV (dont la valeur vient d’une formule semi-empirique, S[u] = 30 u 0.7 MeV, proposée
par Page & Applegate (1992) près de la densité de saturation) et les processus Durca sont
autorisés. Dans le deuxième cas, la densité est égale à la densité de saturation et l’élément
se refroidit par réactions Murca uniquement. Dans certains calculs ont été introduits des
muons. Leur présence est prise en compte en supposant un équilibre du type µe = µµ
entre les potentiels chimiques dès que celui des électrons devient supérieur ou égal à la
1 Il est important de noter que si la matière est composée d’autres types de particules, pions ou hypérons
par exemple, celles-ci peuvent aisément jouer le rôle de spectateurs. Cela procure aux nucléons un espace
des phases disponible bien plus important et de telles réactions sont donc généralement associées avec
d’assez fortes émissivités. Cependant, l’existence de particules “exotiques” au sein des étoiles à neutrons
n’est possible qu’à de très hautes densités et dépend très fortement de l’équation d’état. Ces réactions
sont donc négligeables en première approximation. Par ailleurs, on remarque de plus que l’estimation de
l’émissivité par Murca est plus complexe que celle de l’émissivité par Durca car l’amplitude de probabilité
à calculer vient d’un graphe de Feynman qui, à l’ordre le plus bas, fait intervenir deux vertex dont l’un
est associé à l’interaction forte bien moins connue que l’interaction faible. Voir Yakovlev et al. (2001b).
2 Selon l’équation d’état, la branche protonique peut, elle aussi, admettre, comme les réactions Durca,
une densité minimale en-dessous de laquelle elle n’est plus autorisée cinétiquement. Cependant, cette
densité seuil est tellement faible que son existence n’est pas vraiment pertinente.

2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 57
masse au repos des muons mµ ∼ 105.65 MeV. Cela correspond à un équilibre dans des
réactions du type
µ − + ¯νµ ⇄ e − + ¯νe et µ − → e − + ¯νe + νµ , (2.40)
où les neutrinos ont un potentiel chimique nul 1 . Un calcul de composition dans ce cadre
(en utilisant également l’équilibre bêta usuel et la neutralité électrique de la matière) permet
alors d’arriver à une équation du quatrième ordre qu’il est plus simple de résoudre
numériquement. Quoiqu’il en soit, on voit sur cette figure que l’influence des muons à des
densités assez faibles est négligeable 2 , mais que le refroidissement par Durca et celui par
Murca sont, a priori, très différents. Cependant, puisque les nucléons sont très probablement
superfluides dans une étoile à neutrons, l’influence de leur éventuelle superfluidité
est à prendre en compte également.
2.3.3 Refroidissement en présence de superfluidité
A priori, la possibilité pour les nucléons de devenir superfluides dans une étoile à
neutrons ne peut pas être considérée comme une simple correction de la physique sans
superfluidité. En effet, les superfluides exhibent plusieurs caractéristiques propres aux objets
quantiques et leur nature même est altérée, puisque les excitations élémentaires du
champ ne sont plus les mêmes (voir section 2.2.4). Cependant, lorsque l’on calcule des
grandeurs qui, même si elles sont microphysiques, sont obtenues par une moyenne sur
des états de spin ou d’isospin initiaux ou finaux (comme des émissivités par exemple), on
peut montrer - tout au moins dans le cas de la matière npe des étoiles à neutrons - que
les taux de réactions sont inchangés même si les amplitudes de probabilités le sont. On
peut donc considérer que le “seul” effet de la superfluidité sur de telles grandeurs est de
faire apparaître un gap dans la relation de dispersion [pour une discussion plus détaillée,
voir Yakovlev et al. (2001b)] 3 .
Ainsi, lorsque l’on s’intéresse à l’influence de la superfluidité des nucléons sur l’évolution
thermique des pulsars, il est nécessaire de prendre en compte cette dernière autant dans
les émissivités que dans les capacités calorifiques, mais uniquement par l’intermédiaire de
la relation de dispersion modifiée (2.13). En effet, du point de vue de la microphysique,
une réaction type Urca ou un transport de chaleur dans un liquide de Fermi ne sont que
des interactions entre particules dont les estimations macroscopiques passent par des calculs
d’intégrales du type de celle présentée dans l’équation (2.27). Dans l’exemple assez
1 Toute autre réaction équivalente obtenue en remplaçant les neutrinos par des anti-neutrinos (et
réciproquement) est évidemment valable, si elle est énergétiquement autorisée et conserve les charges
leptoniques.
2 même si les échelles adoptées sont logarithmiques. Les muons contribuent à peine plus que les électrons
à la capacité calorifique et correspondent à des émissivités plus faibles, d’où le refroidissemnt plus lent
en leur présence.
3 Ceci n’est vrai que dans la limite où l’on néglige une description précise de la dynamique pour ne
s’intéresser qu’à des évolutions supposées stationnaires et moyennées du point de vue mécanique.

58 Etoiles à neutrons
simple de l’estimation de la capacité calorifique, il est aisé d’illustrer la méthode générale
pour intégrer l’existence de la superfluidité dans ce type de calculs. Ainsi, dès que la
température est inférieure à la valeur critique Tc (voir section 2.2.4), il suffit de remplacer
dans l’équation (2.27) le terme ε − µ qui est égal “en temps normal” à η = vF (p−pF ) = kB x
(voir section 2.2.4) par kB z = sign[η] δ 2 + η 2 , où δ est le gap découlant de la superfluidité
[voir les notations usuelles définies dans l’équation (2.15) et Levenfish & Yakovlev
(1994a)].
Avant même tout calcul, on comprend que la présence de ce gap dans la relation de
dispersion (et pour des impulsions qui sont celles des principaux propagateurs d’informations
dans les liquides de Fermi) va avoir un incidence assez conséquente. Ainsi, on peut
s’attendre à une réduction à la fois de la capacité calorifique, mais aussi des émissivités 1 .
Dans toute une série d’articles, Yakovlev et Levenfish [voir Yakovlev et al. (1999) pour
plus de références] ont évalué, à l’aide de formules analytiques asymptotiques et de calculs
numériques, l’effet de la superfluidité des protons et des neutrons (simultanées ou non et
selon les types présentés dans la section 2.2.4) sur les capacités calorifiques, les émissivités
Durca et Murca. Leurs résultats sont rassemblés dans des formules paramétrées du type
de celles des équations (2.20). Une fois de telles formules obtenues, il est assez facile de se
convaincre de l’importance de la superfluidité pour le refroidissement. On pourra se reporter
aux différents graphiques présentés dans Kaminker et al. (2001) ou, à titre d’exemple
très simple, à la figure 2.10. Dans cette dernière, plusieurs calculs “naïfs” sont illustrés.
Tous correspondent à des refroidissements de morceaux de pulsars de température initiale
2 × 10 9 K sur une durée de 10 4 années. Les conditions sont assez semblables à celles de la
figure 2.9 mais cette fois l’effet de la superfluidité est mis en avant. Ainsi, à une exception
près qui rappelle un cas typique de refroidissement par réaction Murca sans superfluidité,
toutes les courbes correspondent à un élément de matière isotherme et de densité
nb = 2 n0. Cet élément se refroidit par processus Durca, et les courbes qui correspondent
à des calculs où l’existence d’une température critique a été supposée se différencient très
facilement. Il est même simple dans ce modèle naïf de trouver la valeur de la température
critique puisque le comportement change soudainement et de manière flagrante, comme
on le voit sur les deux exemples avec température critique de 10 8 et 10 9 K. On note en
revanche que dans ce calcul très naïf, le rôle des muons reste du second ordre, alors que
récemment, Bejger et al. (2002) ont montré que pour des étoiles de masses intermédiaires
(dont Vela et Geminga pourraient faire partie), dans lesquelles les processus Durca et une
faible superfluidité des protons sont autorisés, leur présence se révèle significative.
1 On peut néanmoins remarquer que dans un modèle précis et détaillé, tel celui de Yakovlev et al.
(2001b), il faut aussi introduire des processus d’émission de neutrinos propres aux superfluides comme la
désintégration de paires de Cooper en deux quasi-nucléons et une paire neutrino-anti-neutrino. De telles
réactions sont une source supplémentaire de neutrinos, mais leurs contributions restent très faibles.

Log 10 (T/10 9 K)
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
2.3 Principes de l’évolution d’un pulsar 59
Exemples simples de refroidissement par processus Durca ou Murca
(modèle isotherme avec T 0 = 2.10 9 K et S(u) = 30 u 0.7 )
matière npe, n = 2 n 0 (Durca)
matière npeµ, n = 2 n 0 (Durca)
npe, n = n 0 (Murca)
npeµ, n = n 0 (Murca)
-2 0 2 4
Log 10 (t /1 an)
Figure 2.9 – Evolution thermique d’un morceau d’étoile à neutrons isotherme de
température initiale 2 × 10 9 K par processus Durca ou Murca. Des muons sont inclus
pour certains calculs mais leur influence est faible. Voir texte.
Log 10 (T/10 9 K)
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
Exemples simples de refroidissement par processus Durca avec ou sans superfluidité
(modèle isotherme avec T 0 = 2.10 9 K, n = 2 n 0 et S(u) = 30 u 0.7 )
matière npe
matière npeµ
npe avec n superfluides (cas A) et T c = 10 8 K
npe avec n superfluides (cas A) et T c = 10 9 K
npeµ avec n superfluides (cas A) et T c = 10 8 K
npeµ avec n superfluides (cas A) et T c = 10 9 K
npe avec n = n 0 (Murca)
-2 0 2 4
Log 10 (t /1 an)
Figure 2.10 – Evolution thermique d’un morceau d’étoile à neutrons isotherme de
température initiale 2 × 10 9 K dans laquelle les processus Durca sont autorisés. Des
muons et de la superfluidité ont été introduits pour certains calculs. Néanmoins, avec
l’échelle adoptée, on distingue à peine les courbes avec et sans muons (croix et cercles
superposés par exemple) alors que la superfluidité se traduit par un effet dramatique. Voir
texte pour plus de détails.

60 Etoiles à neutrons
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en
préparation)
2.4.1 Idées générales
La collaboration entreprise avec Pawe̷l Haensel repose sur une idée de Reisenegger
(1995, 1997). Le principe est d’essayer de regarder l’influence de la superfluidité des
nucléons dans une évolution qui soit à la fois thermique et cinétique. En effet, dans la
description rapide qui a été faite du ralentissement d’un pulsar, un point assez important
a été négligé. Il s’agit de la déformation de l’étoile provoquée par la force centrifuge. Or,
lorsque l’étoile ralentit, cette force diminue et la forme tend à redevenir sphérique. Mais
cette “anti-déformation” de l’étoile s’accompagne, pour un élément de matière nucléaire,
d’un changement des conditions extérieures. Or, la section 2.3.2 a montré que l’existence
ou non de certains mécanismes de refroidissement (typiquement les réactions Durca)
dépendait fortement des conditions extérieures. Ainsi, il apparaît que les temps de retour
à l’équilibre bêta pour une perturbation δµ = µn − µp − µe telle que δµ ≪ µi et δµ ≪ T
sont environ τMurca ∼ (1mois)/T9 6 et τDurca ∼ (20s)/T9 4 [voir Haensel (1992) et Reisenegger
(1995)]. Mais ces estimations, qui peuvent déjà avoir un impact non négligeable
sur l’évolution d’un pulsar, n’ont pas été faites en intégrant l’existence du gap provenant
de la superfluidité. Or le gap dans les énergies, de la même façon qu’il ralentit le taux de
réaction à l’équilibre, peut très bien geler la matière dans une composition hors-équilibre
bêta.
Reisenegger a été le premier [selon toute apparence, voir Reisenegger (1995)] à chercher
à discuter quantitativement le couplage entre le ralentissement et le refroidissement
d’un pulsar. Comme il l’explique dans son article, le ralentissement d’un pulsar permet
la transformation d’énergie cinétique de rotation en énergie thermique, ce qui peut se
traduire par un réchauffement du pulsar. Plusieurs mécanismes sont possibles pour cela.
Il cite, à titres d’exemples, la dissipation accompagnant une rotation différentielle initiale,
l’existence d’une écorce solide se déformant par à-coups et tout simplement un
réchauffement adiabatique par compression de la matière. Néanmoins, la déformation de
l’étoile qui s’accompagne d’un écart à l’équilibre chimique est probablement l’effet le plus
important. Pour vérifier son ampleur, il proposa un modèle assez simple dans lequel les
évolutions temporelles thermique et chimique sont couplées. Il montra ainsi que pour des
valeurs assez faibles du champ magnétique (B 10 11 G), l’effet, sur l’évolution d’un
pulsar, d’un écart à l’équilibre bêta n’est pas négligeable.
Dans un article suivant [Reisenegger (1997)], il décrivit de manière qualitative les
changements que pouvait apporter l’existence de gaps dans les relations de dispersion.
Sa conclusion, qui se comprend aisément, est que si l’écart à l’équilibre bêta n’est pas
suffisamment grand par rapport au(x) gap(s) existant(s), des réactions pour revenir à
un équilibre chimique sont prohibées car elles supposeraient que les particules créées atteignent
des états d’énergie interdits par le (ou les) gap(s). Ainsi, la matière resterait

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 61
de manière prolongée hors équilibre bêta. Ce phénomène pouvant avoir de fortes implications
sur l’évolution thermique d’un pulsar, il faut évidemment chercher à quantifier
son effet afin de le prendre en compte dans des modèles d’évolution assez réalistes
comme celui de Yakovlev et al. (1999). Par ailleurs, un calcul assez soigné est nécessaire
car tous les processus cités précédemment qui font intervenir la superfluidité, sont en
fait moins “abrupts” que ce qui a été sous-entendu jusqu’à présent. En effet, la plupart
de ces mécanismes reposent sur la présence de fermions dont la fonction de distribution
à température non nulle n’est pas une fonction de Heaviside mais une fonction à
décroissance exponentielle. Cette différence traduit la possibilité de fluctuations thermiques
aux conséquences “évanescentes” qui peuvent se révéler primordiales. L’ambition
de la collaboration entreprise avec P. Haensel est donc de quantifier l’effet de la superfluidité
sur les temps de retour à l’équilibre bêta via les divers processus Urca, afin d’aboutir
à un modèle d’évolution de pulsar prenant en compte ces phénomènes. Néanmoins, un tel
travail nécessite plusieurs calculs préliminaires qui vont être détaillés par la suite et font
l’objet de l’article en préparation Villain & Haensel (2003).
2.4.2 Processus hors équilibre bêta
Processus Durca
Avant d’arriver aux calculs avec superfluidité, il est utile de s’attarder un peu sur les
calculs de temps de relaxation sans superfluidité. Ces calculs, faits par Haensel (1992) et
Reisenegger (1995), permettent de définir les formules et notations qui reviendront par la
suite. Le cas le plus simple à considérer est celui où les processus Durca sont autorisés.
Mais lorsque l’équilibre bêta n’est pas atteint, il convient de différencier les deux réactions
intervenant dans le processus (2.30), puisqu’elles n’ont plus la même émissivité. On pose
alors
Dn : n → p + e − + ¯νe (2.41)
Dp : p + e − → n + νe.
Une fois encore, puisque l’on suppose le milieu transparent aux neutrinos, on néglige
des réactions équivalentes obtenues en considérant les neutrinos comme des particules
“sources” situées dans le membre de gauche. Les taux d’émission (nombres de particules
émises - ν ou ¯ν - par cm3 en une seconde) [voir Haensel (1992)] sont alors (en unités
= c = kB = 1)
ΓDn =
dpe
(2π) 3
dpp
(2π) 3
dpn
(2π) 3
dpν
(2π) 3 (1 − fe) (1 − fp) fn (2π) 4 δ[Ef − Ei] δ[ Pf − Pi] |Mif| 2 .
(2.42)
Dans cette équation, les distributions de Dirac δ assurent l’égalité entre les énergies
totales initiale Ei et finale Ef, ainsi qu’entre les impulsions totales initiale Pi et finale Pf.
Par ailleurs, |Mif| 2 est le carré de l’amplitude de probabilité de la réaction, sommé sur les

62 Etoiles à neutrons
spins initiaux et moyenné sur les spins finaux. Les fi désignent quant à eux les fonctions
de distribution de Fermi-Dirac évaluées pour la particule i d’impulsion pi et traduisant le
fait que la réaction ne se fait pas dans le vide. On a de même
ΓDp =
dpe
(2π) 3
dpp
(2π) 3
dpn
(2π) 3
dpν
(2π) 3 (1 − fn) fp fe (2π) 4 δ[Ef − Ei] δ[ Pf − Pi] |Mif| 2 . (2.43)
La quantité physique pertinente à déterminer est celle qui donne le temps de retour
à l’équilibre, ∆ΓD = ΓDn − ΓDp. Pour “pousser un peu plus” son calcul de manière analytique,
il existe une approximation usuelle dans la physique des particules fortement
dégénérées. Cette approximation de l’espace des phases [voir Shapiro & Teukolsky
(1983)] consiste à remplacer dans les intégrales toutes les fonctions régulières par leurs
valeurs sur la surface de Fermi pi = pFi . Si l’on utilise ensuite le fait que les neutrinos sont
thermiques pour négliger leurs impulsions dans la loi de conservation et si l’on introduit
les variables usuelles xi (voir les définitions générales dans l’équation (2.15), les neutrinos
ayant un potentiel chimique nul) ainsi que ξ = δµ/T , on peut réécrire
avec
ID[ξ] =
∞
0
∆ΓD[ξ] = ∆ΓD0 ID[ξ] (2.44)
dxν x 2 ν
+∞
−∞
dxn dxp dxe
× {fn (1 − fp) (1 − fe) δ[xn − xp − xe − xν + ξ]
−fp fe (1 − fn) δ[xn + xν − xp − xe + ξ]}
(2.45)
où ∆ΓD0 provient de la physique nucléaire et est telle que le résultat physique vaut typiquement
(20s)/T9 4 pour ξ ≪ 1 [Yakovlev et al. (1999)].
Puisque fi = fF [xi] = (1 + exi −1 ) , l’utilisation de fF [−xi] = 1 − fF [xi] et de résultats
bien connus sur les intégrales de Fermi [voir par exemple Shapiro & Teukolsky (1983)],
permet d’écrire ID sous la forme
ID[ξ] =
∞
0
dxν x 2 ν {JD[xν − ξ] − JD[xν + ξ]} , (2.46)
où JD[x] = (x2 + π2 )/2 fF [x]. Ce calcul peut être fait analytiquement [voir Haensel (1992)
et Reisenegger (1995)] et donne
4 17 10 ξ2 ξ4
ID[ξ] = ξ π 1 + +
60 17 π2 17 π4
. (2.47)
Processus Murca
Comme cela a déjà été expliqué dans la section 2.3, pour des raisons cinétiques, les
processus Durca ne sont pas toujours possibles dans les cœurs d’étoiles à neutrons, et lorsqu’ils
ne le sont pas, les processus Murca sont les plus importants pour le refroidissement.

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 63
De la même façon que pour les réactions Durca, la possibilité que la matière soit hors
équilibre bêta amène à considérer deux fois plus de réactions qu’auparavant (voir section
2.3). On définit ainsi dans la matière npe
M N n : n + N → p + N + e − + ¯νe (2.48)
M N p : p + N + e − → n + N + νe
où N est un nucléon dont la nature différencie la branche protonique de la branche neutronique.
Lorsqu’aucun des nucléons n’est superfluide, la distinction entre les deux branches
n’est plus fondamentale (puisque l’on ne calcule pas les valeurs physiques des taux mais
des influences relatives) et des calculs très similaires à ceux effectués précédemment pour
les réactions Durca permettent d’écrire
avec
IM[ξ] =
∞
0
∆ΓM[ξ] = ∆ΓM0 IM[ξ] (2.49)
dxν x 2 ν
+∞
−∞
dxn dxp dxedxNi dxNf
{fn fNi (1 − fp) (1 − fe) (1 − fNf )
δ[xn + xNi − xp − xe − xNf − xν + ξ] (2.50)
−fp fe fNi (1 − fn) (1 − fNf )
δ[xn + xNf + xν − xp − xNi − xe + ξ]}.
Dans cette expression, xNi et xNf sont respectivement les “variables x” définies usuellement
pour les particules spectatrices initiale et finale. ∆ΓM0 est une constante dont la
valeur dépend de la branche considérée et des détails du modèle d’interaction forte choisi
[le résultat physique final pour ξ ≪ 1 est typiquement 1 mois/T9 6 . Voir Yakovlev et al.
(1999)].
où
Cette équation peut également se réécrire sous la forme
IM[ξ] =
∞
0
dxν x 2 ν {JM[xν − ξ] − JM[xν + ξ]} , (2.51)
JM[x] = x4 + 10 π2 x2 + 9 π4 fF [x].
24
Finalement, un calcul analytique donne
(2.52)
367 ξ π6 189 ξ2
IM[ξ] = 1 + +
1512 367 π2 21 ξ4
+
367 π4 3 ξ6
1835 π6
. (2.53)

64 Etoiles à neutrons
2.4.3 Processus hors équilibre bêta avec superfluidité
Processus Durca
Comme cela a déjà été expliqué avec l’exemple de la capacité calorifique dans la section
précédente, la prise en compte de la superfluidité peut se limiter dans ce contexte de
travail à remplacer, lorsque la température est inférieure à la température critique, les
xi par des zi dans lesquelles apparaît le gap 1 . Dans le cas le plus général, les neutrons
tout autant que les protons peuvent être superfluides, et la substitution se fait donc
sur les deux variables xp et xn. Cependant, même s’il existe plusieurs cas possibles de
superfluidité à considérer (voir tableau 2.2), on sait que la superfluidité des protons ne
peut être qu’isotrope (voir section 2.2.4). Par ailleurs, du fait des incertitudes provenant
de la physique nucléaire, il est plus “prudent” de chercher à calculer non pas des grandeurs
en présence de superfluidité, mais le rapport entre les valeurs de ces grandeurs lorsque les
liquides de Fermi sont superfluides et lorsqu’ils sont normaux. Un tel rapport doit donc
être égal à 1 dès que la température dépasse la (les) température(s) critique(s) et donne
dans la formulation la plus générale pour les réactions Durca superfluides et hors équilibre
bêta
où
∆Γ i D = ∆ΓD0 I i D[ξ, vn, vp] = ∆ΓD R i D[ξ, vn, vp] , (2.54)
R i D[ξ, vn, vp] = Ii D [ξ, vn, vp]
ID[ξ]
(2.55)
est la quantité qui sera calculée et les vj (j = n, p) sont les amplitudes dédimensionnées
des gaps. Dans cette expression, i indique le type de la superfluidité (A, B ou C) et aussi
quels sont les nucléons superfluides (n, p ou les deux). Pour une température plus grande
que les deux températures critiques, on a
R i D[ξ, vn, vp] = R i D[ξ, 0, 0] = 1 (2.56)
et pour T plus petite que l’une, au moins, de ces températures
R i D[ξ, vn, vp] < 1. (2.57)
Lorsque l’on suppose de plus que seul le gap des neutrons peut être anisotrope, on
1 Sans entrer dans les détails, on peut souligner que dans les calculs avec ou sans superfluidité, les
carrés des amplitudes de probabilité sont facilement extraits des intégrales grâce à l’intégration angulaire
sur la direction du neutrino. En effet, l’approximation de l’espace des phases et la sommation sur tous
les canaux de réaction possibles font que cette intégration angulaire revient à moyenner la valeur de
l’élément de matrice. Par ailleurs, dans les calculs présentés ici, ce sont ces deux effets, additionnés au
fait que la superfluidité ne touche pas au courant leptonique mais uniquement au courant hadronique,
qui permettent, en première approximation, “d’oublier” la superfluidité pour ne retenir que l’existence
du gap. Voir par exemple Yakovlev et al. (2001b).

aboutit à
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 65
R i D[ξ, vn, vp] =
=
1 dΩ
ID[ξ] 4π HiD[ξ, yn, yp]
1
ID[ξ]
π/2
dϑ sin[ϑ] H i D[ξ, yn, yp] , (2.58)
0
où yp ≡ vp et où le seul élément d’intégration angulaire restant correspond à la direction
de l’impulsion des neutrons. En écrivant cette équation sous une forme semblable à celle
de l’équation (2.45), on trouve
H i D[ξ, yn, yp] =
∞
0
dxν x 2 ν
+∞
−∞
dxn dxp dxe
×{fn (1 − fp) (1 − fe) δ[zn − zp − xe − xν + ξ]
−fp fe (1 − fn) δ[zn + xν − zp − xe + ξ]}
avec fp = fF [zp] = (1 + e zp ) −1 et une définition similaire pour fn.
(2.59)
L’intégration sur les électrons peut facilement être faite grâce à la distribution de Dirac
et conduit à
H i D[ξ, yn, yp] =
∞
0
dxν x 2 ν
+∞
−∞
dxn dxp
×fn fp {fF [xν − zn − zp − ξ] − fF [xν − zn − zp + ξ]}.
(2.60)
Cette expression est la plus simple qui puisse (semble-t-il) être obtenue si les deux
types de nucléons sont superfluides. Cependant, si l’on suppose de plus qu’une seule des
deux espèces est superfluide (neutrons dans l’enveloppe interne par exemple, voir la figure
2.7), ou que l’un des deux gaps est bien plus grand que l’autre et joue le rôle principal, et
si l’on utilise une formule usuelle dans les calculs d’intégrales de Fermi [voir par exemple
Levenfish & Yakovlev (1993)]
on peut écrire
+∞
−∞
dx fF [x] fF [y − x] =
H n [ξ, yn, 0] =
∞
0
y
ey = G[y], (2.61)
− 1
dxν x 2 ν
+∞
0
dxn
×{fF [zn] G[xν − ξ − zn] + fF [−zn] G[xν − ξ + zn]
− fF [zn] G[xν + ξ − zn] − fF [−zn] G[xν + ξ + zn]}.
(2.62)
Cette formule est celle qui est retenue pour l’évaluation numérique. On peut toutefois
remarquer que selon le signe de ξ (qui signifie une surabondance ou un déficit de neutrons)
les deux premiers termes ou les deux derniers sont dominants. Cela traduit le fait que les
réactions hors équilibre (2.41) ont des émissivité inégales mais qui vont vers un retour à
l’équilibre bêta lorsque celui-ci est perturbé.

66 Etoiles à neutrons
Processus Murca
Le cas des processus Murca hors équilibre avec superfluidité est bien plus riche et complexe.
En effet, pour chacun des types de superfluidité possibles, il existe deux branches
à considérer. Par ailleurs, du fait de la présence d’un plus grand nombre de nucléons, les
intégrales à calculer sont d’ordres supérieurs.
Quoiqu’il en soit, le principe de la méthode reste le même que dans le cas des réactions
Durca. Ainsi, l’équation (2.49) est remplacée par
et
avec
∆Γ i Mp = ∆ΓM0 I i Mp [ξ, vn, vp] = ∆ΓMp R i Mj [ξ, vn, vp] (2.63)
∆Γ i Mn = ∆ΓM0 I i Mn [ξ, vn, vp] = ∆ΓMn R i Mj [ξ, vn, vp] (2.64)
R i Mj [ξ, vn, vp] = Ii Mj [ξ, vn, vp]
IM[ξ]
(2.65)
et j indice désignant la branche (n ou p). Comme pour les réactions Durca, si T est plus
grande que les deux températures critiques, on a Ri Mj [ξ, vn, vp] = Ri [ξ, 0, 0] = 1 et si T
Mj
est plus petite que l’une ou l’autre de ces températures Ri Mj [ξ, vn, vp] < 1.
On obtient alors
I i Mj [ξ, vn, vp] = 4π
× δ
5
j=1
pj
AM
δ
5
dΩj
j=1
xν − ξ −
∞
5
j=1
0
zj
dxν x 2 ν
− δ
5
j=1
+∞
−∞
xν + ξ −
dxj fj
5
j=1
zj
,
(2.66)
où 5
j=1 dΩj est un élément global d’intégration angulaire et AM un terme angulaire qui
normalise le résultat. De plus, une notation condensée a été introduite pour désigner
les particules dans leur ensemble (exceptés les neutrinos). Ainsi, j appartenant à [1 .. 4]
désigne respectivement les nucléons n, p, Ni, Nf et j = 5 est l’électron. Les variables
usuelles zj (qui dépendent des xj et des gaps) ont aussi été utilisées pour tous les nucléons
et les électrons, avec la convention que pour un nucléon non superfluide ou un électron
zj = xj. Par ailleurs, fj est par définition égal à (e zj +1) −1 et le facteur 4π devant l’intégrale
provient de l’intégration angulaire sur l’impulsion des neutrinos.
Il est assez difficile de “pousser plus avant” le calcul analytique dans le cas général
puisque les gaps dépendent, a priori, des différentes directions angulaires. De même, un
calcul numérique sans aucune autre approximation peut lui-même être très long et difficile,
puisque l’intégrale (2.66) est pour le moment du 16 ème ordre (6 variables énergétiques + 10
variables angulaires comme il n’existe plus la moindre symétrie de rotation). Cependant,

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 67
dans deux cas plus simples, des étapes analytiques supplémentaires peuvent être franchies
et mènent à des intégrales au plus d’ordre 3. Ce sont les calculs pour
- la branche neutronique avec superfluidité isotrope des protons (gap A) pour laquelle
toutes les intégrales angulaires peuvent être effectuées [voir Shapiro & Teukolsky
(1983)] ;
- la branche protonique avec une superfluidité quelconque des neutrons.
avec
et où
Dans le premier cas, la symétrie sphérique permet de se ramener à l’intégrale
R pA
Mn [ξ, 0, vp] = 1
g[ξ]
H[x] =
g[ξ] = ξ
+∞
0
367 π6
252
est la fonction de normalisation.
avec
Dans le deuxième cas, on a
R nX
Mp [ξ, vn, 0] = 1
1
dc
g[ξ] 0
H[x] =
+∞
0
+∞
−∞
dxp fF [zp] (H[zp − ξ] − H[zp + ξ]) (2.67)
ds s 2 s − x 2 2
(s − x) + 4π
exp[s − x] − 1
1 +
+∞
−∞
189 ξ2
367 π
367 π
2 + 21 ξ4
1835 π 6
4 + 3 ξ6
(2.68)
(2.69)
dxn fF [zn] (H[zn − ξ] − H[zn + ξ]) (2.70)
ds s 2 s − x 2 2
(s − x) + 4π
exp[s − x] − 1
(2.71)
et où c = cos[ϑ] apparaît dans la variable yn (et donc dans zn) qui dépend elle-même de
vn.
2.4.4 Résultats numériques et perspectives
Afin de pouvoir rendre compte des valeurs potentiellement observées de ξ (écart à
l’équilibre chimique en unités de température) et vi (gap en unités de température)
dans une étoile à neutrons, il est nécessaire de procéder à des évaluations des différentes
intégrales précédentes dans un vaste domaine du plan (ξ, vi) ou de l’hyperplan (ξ, vn, vp).
Dans un premier temps, les intégrales retenues sont celles pour lesquelles le domaine à
explorer est de dimension 2. Si l’on se limite aux intégrales qui sont au plus triples, cela
correspond donc aux processus Durca avec une seule sorte de nucléons superfluides, et
aux cas particuliers de réactions Murca cités à la fin de la section précédente.

68 Etoiles à neutrons
Algorithmes
Lorsque seuls deux paramètres extérieurs existent (l’écart à l’équilibre ξ et une amplitude
de gap v), on peut estimer les bornes de leurs domaines de variations à l’aide
des résultats obtenus par Reisenegger (1995) sans superfluidité (pour ξ) et des formules
(2.20) obtenues par Levenfish et Yakovlev (pour v). Ainsi, en majorant ces estimations de
manière à assurer qu’une évolution ultérieure reste bien confinée dans le domaine retenu,
on peut juger suffisant de prendre les intervalles ξ ∈ [10 −4 , 10 4 ] et v ∈ [10 −4 , 10 3 ]. Les
variations de ξ et v seront donc paramétrées avec une échelle logarithmique.
Afin de contrôler la validité des résultats obtenus, il est utile de vérifier qu’à la limite où
le gap tend vers 0, le facteur tend vers la valeur 1 1 . Cependant, de tels calculs d’intégrales
pouvant donner de très petits nombres après avoir fait intervenir de grandes valeurs des
paramètres, il n’est pas superflu d’utiliser en parallèle plusieurs méthodes numériques
pour estimer les incertitudes. Ainsi, plusieurs tâches ont été entreprises simultanément
- un “balayage” du domaine ξ ∈ [10 −4 , 10 4 ] v ∈ [10 −4 , 10 3 ] à l’aide d’algorithmes assez
rapides ;
- un contrôle des valeurs précédentes par tests à l’aide d’un algorithme plus lent mais à
très haute précision.
Le calcul rapide a lui-même été fait de plusieurs façons différentes. La première fut
une intégration à l’aide de quadratures gaussiennes. Le principe de ces méthodes est de
ramener le calcul d’une intégrale sur un intervalle [a, b] (fini ou non) à celui d’une somme
finie de termes, et telle que l’on puisse estimer l’erreur commise. L’obtention de cette
somme repose sur la théorie des espaces de Hilbert et utilise les propriétés de certains
polynômes orthogonaux (dont l’espèce à choisir dépend de la nature de l’intervalle [a, b]).
Pour plus de détails, on pourra consulter Krylov (1962). On a ainsi l’approximation
b
f[x] w[x]dx ∼
a
N
f[xj] wj , (2.72)
où les wj sont des poids associés aux points de colocation xj dont les valeurs dépendent
du nombre de points N retenus. On peut par ailleurs montrer que si la fonction f est
un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 N − 1, l’interpolation précédente donne un
résultat exact. Sans entrer trop dans les détails, il faut néanmoins également indiquer que
la fonction w[x] est elle aussi reliée à la nature de l’intervalle. En effet, cette fonction est
la mesure telle qu’il existe une base de polynômes orthogonaux {Pi} vérifiants
b
Pi[x] Pj[x] w[x]dx = δij , (2.73)
a
où δij est le symbole de Kronecker nul si i = j et égal à 1 si i ≡ j.
1 On rappelle que l’on ne calcule pas le temps de retour à l’équilibre directement mais le rapport entre
la valeur de ce temps avec superfluidité et sa valeur lorsque tous les fluides sont normaux.
j=1

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 69
Lorsque l’intervalle [a, b] est [0, +∞[, comme c’est le cas dans les intégrales à calculer
ici, on utilise généralement les polynômes de Laguerre (avec la mesure w[x] = x p exp[−x],
p étant un entier) et la méthode est dite quadrature de Gauss-Laguerre. Néanmoins,
de tels calculs se sont révélés ne pas converger lorsque les paramètres ξ ou v devenaient
trop grands. On a ainsi vérifié que, même pour des gaps tendant vers 0, le résultat ne
convergeait pas vers 1 mais restait inférieur 1 si les valeurs prises par v étaient trop importantes.
On observait d’ailleurs, à ξ infinitésimal fixé, la décroissance de l’intégrale
pour v tendant vers +∞. Ce problème était lié au fait que, pour des points de colocation
très “éloignés”, les valeurs de la fonction en ces points pouvaient être extrêmement
grandes (∼ 10 200 ) alors que les poids devenaient extrêmement petits (∼ 10 −200 ), leurs
produits donnant cependant des contributions non négligeables, mais sur lesquelles les
erreurs numériques étaient croissantes.
La méthode employée ensuite fut donc de chercher, pour ξ et v fixés, des intervalles
bornés tels que l’erreur faite en restreignant l’intégration à ce domaine fini soit
négligeable 2 . Typiquement, une intégrale du genre (2.62) devient
avec
et
H n [ξ, yn, 0] =
bν[ξ,vn]
0
dxν x 2 ν
bn[ξ,vn]
0
dxn
×{fF [zn] G[xν − ξ − zn] + fF [−zn] G[xν − ξ + zn]
− fF [zn] G[xν + ξ − zn] − fF [−zn] G[xν + ξ + zn]}
(2.74)
bν[ξ, vn] = 10 (ξ + vn + 10) (2.75)
bn[ξ, vn] = 10 ξ + √ 2 vn + 10
(2.76)
qui sont des expressions jugées plus que prudentes par une rapide estimation analytique.
Une fois de telles bornes fixées, le calcul se ramène à celui d’une intégrale sur [a, b] borné
et les polynômes à utiliser sont ceux de Legendre ou de Chebyshev. Le choix retenu fut
celui des polynômes de Legendre.
Cette façon de procéder a donné des résultats qui semblaient convenables puisque,
même pour des valeurs de l’écart à l’équilibre chimique adimensionné ξ supérieures à 10 4
avec un gap adimensionné vn tendant vers 0, l’intégrale valait 1 ± 10 −6 pour un temps
de calcul très raisonnable 3 . Néanmoins, dès que l’on s’éloignait du domaine du plan où
la formule asymptotique s’applique, plusieurs contrôles ont été faits. On a ainsi testé la
convergence pour des nombres de points de colocation croissants puis utilisé une autre
méthode de calcul d’intégrales. La seconde méthode employée doit beaucoup à Kseniya
1 même pour de très nombreux points de colocation.
2 Un changement de variables afin de compactifier le domaine d’intégration a également été essayé. Mais
les fonctions à intégrer devenaient alors encore plus “pathologiques” et cette piste a donc été abandonnée.
3 quelques minutes pour plusieurs centaines de points dans le plan (ξ, vn).

70 Etoiles à neutrons
Levenfish. Elle a en effet, sans la moindre hésitation, fait partager les algorithmes utilisés
dans les nombreux articles qu’elle a écrits en collaboration avec D. Yakovlev. Ainsi, après
avoir réduit le domaine d’intégration à une partie principale finie (comme précédemment),
ils utilisent une intégration à base de méthode de Simpson, mais dont la particularité est
d’avoir un pas “logarithmiquement équidistant” 1 . On introduit ainsi dans le calcul de
l’intégrale (2.62), les variables
et
lxν = Log 10
lxn = Log 10
10 xν
bν[ξ, vn]
10 xn
bn[ξ, vn]
qui ont pour intervalles de variations [0, Log 10[11]].
+ 1
+ 1
Tous les calculs effectués l’ont donc été des deux manières :
- par quadrature gaussienne,
- par la méthode “simpson-logarithmée”.
(2.77)
(2.78)
On a ainsi pu vérifier que, jusqu’à présent, pour les intégrales ayant été calculées, les
résultats obtenus dans tout le domaine du plan (ξ, vn) sont concordants avec une précision
bien supérieure à ce qui est nécessaire pour des simulations d’évolution de pulsars, étant
données les nombreuses incertitudes émanant de la physique nucléaire.
Cependant, l’opportunité s’est présentée de discuter avec des chercheurs du Laboratoire
d’Informatique de Paris 6 (LIP6). Certains mathématiciens appliqués issus de ce
laboratoire travaillent en effet sur l’écriture d’algorithmes de calculs d’intégrales qui soient
dynamiquement contrôlés. Ainsi, il y eut plusieurs discussions avec M. Charikhi, J.-M.
Chesneau, F. Jezequel et F. Ricco qui recherchaient des intégrales doubles ou triples “assez
complexes” et d’intérêt pour la physique. Les intégrales (2.62) intervenant dans les
processus Durca leur ont donc été proposées. Leurs travaux précédents sur le contrôle
dynamique sont décrits en détails dans Chesneaux & Jezequel (1998). Le principe est
d’utiliser un nombre de points d’intégration qui est déterminé par des méthodes issues
de l’arithmétique stochastique discrète. Ils ont récemment généralisé ces algorithmes à
des intégrales de dimensions d quelconques [voir Jezequel et al. (2002)] et aux méthodes
par quadratures gaussiennes. Il a résulté des discussions avec ces mathématiciens une
présentation dans une conférence “International Symposium on Scientific Computing,
Computer Arithmetic, and Validated Numerics”, et un compte-rendu commun [Charikhi
et al. (2002)] portant sur les intégrales (2.62) est en préparation. Par ailleurs, cette collaboration
a permis de faire quelques calculs reposant sur leurs méthodes. Ces dernières
permettant d’obtenir des résultats de la précision désirée (bien au-delà des besoins de
la physique donc), elles ont été utilisées pour valider définitivement les valeurs obtenues
précédemment.
1 Cette “astuce” leur a été suggérée par Victor Bezchastnov.

Résultats
2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 71
Les résultats actuels ne seront pas tous décrits en détails ici pour plusieurs raisons :
- le travail principal a été de quadriller, avec une assez grande résolution, le plan (ξ, vn).
Or, il en a résulté de longues tables de nombres qui sont assez peu parlantes mais
encombrantes, bien qu’utiles pour des calculs ultérieurs d’évolution de pulsars. Ces
tables seront donc en accès libre sur le site web de l’Observatoire de Paris-Meudon
lorsque l’article Villain & Haensel (2003) aura été soumis ;
- l’un des buts initiaux était d’essayer d’obtenir des fonctions paramétrées décrivant les
résultats. Cependant, de telles fonctions devant dépendre des deux variables ξ et vn,
ce travail s’est révélé bien plus complexe que ce qu’il aurait été pour une fonction
dépendant d’une seule variable. Ainsi, pour le moment, ce projet est toujours “entre
parenthèses” jusqu’à ce que des discussions avec les gens du LIP6 sur ce sujet aient
lieu ;
- dans le cas de l’intégrale (2.62) (pour laquelle tous les calculs possibles ont été effectués
et validés) ainsi que dans les cas d’intégrales de réactions Murca qui ont été faits,
tous les résultats obtenus avec différents types de superfluidité (A,B ou C) sont
qualitativement très similaires même s’ils différent quantitativement. Ainsi, la description
des trois cas possibles pour la réaction Durca avec un seul type de particule
superfluide et celle d’un seul cas pour les réactions Murca semblent suffisantes dans
ce chapitre.
Le résultat principal qui semble ressortir des calculs faits jusqu’à présent (ceux pour
les cas précédemment cités donc) est que pour des gaps adimensionnés inférieurs à 1
environ, la superfluidité est sans le moindre effet quelque soit l’écart à l’équilibre. Pour
des gaps compris entre 1 et 10, l’effet est visible, et l’allure du gap paraît même être
importante. On voit ainsi sur les figures 2.15, 2.16 et 2.17 que le cas où la superfluidité
est anisotrope de type B est celui où elle a les conséquences les plus notables, alors que
le cas où elle est anisotrope de type C est celui où son rôle est le plus faible. Par ailleurs,
dès que l’amplitude du gap devient suffisamment grande, ce qui gouverne “l’augmentation
exponentielle” du temps de retour à l’équilibre bêta est le rapport entre ξ et vn. Cette
conclusion se remarque sur les graphes tridimensionnels 2.11, 2.12, 2.13 et 2.14 par le
fait que dans le plan (ξ, vi) la première bissectrice est le lieu géométrique du début de
décroissance du facteur calculé. Sur les figures bidimensionnelles, cela se traduit par un
parallélisme entre toutes les portions de droites correspondant à des gaps différents. Cette
particularité suggère la possibilité de trouver une fonction paramétrée dépendant de la
seule variable ξ/vi pour rendre compte des résultats en présence d’un gap suffisamment
important. Mais une telle fonction n’a pas encore été déterminée.
Perspective
Afin de mener jusqu’au bout le projet de l’obtention d’une simulation de l’évolution
cinétique et thermique d’un pulsar en présence de superfluidité, il reste encore plusieurs

72 Etoiles à neutrons
Figure 2.11 – Calcul du facteur de réduction Durca (2.58) avec superfluidité B des
neutrons. Le calcul, effectué par quadrature gaussienne pour la partie angulaire et par
méthode “simpson-logarithmée” pour les variables énergétiques, est représentatif des
résultats obtenus pour tous les types de superfluidité et toutes les réactions si une seule
espèce de nucléons est superfluide. Voir par exemple les figures 2.12, 2.13 et 2.14.
facteurs de réduction à calculer qui sont probablement de première importance mais
aussi parmi les plus difficiles à évaluer. En effet, dans les étoiles de faibles masses, les
réactions Durca ne sont pas autorisées, et les réactions Murca sont primordiales. Or, les
facteurs de réduction correspondants sont ceux qui sont susceptibles d’être les plus faibles,
puisque plusieurs particules superfluides peuvent intervenir dans les intégrales associées.
Ces dernières étant d’ordres assez élevés, l’utilisation d’algorithmes Monte-Carlo sera très
vraisemblablement adoptée. Par ailleurs, la superfluidité des nucléons affecte également
de manière notable l’hydrodynamique [Carter (2001)], et l’aboutissement du travail entrepris
ne pourra se faire qu’avec un traitement adéquat de cette dernière. Toutefois, un
premier traitement simplifié de la partie hydrodynamique pourrait déjà être intéressant
pour mieux comprendre l’influence de la partie microphysique sur le scénario global envisagé.

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 73
Figure 2.12 – Calcul du facteur de réduction Durca (2.58) avec superfluidité C des
neutrons. Le calcul a été effectué par quadrature gaussienne pour les trois variables.
Figure 2.13 – Calcul du facteur de réduction Durca (2.58) avec superfluidité isotrope
des protons. Le calcul a été effectué par quadrature gaussienne.

74 Etoiles à neutrons
Figure 2.14 – Calcul du facteur de réduction Murca branche neutronique (2.67) avec
superfluidité isotrope des protons. Le calcul a été effectué par quadrature gaussienne pour
les trois variables (énergétiques et angulaire). On remarque la similitude avec les facteurs
de réduction obtenus pour les réactions Durca.

2.4 Superfluidité et écarts à l’équilibre (article en préparation) 75
Facteur de réduction
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Facteur de réduction du temps de retour à l’équilibre bêta
Log 10 (gap/T) = -1
Log 10 (gap/T) = -0.5
Log 10 (gap/T) = 0
Log 10 (gap/T) = 0.5
Log 10 (gap/T) = 1
Log 10 (gap/T) = 1.5
Log 10 (gap/T) = 2
Log 10 (gap/T) = 2.5
Log 10 (gap/T) = 3
Réaction Durca avec superfluidité de type B des neutrons
0
-4 -3 -2 -1 0
Log (δµ/T) 10
1 2 3 4
Figure 2.15 – Même calcul que dans la figure 2.11. Cette vue en coupes permet de
mieux voir que lorsque le gap est faible (en unités de température) son effet est presque
négligeable pour tout écart à l’équilibre chimique.
Facteur de réduction
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Facteur de réduction du temps de retour à l’équilibre bêta
Réaction Durca avec superfluidité anisotrope de type C des neutrons
Log 10 (gap/T) = -1
Log 10 (gap/T) = -0.5
Log 10 (gap/T) = 0
Log 10 (gap/T) = 0.5
Log 10 (gap/T) = 1
Log 10 (gap/T) = 1.5
Log 10 (gap/T) = 2
Log 10 (gap/T) = 2.5
Log 10 (gap/T) = 3
0
-4 -3 -2 -1 0
Log (δµ/T) 10
1 2 3 4
Figure 2.16 – Même calcul que dans la figure 2.12. En comparant cette figure et la figure
2.15, on voit que pour des gaps allant jusque 10 T, la superfluidité de type B semble avoir
plus d’effet.

76 Etoiles à neutrons
Facteur de réduction
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Facteur de réduction du temps de retour à l’équilibre bêta
Log 10 (gap/T) = -1
Log 10 (gap/T) = -0.5
Log 10 (gap/T) = 0
Log 10 (gap/T) = 0.5
Log 10 (gap/T) = 1
Log 10 (gap/T) = 1.5
Log 10 (gap/T) = 2
Log 10 (gap/T) = 2.5
Log 10 (gap/T) = 3
Réaction Durca avec superfluidité isotrope des protons
0
-4 -3 -2 -1 0
Log (δµ/T) 10
1 2 3 4
Figure 2.17 – Même calcul que dans la figure 2.13. En comparant cette figure, la figure
2.15 et la figure 2.16, on remarque que, pour une amplitude du gap donnée, l’effet d’une
superfluidité anisotrope B semble plus marqué que celui d’une superfluidité isotrope ou
anisotrope de type C.
Facteur de réduction
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Facteur de réduction du temps de retour à l’équilibre bêta
Réaction Murca branche n avec superfluidité isotrope des protons
Log 10 (gap/T) = -1
Log 10 (gap/T) = -0.5
Log 10 (gap/T) = 0
Log 10 (gap/T) = 0.5
Log 10 (gap/T) = 1
Log 10 (gap/T) = 1.5
Log 10 (gap/T) = 2
Log 10 (gap/T) = 2.5
Log 10 (gap/T) = 3
0
-4 -3 -2 -1 0
Log (δµ/T) 10
1 2 3 4
Figure 2.18 – Même calcul que dans la figure 2.14. L’effet de la superfluidité semble du
même ordre de grandeur que dans le cas des réactions Durca avec superfluidité isotrope.
Voir figure 2.17.

Chapitre 3
Oscillations stellaires et modes
inertiels en relativité générale
Sommaire
3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne . . . . . . . . . . 78
3.2 Oscillations d’une étoile relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3 Modes inertiels et r-modes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Les étoiles à neutrons ont en commun avec les autres objets astrophysiques d’être
très massives et éloignées de nous. Afin de mieux les connaître, on ne peut donc pas
expérimenter directement 1 et il faut se reposer principalement sur l’observation. Parmi
les techniques utilisées pour “reconstruire” l’intérieur des étoiles à partir de données spectrales,
l’étude de leurs oscillations s’est révélée très efficace. Ainsi, l’héliosismologie, qui
s’intéresse aux ondes acoustiques observées à la surface du Soleil, a permis d’accroître de
manière phénoménale notre connaissance de sa structure interne. Cette compréhension
est d’ailleurs parvenue à un tel degré de précision qu’elle contraint fortement la physique
des neutrinos et est l’une des raisons pour lesquelles les chercheurs sont désormais persuadés
que ces derniers sont très probablement massifs. L’espoir actuel est donc que les
détecteurs en construction nous permettent, via l’observation d’ondes gravitationnelles
émises lors d’oscillations d’une étoile à neutrons, d’obtenir à l’avenir des résultats aussi
précieux sur la physique de la matière nucléaire à très hautes densités.
Après une présentation générale des notions principales de l’étude des oscillations d’une
boule fluide auto-gravitante newtonienne, suit une brève description du cas relativiste.
Dans cette situation, l’espace-temps lui-même est susceptible d’osciller, et le problème
1 On peut tout au plus temporairement créer dans des collisionneurs des conditions presque semblables
à celles qui règnent dans leur intérieur, mais pas aux mêmes températures ni aux mêmes abondances
neutroniques.

78 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
devient bien plus complexe. Cet aperçu reste donc incomplet et se limite au contexte
physique choisi pour le travail en collaboration avec Silvano Bonazzola, cadre qui est
discuté plus en détails dans les chapitres 4 et 5. Par ailleurs, tous les modes d’oscillation
d’un objet relativiste n’étant pas pertinents pour l’émission d’ondes gravitationnelles, il
faut savoir identifier ceux qui le sont. Il existe pour cela un critère (suffisant mais non
nécessaire), le critère C.F.S. d’instabilité, qui est décrit par la suite. Finalement, afin de
mettre en évidence le but et l’originalité du travail présenté dans les derniers chapitres,
ce chapitre-ci se conclut par un historique de l’étude des r-modes, ainsi que par un bref
état des lieux des conclusions actuelles.
3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne
3.1.1 Hydrodynamique newtonienne
Un fluide est un système physique qui, à l’échelle adoptée, peut être considéré comme
un milieu continu 1 . Les équations qui régissent son évolution dynamique sont donc la
généralisation continue des équations de Newton 2 qui gouvernent le mouvement de points.
Par conséquent, il existe deux façons naturelles de décrire un fluide. Le premier point de
vue, peut-être le plus intuitif mathématiquement, est le point de vue d’Euler. Il consiste à
décrire le fluide tel qu’il serait perçu par un réseau continu d’observateurs immobiles par
rapport au système de coordonnées utilisé. Ainsi, chacune des grandeurs macroscopiques
caractérisant le fluide, comme la vitesse ou la pression, est un champ dont la dépendance
est paramétrée par les coordonnées (x, y, z, t). Le deuxième point de vue, peut-être plus
intuitif physiquement, est celui de Lagrange. L’ensemble des observateurs considérés est
cette fois mobile par rapport au système de coordonnées, mais immobile par rapport aux
particules fluides.
Pour mieux comprendre la notion de particule fluide ainsi que les liens et les déviations
entre ces deux approches, il est utile de considérer un fluide à un instant donné. Toutes
les propriétés de ce fluide, à cet instant donné, sont comprises dans un ensemble de
champs, fonctions de R 3 dans R n . Par ailleurs, pour qu’une description hydrodynamique
soit possible, ces champs et leur évolution ultérieure doivent être supposés suffisamment
réguliers. Ainsi, toute la matière comprise au voisinage d’un point à l’instant initial sera
toujours dans son voisinage par la suite. On peut donc définir une particule fluide comme
un morceau élémentaire de fluide qui va se déplacer, se déformer, se réchauffer, subir des
forces de contact ou volumiques, etc., mais en gardant une composition et une masse
constantes (sauf si des réactions chimiques ou nucléaires sont autorisées). Les variables
qui paramètrent le fluide vu selon Euler sont donc les coordonnées (x, y, z, t), aussi notées
1 Il existe de nombreux ouvrages traitant de l’hydrodynamique. L’ambition de ce chapitre est uniquement
de rappeler les bases nécessaires à la compréhension de la suite. On pourra par exemple consulter
Guyon et al. (1991) et Rieutord (1997).
2 Il n’est évidemment sujet ici que des fluides non quantiques et non relativistes. L’hydrodynamique
relativiste sera introduite dans la section 3.2.

3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne 79
(r, t), alors que celles qu’utilise le point de vue de Lagrange sont (a1, a2, a3, t) où la donnée
des variables ai caractérise de manière unique une particule fluide. Ce sera souvent, et
toujours lorsqu’elles seront employées ici, les coordonnées spatiales initiales de cette particule.
Le formalisme lagrangien sera assez peu utilisé dans cette thèse, et n’apparaîtra que
dans certains calculs lors de l’étude de perturbations d’un fluide, sujet qui est présenté
dans la section 3.1.2. Il permet cependant d’introduire, dans un cadre non perturbatif, un
opérateur de dérivation temporelle dont l’emploi “allège” les équations tout en mettant
mieux en évidence la signification physique des différents termes.
En effet, dans le formalisme eulérien, il est naturel de calculer des variations temporelles
à l’aide de la simple dérivation partielle par rapport à t en un point fixe de l’espace.
En revanche, dans la description lagrangienne, une dérivation le long des lignes d’univers
du fluide semble plus appropriée. Pour une grandeur quelconque considérée comme une
fonction de (x, y, z, t), cette opération revient donc à dériver par rapport à t la fonction
f qui la représente en considérant que les variables (x, y, z) dépendent de t puisqu’elles
suivent une particule fluide. En notant de la même façon la fonction décrivant la grandeur
choisie en coordonnées eulériennes et celle qui la décrit en coordonnées lagrangiennes, on
introduit alors l’opérateur de dérivation particulaire défini à partir de ces réalisations
pour des variables eulériennes et pour des variables lagrangiennes par
Df
Dt = ∂tf[r, t] +
v ·
∇ f[r, t] = ∂tf[a, t] , (3.1)
dérivée qui est nulle lorsque la grandeur f reste constante au cours du déplacement de la
particule fluide. On a défini ici la dérivée advective v ·
∇ f qui est aussi l’opérateur
dit “v grad”.
L’équation locale de la dynamique d’un fluide s’écrit alors tout simplement (en notation
indicée)
n Dvi
Dt = ∂jσ ij + F i , (3.2)
où n est la densité de masse, v i la vitesse du fluide, σ ij le tenseur des contraintes
(symétrique) qui exprime les forces surfaciques et F i la résultante des forces volumiques.
L’expression de σ, nommée loi de comportement mécanique, doit venir de la physique
microscopique. En effet, cette dernière est perdue dans la description continue du milieu,
puisque pour obtenir des champs continus et définis en chaque point de l’espace, on a :
- supposé que le système est suffisamment proche de l’équilibre ;
- utilisé cette hypothèse pour pouvoir obtenir les valeurs prises par les champs à l’aide de
moyennes sur toutes les particules comprises dans l’élément de volume considéré.
Lorsque le fluide est isotrope et à l’équilibre thermodynamique, on peut montrer que
l’on a
σ ij ≡ −P δ ij , (3.3)

80 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
où δij est le symbole de Kronecker et P la pression thermodynamique. Lorsque le fluide
est proche de cet équilibre, la loi de comportement linéarisée par rapport à la vitesse est
dite newtonienne et peut s’écrire
σij ≡ −P δij + 2 η
∂(i v j) − 1
3 (∂kv k ) δij
+ ζ (∂kv k )δij
(3.4)
avec A(ij) = 1
2 (Aij + Aji). η est nommée viscosité dynamique de cisaillement et ζ
viscosité dynamique volumique.
Si l’on écrit de manière vectorielle ces équations, on aboutit aux équations de Navier-
Stokes
n ∂t
V + V · ∇
V + ∇P = (3.5)
∇ ∇η · V
+
∇ ∧ V ∧ ∇η + η∆ V − V ∆η + ζ
η
∇ + ∇ · V
+ 3
Fex ,
où les opérateurs spatiaux ont les définitions usuelles, ∆ étant le Laplacien, ∇ l’opérateur
gradient, ∇· la divergence, · le produit scalaire, ∧ le produit vectoriel et Fex la somme des
forces extérieures volumiques. Si l’on néglige les termes dissipatifs (ceux provenant de la
viscosité), on parle d’équation d’Euler.
A cette équation vectorielle qui décrit la conservation de l’impulsion, il convient d’ajouter
au moins une équation d’état reliant la pression aux autres grandeurs (dont la densité
de masse) et une équation traduisant la conservation de la masse
∂t n + ∇ · (n V ) = 0. (3.6)
Pour finir de compléter ce système, viennent ensuite diverses autres équations dont le
nombre et la nature dépendent des ingrédients physiques introduits. Ainsi, il y a parfois
une équation régissant le transport thermique 1 , et dans le cas d’un objet auto-gravitant,
Fex inclut une force gravitationnelle tandis que le système total comprend l’équation de
Poisson de la gravitation
∆ U = 4π GN n, (3.7)
où U est le potentiel gravitationnel.
Finalement, pour que l’ensemble soit mathématiquement bien défini, il ne reste plus
qu’à ajouter des conditions aux limites et initiales. Cependant, contrairement à ce que l’on
pourrait croire, l’existence de solutions de ces équations est loin d’être triviale à démontrer,
même dans le cas simplifié où le fluide est supposé incompressible (n ≡ constante), ce
qui permet d’écrire l’équation de conservation de la masse sous la forme ∇ · V = 0.
1 Ce ne sera pas le cas pour l’hydrodynamique d’une étoile à neutrons puisqu’un tel objet est froid.
Voir chapitre 2.

3.1.2 Perturbations
3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne 81
La détermination des modes d’un fluide est le calcul de fonctions périodiques dans le
temps, solutions des équations obtenues par perturbation linéaire du système non-linéaire
autour d’une solution connue. Ce sujet a déjà été le thème de très nombreux ouvrages, et
dans le cadre de l’astrophysique newtonienne, on pourra consulter Cox (1980) ou Unno
et al. (1989). Ici ne sont résumés que les principes de base. Ainsi, le calcul des oscillations
possibles d’un fluide peut être fait de deux manières différentes selon les phénomènes
que l’on souhaite étudier. Lorsque l’on cherche, par exemple, à décrire l’existence de
vagues à la surface d’une étendue d’eau, il peut être suffisant de faire un travail local
où la solution à perturber est supposée constante (dans le temps et l’espace) et l’onde
recherchée harmonique et facile à paramétrer sur un système de coordonnées cartésiens.
On pose alors
f = A e i( k·x−w t) , (3.8)
où k est le vecteur d’onde et w la fréquence 1 .
Cependant, lorsque l’on s’intéresse aux modes d’oscillation d’un fluide dans son ensemble,
une étude globale prenant en compte le caractère inhomogène du système, sa
géométrie et des conditions aux limites devient nécessaire. Dans ce cas, la solution recherchée
n’est plus naïvement développée par transformations de Fourier spatiales d’un
système de coordonnées cartésien, mais développée sur une base de fonctions adaptée aux
symétries. Pour un fluide sphérique, il s’agit bien évidemment d’une base faisant intervenir
les harmoniques sphériques. Cette décomposition sera détaillée après la présentation de
deux façons possibles de définir des perturbations, définitions dont l’existence est reliée à
celle des formalismes eulérien et lagrangien.
Pour cela, on considère d’abord une configuration d’équilibre pour laquelle les fonctions
sont indicées par le symbole 0. La définition d’une perturbation eulérienne vient alors
de l’écriture de la solution perturbée sous la forme
f[x, t] = f0[x, t] + dEf[x, t], (3.9)
où l’on suppose |dEf|/|f0| ≪ 1. On a donc défini la perturbation comme une différence
entre des quantités physiques calculées au même point géométrique. La perturbation lagrangienne
fait quant à elle intervenir les deux configurations précédentes, mais en comparant
des grandeurs évaluées pour la même particule fluide dont on suppose que la position
au même instant t a changé de ξ. On a ainsi
avec
x[a, t] = x0[a, t] + ξ[a, t], (3.10)
x[a, 0] ≡ x0[a, 0] ≡ a (3.11)
1 La notation complexe, introduite ici, sera presque toujours utilisée dans les calculs qui suivent. En
toute rigueur, les quantités physiques sont donc les parties réelles des variables employées.

82 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
et
ξ[a, 0] ≡ 0. (3.12)
De manière générale, pour une fonction f quelconque, on pose
f[a, t] = f0[a, t] + dLf[a, t]. (3.13)
A l’aide de ces relations et en supposant que le jacobien de la transformation x i → a i
ne s’annulle pas, on montre que l’équation linéarisée reliant les perturbations eulérienne
et lagrangienne s’écrit (pour une fonction scalaire)
Par ailleurs, la vitesse est définie par
dLf = dEf + ξ · ∇f. (3.14)
v[x, t] ≡ v[x[a], t] = Dx
Dt ≡ ∂tx[a, t] (3.15)
et si, pour un même élément de fluide, on fait la différence entre cette expression évaluée
d’une part dans la configuration originelle et d’autre part dans la configuration perturbée,
on obtient ainsi
dLv = D ξ
.
Dt
(3.16)
Cette dernière équation permet d’aboutir finalement à l’expression
dEv = ∂t ξ + (v0 · ∇) ξ − ( ξ · ∇)v0. (3.17)
On remarque enfin que lorsque l’on a v0 ≡ 0, il y a identité entre dEv et dLv. De
manière générale, on utilise dans le formalisme lagrangien la variable ξ et dans le formalisme
eulérien dEv.
Ce que l’on nomme communément mode d’un fluide est alors une perturbation
dEv ou ξ dont la dépendance temporelle est harmonique. D’un point de vue purement
mathématique, c’est donc un vecteur propre de la version linéarisée du système d’équations
régissant la dynamique du système physique près d’un état d’équilibre donné. En effet,
dans le formalisme eulérien, on peut écrire de manière symbolique l’équation d’évolution
linéarisée sous la forme
−→
∂tAE
= −LE
−→AE,
−→
∂j
AE, ∂jk
−→
AE, ...
, (3.18)
où les ∂i désigne les dérivées partielles par rapport aux coordonnées spatiales et L un
opérateur différentiel linéaire. Les AE c sont quant à eux les composantes d’un pseudovecteur
rassemblant toutes les perturbations eulériennes des quantités physiques 1 .
1 Ce n’est évidemment pas un vecteur au sens propre du terme car la notion de transformation de
ses composantes par combinaisons linéaires n’aurait aucun sens physique. Par ailleurs, il faut noter que,
pour des “ingrédients” physiques donnés, la dimension de l’espace vectoriel auquel appartient le vecteur
est reliée à l’ordre, par rapport aux dérivées spatiales, de l’opérateur retenu. En effet, plus on fait de
substitutions dans les équations, plus la dimension de l’espace vectoriel est petite et l’ordre de l’opérateur
élevé.

Un mode propre vérifie donc
3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne 83
i w −→ AE = −LE
−→AE,
−→
∂j
AE, ∂jk
−→
AE, ...
, (3.19)
où w est la fréquence du mode et i la racine carrée de −1. En toute rigueur, on ne peut
vraiment parler de modes que lorsque la fréquence est réelle. Si elle prend au contraire
des valeurs complexes, on parle d’instabilité ou de quasi-periodic oscillation (QPO)
puisque la partie imaginaire se traduit par une croissance (ou une décroissance) exponentielle
de l’amplitude du mode (qui rend donc l’approximation linéaire incorrecte).
Dans le cadre des oscillations générant des ondes gravitationnelles, on s’attend a priori
à des fréquences complexes, puisque le système perd de l’énergie émise sous forme de
rayonnement gravitationnel. Mais comme, pour les oscillations considérées par la suite, le
temps typique de l’émission des ondes gravitationnelles est très grand devant le temps caractéristique
de l’oscillation 1 (voir chapitre 4 pour des ordres de grandeur), un traitement
perturbatif reste approprié. Néanmoins, on comprend ainsi que dans un cadre plus général,
tout comme la diversité des modes possibles, l’existence ou non d’instabilités dépend des
phénomènes physiques pris en compte. Leur nombre, les équations qui gouvernent leur
physique et leur caractère conservatif ou non décident des propriétés de l’opérateur LE.
Si l’on cherche à réécrire les équations linéarisées pour la variable lagrangienne ξ, on
arrive à un opérateur LL assez similaire à LE mais tel que
w 2 −→ AL = LL
−→AL,
−→
∂j
AL, ∂jk
−→
AL, ... . (3.20)
Pour cet opérateur, l’existence de vecteurs propres correspondant à des modes équivaut
donc à la condition que la valeur propre soit un réel de signe bien déterminé (positif avec
les conventions retenues ici). Or, il existe une catégorie d’opérateurs linéaires complexes
dont on sait qu’ils ont un spectre réel : les opérateurs hermitiens. Et il s’avère que dans
plusieurs situations d’intérêt astrophysique, on peut montrer que l’opérateur associé aux
perturbations linéaires est hermitien : c’est le cas, par exemple, pour l’étude des oscillations
linéaires et adiabatiques d’une étoile newtonienne sphérique et statique avec conditions
de pression et densité nulles à la surface. On montre même que, si l’on se restreint aux
oscillations radiales d’un tel objet, on se ramène à un problème de Sturm-Liouville [voir
Cox (1980)] pour lequel on connaît des propriétés supplémentaires (comme le fait que le
spectre est discret).
Néanmoins, toutes les situations ne sont pas aussi “simples” que celles-ci, et plus la
physique prise en compte est détaillée, plus le système d’équations à résoudre est complexe
et dénué de propriétés “sympathiques”. On peut toutefois signaler que de manière
générale :
1 On parle alors d’instabilité séculaire, par opposition aux instabilités dynamiques dont le temps de
croissance est de l’ordre de la période.

84 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
- le formalisme lagrangien conduit assez facilement à une formulation variationnelle qui
s’avère utile pour obtenir des quantités conservées et mettre en évidence des critères
d’existence d’instabilité (voir section 3.2.3) ;
- pour faire des évolutions temporelles numériques (telles celles présentées dans les chapitres
4 et 5), la formulation eulérienne semble plus simple puisqu’elle fait intervenir
des dérivées temporelles d’ordres inférieurs.
3.1.3 Modes d’oscillations newtoniens d’une étoile
Indépendamment du formalisme adopté, il est utile de décomposer les variables retenues
dans les calculs sur des bases de fonctions adaptées à la géométrie. Ainsi, dans le
cas d’un fluide à géométrie sphérique, la décomposition naturelles de fonctions scalaires,
telles que la perturbation de la pression, est de la forme
f[r, ϑ, ϕ, t] =
flm[r, t] Ylm[ϑ, ϕ], (3.21)
lm
où les Ylm sont les harmoniques sphériques, fonctions propres de l’opérateur L2 défini
par
L 2 = − 1
sin ϑ ∂ϑ (sin[ϑ] ∂ϑ) − 1
sin 2 [ϑ] ∂2 ϕ. (3.22)
On rappelle que les fonctions Ylm sont caractérisées par deux nombres quantiques
entiers l et m tels que m ∈ [−l , l], la valeur propre associée étant lp(l + 1). On a
Enfin, on peut démontrer l’égalité
L 2 Ylm[ϑ, ϕ] = lp(l + 1)Ylm[ϑ, ϕ]. (3.23)
Ylm[ϑ, ϕ] = (−1) m
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)!
1/2 Plm[cos ϑ] e i m ϕ , (3.24)
où les Plm sont les fonctions de Legendre associées. Pour plus de détails voir par
exemple Morse & Feshbach (1953).
Lorsque l’on décompose un vecteur, il y a évidemment a priori trois degrés de liberté
indépendants. On peut ainsi introduire la séparation entre les parties sphéroïdales1 et
toroïdales du vecteur [voir par exemple Cox (1980)]
v[r, ϑ, ϕ] = r
Slm[r], Hlm[r]∂ϑ,
lm
Hlm[r]
sin ϑ ∂ϕ
Ylm[ϑ, ϕ] + (3.25)
r
0, Tlm[r]
sin ϑ ∂ϕ,
−Tlm[r]∂ϑ Ylm[ϑ, ϕ] .
lm
1 Dans la communauté relativiste, on parle plutôt de parties polaire et axiale.

3.1 Modes d’une étoile à neutrons newtonienne 85
Dans cette écriture, les fonctions S et H paramètrent la partie sphéroïdale et les fonctions
T la partie toroïdale. Pour un couple de nombres quantiques (l, m) donné, le terme
sphéroïdal a une parité 1 (−1) l et le terme toroïdal une parité (−1) l+1 . Avant de discuter
un peu plus en détails des réalisations physiques de ces modes qui mettent en évidence
l’utilité d’une telle décomposition, il est intéressant d’en signaler une autre qui est utilisée
par la suite. Elle découle du théorème de Helmholtz [voir par exemple Morse & Feshbach
(1953)] qui stipule que, sous certaines conditions assez peu restrictives, un champ vectoriel
peut toujours être écrit de manière unique comme la somme d’un champ de divergence
nulle et du gradient d’un champ scalaire. Cette séparation est employée dans la résolution
numérique des équations hydrodynamiques présentée dans Villain & Bonazzola (2002),
article qui est le chapitre 4 de la thèse.
Comme cela a déjà été signalé, plus la physique incluse dans le modèle considéré sera
riche, plus les calculs seront complexes et les modes possibles nombreux. Afin de décrire
les principaux modes d’oscillations d’une étoile à neutrons, on va commencer par supposer
qu’une étoile à neutrons est un objet froid (voir chapitre 2), à l’équilibre chimique et donc
décrit par une équation d’état barotrope (ou isentrope) du type P = P [n] où P est
la pression et n la densité de masse 2 . Par ailleurs, la rotation de l’étoile est initialement
négligée et sera introduite dans la section 3.3. Avec ces hypothèses :
- l’étoile est parfaitement sphérique ;
- il n’existe que des modes polaires, et les oscillations toroïdales (ou axiales) ont des
fréquences nulles et correspondent à des variations eulériennes ou lagrangiennes
nulles de pression, densité et potentiel gravitationnel. De tels modes ne sont donc
pertinents que si l’on autorise l’existence d’un champ magnétique, d’une structure
partiellement cristalline ou d’une rotation de la configuration d’équilibre de l’étoile.
- la symétrie sphérique implique une dégénérescence des fréquences. Ainsi, il existe 2 l +1
modes ayant la même fréquence pour une valeur du nombre quantique l donnée,
puisque l’on a m ∈ [−l, l].
- on observe un mode dit fondamental 3 caractérisé par l’absence de mouvement radial et
le fait que le vecteur propre associé ne possède pas de nœud à l’intérieur de l’étoile.
Par ailleurs, le mode f est le seul mode possible pour une étoile de densité uniforme,
il dépend assez peu des détails de la structure interne, et on peut donc dire que son
existence est liée à celle d’une interface entre l’étoile et son environnement. Pour
une étoile newtonienne de densité uniforme, on obtient (en unités c = GN = 1) la
1 On rappelle que la parité est la symétrie (primordiale en physique des particules) définie par la
composition d’une réflexion orthogonale par rapport à un plan et d’une rotation axiale d’angle π autour
d’un axe orthogonal au plan de réflexion. Un champ scalaire invariant sous une telle transformation est
dit “de parité +1” et un champ devenant de signe opposé est dit “de parité −1”.
2 Dans le cas relativiste, il suffit de remplacer la densité de masse par la densité baryonique et de
supposer que cette densité et la pression sont mesurées dans le référentiel du fluide.
3 La nomenclature des modes a été introduite par Cowling (1941) et leurs noms reposent sur les forces
de rappel qui en sont responsables.

86 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
fréquence
w 2 2 l (l − 1) M
= , (3.26)
2 l + 1 R3 où M est la masse de l’étoile et R son rayon. Pour une étoile à neutrons avec des
équations d’état un peu plus réalistes, on trouve que cette fréquence est grossièrement
comprise entre 2 et 4 kHz (voir Kokkotas (1997)]. Par ailleurs, puisque l’émission
d’ondes gravitationnelles nécessite l’absence de symétrie sphérique ou axiale, de tels
modes sont, a priori, très intéressants dans ce cadre ;
- il existe des modes de pression (ou acoustiques) associés à des déplacements principalement
(mais pas exclusivement) radiaux. Leur fréquence est reliée à la vitesse du son
dans le milieu (puisque la force de rappel est la pression) et augmente indéfiniment
avec la valeur du nombre l. Dans une étoile à neutrons, le mode “le plus bas” 1 , le
mode p1, a une fréquence comprise entre 4 et 7 kHz.
Il y a enfin une dernière catégorie de modes newtoniens d’une étoile à neutrons qui n’est
pas en rotation dont l’existence est assez importante 2 : les modes de gravité. Ces modes g
n’apparaissent que si l’on suppose que l’équation d’état n’est pas barotrope et dépend de
deux paramètres. Ils résultent donc de la tendance qu’a la gravitation à rendre homogènes
les équipotentielles du champ de gravitation (c’est ce qui explique qu’une équation d’état
barotrope effective soit suffisante pour décrire des configurations à l’équilibre mécanique,
voir section 2.2.1). Ainsi, ils correspondent à des mouvements principalement non-radiaux.
Par ailleurs, on peut montrer que la façon dont l’entropie ou la composition varient en
fonction du rayon, dans la configuration d’équilibre, détermine le spectre de ces modes
et la stabilité du fluide vis-à-vis de la convection. Ainsi, trois classes de modes g sont
possibles puisque l’on peut trouver des solutions vérifiant w 2 > 0 (les modes proprement
dits) aussi bien que des solutions avec w = 0 (modes marginalement instables) ou encore
w 2 < 0 (configurations instables). Dans une étoile à neutrons, les modes g ont des
fréquences de quelques centaines de hertz dont la valeur décroît lorsque l augmente.
Dans les études newtoniennes d’étoiles autres que les étoiles à neutrons, l’utilisation
d’une équation d’état dépendant de deux paramètres consiste avant tout à prendre en
compte l’effet de la température et à poser P = P [n, T ]. Pour les étoiles à neutrons
que l’on peut raisonnablement considérer comme étant à température nulle, il s’agit au
contraire de tenir compte d’une stratification découlant de l’existence de plusieurs composants
de la matière. Cependant, une équation d’état de la matière nucléaire à haute
densité qui soit suffisamment générale pour être valable lorsque plusieurs paramètres varient
est bien loin d’être facile à obtenir. En effet, comme cela a déjà été mentionné dans
le chapitre 2, il reste encore de nombreuses incertitudes sur la matière nucléaire dans ces
1 On peut considérer que le mode f est, en quelque sorte, le mode p0.
2 Pour une description vraiment complète, il serait nécessaire de détailler également le fait qu’une
étoile à neutrons est superfluide. Cette propriété, décrite dans le chapitre 2, implique l’existence d’effets
supplémentaires qui ont été étudiés dans le cas newtonien par Prix & Rieutord (2002). Ce phénomène
n’a pas encore été pris en compte dans le travail hydrodynamique décrit ici et il n’en sera donc pas plus
question par la suite.

3.2 Oscillations d’une étoile relativiste 87
conditions extrêmes, et même une équation d’état ne dépendant que d’un seul paramètre
est toujours “entachée” de barres d’erreur assez importantes.
Ainsi, bien souvent, les études de modes “non-barotropes” ou “anisentropes” reposent
sur :
⋆ une équation d’état pour la configuration d’équilibre de la forme P = κ n Γ , où Γ n’est
pas nécessairement une constante 1 ;
⋆ le remplacement de la relation générale reliant les perturbations lagrangiennes
dLP
P
= Γ dLn
n
+ ζ dLX
X
, (3.27)
où X est la deuxième variable dont dépend la “véritable” équation d’état, par la
relation
dLP dLn
= Γ1 . (3.28)
P n
Si l’équation n’est pas barotrope, Γ1 est différent de Γ, mais généralement, les études
sont réalisées dans le contexte d’étoiles polytropes (Γ = constante) avec l’hypothèse que
Γ1 est une constante différente.
Cependant, même si la description d’une étoile à neutrons par une polytrope est assez
bonne (bien plus que pour les étoiles de la séquence principale), cette description n’est
qu’une approximation, et une étude un peu plus réaliste peut être réalisée grâce à l’emploi
d’une équation d’état analytique dépendant des deux paramètres nb (la densité baryonique)
et xp (la fraction protonique). Pour une telle équation, proposée par Prakash et al.
(1988) (voir les section 2.3.2 et 5.2), les coefficients Γ effectifs ne sont plus des constantes,
et la dynamique des modes g en est affectée puisque la position du fluide à l’intérieur
de létoile n’est plus anodine pour ces derniers. Une étude avec cette équation d’état est
présentée dans le chapitre 5, où est décrit un travail en cours avec Silvano Bonazzola et
Pawe̷l Haensel. Cependant, l’emploi d’équations d’état réalistes, même barotropes, n’est
pertinent que dans le cadre de l’hydrodynamique relativiste.
3.2 Oscillations d’une étoile relativiste
3.2.1 Hydrodynamique relativiste
Dans toute la suite de ce chapitre, on ne s’intéressera qu’à l’hydrodynamique d’un
fluide relativiste parfait et, sauf indication contraire, on utilisera les unités dites géométriques
ou naturelles dans lesquelles c = GN = 1 [pour plus de détails, voir par
exemple Misner et al. (1973)]. Comme cela a déjà été mentionné dans le chapitre 1, une fois
1 Si c’est le cas, on parle d’équation d’état polytrope.

88 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
“donnée” la métrique gµν décrivant l’espace-temps, le mouvement d’un système s’obtient
par la résolution de l’équation de conservation de l’énergie-impulsion 1
∇µT µν = 0, (3.29)
où ∇ est la dérivée covariante associée à la connexion de Levi-Civita.
Un fluide parfait est décrit par un tenseur Tµν de la forme
T µν = ρ U µ U ν + P γ µν , (3.30)
où ρ est la densité d’énergie totale (densité de masse incluse) et P la pression (toutes deux
mesurées dans le référentiel lié au fluide), U µ la quadrivitesse du fluide et γµν = gµν + Uµ Uν
le projecteur 2 sur le 3-espace orthogonal à U µ .
Il faut par ailleurs introduire également la conservation du nombre baryonique
∇µ (nb U µ ) = 0 (3.31)
et une équation d’état reliant la densité baryonique nb à la pression P . Si l’on suppose
que cette équation n’est pas barotrope, il faut alors également une équation gouvernant
la dynamique de la nouvelle variable pour que le système soit complet. Une fois une
telle équation ajoutée, ou dans le cas d’une équation d’état barotrope, on montre que
le système formé des équations (3.29), (3.31), de l’équation d’état et de la condition de
normalisation de la quadrivitesse U µ Uµ = −1 est dégénéré. En effet, on dispose ainsi
de 7 équations pour 6 variables nb, P et les composantes de la vitesse 3 . Cependant, la
projection de l’équation (3.29) le long de la quadrivitesse du fluide U µ donne (en utilisant
la conservation du nombre baryonique)
U µ
∇µ
f
nb
− 1
nb
∇µP
= 0 , (3.32)
où l’on a posé f = ρ + P qui est l’enthalpie 4 . Ainsi, f/nb est l’enthalpie par baryon, et
cette équation s’écrit aussi
U µ (T ∇µσ) = 0 , (3.33)
1 La recherche de solutions passe en toute rigueur par une résolution simultanée des équations d’Einstein
et de cette équation. Le point de vue adopté est donc “simpliste” et partial, puisqu’il sous-entend dès à
présent l’approximation de Cowling forte qui sera introduite par la suite.
2 La définition de cet opérateur dépend de la signature choisie pour l’espace-temps. Ici, l’espace-temps
est de signature (−, +, +, +) ≡ +2 et les quadrivitesses de particules massives sont donc de norme −1.
3 La densité d’énergie totale est en effet obtenue par l’utilisation des principes de la thermodynamique,
puisque l’on a, pour un fluide à température nulle, µ = ∂ρ/∂nb, qui est le potentiel chimique et permet
d’écrire, pour un fluide constitué d’une seule phase, ρ = −P + µ nb.
4 La notation usuelle h pour l’enthalpie n’est pas utilisée car H désigne par la suite la “log-enthalpie”,
ou “enthalpie relativiste”, et h sa perturbation eulérienne.

3.2 Oscillations d’une étoile relativiste 89
où σ est l’entropie par baryon. Cette projection de la conservation de l’énergie-impulsion
ne fait donc que traduire le fait que le fluide est parfait et le mouvement isentrope.
En revanche, si l’on projette l’équation (3.29) sur le 3-espace orthogonal à U µ à l’aide de
l’opérateur γµν défini précédemment, on aboutit à la généralisation relativiste de l’équation
d’Euler
U µ U ν ∇ν P + ∇ µ P + f U ν ∇νU µ = 0. (3.34)
Si l’équation d’état est barotrope, il est utile de définir la log-enthalpie (ou enthalpie
relativiste) H telle que
∇µH = ∇µP
, (3.35)
ρ + P
dont on montre, pour un fluide constitué d’une seule sorte de particules de masse au repos
m, qu’elle peut s’écrire
H = ln
f
. (3.36)
nb m
Avec la log-enthalpie, l’équation (3.34) se met sous la forme un peu plus condensée
U µ U ν ∇ν H + ∇ µ H + U ν ∇νU µ = 0. (3.37)
3.2.2 Modes relativistes et approximation de Cowling forte
Le calcul des modes d’oscillations d’un fluide dans le cadre de la relativité générale est
bien plus complexe que le calcul newtonien équivalent, puisqu’il suppose que l’on perturbe
à la fois l’équation de conservation de l’énergie-impulsion (3.29) [ou l’équation d’Euler
(3.34)] et les équations d’Einstein (1.10) rappelées dans le chapitre 1. Ainsi, dans l’équation
linéarisée régissant le mouvement du fluide, apparaissent autant les perturbations des
grandeurs physiques f, P et U µ que celles des dérivées covariantes qui sont des objets
géométriques. Ici ne sera résumé que le strict minimum nécessaire à la compréhension des
chapitres suivants dans lesquels une approximation “assez forte” (mais justifiée pour une
première approche) est faite. Pour une présentation plus générale, on pourra, par exemple,
consulter :
- toute une série d’articles, par Thorne et ses collaborateurs, traitant des modes nonradiaux
des étoiles à neutrons et du rayonnement gravitationnel qui leur est associé :
voir par exemple Thorne & Campolattaro (1967), (1968) et (1969) ainsi que Price
& Thorne (1969) ;
- une revue “vivante” 1 sur les oscillations quasi-périodiques des trous noirs et étoiles à
neutrons : Kokkotas & Schmidt (1999) ;
- un cours [Carter (1989)] sur le formalisme variationnel en hydrodynamique relativiste.
Ce formalisme repose sur l’algèbre extérieure, permet d’obtenir les équations du
mouvement de manière très condensée, et facilite le traitement des problèmes à
1 car en ligne sur Internet.

90 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
plusieurs fluides. Dans Carter (2001) est présentée son application au problème de
l’hydrodynamique des superfluides dans les étoiles à neutrons relativistes.
Le point fondamental qui est utilisé par la suite et simplifie considérablement les calculs
est le fait que l’on s’intéresse à des instabilités séculaires dont le temps de croissance
est grand comparativement à leur pseudo-période et qui sont de plus associées à des variations
(eulériennes) de densité assez peu importantes. Dans ce contexte, et puisque l’on
étudie avant tout l’influence de divers phénomènes physiques sur ces modes d’oscillation
eux-mêmes, on peut se permettre, en première approximation, de négliger les variations
eulériennes du champ gravitationnel. Dans le cadre newtonien, cette approximation a été
introduite par Cowling et porte son nom. Sa généralisation relativiste consiste donc à
poser dEgµν ≡ 0, ce qui a pour effet de “tuer” les ondes gravitationnelles. Néanmoins,
pour les raisons qui viennent d’être résumées et seront exposées plus précisément dans la
section 3.3, cette approximation est assez correcte.
Dans ce contexte, deux situations différentes vont se présenter par la suite. Dans un
premier temps (fin de l’article/chapitre 4 et début du chapitre 5), lorsque l’on étudie des
modes dans une étoile avec équation d’état barotrope, il suffit de linéariser par perturbation
eulérienne l’équation (3.37) pour obtenir une équation relativiste pour les modes.
En définissant convenablement les variables, on se ramène même à une équation écrite
de manière très similaire à l’équation d’Euler newtonienne. Dans un second temps (chapitre
5), une équation d’état analytique assez réaliste, venant de la physique nucléaire et
dépendant de deux paramètres est introduite. Dans ce contexte, il est nécessaire d’avoir
une équation supplémentaire régissant la dynamique de la seconde variable 1 et l’on a
besoin de faire intervenir ξ µ , généralisation relativiste du déplacement lagrangien, et la
variation lagrangienne de la densité baryonique dLnb. Avant de détailler plus ces derniers
points (voir chapitre 5), on peut signaler, dans cette brève et assez générale présentation,
certaines définitions et propriétés dont ils dépendent.
Ainsi :
- la relation (3.14) qui relie les perturbations eulérienne et lagrangienne d’un champ
scalaire dans le cadre newtonien peut se généraliser de deux façons différentes pour
un vecteur. On peut écrire au choix
ou
dLv − dEv =
ξ · ∇
v (3.38)
dLv − dEv = £ ξ v, (3.39)
1 L’équation retenue dit justement qu’il n’y a pas de dynamique, puisque cette seconde variable, la
fraction protonique d’un élément de fluide, est supposée garder une valeur constante lors du déplacement
perturbé du fluide. Cette hypothèse est justifiée dans le chapitre 5, mais tire son origine du fait que le
temps dynamique du fluide est bien plus court que le temps de retour à l’équilibre bêta. On a en effet vu
dans la section 2.3 que le temps typique de retour à l’équilibre par réactions Urca est au moins de l’ordre
de quelques secondes alors que le temps dynamique considéré est au plus de quelques millisecondes.

3.2 Oscillations d’une étoile relativiste 91
où £ ξ v est la dérivée de Lie de v par rapport à ξ. Cette deuxième définition étant
indépendante de la structure métrique, c’est elle qui sera généralisée dans le cas
relativiste. On pose donc, de manière formelle et pour toute quantité,
où ξ est le quadrivecteur de déplacement lagrangien ;
dL − dE = £ξ, (3.40)
- le formalisme lagrangien est souvent préféré en relativité générale (pour les variables
liées au fluide mais pas pour la métrique) car il permet de définir des perturbations
indépendantes de jauge. Mais lorsque l’on utilise l’approximation de Cowling
dEgµν ≡ 0, le formalisme eulérien devient sans ambiguïté et il sera donc adopté par
la suite ;
- cette liberté de jauge permet de restreindre les variations autorisées, et on peut, par
exemple, l’utiliser pour faire en sorte que le quadrivecteur déplacement ξ µ n’ait pas
de composante temporelle ;
- avec l’approximation de Cowling relativiste 1 , on peut montrer la relation entre les perturbations
eulériennes de la quadrivitesse d’un fluide et ce déplacement
dEU µ = −γ µ ν (£ξ U) ν , (3.41)
où γµν est toujours le projecteur sur le 3−espace orthogonal à la quadrivitesse U et
où £ξ désigne la dérivée de Lie par rapport au quadrivecteur déplacement.
On a longtemps considéré (et l’on considère encore parfois à tort) que la relativité
générale ne peut qu’apporter des corrections à la physique newtonienne et qu’un travail
post-newtonien est suffisant. Mais même si cette idée se justifie pour les équivalents relativistes
des divers modes présentés dans le cadre newtonien (à l’exception des modes f qui
sont fortement couplés au rayonnement gravitationnel), plusieurs particularités propres à
la gravitation relativiste sont apparues lors de l’étude des oscillations d’astres compacts.
En effet :
- on a découvert l’existence de modes d’oscillations des fluides relativistes pour lesquels
les variables physiques (densité baryonique, pression, vitesse du fluide) n’oscillent
que très peu, alors que l’espace-temps “à l’intérieur de l’étoile” est fortement en
vibration. Il s’agit en quelque sorte d’ondes gravitationnelles piégées dans un puit
de potentiel gravitationnel créé par un corps extrêmement compact. Il y a plusieurs
catégories de ces modes w, qui sont très semblables aux oscillations des trous noirs,
mais plusieurs points communs apparaissent. Ainsi, ce sont des modes qui sont très
vite atténués (leur temps de dissipation sous forme d’ondes gravitationnelles est
de quelques millisecondes alors que celui des modes fluides décrits précédemment
1 ou “approximation de Cowling forte”, comme a suggéré de la nommer Brandon Carter, puisqu’il
existe des approximations dans lesquelles on ne néglige que certaines des variations eulériennes de la
métrique.

92 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
est plutôt de quelques secondes) mais également très difficiles à exciter dans des
scénarios astrophysiques réalistes. Actuellement, on doute donc de leur pertinence
pour les détecteurs à venir ;
- même lorsque la rotation est lente (voir section 3.3 et chapitre 4), une étoile à neutrons
relativiste en rotation est qualitativement différente d’une étoile newtonienne en
rotation. Cette différence provient de l’existence d’un effet relativiste d’entrainement
de l’espace-temps plus connu sous le nom d’effet Lense-Thirring.
Ce dernier point sera discuté un peu plus en détails lors de la présentation des modes
inertiels (voir la section 3.3). Mais le vif intérêt qui leur est porté depuis quelques années ne
se comprend bien qu’après une brève description du critère CFS d’instabilité. Ce dernier
est en effet une condition suffisante pour déterminer si une oscillation d’un fluide relativiste
(ou couplé à un champ qui évacue du moment cinétique hors de l’étoile) va être instable ou
non. Dans le cadre de la relativité générale, ce critère prédit ainsi que tout fluide relativiste
est susceptible d’être instable (les fluides en rotation l’étant encore plus facilement) et donc
pertinent pour l’émission d’ondes gravitationnelles.
3.2.3 Instabilités et ondes gravitationnelles
Comme cela a déjà été mentionné dans le chapitre 1, un objet astrophysique n’émet
d’ondes gravitationnelles que s’il vérifie certaines conditions assez précises. Ainsi, tout
objet possédant un quadrupôle de masse variant dans le temps est une source de rayonnement
gravitationnel, mais la formule (1.21) a montré que, pour que ce rayonnement soit
pertinent, l’objet ne peut pas être quelconque et doit vérifier certains critères de masse et
de compacité. Par ailleurs, pour que l’étude de ces éventuelles sources soit intéressante, il
existe également des contraintes liées à la possibilité d’observer les ondes émises et il faut
donc que leur émission soit suffisamment longue et/ou intense. De plus, tout mécanisme
pouvant être trouvé théoriquement n’est vraiment convenable que s’il est réalisable dans
la Nature.
Dès que l’existence des ondes gravitationnelles a été admise et que l’on s’est intéressé
à leurs sources potentielles, les oscillations non-radiales des trous noirs et des étoiles à
neutrons ont naturellement été étudiées. En effet, ce sont des astres très compacts (voir
tableau 2.1) et au cours de leur vie, leurs modes ont, a priori, de nombreuses opportunités
d’être excités. Ainsi, parmi les épisodes “violents” qui peuvent générer des vibrations
d’amplitudes conséquentes, on trouve :
- leur naissance au cours de l’effondrement d’une étoile conduisant à une supernova (voir
chapitre 2) ;
- la coalescence de systèmes binaires de trous noirs ou d’étoiles à neutrons dont le re´sultat
est soit un trou noir, soit une étoile à neutrons, mais très vraisemblablement en
oscillation ;

3.2 Oscillations d’une étoile relativiste 93
- un brusque sursaut, observé sous la forme d’un glitch 1 qui donne une “impulsion” à
l’astre ;
- une transition de phase de la matière nucléaire qui génère une production considérable
d’énergie ;
- etc.
Cependant, l’émission d’ondes gravitationnelles constitue une perte d’énergie pour
le système, et l’on s’attend donc à ce que les oscillations des objets relativistes soient
amorties. D’un point de vue “pratique”, cela signifie que les modes à calculer sont quasipériodiques,
que leurs fréquences sont complexes, et que leur obtention dans le cadre de
la relativité générale est loin d’être aisée. En effet, un calcul complet nécessite de résoudre
des équations pour les variables fluides (sauf pour les trous noirs) et pour les ondes gravitationnelles,
en imposant des conditions d’ondes sortantes à l’infini [voir par exemple
Kokkotas & Schmidt (1999)]. Dans un premier temps, on peut donc se contenter d’estimer
les temps d’amortissement et les émissivités à l’aide de formules post-newtoniennes [voir
Thorne (1980)]. Pour une étoile à neutrons typique, on trouve ainsi que les équivalents relativistes
des modes f, p et g décrits dans la section 3.1.3 ont des durées de vie de quelques
secondes tout au plus. Néanmoins, les résultats présentés jusqu’à présent ne concernent
que des modes (ou plutôt quasi-modes) d’oscillation. Or, comme l’a montré Chandrasekhar
(1970), il existe des circonstances dans lesquelles ces oscillations peuvent devenir des
instabilités, auquel cas leur couplage au rayonnement gravitationnel et l’émission de ce
dernier conduisent à une augmentation de leur amplitude et non plus à leur amortissement.
Un tel mécanisme rend donc ces oscillations extrêmement intéressantes du point de
vue des ondes gravitationnelles, si d’autres phénomènes ne les inhibent pas.
Le mécanisme découvert par Chandrasekhar (1970) le fut dans le cadre de l’étude postnewtonienne
des modes f d’un ellipsoïde de Mac Laurin en rotation. Le but original de
son travail était de chercher à comprendre si la conclusion newtonienne, que l’apparition
d’une instabilité non-axisymétrique est indiquée par l’existence d’un mode dit neutre
(de fréquence nulle), se généralisait dans le cadre relativiste ou non. Le mécanisme qui
explique l’instabilité découverte par Chandrasekhar est connu sous le nom de critère
CFS d’instabilité, car dans les années qui suivirent, Friedman et Schutz montrèrent
de manière générale dans une série d’articles [voir Friedman & Schutz (1975a), (1975b),
(1978a) et (1978b)] que le critère est générique et rend tout fluide relativiste en rotation
instable.
Sans entrer trop dans les détails, le critère de Friedman et Schutz repose sur la
définition d’une énergie canonique (associée au mode ξ) dont le signe indique la stabilité
1 Récemment, Andersson et al. (2002) ont proposé que les glitches soient eux-mêmes le résultat d’une
instabilité hydrodynamique liée à l’existence de deux superfluides en mouvement relatif et partiellement
entraînés l’un par l’autre.

94 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
du mode. Dans le cadre newtonien, cette énergie est définie par
Ec = 1
dV n |∂t
2
ξ| 2 − |(v · ∇) ξ| 2
+ Γ1 P | ∇ · ξ| 2
+ ξ ∗
· ∇P ∇ · +
ξ +
ξ · ∇P ∇ · ξ ∗
+ ξ i∗ ξ j∗ 1
(∇i∇jP + n∇i∇jU) − |
4 π GN
∇dEU| 2
, (3.42)
où chacune des variables employées a déjà été définie précédemment.
Le principe de base du mécanisme est que si le mode considéré a une énergie canonique
négative et est couplé à un mécanisme de rayonnement qui lui retire de l’énergie, la valeur
absolue de cette dernière va croître et une instabilité se développer. Par ailleurs, il est
assez direct de décrire ce phénomène d’une autre façon. On définit en effet également une
autre quantité conservée, le moment cinétique canonique
Jc = − Re dV n ∂ϕξ i∗
∂tξi + v ·
∇ξi
, (3.43)
où “Re” désigne la partie réelle. Or, pour un mode d’oscillation, on a la relation
Ec = − wi
m Jc, (3.44)
où wi est la fréquence dans le référentiel inertiel et m le nombre quantique apparaissant
dans la décomposition en harmoniques sphériques. Ainsi, on peut formuler le critère CFS
d’instabilité comme le fait qu’un mode qui est prograde dans le référentiel du fluide et
rétrograde dans le référentiel inertiel est instable s’il est couplé à un rayonnement.
Avec cette description, on comprend aisément que, plus l’étoile est en rotation rapide,
plus il y a de modes susceptibles d’être instables. On montre ainsi dans le cadre
des modes polaires que pour une valeur de m fixée, il existe une vitesse angulaire minimale
pour que le mode soit instable. Cependant, plusieurs autres difficultés se présentent
dans les étoiles à neutrons réelles. En effet, dans toutes les considérations précédentes,
on s’est intéressé uniquement à des fluides parfaits. Or, les fluides réels sont visqueux
et la viscosité tend généralement à tuer ces instabilités 1 . Par ailleurs, tout comme la
valeur critique de la vitesse angulaire, le temps d’apparition de l’instabilité et le temps
d’amortissement par la viscosité dépendent fortement de la valeur de m. Mais alors que
la vitesse angulaire critique décroît lorsque m augmente, le premier temps croît exponentiellement
avec m, et par conséquent, seuls les modes avec de faibles valeurs de m sont
susceptibles d’être intéressants du point de vue du rayonnement gravitationnel émis par
des étoiles à neutrons. Cependant, la viscosité limite elle-même encore plus les instabilités
possibles 2 et finalement, puisque la viscosité dépend de la température, on observe qu’au
1Il existe aussi des instabilités générées par la viscosité elle-même, mais ce sujet est hors de propos ici.
On pourra consulter Stergioulas (1998).
2même si elle est plus importante pour les modes à plus petites longueurs d’ondes qui sont donc ceux
à valeurs de m plus grandes.

Ω c /Ω max
1.00
0.98
0.96
0.94
0.92
0.90
3.3 Modes inertiels et r-modes 95
10 8
10 9
10 10
Temperature (K)
Figure 3.1 – Fenêtre d’instabilité des modes f dans une étoile à neutrons. Figure issue
de Lindblom (2001).
cours de l’évolution d’une étoile à neutrons, il existe une “fenêtre d’instabilité” dans le
plan (température, vitesse angulaire). Cette fenêtre est généralement assez faible comme
les vitesses angulaires nécessaires pour l’apparition de l’instabilité CFS sont assez proches
de la vitesse de Kepler (voir section 2.3). La figure 3.1 illustre, par exemple, le cas des
modes f et montre que l’on ne peut espérer d’instabilité de ces derniers que dans des
étoiles en rotation très rapide : plus de 90% de la vitesse de Kepler.
3.3 Modes inertiels et r-modes
3.3.1 Historique et généralités
Lorsque l’on a précédemment décrit les différents modes qui peuvent exister dans une
étoile à neutrons, il est apparu que les modes axiaux (ou toroïdaux) sont nécessairement
dégénérés et de fréquence nulle. Mais il a également été précisé que cette description
n’est valable qu’en l’absence de mécanisme brisant la symétrie sphérique. Or, si l’étoile
considérée est en rotation, cette symétrie est brisée et plusieurs caractéristiques des modes
changent :
- pour une valeur du nombre l donnée, la dégénérescence par rapport à m est levée, et
chaque mode “se sépare” en 2 l + 1 modes ;
- il apparaît un couplage entre les modes polaires et axiaux. A l’ordre le plus bas en Ω
(on parle de limite de rotation lente lorsque l’on linéarise les équations par rapport
à la vitesse angulaire de l’étoile), un mode polaire de nombre l se couple aux modes
axiaux l − 1 et l + 1 et réciproquement. Ainsi, dans une étoile en rotation, on définit
généralement un mode polaire d’indice l comme un mode qui tend vers un mode
polaire de nombre l dans une étoile sphérique, lorsque la vitesse de rotation de
10 11

96 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
l’étoile diminue tout au long d’une séquence de configurations stationnaires 1 ;
- les modes purement axiaux ne sont plus triviaux et sont nommés modes r (généralisation
tridimensionnelle des modes de Rossby).
Parmi ces différents points, le dernier est probablement le plus important en ce qui
concerne les ondes gravitationnelles émises par une étoile à neutrons. En effet, les modes r
appartiennent à une classe plus générale de modes qui ne sont pas nécessairement axiaux
mais qui ont en commun le fait d’avoir pour force de rappel la force de Coriolis. Ces
modes inertiels ont été étudiés dès la fin du dix-neuvième siècle par Thomson 2 , mais dans
le cadre de la relativité générale, ils furent longtemps délaissés. Il est d’ailleurs assez amusant
de constater que la raison principale en est exactement celle qui les rend finalement
très intéressants.
Les modes inertiels sont en effet associés à de faibles variations de densités. Ainsi, à
la limite de rotation lente où l’on néglige les termes en Ω2 (et donc la déformation de
l’étoile), la vitesse3 des modes r s’écrit
r
dEv = R Ω f Y B
lm e
R
i w t , (3.45)
où f est une fonction qui dépend de la structure de l’étoile et où l’on a introduit les
multipôles magnétiques
r
∇Ylm
(3.46)
Y B
lm = lp(l + 1) r ∇ ∧
[voir Thorne (1980)]. Pour illustration, la figure 3.2 montre le champ de vitesse des modes
r avec l = m = 2, modes qui sont les plus intéressants pour le rayonnement gravitationnel
(voir ci-dessous).
Au premier ordre en Ω, la variation eulérienne de densité associée aux modes r est
nulle et l’on trouve que leur fréquence dans le référentiel du fluide, indépendante de la
structure de l’étoile, vaut
wr =
2 m Ω
. (3.47)
lp(l + 1)
Lorsque l’on s’affranchit de la limite de rotation lente, les perturbations de la densité
restent faibles pour les modes inertiels, et il en est donc de même des variations temporelles
de leurs multipôles de masse. Ainsi, ces modes ne sont pas susceptibles d’émettre
de manière remarquable du rayonnement gravitationnel par ce biais. Mais comme cela a
déjà été mentionné, il existe deux types de multipôles pour l’émission d’ondes gravitationnelles
: les multipôles de masse et les multipôles de courant. L’écriture la plus générale
1 En relativité générale, on définit une séquence comme une suite de configurations qui sont calculées
non pas à masse fixée (comme c’est le cas en physique newtonienne) mais à nombre baryonique fixé.
2 Pour plus de détails historiques, on peut se reporter à Rieutord (2001).
3 Il s’agit plus précisément de la perturbation eulérienne ajoutée à la rotation rigide.

3.3 Modes inertiels et r-modes 97
Figure 3.2 – Champ de vitesse des modes r avec l = m = 2. Source : K. Lockitch via J.
Ruoff.
du déloppement multipolaire post-newtonien de la luminosité [voir par exemple Blanchet
(2002)] est en effet de la forme
où
dE
dt
gw
= −Ωr
Nl =
∞
l=2
4 π GN
c 2l+1
Nl Ω 2l+1
i
|dEDlm| 2 + |dEJlm| 2 , (3.48)
(l + 1)(l + 2)
. (3.49)
lp(l − 1)[(2l + 1)!!] 2
Le premier terme correspond aux multipôles de masse qui valent
dEDlm =
dV dEn r l Y ∗
lm
et le deuxième aux multipôles de courant définis par
dEJlm = 2
l
c l + 1
dV r l
(3.50)
n dEv + dEn
Ω Y B∗
lm . (3.51)
On voit, grâce à ces équations, qu’un mode pour lequel la densité et la vitesse ont des
perturbations du même ordre de grandeurs (dans des unités bien choisies) a une luminosité
dominée par les multipôles de masse puisque, pour un couple (l, m) donné, le terme de
courant comporte la vitesse de la lumière au dénominateur. Cependant, pour des modes
associés à de faibles variations de densité (tels les modes inertiels) ces termes de courant
dominent, et il peut même arriver que leur rôle ne soit pas négligeable. Par ailleurs, ces
formules, dans lesquelles le terme Nl a un dénominateur en c 2l+1 , justifient le fait que les
modes r avec l = m = 2 sont les plus intéressants.

98 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
Mais un autre point très important est mis en évidence par l’équation (3.47) qui donne
la fréquence des modes r dans le référentiel lié au fluide. On y voit en effet que, dans la
limite newtonienne, ces modes sont rétrogrades dans ce référentiel, alors que leur fréquence
dans le référentiel inertiel est
wi = − m Ω
(l + 2)(l − 1)
, (3.52)
lp(l + 1)
ce qui signifie qu’ils y sont progrades. Ainsi, le fait que cette fréquence soit proportionnelle
à Ω implique que les modes r newtoniens vérifient le critère CFS quelle que soit la vitesse
de rotation de l’étoile.
Cependant, puisque leurs multipôles de masse sont négligeables et que la communauté
s’est avant tout intéressée aux modes f, il fallut attendre Andersson (1998) pour que
l’on découvre que les remarques précédentes sont également valables dans le cadre de
la relativité générale et que ces modes sont donc, a priori, très intéressants du point
de vue des ondes gravitationnelles. Le travail d’Andersson fut numérique, et peu après,
Friedman & Morsink (1998) démontrèrent analytiquement (à l’aide de la généralisation
relativiste de l’énergie canonique définie précédemment) que les modes axiaux étaient en
effet instables dans tout fluide relativiste parfait, quelle que soit sa vitesse de rotation. A
partir de ce moment-là, une grande attention fut donc portée aux modes r et la question
majeure devint leur pertinence dans une étoile à neutrons réelle, où la viscosité peut
inhiber l’apparition de leur instabilité qui est séculaire. Puisque depuis cette époque, les
modes r ont été le sujet de très nombreuses études, il serait assez fastidieux et inutile
d’en faire la liste alors que plusieurs revues existent déjà. Cependant, afin de se faire une
meilleure idée de la pertinence probable de cette instabilité, on pourra comparer la figure
3.3 [issue de Andersson & Kokkotas (2001)] avec la figure 3.1. La taille exacte de cette
fenêtre d’instabilité des modes inertiels est encore indéterminée, mais elle est bien plus
importante que celle des autres modes. Par la suite, on n’abordera que les travaux qui
ont eu une incidence (directe ou non) sur ceux présentés dans les chapitres 4 et 5, en
finissant par un bref résumé de ce qui semble être l’opinion actuelle de la communauté sur
l’intérêt des modes r. Pour plus de détails, on pourra consulter les revues par Andersson
& Kokkotas (2001) et par Friedman & Lockitch (2002).
3.3.2 Etudes non-linéaires
Dès la découverte d’Andersson, l’une des questions majeures qui se posèrent fut l’impact
des couplages non-linéaires. En effet, lorsqu’une instabilité hydrodynamique croît,
elle finit par atteindre une amplitude pour laquelle sa croissance s’arrête suite aux couplages
avec les autres modes 1 . Mais selon les situations, cette amplitude de saturation
peut avoir des valeurs très différentes. Dans le cadre des instabilités qui sont sources
d’ondes gravitationnelles, la détermination de l’amplitude de saturation est de première
1 Il y a une redistribution de l’énergie par un phénomène de cascade principalement vers les modes à
courtes longueurs d’ondes, qui sont aussi ceux pour lesquels la viscosité joue un rôle plus important.

P K /P
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3.3 Modes inertiels et r-modes 99
dynamical stability limit
shear viscosity
dominates over
radiation reaction
r-mode instability window
bulk viscosity
dominates over
radiation reaction
0.0
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
log 10 (T/1K)
Figure 3.3 – Fenêtre d’instabilité des modes r dans une étoile à neutrons. Figure issue
de Andersson & Kokkotas (2001).
importance puisqu’une amplitude trop faible rendrait caduc le mécanisme de croissance
et ne mènerait pas à une production conséquente d’ondes gravitationnelles. Le premier
travail effectué sur ce sujet fut celui de Stergioulas & Font (2001). Ils firent une évolution
temporelle numérique non-linéaire et relativiste de modes r “lâchés” avec une amplitude
initiale assez importante dans un espace-temps figé par l’approximation de Cowling, et ne
trouvèrent pas de saturation des modes. Ce résultat surprenant fut suivi par une étude de
Lindblom et al. (2001) [voir aussi Lindblom et al. (2002)] qui firent une évolution temporelle
non-linéaire newtonienne avec des modes r linéaires de faibles amplitudes pour conditions
initiales. Ils ajoutèrent dans leurs équations une force de “réaction à la radiation”
post-newtonienne. Cette force, dont l’allure fait intervenir les multipôles post-newtoniens,
traduit l’effet de l’émission d’ondes gravitationnelles sur le fluide qui les produit [pour
une description un peu plus précise, voir Blanchet (2002) ou le début du chapitre 4].
Cependant, elle comporte des dérivées temporelles d’ordres élevés (voir les formules quadrupolaires
présentées dans le chapitre 1) et un couplage avec les modes fluides qui est
très faible puisque l’instabilité est séculaire. Ainsi, afin d’avoir un temps de calcul qui soit
techniquement réalisable, Lindblom et al. utilisèrent des valeurs non-physiques (en diminuant
la vitesse de la lumière) et supposèrent une dépendance harmonique des dérivées
temporelles. De cette façon, ils aboutirent à une saturation, mais sous la forme d’une
déferlante (voir la figure 3.4).
Le principal problème rencontré lors des études numériques précédentes est le traitement
des petites échelles. En effet, les méthodes utilisées reposent sur des schémas
spatiaux par différences finies pour lesquels la résolution numérique actuelle limite l’accès
à des échelles trop faibles. Or, c’est à ces petites échelles, jouant un rôle fondamental
dans l’apparition de la turbulence, que la viscosité est la plus efficace. Il apparaît alors

100 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
que la manière la plus adéquate de traiter l’hydrodynamique non-linéaire et l’apparition
de turbulence est l’utilisation de méthodes spectrales, qui constituent une spécialité du
groupe de relativité numérique de Meudon. Une étude hydrodynamique non-linéaire des
modes inertiels a été entreprise avec Silvano Bonazzola au sein de ce groupe. Le cadre
précis retenu fut celui de l’hydrodynamique newtonienne avec incorporation d’une force
post-newtonienne, comme l’ont fait Lindblom et al. (2001). L’ambition était de parvenir
à un travail dans lequel les non-linéarités seraient traitées de manière plus physique et où
la force de réaction ne serait pas artificiellement amplifiée. Afin d’éviter divers problèmes
numériques et de pouvoir traiter le cas d’une étoile en rotation lente 1 , une approximation
issue de la physique atmosphérique fut employée : l’approximation anélastique.
Néanmoins, atteindre l’objectif final s’est avéré bien plus complexe que cela ne pouvait
sembler a priori, puisque l’étude linéaire est elle-même assez riche. Ainsi, l’article Villain
& Bonazzola (2002) présenté dans le chapitre 4 décrit le code hydrodynamique, les tests
qui ont servi à le valider ainsi que des résultats obtenus avec la version linéaire. Aucun
résultat non-linéaire n’apparaîtra ici puisque nous avons décidé “d’achever au maximum”
le travail dans un cadre linéaire avant de continuer dans le non-linéaire 2 . Or, une fois une
version newtonienne linéaire obtenue, il fut assez simple de la modifier pour permettre
d’étudier les modes inertiels relativistes linéaires avec l’approximation de Cowling. En
effet, en choisissant convenablement les variables utilisées dans les calculs, il est possible
d’exprimer les équations du mouvement (3.34) ou (3.37) d’une manière très semblable aux
équations newtoniennes de Navier-Stokes (3.5). Ainsi, le chapitre 4 finit par la présentation
des premiers résultats obtenus dans le cadre relativiste, tandis que le chapitre 5 contient
des résultats plus détaillés pour lesquels l’étude fut enrichie.
3.3.3 Etoiles barotropes ou isentropes
Dans le cadre de l’astrophysique non-relativiste, les modes r furent initialement étudiés
par Papaloizou & Pringle (1978a), (1978b) qui les nommèrent ainsi. Provost et al. (1981)
furent cependant les premiers à remarquer que lorsque l’on cherche une solution purement
axiale de l’équation d’Euler avec une équation d’état barotrope, seuls existent les modes
vérifiant l = m. Puisqu’une étoile à neutrons est en assez bonne approximation décrite
par une équation d’état barotrope et puisque travailler avec une équation d’état nonbarotrope
est une complication supplémentaire, les premiers travaux ne s’intéressèrent
qu’aux étoiles barotropes. Mais rapidement, Lockitch et al. (2001) montrèrent que dans
le cadre relativiste, la situation est assez différente. Ainsi, ils prouvèrent qu’il n’existe pas
1 ce que n’ont pas fait Stergioulas & Font (2001) ou Lindblom et al. (2001), alors que plusieurs arguments
astrophysiques plaident en la faveur d’étoiles à neutrons nées en rotation assez lente. Voir
l’introduction du chapitre 4 pour une discussion plus détaillée.
2 Un formalisme perturbatif du second ordre pour les étoiles en rotation a été récemment développé
[Voir Schenk et al. (2002), Morsink (2002) et Arras et al. (2002)]. Les résultats analytiques obtenus dans
ce cadre suggèrent une saturation des modes r pour des amplitudes très faibles. Cela semble donc bien
aller dans le sens de problèmes de résolution dans les études numériques précédentes, ce qu’indique aussi
une étude numérique par différences finies, Gressman et al. (2002), où différentes résolutions ont été
comparées.

3.3 Modes inertiels et r-modes 101
Figure 3.4 – Déferlante de modes r selon Lindblom et al. (2001).
de modes purement axiaux pour une équation d’état barotrope. Cette différence fondamentale
entre modes inertiels newtoniens et relativistes avait en fait été mise en évidence
un peu auparavant par Kojima (1998). Il avait en effet observé que, même si pour les
modes newtoniens la fréquence est indépendante de la structure de l’étoile à l’ordre le
plus bas en Ω [voir l’équation (3.47)], ce n’est plus le cas pour les modes relativistes.
Cette différence majeure provient du phénomène dit de frame dragging qui traduit une
sorte d’entrainement de l’espace-temps par l’étoile en rotation. Or, l’existence de ce frame
dragging implique que dans les équations d’Euler relativistes linéarisées et à la limite de la
rotation lente, il y a en retour un couplage entre les parties polaire et axiale de la vitesse,
même à l’ordre le plus bas en Ω. Dans le cadre newtonien, un tel couplage n’apparaît que
pour des rotations plus rapides et n’est lié qu’à la déformation de l’étoile (voir l’introduction
du chapitre 4). En revanche, lorsque l’équation d’état adoptée n’est pas barotrope,
la situation est différente, et l’existence de modes purement axiaux dans le cas relativiste
fut plus longue à être reconnue. En effet, les équations relativistes étant assez ardues, les
premiers calculs de modes axiaux ont été faits dans le cadre de la rotation lente, à l’aide
des équations obtenues par Kojima (1992) (c’est au moyen de ces équations qu’Andersson
a découvert l’instabilité des modes r). Mais suite au frame dragging, l’opérateur linéaire
permettant de calculer les modes peut présenter un “spectre continu” voire des singularités.
Ainsi, certains doutèrent même longtemps de l’existence des modes r [voir Ruoff
& Kokkotas (2001), Ruoff & Kokkotas (2002)]. Néanmoins, plusieurs articles montrèrent
par la suite que le problème apparent venait de la façon dont l’approximation de rotation
lente avait été traitée dans ces calculs de modes [Kojima & Hosonuma (2000), Lockitch
& Andersson (2003)], et qu’il était possible de les observer même à l’intérieur du spectre
continu [Yoshida & Lee (2002), Ruoff et al. (2002), Ruoff et al. (2003), Lockitch et al.
(2001)].
En plus de présenter des résultats relativistes, avec équations d’état barotropes, qui
prolongent le chapitre 4, le chapitre 5 décrit le cadre et les premiers résultats d’un travail en

102 Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
cours avec Silvano Bonazzola et Pawe̷l Haensel. Comme cela a déjà été expliqué, l’idée est
de parvenir à une évolution temporelle numérique dans laquelle l’équation d’état utilisée
dépendrait explicitement de deux paramètres et serait assez réaliste. L’une des premières
choses entreprises fut la “vérification” numérique de l’existence de modes r pour ces
équations. Nous avons ainsi assez facilement trouvé des modes inertiels purement axiaux
dans ce contexte.
3.3.4 Questions ouvertes
Le résultat d’Andersson (1998) et de Friedman & Morsink (1998) n’étant valable que
pour un fluide parfait, la question du rôle de la viscosité dans une véritable étoile à neutrons
s’est rapidement posée. Cependant, dans les premières études qui ont été faites sur
l’instabilité des modes r, on n’a considéré que la viscosité due à des processus assez classiques
faisant intervenir la matière npe. Or, depuis, plusieurs études ont montré que la
dynamique pourrait être très fortement affectée par la présence de particules exotiques.
En effet, pour être vraiment complète, une simulation de l’évolution d’instabilités hydrodynamiques
devrait également prendre en compte l’évolution thermique de l’étoile. Or,
dans le cas où des hypérons sont présents 1 , l’évolution thermique pourrait être tellement
rapide que l’instabilité des modes n’aurait pas le temps de se développer. Plusieurs travaux
ont donc été réalisés depuis [voir par exemple Lindblom & Owen (2002), Haensel et al.
(2000), (2001) et (2002)] mettant en évidence l’influence de la “viscosité volumique” des
hypérons (avec ou sans superfluidité de ces derniers) : le refroidissement par ces canaux
est si rapide que l’instabilité des modes inertiels n’est apparemment pas pertinente si des
hypérons sont présents dans les étoiles à neutrons. Mais comme cela a déjà été signalé
dans le chapitre 2, la structure interne des étoiles à neutrons est encore un sujet très
incertain et la discussion reste ouverte.
1 ce qui avait été proposé dès 1969 par Langer & Cameron, comme l’a rappelé Jones (2001a). Voir
aussi Jones (2001b).

Chapitre 4
Inertial modes in slowly rotating
stars : An evolutionary description
Sommaire
Abstract
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Equations and numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3 Mass conservation, boundary conditions and approximations 115
4.4 Test and calibration of the code . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.5 Differential rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6 Strong Cowling approximation in GR . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.8 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Loïc Villain and Silvano Bonazzola
Laboratoire Univers et THéories
(F.R.E. 2462 du CNRS) / Observatoire de Paris,
F-92195 Meudon Cedex, France.
Phys. Rev. D 66 : 123001 (2002).
We present a new hydrocode based on spectral methods using spherical coordinates.
The first version of this code aims at studying time evolution of inertial modes in slowly
rotating neutron stars. In this paper, we introduce the anelastic approximation, developed
in atmospheric physics, using the mass conservation equation to discard acoustic waves.
We describe our algorithms and some tests of the linear version of the code, and also some
preliminary linear results. We show, in the Newtonian framework with a differentially rotating
background, as in the relativistic case with the strong Cowling approximation, that
the main part of the velocity quickly concentrates near the equator of the star. Thus, our
time evolution approach gives results analogous to those obtained by Karino, Yoshida,

104 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
and Eriguchi [Phys. Rev. D 64, 024003 (2001)] within a calculation of eigenvectors. Furthermore,
in agreement with the work of Lockitch, Andersson, and Friedman [Phys. Rev.
D 63, 024019 (2001)], we found that the velocity seems to always get a nonvanishing polar
part.
4.1 Introduction
In 1998, Andersson discovered that in any relativistic rotating perfect fluid, r-modes 1
are unstable via the coupling with gravitational radiation. This is just a particular case
of the Chandrasekhar-Friedman-Schutz (CFS) mechanism discovered in the seventies [see
Chandrasekhar (1970) and Friedman & Schutz (1978a), (1978b)]. However, a characteristic
of r-modes is the fact that this instability is expected whatever the speed of rotation of
the star [see also Friedman & Morsink (1998)]. This discovery triggered important activity
in the neutron stars (NS) community since such inertial instabilities might contribute to
the explanation of the observed relative slow rotation rates of young and recycled NS
[see Bildsten (1998)]. Moreover, such an instability could in principle make of NS efficient
sources of gravitational waves (GW) for observation by the ground interferometric detectors
under construction or their direct descendants. Nevertheless, as various not always
well-known physical processes take place which might inhibit the growth of r-modes in
real NS, their relevance is still questionable at this time. More details can be found in the
reviews by Andersson & Kokkotas (2001) and by Friedman & Lockitch (2002).
The present study was originally motivated by the results announced by Lindblom
et al. [see Lindblom (2001) and Lindblom et al. (2001)]. These authors computed, in the
highly nonlinear regime, the evolutionary track of the CFS instability of r-modes in a
Newtonian NS with a magnified approximate post-Newtonian radiation reaction (RR)
force. In their calculation, they found a rapid growth of the mode, until strong shocks
appeared and quickly damped it. A recent article by Arras et al. (2002) asserts that this
phenomenon was just an artifact linked with the huge RR force. Yet, we found those
results so interesting and so surprising that we decided to try to reproduce and better
understand them with a different approach. The code of Lindblom et al. was written in
cylindrical coordinates with a 3D finite difference scheme and they studied fast rotating
stars. We chose to create a spectral code in spherical coordinates and to begin with a
slowly rotating NS.
The use of spectral methods was motivated by the fact that they can provide a deep
insight in describing the turbulence generated by quadratic terms. This is analogous to
1 In this paper we shall use the terminology of the hydrocommunity : inertial modes are the oscillatory
modes of a fluid whose restoring force is the Coriolis force. R-modes [or purely toroidal (axial) modes]
then form a subclass of inertial modes. The later were discovered by Thomson in 1880. The reader can
find a short point of history in Rieutord (2001).

4.1 Introduction 105
what is done with Fourier analysis in the study of homogeneous turbulence [e.g. Lesieur
(1987)]. Furthermore, we chose a slowly rotating NS for several reasons that will be explained
in the following.
Since NS are known for their quite rapid rotation and since inertial modes have for
restoring force the Coriolis force, an a priori reasoning would probably lead to the conclusion
that the only or most interesting case of inertial modes to study is the case of modes
in a fast rotating NS. However, the final answer is not so easy to decide, as among observational
data and among models of cooling of pulsars, many things in fact support slowly
rotating newborn single NS. For instance, the estimations of the rotation periods at birth
of the two historical x-rays and radio pulsars whose ages are known exactly [the 820 year
old 65.8 ms period pulsar in SNR 3C58, see Murray et al. (2002), Camilo et al. (2002),
and the 948 year old 33 ms period Crab pulsar] are, respectively, 60 ms [Murray et al.
(2002)] and 14 ms [Bonazzola & Marck (1994)]. Moreover, compared with the assessment
of the angular momentum of isolated supergiant stars (whose core collapses will give type
II supernovæ and then potentially NS), these numbers show that important losses of angular
momentum are expected to happen during the stellar evolution. Furthermore, this is
the same concerning the giant phase of less massive stars that give white dwarfs. Indeed,
the observed rotation periods of 19 white dwarfs range between 12.1 min and 12 days
with a median value of about 1 h [Schmidt (2001)] but, if the Sun shrank without losing
any angular momentum into a white dwarf of the same mass with a radius of 5000 km,
its rotation period would be of a few minutes only. In the stellar evolution community,
several ways to explain these weak angular momenta can be found and the final answer
is still not clear. But a quite accepted idea is that magnetic fields probably play the key
role via magnetic braking type mechanisms [Schatzman (1962)]. And whatever the actual
mechanism, the current conclusion in this community is that a huge amount of angular
momentum is supposed to be lost during the stellar evolution for main sequence stars of
any mass. Then, the most difficult thing to explain in stellar evolution physics seems to
be the reason why these rotation periods at birth (of the orders of 1 h for white dwarfs
and of 1 ms for NS) are so small [e.g. Spruit (1998) and Spruit & Phinney (1998)] : stellar
evolution scenarios do not expect baby NS to be fast rotating.
However, it can be mentioned that some isolated fast rotating NS are found. But, for
the most part, the current idea is that these stars have been recycled in binary systems.
In these systems, where fast rotating NS exist, the NS is thought to have been spun up by
the accreted matter. The recent discoveries of accreting millisecond pulsars (XTEJ0929-
314, SAXJ1808.4-3685, XTEJ1751-305 and 4U 1636-53) whose rotation frequencies are
respectively 185, 401, 435 and 581 Hz [Strohmayer & Markwardt (2002)] (corresponding
to respective periods of 5.4, 2.5, 2.3 and 1.7 ms) support the above scenario. Yet, there is
also an example of a single millisecond pulsar associated with a supernova remnant : PSR
J0537-6910 whose period is 16 ms, whose age is about 5000 yr, and which is supposed to
have had an initial period of a few ms [see, for instance, Marshall et al. (1998)]. Hence,
in spite of all the above arguments, the existence of rapidly rotating baby NS should not

106 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
be completely excluded. Moreover, a fast rotating baby NS with very weak magnetic field
and consequently very weak losses of angular momentum due to magnetic braking-like
mechanisms during the supergiant phase would escape to the observations as pulsars but
would be very interesting as GW sources.
Nevertheless, such a discussion does not make clear the important point. Indeed, whatever
the value of the frequency, it does not directly tell if a pulsar is fast rotating or if it
is not. What determines in a particular work, if a NS can be regarded as (quite) slowly
rotating is the relative importance of the deformation for this study. In a more general
framework, this question is settled by the ratio between the angular velocity of the pulsar
and its Keplerian angular velocity. Even for the fastest rotating known pulsars (that are
in binary systems) this ratio is less than a third, since the Kepler frequency is around 1
ms [see Haensel & Zdunik (1989)]. Furthermore, what is implied in the hydrodynamics
of a NS is not this ratio, but its square. Hence, in appropriate units, this factor is less
than 10 % of the Coriolis force for most of the NS. Anyway, there is a last crucial issue.
In a Newtonian star, even if this factor is a few percent correction in the equation of
motion, it is fundamental since it creates a coupling between the polar and the axial parts
of the velocity. Yet, in a relativistic star, the situation is completely different as noticed
by Kojima (1998). Indeed, in a relativistic rotating star, the frame dragging term has the
same qualitative result : it makes a coupling between the polar and the axial parts of the
velocity. But, in appropriate units, this coupling is scaled by the ratio between the angular
velocity and the Keplerian angular velocity and not by the square of this ratio. Hence,
even for the fastest rotating known NS, the deformation introduces a kind of second order
correction that can be neglected in a first approach 1 .
Thus, our choice of using the slow rotation limit as a first step was motivated by all
the astrophysical reasons mentioned above : even for the millisecond pulsar, the slow rotation
approximation is still quite good. But, secondly, we wanted to look for a possible
saturation due to nonlinear coupling that may occur before a highly nonlinear regime is
reached. To better understand such a phenomenon, we thought it was probably wiser to
begin with an easier situation in which there are not several effects with consequences of
the same orders of magnitude. Thus, we began to build a nonlinear hydrodynamics code
using the Newtonian theory of gravity and the slow rotation approximation. But, once a
linear Newtonian code had been written (the first step to a nonlinear version), upgrading
it to a general relativity (GR) linear code with strong Cowling approximation 2 was quite
1 As an example, we verified that, for a rotation frequency of 300 Hz in a star of 1.7 M⊙ with a fully
relativistic code for stationary configuration of rotating stars, the coupling between the spherical harmonic
terms due to the drag effect is one order of magnitude larger than the coupling due to the deformation.
2 In December 2001, during a workshop on r-modes which took place at the Meudon site of the Paris
Observatory, Carter suggested to call the strong Cowling approximation the approximation in which all
the coefficients of the metric are frozen. This name was chosen to contrast with what should be called the
weak Cowling approximations where some perturbations of the metric are allowed. See, for instance, the
work of Ruoff & Kokkotas [2001, 2002] and Lockitch et al. (2001) using the Kojima equations [Kojima
(1992)].

4.2 Equations and numbers 107
obvious and we chose it for a second approach to inertial instabilities. Indeed, as was
already mentioned above, Kojima first noticed in 1998 that the frame dragging phenomenon
makes the relativistic r-modes quite different from the Newtonian r-modes. But
concerning this linear relativistic study, we also decided to begin with the slow rotation
limit to try to get a better understanding of the spherical relativistic case before putting
what can be seen as a second order correction.
This article is organized as follows : in Section 4.2, we start by describing the physical
conditions we chose in the Newtonian case. Then we write the Navier Stokes equations
(NSE) in dimensionless form, and the RR force we introduced in the linear study. This
enables us to calculate the associated characteristic numbers and to observe that the
corresponding numerical problem is a stiff one with typical time scales being orders of
magnitude different. We discuss some approximations that can be made in Section 4.3.
The most important of them is the anelastic approximation. Section 4.4 explains the
basic tests of the code with for instance, the linear l = m r-modes in a rigidly rotating
spherical fluid. This admits an easy and analytical solution of the Euler equation (EE) in
the divergence-free approximation. We demonstrate that, thanks to spectral methods, the
velocity profile is exactly determined and preserved within the round-off errors. We also
show that the error in the conservation of the energy is only due to the time discretization
and that it vanishes as the cube of the timestep ∆t. Finally, this section ends with tests
of the anelastic approximation and of the RR force we adopted. Section 4.5 deals with
results obtained in a differentially rotating NS. As expected, pure r-modes are replaced
with inertial modes which are still CFS unstable, even if they are no longer purely axial.
Moreover, we show that if the amplitude of the difference of angular velocity between the
interior and the surface of the star is sufficiently large, these modes quite rapidly develop
a kind of “singularity” in the first radial derivative of the velocity. There is then a kind
of concentration of the motion near the surface and mainly near the equatorial plane.
Our time evolution approach thus provides results of the same kind of those obtained by
Karino et al. (2001) with a modes calculation. A viscous term has to be added in order
to regularize the solution, but it does not change the qualitative result. We shall discuss
this result in the Conclusion. In Section 4.6 we give some first results for the GR case
in a slowly rotating NS with the strong Cowling approximation. In this framework, the
above conclusions still hold. More results in GR will be given in a future article that is in
preparation. The Section 4.7 contains the conclusion and discussion. A detailed description
of the numerical algorithm is given in the Appendixes.
4.2 Equations and numbers
4.2.1 The barotropic case in Newtonian gravity
Cooling calculations [e.g. Nomoto & Tsuruta (1987) and Yakovlev et al. (2001b)]
showed that several minutes are enough to enable the NS matter to fall far below its

108 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
Fermi temperature, which is roughly 10 10 K. Furthermore, in the Newtonian nonlinear
hydrodynamics of a not too young slowly rotating NS, it is not worth trying to use a very
sophisticated equation of state (EOS). We shall therefore adopt a barotropic EOS. With
those assumptions, we have
P = P [n], (4.1)
where P is the pressure and n the mass density, and the Poisson equation for the gravitational
potential U is
∆ U = 4π GN n (4.2)
The Newtonian Navier-Stokes equations (written in the inertial frame for a rigidly
rotating NS) are
(∂t + Ω ∂ϕ)
W + W · ∇
W + 2 Ω ∧ W + ∇H = (4.3)
1 ∇ ∇η · W
+ n
∇ ∧ W ∧ ∇η + η∆ W − W ∆η + ζ
η
∇ + ∇ · W
+ 3
A.
Here we take (r, ϑ, ϕ) for a spherical system of coordinates in the inertial frame. In
this system, ϑ = 0 coincides with the direction of the rotation axis of the NS, which is
parallel to the angular velocity : Ω = Ω ez. W is the velocity in the corotating frame, i.e.
the part that is added to the velocity of the rigidly rotating background when a mode is
present. Note that both velocities can be of the same order in the nonlinear case. This
is the reason why we shall not use the term Eulerian perturbation for W . Otherwise,
H = 1 dP dn is the enthalpy, η and ζ are, respectively, the dynamical shear and bulk
n dn
viscosity coefficients, and finally A contains any external accelerations (or force per unit of
mass). The modifications that are needed in the case of the linear study with differential
rotation or in the relativistic linear case are, respectively, discussed in Sections 4.5 and 4.6.
In what follows, A is mainly the effective gravitational acceleration, i.e. the gradient
of the difference between the centrifugal potential 1
2 Ω2 ρ 2 and the gravitational potential
U, where ρ is the distance from the rotation axis. In the linear regime, we will sometimes
introduce an RR acceleration [cf. Blanchet (1993) and (1997)] of the form
where
and
ARRj = 4
c 2 vi ∂jΥi ,
Υi = 4 G
45
Skm[t] = ɛpq(k
c 5 ɛijkx j x m S km(5) [t] (4.4)
d 3 x n xm )x p v q ,
with (km) = 1
2 (km + mk), vi being the full velocity and the superscript (5) the fifth time
derivative, which can not be easily calculated in a numerical work [see Rezzolla et al.
(1999)]. Note that this formula is valid only if written with Cartesian components of the

4.2 Equations and numbers 109
tensors and this is the reason why we did not really make a distinction between contra and
covariant components. Finally, we insist on the fact that such an acceleration does not
include any mass multipole but only the current quadrupole that is the most important
coefficient for the emission of GW by axial modes in a slowly rotating NS.
To fulfill the system of equations, we need to add the mass continuity equation :
(∂t + Ω ∂ϕ) n + W · ∇n + n ∇ · W = 0. (4.5)
Taking into account that the EOS is a barotropic one, the preceding equation can be
written in a slightly different way, but we will discuss it in the Section 4.3.
As far as inertial modes are concerned, the typical time scale and length scale are 2πΩ−1 and R, the characteristic length of the background star. The velocity associated with those
values, R Ω, can be very far from the characteristic velocity of the mode. Another velocity,
scaling that of the mode, must be introduced. But instead, we introduce α, a pure number
that is defined as the ratio of these two velocities. Otherwise, the typical mass is obviously
the star’s, M⋆ ∼ 1.4M⊙. Bearing all this in mind, we define the following dimensionless
variables :
ξ = 1
R r, τ = t Ω, V 1
=
α Ω R W ,
˜H
ξ
d ξ
=
b ξ
= 1
n [r] , s
n0
=
ξ
=
1
λ n0 Ω R2 ζ [r] , ez = 1
Ω Ω,
1
α Ω 2 R 2 H [r] and Σ
1
η [r] , (4.6)
ν n0 Ω R2
ξ
= 1
α Ω 2 R A [r] .
Thus the motion equations are written [with same conventions than in the Equation (4.3)]
as
(∂τ + ∂ϕ)
V + α V · ∇
V + 2ez ∧ V + ∇ ˜ H =
ν ∇ ∇s · V
+ d
∇ ∧ V ∧ ∇s + s∆ V − V ∆ s +
λ s ∇ b + ∇ · V
+ ν 3
Σ,
where the ∇ and ∆ operators are now performed with dimensionless variables (ξ, ϑ, ϕ)
instead of (r, ϑ, ϕ).
Here, we have introduced the following notation :
- α a pure number, characteristic of the initial amplitude of the mode, but also of the
ratio of the nonlinear term and the Coriolis force. With our conventions, α is twice
the usual Rossby number and V is a vector whose norm at t = 0 is equal to 1 in a
given point on the equator.

110 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
- n0 = M⋆/( 4
3 πR3 ). For the full slow rotation limit approximation (only terms linear
in Ω and spherical shape), R would be the radius of the star and then n0 the mean
density.
- s(hear) and b(ulk) dimensionless functions, and ν and λ pure numbers, all chosen in
such a way that if there is any viscosity, s and b are equal to 1 in a specific position.
Typically, for a single fluid model, this would be the center of the star. Nevertheless,
it is worth pointing out that to build a more realistic model of NS, several different
layers could be made to coexist. In this case, there would be different ν and λ, hugely
depending on the shell [see, for instance, Haensel et al. (2000), (2001) et (2002)].
With our definitions, those numbers ν and λ are twice the usual Ekman numbers,
and they then quantify the ratios between the viscosities and the Coriolis force.
- ˜ H and Σ, respectively, the dimensionless enthalpy and the dimensionless external
accelerations, both scaled by the inverse of α.
Concerning the latter quantities, we cut them in two parts and use for variables the
difference between their present values and their values in the steady state. For the background
parts, we then have
Σ0 = − ∇Ũ + (ξ sin ϑ)2
∇
2 α
with ∇ ˜ H0 = Σ0. (4.7)
This equality enables the background to be a solution of the NSE and can be solved
separately. From now until the end, we consider that this condition is realized, and we
forget about Σ0 and ˜ H0 (except in the mass conservation equation where the latter still
appears as an external parameter).
Finally, some words about the Newtonian gravitational field. Inertial modes are current
oscillations associated with small density variations. In this context, it is natural to use
the Cowling approximation [Cowling (1941)] which consists of forgetting fluctuations of
the gravitational field [see the relevance of this approximation for Newtonian r-modes in
Saio (1982)]. We will apply it for the nonlinear study. Nevertheless, for the Newtonian
linear study, we shall see later that depending on the way mass conservation is treated,
it may be not necessary (see Section 4.3 for more details). In this case, we have
Σ = Σ0 + σ with σ = − ∇δŨ (4.8)
where δŨ is the Eulerian perturbation of the dimensionless gravitational potential.

4.2 Equations and numbers 111
4.2.2 Dimensionless equations of motion for the spherical components
of the velocity
The equations of motion for the spherical components of the velocity in the orthonormal
basis associated with (ξ, ϑ, ϕ) are given by
∂τVr + ∂ϕVr + V · ∇
Vr − 1
2 V ξ ϑ + V 2
ϕ − 2 sin ϑ Vϕ + ∂ξ ˜ h =
ν (∂ξs) (2 ∂ξVr) + s ∆Vr − d
2
ξ2
1
sin ϑ∂ϑ (sin ϑ Vϑ) + 1
sin ϑ∂ϕVϕ
+ Vr
− ∂ξs ∇ · V
+ ∂ξ
∇ · V
+ σr,
ν
d
where
∂τVϑ + ∂ϕVϑ +
(∂ξs)
∂ξVϑ + 1
V · ∇
Vϑ + 1
ξ
ξ (∂ϑVr − Vϑ)
+ 1
ξ ∂ϑ
∂τVϕ + ∂ϕVϕ +
λ b
ν
λ
ν
b + s
3
VϑVr − V 2 ϕ cot ϑ − 2 cos ϑ Vϕ + 1
ξ ∂ϑ ˜ h =
+ s ∆Vϑ + 1
ξ2
2∂ϑVr − Vϑ
sin2 2 cos ϑ − [ϑ] sin2 [ϑ] ∂ϕVϕ
∇ · V
+ σϑ, (4.9)
+ s
3
V · ∇
Vϕ + 1
ξ (VϕVr + VϕVϑ cot[ϑ])
+ 2 (sin ϑ Vr + cos ϑ Vϑ) + 1
ν (∂ξs) ∂ξVϕ + d
1
+ s ∆Vϕ + 1
ξ2
2
sin ϑ∂ϕVr 2 cos ϑ +
∇ · V
+ σϕ,
+ 1
ξ sin ϑ ∂ϕ
∆f = 1
ξ ∂2 ξ (ξ f) +
is the scalar Laplacian, while
and
V · ∇
∇ · V = 1 2
∂ξ ξ Vr +
ξ2 λ b
ν
ξ sin ϑ ∂ϕ ˜ h =
ξ sin ϑ (∂ϕVr − sin ϑ Vϕ)
+ s
3
sin2 [ϑ] ∂ϕVϑ − Vϕ
sin2 [ϑ]
1
ξ 2 sin ϑ ∂ϑ (sin ϑ ∂ϑf) +
1
f = Vr∂ξf + Vϑ
ξ ∂ϑf +
1
ξ sin ϑ ∂ϑ (sin ϑ Vϑ) +
1
ξ 2 sin 2 ϑ ∂2 ϕf
1
ξ sin ϑ Vϕ∂ϕf
1
ξ sin ϑ ∂ϕVϕ.
In the above equations, we assume s to only depend on ξ in the (ξ, ϑ, ϕ) system of
coordinates. This assumption is linked with the slow rotation limit we should apply from
now. This approximation supposes that the star is slowly rotating compared with its Kepler
frequency. As explained in the Introduction, observational data make this assumption
credible, while known pulsars seem to rotate with a velocity smaller than a third of their

112 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
Kepler velocity. In the lowest framework, only terms linear in Ω are kept, and the background
star is supposed to have preserved its spherical shape. Yet, to improve the slow
rotation approximation, one can go a step further and take into account the deformation
of the star, assuming it is a small order effect (or small quantum number l effect). To
make this improvement, it is sufficient to introduce a new variable χ[ξ, ϑ] that is equal to
the unity at the surface, that coincides with isosurfaces of pressure, enthalpy and density,
and that decomposes on m = 0 Legendre functions 1 . With our algorithm, the easiest way
to proceed would be to keep the spherical basis for the vectors, and to express all spatial
operators depending on (ξ, ϑ, ϕ) as the sum of the new operators depending on (χ, ϑ, ϕ)
and of terms to interpret as applied accelerations. More details can be found in Bonazzola
et al. (1997), (1998) and (1999). This will not be done in this paper, for reasons that
were also explained in the Introduction. Finally, note that we do not really solve these
equations. Indeed, we use the Helmholtz theorem [see, for instance, Morse & Feshbach
(1953)] that says that any vector of R 3 can be in a unique way written as the sum of a
divergence-free vector and of the gradient of a potential, given its normal component over
the boundary :
V = ∇ψ + ∇ ∧ V. (4.10)
Instead of working with the above Equations (4.9), we use the equation on the scalar
potential ψ and the equations on the ϑ and ϕ components of the divergence-free vector ∇∧
V. Most of the time, these equations cannot be reached analytically. The way to proceed
is then to separate the potential and the divergence-free parts of the initial equations
by numerically solving Poisson like equations obtained by taking their divergence. The
reader can find in the appendixes more details about these algorithms.
4.2.3 Characteristic numbers
To better understand what are the dominant processes in the dynamics of NS, it is
worth estimating characteristic time scales and associated numbers. The acoustic time,
i.e. the duration of the acoustic waves travel across the NS, is by far the shortest. For a
typical NS, it is about 2 × 10 −4 s 2 . As we are dealing with slowly rotating NS, the period
of rotation should be more than ∼ 2 × 10 −3 seconds (≡ 500 Hz). It follows that this time
is at least one order of magnitude greater than the acoustic time. It is then the same for
the typical period of inertial modes, their frequency being (at linear order) proportional
to Ω.
Another time scale is the viscous damping time associated with viscosity :
Tv ∼ n0 R 2
max[η, ζ]
1Restricting to the case m = 0 is sufficient for an isolated NS, but in a binary system, m = 2 should
also be included.
2This time is of the same order of magnitude as the inverse of the frequency of the fundamental
pressure mode, the so-called p-mode.

or
4.2 Equations and numbers 113
Tv ∼
1
2 max [Es, Eb] Ω ,
where Es and Eb are, respectively, the Ekman number for shear and bulk viscosities.
In other words, the Ekman number must be interpreted as characteristic of the ratio
between the period and the viscous time. This number is typically less than 10 −7 and
the viscous time is more than 7 orders of magnitude greater than the period [see Cutler
& Lindblom (1987) for more precise values]. A flow will be said “rotation dominated”
if the above Ekman and Rossby numbers are small compared to the unity. Note that
another usual hydrodynamical number appears with them : the Reynolds number, prodrome
of turbulence. In a rotating fluid, it is defined by the ratio between Rossby and
Ekman numbers, or in any fluid by the ratio between the nonlinear and the viscous terms.
The last typical time to evaluate here is the instability rising time Tg associated with
the RR force. To get an idea of its value, we come back to the dimensionless RR acceleration,
formulas (4.4) and definitions (4.6). Analytical calculation with V i being the l = m
linear r-mode (with time-dependent amplitude)
or in the spherical orthonormal basis
V = A[τ]
V = A[τ] 1
m R
ξ m
ξ ∧ ∇Ymm
0
ξ m (sin ϑ) m−1 sin[mϕ]
ξ m (sin ϑ) m−1 cos[ϑ] cos[mϕ]
(4.11)
(4.12)
(where R means the real part of the complex function), gives in dimensioned variables at
the lowest order for the m = 2 r-modes
∂tA[t] = GR7 Ω 6 n0
c 7
216 π
38 52 1
A[t] = A[t]. (4.13)
7 Tg
For a typical spherical NS with R = 10 km, M = 1.4 M⊙ and Ω ∼ (2 π)200 Hz, Tg is
something like 10 8 periods of the NS. Thus, depending on the viscosity given by the EOS,
it will or will not be larger than Tv, and then, the inertial instability will or will not be
relevant. At this step, a new typical number seems natural to introduce. We shall propose
to call “Chandra number” 1 the ratio between the viscous time Tv and the rising time Tg.
In the same spirit as the Rossby and Ekman numbers, it should also quantify the ratio
between the viscous and RR forces :
Ch = 216 π
38 52 G n0
7
2 R9 Ω6 c7 max[η, ζ]
. (4.14)
1 Chandrasekhar was the first who studied the gravitational radiation driven instability for the l =
m = 2 fundamental modes of uniform density MacLaurin spheroid in 1970. See Chandrasekhar (1970).

114 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
Numbers Definition Analytical expression
Ekman Ratio between P and Tv or between the viscous term
and the Coriolis force
E ∼ ν/ (nΩR2 )
Rossby Ratio between the typical velocities of the mode and
of the background fluid or between the nonlinear term
and the Coriolis force
Ro ∼ W/ (RΩ)
Reynolds Ratio between the Rossby and Ekman numbers or
between the nonlinear and viscous terms
Re ∼ nW R/ν
Chandrasekhar Ratio between Tv and Tg or between the RR force
and the viscous term
Ch ∼ n 2 GR 9 Ω 6 / (c 7 ν)
Tableau 4.1 – Characteristic numbers implied in the dynamics of inertial modes of
rotating NS. Note that the definition of Chandrasekhar number is adapted to be of the
order of 1 for linear l = m = 2 r-modes.
Note finally that with this factor ahead of the physical parameters, we ensure the
bifurcation value of Ch to be of the order of the unity, at least for the linear l = m = 2
r-mode. Indeed, this point is easily illustrated by looking at NSE for the linear l = m = 2
r-mode with time-dependent amplitude and a shear viscosity of the form s = 1 − ξ 2 . This
viscosity that vanishes at the surface implies no need to add more boundary conditions
(BC) and gives the exact (at the lowest order for the RR force) differential equation for
the amplitude :
∂tA[t] = 1
Tg
A[t] 1 − 2
Ch
where one easily sees that with this shape, the viscosity wins the battle against RR force
for Ch < 2. All the previous numbers are gathered in Table 4.1.
To end with this short discussion, we should insist on the most important conclusion
that is summarized in Table 4.2 : the above figures show how stiff is the numerical problem
of finding a dynamical solution of the NSE in this framework. This is a physical situation
in which several very different time scales appear. In order to get an efficient and accurate
code, some approximations have to be made.

4.3 Mass conservation, boundary conditions and approximations 115
Time scale Definition
Acoustic
Inertial
Viscous
Travel of acoustic waves
across the NS
NS’s period, same order as
the period of the linear r-mode
Damping of inertial modes
due to viscosity
Analytical
Expression
Ta ∼ R
cs
P = 2π
Ω
Typical value
(or range)
∼ 2.10−4s > 2.10 −3 s
Tv ∼ 1/ (2EΩ) > 10 7 P
Gravitational Growing due to RR force Tg ∼ c 7 P/ (GMR 4 Ω 5 ) ∼ 10 8 P
Tableau 4.2 – Typical values of the different time scales implied in the dynamics of
inertial modes of rotating NS.
4.3 Mass conservation, boundary conditions and approximations
To be consistent with the variables we chose in NSE, we have to write the mass
conservation equation with the dimensionless enthalpy. With the decomposition explained
at the end of the Section 4.2.1, we have
˜H τ,
ξ = ˜ H0
ξ
+ α ˜
h τ,
ξ . (4.15)
The first term ˜ H0 is the background, the second ˜ h corresponds to the mode itself and
α still quantifies the nonlinearity. This gives
(∂τ + ∂ϕ) ˜
h + V · ∇ H0
˜ + Γ[n] ˜ H0 ∇ ·
V + α V · ∇ h ˜ + Γ[n] h˜ ∇ · V
= 0 (4.16)
where Γ[n] =
d ln H
d ln n . In the polytropic case, P = k nγ , Γ is constant and reduces to
Γ = γ − 1. Exception done of the case γ = 1 where the enthalpy is a logarithm. In
the linear case, we have to neglect the last part of this equation, i.e. to do α = 0 in
Equation (4.16). We shall now describe some different choices that can be made to deal
with this equation. The reader can find in Appendix B.2 the algorithms to implement all
the following schemes in the framework of spectral methods.
4.3.1 Solving the exact system of equation
If one tried to solve numerically the exact Navier-Stokes and mass conservation equations,
one would have two main possibilities. The first would be to employ an explicit
scheme. But by this way, the Courant conditions for the following of the acoustic waves
would impose a time step very small compared with the period of the star. This would
almost forbid any hope to make evolutions during durations long from the inertial modes
point of view. The second way to proceed would be to use an implicit scheme for the
divergence-free part (see the Appendix). Indeed, this would make it possible to take a
time step not too small compared with the period of the NS. But here the problem would
be to estimate the errors done. Hence, in a first study, some approximations can be introduced
to solve the problem in a easier way.

116 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
4.3.2 The divergence-free approximation
To avoid the problem of solving acoustic waves for better studying inertial modes, the
easiest solution is to use the divergence-free approximation. It consists of replacing the
usual mass conservation equation by ∇ · V = 0. By this way the time step can be chosen
larger than in the solving of the exact system and then allows the following of the inertial
modes themselves. From a numerical point of view, this is a fast and robust approximation
quite useful in the exploring phase of the numerical work. Yet, it should be noticed that
this drastic approximation may be not too bad for inertial modes in NS. Indeed, the
l = m = 2 r-modes which are the most interesting for GW have a divergence-free limit
in the linear order. Furthermore, the latest figures about bulk viscosity [Haensel et al.
(2000), (2001) et (2002)] that are quite huge, could mean a fast damping of all modes,
except of those that are divergence-free. Finally, note that in the linear limit of EE, this
approximation gives an evolution of the mode V that is independent of the background
star if it is rigidly rotating.
4.3.3 The anelastic approximation
Yet, instead of being quite “savage” with the equation and imposing the divergencefree
condition, one could look for a cleverer way of doing physics and think about inertial
modes. A main feature of these modes is that their frequency is of the same order as the
angular velocity of the star in which they occur. As their damping and growing times are
larger than their period (cf. Section 4.2.3), one would like to take it for a characteristic
time scale. From practical and numerical points of view, it means a time unit (or time
step) choice not too small compared with the period, in order not to waste memory and
computational time calculating nonrelevant physics. From a physical angle, the philosophy
is to neglect acoustic waves by assuming that time derivatives of the pressure and density
perturbations do not play a key role in the phenomenon. It can be done in a consistent
way with the anelastic approximation.
The anelastic approximation was first introduced in atmospheric physics by Batchelor
(1953) and then derived from a rigorous scale analysis by Ogura & Phillips (1962) who
gave it its name. In astrophysics, it appeared in a paper by Latour et al. (1976) concerning
convection and was then widely used in that field and others (such as stellar oscillations)
where one can neglect temporal variations of the perturbation in density but not necessarily
spatial ones. For a recent critical approach of this approximation within astrophysics,
one can read Dintrans & Rieutord (2001) and Rieutord & Dintrans (2002).
In the Equation (4.16), the anelastic approximation consists of neglecting (∂τ + ∂ϕ) ˜ h
which is the time derivative of the enthalpy in the rotating frame. By this way, we cut
acoustic waves and then have
V · ∇ ˜ H0 + Γ[n] ˜ H0 ∇ ·
V + α V · ∇ h ˜ + Γ[n] h˜ ∇ · V
= 0. (4.17)

4.4 Test and calibration of the code 117
As a conclusion on this approximation, we would like to insist on a particularity of
the linear case. With the anelastic approximation and the linearization of all equations,
we obtain an equation for the mass conservation that does not depend on the Eulerian
perturbation of the enthalpy. But, taking the curl of the linear EE (or NSE) equation gives
an equation with exactly the same feature (remember that the curl of a gradient is zero)
with an interesting additional fact : it neither depends on the Eulerian perturbation of the
gravitational potential. Furthermore, it is easy to verify that for a background enthalpy
depending only on ξ, the boundary condition is that the radial velocity should vanish at
the surface. Thus, the situation is that finding the Eulerian perturbation of velocity should
give exactly the same result, whatever the hypothesis on the Eulerian perturbation of the
gravitational potential. It means, we do not need the Cowling approximation with the
anelastic approximation in the Newtonian linear case. The Cowling approximation would
play a role only if we wanted to find what is the enthalpy and what is the gravitational
potential in the source term of the gradient part of EE.
4.3.4 Boundary conditions
The only missing information is now the boundary conditions we chose. In an actual
NS, the fluid core is supposed to be surrounded by a more or less rigid crust, an ocean
and an atmosphere. Their physics is by itself quite a complex subject [see, for example,
Haensel (2001)]. But even for a simple toy model, for instance a crust made of only one
type of nuclei, depending on the temperature and on the amplitude of the motion of the
inner fluid, the physical state of the crust can be quite complex to describe, something
like an icepack on the sea [see, for instance, Lindblom et al. (2000)]. There is no need to
explain how difficult it would be to translate this BC in a mathematical language. This is
the reason why, for the EE, we then chose to begin with two different and extreme BC to
get an idea of the limit cases. The first is the free surface BC, i.e. the absence of any crust.
The second is the presence of a rigid crust at ξ = 1, if we take the inner radius of the crust
for the typical length R. In the first case, one has ˜ H |ξ=1= 0 and in the second Vr |ξ=1= 0.
The numerical ways to take into account those BC can be found in the Appendix B.2.3.
For the NSE, as was already said in Section 4.2.3, in order to avoid the need of more BC,
we chose a degenerate shear viscosity of the form s = 1 − ξ 2 .
4.4 Test and calibration of the code
Now that we have presented our physical framework, we will focus on the code. As
was already mentioned in the preceding sections, it uses spherical coordinates and spectral
methods to solve NSE. More precisely, it solves the equations coming from the decomposition
of NSE into a potential and a divergence-free parts. We will not give more details
here and send the reader to the appendix for information regarding the algorithms and
spectral methods. The rest of this paper, and the discussion about numerical stability in
the appendix, are devoted to the linear study. nonlinear work is still in progress and will

118 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
be described later. Furthermore, in this section, we only deal with rigid rotation in order
to have some analytical solutions to make tests with.
4.4.1 Conservation of the energy
The first test of the code was obviously the free evolution of the linear l = m r-mode in
a rigidly rotating inviscid and incompressible fluid. The vector defined in Equation (4.12)
is indeed an eigenvector of EE whose frequency in the inertial frame is wi = − (m−1)(m+2)
. m+1
Moreover, note that the absence of a radial component implies that both the free surface
and the spherical rigid crust BC are automatically satisfied. Yet, for all the preliminary
calculations using the divergence-free approximation, the code was built to work with the
rigid crust BC.
The great advantage of spectral methods is to change any linear spatial operation in
linear algebra calculations, which can be done exactly. As the velocity of Equation (4.12)
has a very small number of coefficients in the reciprocal space, it is easy to verify (for
example by directly looking at the time evolution of those coefficients) that there are only
errors due to round-off and to time discretization. In Figure 4.1 is illustrated the time
evolution of Vϑ at the equator for the m = 2 linear r-mode. The spatial lattice was of
the shape (8 × 6 × 4) for (Nr, Nϑ, Nϕ) 1 with 100 time steps per period of the mode. The
duration of this run was chosen for the evolution to last exactly 100 times the expected
period. This calculation was done on a DEC Alpha Station with a 500 MHz processor
and took 217 s of CPU time. Comparison of the amplitude at the first step and at the
last step shows the growth of the amplitude due to errors that come from the time discretization.
This is easier to see in Figure 4.2 where the time evolution of the error in
energy appears. The different curves illustrate results obtained with the same grid and
duration, but in runs with different numbers of time steps per oscillation. Here are pictured
results for 100, 150 and 200 (see also associated power spectra in Figure 4.3). The
last two calculations on the same computer took, respectively, 269 and 342 s of CPU time.
In Figure 4.4, we drew for several runs the relative error in the energy per oscillation
of the mode, versus the number of time steps per oscillation. Both are in logarithmic
scales. This error appears to exactly vary as ∆t 3 and then as the inverse of the cube of
the number of steps per period (regression slope of −3.01). This is due to the second order
scheme we use to solve the NSE or EE. Indeed, when the energy is calculated, the error
of order ∆t 2 done on the velocity is multiplied by a source term linear in ∆t.
As we are now only dealing with the linear code, we will not discuss the stability of the
nonlinear code, nor give test pictures corresponding to modes with azimuthal numbers
different from 2. Indeed, there is a coupling between different values of m only in the nonli-
1 In fact, symmetries of the spherical harmonics are used and the effective value of lmax is roughly
twice the number of points in ϑ.

4.4 Test and calibration of the code 119
near versions of NSE and EE. The modes that are the most interesting for GW are m = 2
modes and in the following, we will always choose this kind of initial data. Nevertheless,
the same calibration tests for the other linear l = m r-modes were done and gave the same
power law relations between δE and the number of steps per oscillation. Finally, we also
E
verified that the error in the phase of the modes is proportional to the square of the number
of steps per period. The relative errors in the phase for the m = 2 mode with 100, 150
and 200 steps per oscillation were, respectively, 1.64 × 10−3 , 7.33 × 10−4 and 4.12 × 10−4 .
It is easy to verify that the logarithms of these numbers are on a straight line with a slope
very close to 2.
We now shall see how we tried to improve the conservation of energy. For the free rmode,
the energy is expected to be exactly conserved. Furthermore, we know our numerical
error in the velocity is of the order of ∆t 2 . Remember that it comes from the second order
scheme used to calculate source terms :
S j+1/2 = 3Sj − Sj−1 . (4.18)
2
The basic idea is thus to modify this quantity, in the coefficients space, with an additional
term of the order of ∆t 2 , in such a way to retrieve the conservation of the energy
without changing the error in the velocity. We then modified the Equation (4.18) and
took
S j+1/2 = (3 + ε)Sj − (1 + ε)S j−1
2
(4.19)
where ε is of the order of ∆t 2 . It is calculated using values of the energy at the last two
instants and in such a way to “impose” on the energy to be conserved. Obviously, when
there are forces such as viscosity or RR, their power has to be taken into account in
the energy balance equation. In Figure 4.5 are the same curves as in Figure 4.2 but in
logarithmic scales. We added the result of this “improved conservation of energy” for the
run with 100 steps per oscillation. As the correction is local in time (done at almost each
time step), it leads to a time independent error that should be able to remain the same
as long as one could wish. This calculation took 320 s of CPU time.
4.4.2 Modes driven to instability in the rigidly rotating case
After trying to improve the conservation of energy for the free case, we did tests with
an RR force included. For instance, we switched on the RR force in order to drive toward
instability the linear m = 2 r-mode. As it has already been implied in Section 4.2.3,
we did it by using a modified version of the formulas (4.4) (see this section). For these
calculations, we compared numerical results with analytical calculations, both reached
with the same approximation. We took for the background star a homogeneous NS with
M = 1.4M⊙, R = 10 km and Ω ∼ (2π) 500 Hz. In Figure 4.6 appear two time evolutions
of the ratio between the energy and the initial energy for 100 oscillations of the mode. The
first calculation was done without the enhanced conservation of energy and the second

120 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
V θ
1
0
-1
V θ versus time for 100 oscillations (without any correction)
m=2 r-mode with grid 8 x 6 x 4
0 10 20 30 40 50 60 70
t Ω
Figure 4.1 – Time evolution of the ϑ component of velocity on the equator for the linear
m = 2 r-mode in an incompressible and rigidly rotating fluid. The run is supposed to last
exactly 100 times the period of this mode which is 3 . The beating phenomenon which
4Ω
can be seen is due to the resolution of the graphical tool. See the power spectrum in
Figure 4.3.
δΕ / Ε
0.08
0.06
0.04
0.02
δE/E versus t for 100 oscillations (without any correction)
m=2 r-mode with grid 8 x 6 x 4
100 steps per oscillation
150 steps per oscillation
200 steps per oscillation
0
0 10 20 30 40 50 60 70
t Ω
Figure 4.2 – Time evolution of the relative error in the energy before any improvement
of the conservation of energy. The different straight lines correspond to runs with the
same duration (100 periods of the m = 2 linear r-mode), same spatial grid (8 × 6 × 4
points) but different time steps. We see the linear variation of these errors with time. It
shows that with the exception done of round-off errors (which are so small that they do
not appear here), the main error is deterministic and then well controlled.

Sp(V θ )
1
4.4 Test and calibration of the code 121
Power spectra of V θ for 100 oscillations (without any correction)
100 steps per oscillation
150 steps per oscillation
200 steps per oscillation
m=2 r-mode with grid 8 x 6 x 4
0
0 1 2 3 4 5
3 ω / Ω
6 7 8 9 10
Figure 4.3 – Power spectra of the component drawn in Figure 4.1 and of the same
component calculated with 150 or 200 steps per oscillation. See also Figure 4.2.
Log 10 (δE/E)
-3
-3.5
-4
-4.5
-5
-5.5
Error on energy vs steps per oscillation (m=2 r-mode with grid 8x6x4)
regression slope -3.01 ± 0.06%
-6
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
Log (steps/cycles)
10
Figure 4.4 – In this picture clearly appears the fact the error exactly comes from the
adopted numerical scheme with an error that vanishes as the third power of the time step.
The relative error and the number of steps per oscillation are both in logarithmic scales
and the regression slope is then −3.01 ± 0.06%.

122 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
log 10 (δΕ/Ε)
-1
-2
-3
-4
-5
log 10 (δE/E) versus t for 100 oscillations
m=2 r-mode with grid 8 x 6 x 4
100 steps per oscillation
150 steps per oscillation
200 steps per oscillation
100 steps per oscillation with correction
0 10 20 30 40 50 60 70
t Ω
Figure 4.5 – Here are pictured the same curves as in Figure 4.2, but in logarithmic
scales. We added the curve corresponding to a run with 100 steps per period of the m = 2
linear r-mode with the correction of the conservation of energy described toward Equation
(4.19).
with this improvement. The analytical calculation gives for the ratio a final value of the order
of 1.0575 whose difference with the improved numerical value, 1.0582, is less than 10 −3 .
The next step was to switch on the RR force, but without the linear r-mode for
initial data, even if we still assumed that the fluid was divergence-free. Instead, we chose
for the initial velocity a random Gaussian noise with a first moment equal to 0 and a
second moment equal to 1. It should be noticed that in this case and others where the
initial energy is not only distributed within quite low frequency modes, the above method
to improve the conservation of energy is no longer appropriate and we shall not use it.
Moreover, even if this method does not change the angular momentum when applied
to the m = 2 part of the velocity, it can if one naively applied it to the m = 0 part.
But, as we already mentioned, here we only deal with the linear code and mainly with
m = 2 velocities. And in this case, we exactly control the error done, without changing
the angular momentum. We drew in Figures 4.7 and 4.8 the time evolutions of the r and
ϑ components of the velocity and their power spectra. In Figure 4.9 is illustrated the time
evolution of one of the two independent components of the Sij tensor, with the associated
power spectrum. These calculations were done with a lattice of the shape (12 × 8 × 4),
with 200 steps per oscillation and lasted 200 times the period of the m = 2 r-mode. The
included RR force corresponds to what should exist in a NS with M = 1.4M⊙, R = 10 km
and Ω (2π) 1050 Hz. Thus, this calculation is not really physical (due to the use of the
slow rotation approximation) but just aims at giving a qualitative idea of what should

E(t) / E 0
1.15
1.1
1.05
1
4.4 Test and calibration of the code 123
Time evolution of energy with reaction force
0 20 40 60
t Ω
Without correction
With correction
Figure 4.6 – Time evolution of the ratio between energy and initial energy in an inviscid
and incompressible rigidly rotating fluid with an RR force corresponding to what should
exist in a NS with M = 1.4M⊙, R = 10 km and Ω (2π) 500 Hz. The first curve
corresponds to the basic code and the second one to the code with improved conservation
of energy. The expected final value is about 1.057. The difference between this analytical
calculation and the corrected numerical result is less than 10 −3 .
happen with physical values. As expected, there is an axial mode (no radial velocity)
driven to instability with exactly the frequency (w = 4Ω)
and coefficients (l = 2) of the
3
r-mode. Moreover, a single look at the Figure 4.9 shows that even when the velocity is
mainly noisy, the tensor that plays the key-role in the instability is quite smooth. In this
figure, we also drew a zoom corresponding to tΩ < 50 and the associated power spectrum.
It shows two frequencies in this component of the tensor. One of them is the unstable
r-mode with 3w/Ω = 4 and the other (with 3w/Ω ∼ 2.70) disappears with a longer run, as
the scale is adapted to the growing mode. Yet, even in the spectrum of the full evolution,
a trace of it can still be seen. We achieved exactly the same features with others noisy
initial conditions, for instance a Dirac kick into the NS1 . We also did the same calculations
with other spatial lattices (up to 64 × 48 × 4), and this result did not change at all.
4.4.3 Test of the anelastic approximation
The last calculations we did in a rigid and Newtonian background were to test the
effect of the anelastic approximation. The idea was to compare the previous results obtained
with the divergence-free approximation and a rigid crust BC with results coming
from the same initial conditions but with the anelastic approximation and the free surface
1 We mean an initial velocity equal to 0 anywhere except in an arbitrary point.

124 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
V r
Sp(V r )
0.5
0
-0.5
-1
0
0.2
50
t Ω
100 150
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8 10 12
3ω / Ω
Figure 4.7 – Time evolution of the radial component of velocity in an inviscid and
incompressible rigidly rotating fluid with Gaussian noise for initial data and associated
power spectrum. A huge RR force acts, but as expected, no polar counterpart of the mode
grows.
V θ
20
10
0
-10
-20
0
4
50
t Ω
100 150
Sp(V θ )
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.8 – Time evolution of the ϑ component of velocity on the equator in an inviscid
and incompressible rigidly rotating fluid and associated power spectrum with the same
initial data in Figure 4.7. Here, the l = m = 2 linear r-mode is clearly driven to instability
by the RR force. As expected, its frequency is w = 4Ω.
Others peaks are just marks of
3
the initial noise.

Sp(S xx )
S xx
0.1
0
-0.1
4.4 Test and calibration of the code 125
0 50 t Ω 100 150
0.025
0.0025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
0 10 20 30 40 50
t Ω
0
0 2 4 6 8 10
3 ω / Ω
0
0 2 4 3 ω / Ω 6 8 10
Figure 4.9 – Time evolution of one of the two independent components of the Sij[t] tensor
that appears in the RR force. This calculation was done during the same run as the results
in Figures 4.7 and 4.8. We can also see the almost monochromatic associated spectrum.
Nevertheless, there is another frequency in this tensor that is not driven to instability. It
can be seen more easily in the zoom of the time evolution or in the corresponding power
spectrum.
BC. For the rest of this section, the background star is a polytrope with γ = 2.
First, we took for initial data the linear l = m = 2 r-mode and let it freely evolve. Here
again, the BC do not play any role. The spatial lattice was (8 × 6 × 4) with 100 time steps
per period of the mode. The time evolution of Vϑ at the equator (same as in Figure 4.1)
did not show any difference with the divergence-free case, even for the power spectrum.
But this is quite obvious to understand when looking at both the Equation (4.17) and
the EE. Indeed, we see that the linear r-mode, which is divergence-free and has no radial
component, is still an eigenvector of this system of equations. Then taking it for initial
data in the divergence free case or in the anelastic approximation should give exactly the
same evolution. We verified [see Figure 4.10] that the radial component of the velocity
does not grow and neither does its divergence. This calculation took 344.6 s of CPU time
without any optimization and with a very basic solving of the anelastic equation.
The next step was the driving toward instability of a mode with noise for initial data.
We took exactly the same conditions (duration, lattice, initial data) as in the divergencefree
case, with the exception done of the boundary conditions. For these calculations and
all that follows with the anelastic approximation, we will use the free surface condition
that is automatically satisfied (see the appendixes for more details). The Figures 4.11,

126 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
V r
4e-14
2e-14
0
-2e-14
-4e-14
0 10 20 30 40 50 60 70
t Ω
Figure 4.10 – Time evolution of the radial component of the velocity in the equatorial
plane in ξ = 0.5 with the linear m = 2 r-mode for initial data. The background star is a
rigidly rotating γ = 2 polytrope and the calculation is done with the anelastic approximation
and without any RR force. The run lasts 100 times the period of the r-mode. There
should be no radial velocity (cf. text) and we see it comes only from round-off errors
(double precision calculation with initial values of the order of the unity).
4.12 and 4.13 that show, respectively, the time evolutions of Vr, of Vϑ and of a component
of Sij give a kind of summary of the results :
- the radial velocity still remains noisy and does not grow ;
- the ϑ component grows in the same way as in the divergence-free case. There is a
difference between the final amplitudes that comes from the fact that the coupling
to the RR force depends on an integral on the whole star of a function that is
proportional to the density (and then depends on the EOS). Note that the power
spectra have the same secondary peaks as in the divergence-free case.
- the spectrum of the Sij tensor shows that there is only one unstable mode which
has again the frequency of the linear r-mode.
The conclusion is then that the anelastic approximation gives results very close to
those obtained in the divergence-free case. This is due to the fact that, in spite of the
presence of all modes in the initial conditions, the only growing mode is the r-mode that
has no radial velocity and is divergence free.
4.5 Differential rotation
As we already mentioned it in the Introduction, Kojima first noticed [see Kojima
(1998)] that relativistic r-modes may be quite different from what they are in a Newtonian

V r
Sp(V r )
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
4.5 Differential rotation 127
-0.8
0
0.1
50
t Ω
100 150
0.05
0
0 2 4 6 8 10 12
3ω / Ω
Figure 4.11 – Time evolution of the radial component of velocity with Gaussian noise
for initial data and its power spectrum. The background is a polytrope with γ = 2 and
the anelastic approximation is used. As in Figure 4.7 a huge RR force acts, but as the
star is rigidly rotating no polar counterpart of the mode grows.
V θ
Sp(V θ )
40
20
0
-20
-40
10
5
0 50 100 150
t Ω
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.12 – Time evolution of the ϑ component of velocity and the associated power
spectrum for the same calculation as in Figure 4.11. The only difference with the
divergence-free case (cf. Figure 4.8) is the final amplitude. Yet, this is not due to the
anelastic approximation but to the effect of the EOS on the coupling coefficient of the
RR force.

128 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
S xx
Sp(S xx )
6
4
2
0
-2
-4
-6
0 50 100 150
t Ω
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.13 – Time evolution of one of the two independent components of the Sij[t]
tensor corresponding to the same run as the results in Figures 4.11 and 4.12. Here can
really be seen the fact that there is only one unstable mode with the frequency of the
linear r-mode and that the anelastic approximation does not change this feature.
background due to frame dragging. Yet, since the main reason for this difference is the
modification of the NSE and the possible appearance of what is called a continuous
spectrum [see Ruoff & Kokkotas (2001), (2002) and Beyer & Kokkotas (1999)], the same
may append even in the Newtonian case if the star is not rigidly but differentially rotating.
And there are several reasons why a NS may not be in rigid rotation : first, the birth
conditions of the NS themselves ; second, the nonlinear coupling of modes ; then, a possible
drift induced by the existence of a magnetic field. As we are here only dealing with linear
hydrodynamics and tests of the code, we will not give more details about those processes
[but will send the reader to the following articles for more details : Spruit (1999), Rezzolla
et al. (2000), (2001a) and (2001b), and Schenk et al. (2002)]. What we have done is just to
take as a given that the background star is differentially rotating with quite an arbitrary
law and to look at the influence of this law on the existence of the modes. Nevertheless,
instead of asking the question “Is there any r-mode left in a differentially rotating NS ?”
that is not well defined, we decided to try to answer to two different and more precise
questions :
- is there anything growing when an RR force is applied on noise in a differentially
rotating background ?
- what does happen to the linear r-modes if they are chosen to be the initial data in
such kind of background ?
Some lights on these questions are in the following subsections, but we shall begin with
some words about the modifications implied on the equations by differential rotation.

4.5.1 Modifications
4.5 Differential rotation 129
Assuming differential rotation of the background star involves slight modifications of
what we said in the Section 4.2. First, terms coming from the spatial derivatives of the
non constant Ω[ξ, ϑ, ϕ] must be added in the NSE. Second, we shall now specify what
exactly Ω means in the definition of dimensionless variables [cf. Equation (4.6)].
Concerning Ω, we chose to take for a time unit the inverse of its value at the equator.
This is uniquely determinate due to the fact we have always assumed that the rotation
law is of the form Ω[r, ϑ, ϕ] = Ω[r sin[ϑ]] or of the form Ω[r, ϑ, ϕ] = Ω[r]. The first case
corresponds to what must be this law for the background to be stable with respect to the
Newtonian EE, and the second case is in a way inspired by GR even if it is not a solution
of the full Newtonian EE. For more details see Section 4.6.
In the dimensionless NSE, the modifications induced by differential rotation are quite
simple. First, ∂ϕ is replaced with ˜ Ω[r, ϑ]∂ϕ where ˜ Ω[r, ϑ] is the dimensionless profile of
rotation. Then, we have to add new terms coming from eϕ r sin[ϑ] V ·
∇ ˜Ω[r, ϑ] that are
in the spherical orthonormal basis
0
0
Vrr sin[ϑ]∂r ˜ Ω + Vϑ sin[ϑ]∂ϑ ˜ (4.20)
Ω.
4.5.2 Noise with huge RR force
Once again, our goal was to stay as close as possible to the basic and well understood
situation to minimize the number of unknowns. Thus, we took noisy initial data, put it in
a differentially rotating background, switched on the RR force and looked for what was
to happen. In this way, the question was not to look for the existence of r-modes, but
simply to look for the existence of modes driven to instability by the RR force in a non
rigidly rotating background.
The only difference with the basic study done in the case of rigid rotation was that
we had to choose a law for Ω. The first choice was very simple and corresponded to a
background stable with respect to the Newtonian EE. It was of the form
˜Ω[r, ϑ] = W 1 + βn r 2 sin[ϑ] 2
(4.21)
where βn was a constant depending on the run and W calculated to have ˜ Ω 1, π
= 1. 2
As explained above, we also tried a law inspired by GR :
˜Ω[r, ϑ] = W 1 + βgr r 2
(4.22)
or laws coming from the already quoted article by Karino et al. (2001) :
˜Ω[r, ϑ] =
W βL 2
r 2 sin[ϑ] 2 + βL 2
(4.23)

130 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
or
˜Ω[r, ϑ] =
W βv
. (4.24)
r2 2 21/2
sin[ϑ] + βv
Since in all these laws, none of the free parameters β corresponds to a physical variable,
we will not give quantitative results. It will be done in the relativistic study (and
then in another article) where there is a parameter that physically quantifies the way the
equations are far from the Newtonian EE : the compactness of the star. Here we will only
discuss in a qualitative way the results obtained in all the previous cases and give a very
representative example : what happens in a γ = 2 polytrope with the anelastic approximation
(free surface) and the rotation law given by the Equation (4.21) with βn = 0.4. With
the exception of these choices, the calculation was done with exactly the same conditions
as in the preceding study with the noisy initial data in the previous section.
The main difference with the case of rigid rotation is that the mode that grows is
no longer purely axial. Indeed, we can see on Figure 4.14 that the radial velocity is
now also driven to instability. Moreover, comparing power spectra in this figure and in
Figure 4.15 and 4.16 shows that this is really a single mode with frequency very close to
the frequency of the r-mode. By a single mode, we mean that this is exactly the same
frequency for several physical quantities and several positions in the star. This is not a
sufficient condition to talk about “discrete spectrum”, but it is a necessary condition.
This unavoidable existence of a polar part of the velocity in a differentially rotating
Newtonian star with barotropic EOS should be compared with the results achieved by
Lockitch et al. (2001) in the relativistic framework. Indeed, in GR, the main reason for
the coupling between axial and polar parts of the velocity is the frame dragging that is
imitated in a Newtonian framework by differential rotation. Finally, note that the value
of the frequency in the Newtonian case is depending on the way we chose to normalize
Ω. Then, to summarize all our calculation, we can say that we observed that the polar
counterpart of the mode appears as soon as there is differential rotation, and whatever the
chosen law. Yet, the more the law for Ω is far from the rigid case, or in a more pragmatic
way the greater the free parameter is, the more the unstable mode has a polar counterpart.
4.5.3 Free evolution
The other question we asked was this : “What does happen to linear r-modes if they
are put into a differentially rotating background ?”. The idea in taking such kind of initial
data was to have something quite close to an eigenvector, assuming if there is one it should
be quite similar to the linear r-mode.
Once again, we did not make quantitative calculations and postponed it to the GR
case. As in the case of noisy initial data driven toward instability by an RR force, the
free evolution of the linear r-mode showed the growth of a polar part of the velocity. It
can be seen in Figures 4.17 and 4.18 that, respectively, show the time evolution of the

Sp(V r )
V r
4
2
0
-2
4.5 Differential rotation 131
-4
0
0.75
50
t Ω
100 150
0.5
0.25
0
0 2 4 6 8 10 12
3ω / Ω
Figure 4.14 – Time evolution of the radial component of velocity in a γ = 2 polytrope
with anelastic approximation and Gaussian noise for initial data. A huge RR force acts
(something like what should exist in a star with angular velocity equal to 1000 Hz) and
the background star is assumed to be differentially rotating with the law corresponding
to βn = 0.4. We see that a polar counterpart of the mode now grows.
V θ
Sp(V θ )
100
0
-100
20
15
10
5
0 50 100 150
t Ω
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.15 – Time evolution of the ϑ component of velocity in the same calculation
as in Figure 4.14. The associated power spectrum shows that there is one mode driven
to instability that is the same as in Figure 4.14 and has a frequency very close to the
expected frequency of the r-mode. See also the Figure 4.16.

132 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
S xx
Sp(S xx )
5
0
-5
2
1
0 50 100 150
t Ω
0
0 2 4 3 ω / Ω 6 8 10
Figure 4.16 – Time evolution of one of the two independent components of the Sij[t]
tensor that appears in the RR force. This calculation was done during the same run as
the results in Figures 4.14 and 4.15. We can see the almost monochromatic associated
spectrum with the same frequency as in the previous spectra of the unstable mode.
ratio between the polar energy and the total energy and the time evolution of the radial
velocity at the point of coordinates ξ = 1 π , ϑ = 2 2 , ϕ = 0 . This results comes from a calculation
done with a spatial lattice of the shape (64, 48, 4), the anelastic approximation
(with a free surface) and a rotation law given by the Equation (4.21) with βn = 0.4. For
reasons that will be explained later, we included degenerate viscosity (cf. Section 4.3.4)
with an Ekman number Es = 5 × 10−5 in order to regularize the solution. The evolution
was done to the last 30 periods of the linear r-mode with 100 steps per oscillation. In the
Figure 4.17, we see that, after a while, the ratio between the energy in the polar part of
the mode and the total energy reaches a kind of stationary state with a coupling between
different modes. The existence of this “hybrid final state” was verified during other runs
with other physical conditions and is once again to compare with results achieved in GR
by Lockitch et al. (2001).
Concerning the existence of modes, looking simultaneously at Figures 4.18, 4.19 and
4.20 shows that apparently one single mode mainly appears in the reaction force (or in
the component of the corresponding tensor) even if both the axial and polar parts of the
velocity contain several modes. Yet, the spectrum of the Sij tensor is quite noisy due to
the fact that the RR force is not switched on and that the run is short. We verified this
feature during other calculations. The conclusion is that for small values of the β parameter
(these values are depending of the chosen rotation law), the main effect of differential
rotation on a “free linear r-mode” is to give it a polar counterpart and to widen its spec-

4.6 Strong Cowling approximation in GR 133
trum. But for larger values of the parameter, even if the velocity’s spectrum becomes very
noisy, the Sij tensor is always less noisy. Yet, here we will not give more details about
this points, the linear Newtonian study not really being interesting from the NS point of
view.
To end this section, we will mention a quite amazing feature found in all our calculations
and illustrate it with an example coming from the previous free run of a linear
r-mode put in the differentially rotating background. We always found that quite fast
(in something like 15 periods of the linear r-mode) the main part of the velocity is most
of the time concentrated in a region close to the surface of the star and of the equator.
This is illustrated in the Figure 4.21 where we drew the shape of the ϕ component of
the velocity versus the radius of the star for several values of the ϑ angle. Note that we
got the same results with different BC and even when we add viscosity to regularize the
solution (and this is the case in this calculation) and to be sure this is not a numerical
artifact. In Figure 4.22 the shape of the ϑ component appears for an evolution done with
the same grid, viscosity and initial data but with βn = 0.8. With such a huge value of the
parameter that governs the rotation law, there is a lot of different modes that appear in
the velocity spectrum. But what seems to be the most important result is the very high
concentration of the velocity near the surface. This is analogous to the results achieved
by Karino et al. (2001). In Conclusion, we will shortly discuss what is, in our point of
view, a possible important repercussion of this result.
4.6 Strong Cowling approximation in GR
NS are among the most relativistic macroscopic objects made of usual matter in the
Universe. Moreover, the instability of the r-mode is due to GR. It is then quite natural
to try to study r-modes in the GR framework. The problem is that it is quite difficult to
evolve dynamically the full GR and hydrodynamics equations taking into account GW.
This is the reason why we decided to use the strong Cowling approximation at the beginning.
Here we will only give some preliminary results obtained in the GR case. A more
complete and physical study will be in a following article that is in preparation. Our goal
is just to show that the above conclusions concerning the appearance of a polar part of
the velocity and the “concentration of motion” for the Newtonian differentially rotating
NS still hold in the framework of relativistic rigidly rotating NS.
As we are studying slowly rotating NS, which remain spherical, a very convenient and
good approximation is to assume that the 3-space is conformally flat [see Cook et al.
(1996)]. Furthermore, as we are using the strong Cowling approximation, there is no GW
even without this approximation. Then, in unit c = 1, the infinitesimal space-time interval

134 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
E Polar / E Total
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
Fraction of polar energy versus time for 30 oscillations
0
0 10 20
t Ω
Figure 4.17 – Time evolution of the ratio between energy contained in the polar part of
the velocity and the total energy of the mode in the anelastic approximation with a free
surface. The background star is assumed to be a γ = 2 polytrope differentially rotating
with the law corresponding to βn = 0.4. A viscous term coming from the degenerate
viscosity with Es = 5. 10 −5 is included. At the beginning of the evolution, there is energy
coming from the purely axial initial data (the linear r-mode) and going to the polar part.
Then this energy oscillates from the polar part of the velocity to the axial part and back
with a constant mean value.
V r
Sp(V r )
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
0
0.025
5 10
t Ω
15 20
0.0125
0
0 2 4 6
3ω / Ω
8 10 12
Figure 4.18 – Time evolution of the radial component of velocity with the anelastic
approximation and a free surface. This calculation was done during the same run as in
Figure 4.17. The initial data are the linear r-mode that is no longer an eigenvector and
radial velocity quickly appears. Several different modes are present.

V θ
Sp(V θ )
10
5
0
-5
-10
4.6 Strong Cowling approximation in GR 135
0 10
t Ω
20
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.19 – Time evolution of the ϑ component of velocity in the same calculation as
in Figure 4.18. The curve and the associated power spectrum show that there are several
modes, but only one of them appears in the Sij tensor with quite a huge amplitude.
Moreover, it has a frequency very close to the frequency of the linear r-mode. See also
the Figure 4.20. Note finally that the same frequency also appears in the spectrum of the
radial velocity.
S xx
Sp(S xx )
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
0.2
10
t Ω
20
0.1
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.20 – Time evolution of one of the two independent components of the Sij[t]
tensor that appears in the RR force. This calculation was done during the same run as
the results in Figure 4.18 and 4.19. We can see there seems to be one main frequency and
a second one of smaller importance. The first one has exactly the same frequency as the
unstable mode that appears in the previous figures and calculations where the RR force
was on.

136 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
V ϕ
2
1.5
1
0.5
θ = π/2
θ = 53π/96
θ = 29π/48
θ = 2π/3
θ = 19π/24
θ = 37π/48
θ = 5π/6
θ = 85π/96
θ = 15π/16
θ = π
V ϕ
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.8 0.9
ξ / R
1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ / R
Figure 4.21 – ϕ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ. We
can see the main part of the velocity is concentrated in a region near the surface and close
to the equator. This “snapshot” of the profile was taken at a moment when the derivative
versus the radial coordinate of the velocity is quite huge at the surface.
V θ
0
-5
-10
θ = π/2
θ = 53π/96
θ = 29π/48
θ = 2π/3
θ = 19π/24
θ = 37π/48
θ = 5π/6
θ = 85π/96
θ = 15π/16
θ = π
V θ
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.8 0.9
ξ / R
1
-15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ / R
Figure 4.22 – ϑ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ.
Here the concentration of the motion is higher than in the previous calculation. βn was
0.4 in Figure 4.21 and is now 0.8. Moreover, this calculation lasted three time longer.
Nevertheless, note that here we did not choose to draw the profile when the derivative is
huge but just drew it at the final instant.

can be written
4.6 Strong Cowling approximation in GR 137
ds 2 = − N[r] 2 − a[r] 2 r 2 sin[ϑ] 2 N ϕ [r] 2 dt 2 − 2a[r] 2 r 2 sin[ϑ] 2 N ϕ [r]dt dϕ + a[r] 2 dr 2
where, following the 3 + 1 formulation, N[r] is the lapse function and N ϕ [r] the third
contravariant component on the spherical coordinate basis of the shift vector, a[r] is the
conformal factor and finally dr 2 is the infinitesimal interval in the 3-space. In this equation,
we use the isotropic gauge and the slow rotation limit to assume that all these unknown
functions are only depending on r (and this is the reason why, in the Newtonian study,
we called “inspired by GR” the law of differential rotation in which the functions are only
depending on r). In Hartle (1967), the system of coordinates is not the same as the one we
use, but it is easy to show that the conclusions are identical since the mapping between
the two systems is quite trivial. Furthermore, from the same article we know that N ϕ [r]
is of the first order in Ω.
To get the equations of motion, the relativistic equivalent of EE, we write the energy
tensor of a perfect fluid
T µν = (ρ + p)U µ U ν + P g µν
(4.25)
where ρ is the energy density, P the pressure and U µ the 4-velocity of the perfect fluid.
Then, we apply the conservation of energy :
If we define the generalized enthalpy
it gives
∇µT µν = 0. (4.26)
dH = dP
, (4.27)
ρ + P
U µ U ν ∇νH + ∇ µ H + U ν ∇νU µ = 0. (4.28)
It is well known that due to thermodynamics, the system of equations obtained by
adding the baryonic number conservation ∇µ (n U µ ) (where n is the baryonic density) to
those four equations is a degenerate system. Then, we chose to work with the baryonic
number conservation and the projections on the 3-space of Equation (4.28).
Following the Newtonian case, we just have to add Eulerian perturbations to the
rigid rotation and to linearize the equations with respect to both the amplitude of these
perturbation and Ω. For the generalized enthalpy, the definition of the perturbation is
obvious, but for the full 4-velocity, we use the well-known results about rigid rotation of
relativistic stars and write it as
1 + δU
0 [t, r, ϑ, φ]
2 U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
N[r]
N[r]
a[r]
N[r]
a[r]
Ω +
δU r [t, r, ϑ, φ]
2 δU ϑ [t,r,ϑ,φ]
N[r]
a[r]
r
2 δU ϕ [t,r,ϑ,φ]
r sin[ϑ]
(4.29)

138 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
Note that in this equation, δU 0 is not a dynamical variable but is determined according
to the constraint that U µ is a 4-velocity (U µ Uµ = −1). Furthermore, δU r , δU ϑ and δU ϕ
are not contravariant components of a 4-vector but convenient variables that are the
components of a 3-vector on the orthonormal basis associated with the spherical system
of coordinates for the flat 3-space. It enables us to write the motion equations in a way
very similar to the Newtonian EE. Indeed, writing the 3-velocity on the orthonormal basis
associated with the spherical coordinates as
V =
and defining on the same basis
⎧
⎨
−→
ϖ[t, r, ϑ, φ] =
⎩
with A[r] = (Ω − N ϕ a[r]
d ln[ N[r]
[r])
]
d ln[r]
coordinate, we have
δU r
δU ϑ
δU ϕ
(Ω − N ϕ [r]) cos[ϑ]
− sin[ϑ] (Ω − N ϕ [r] + A[r] )
0
− r N ϕ′ [r]
2
(4.30)
(4.31)
where ′ is the derivative versus the radial
(∂t + Ω ∂ϕ) V + 2 ϖ ∧ V + ∇h = 0. (4.32)
This equation is very close to the Newtonian EE, the main difference being that the
3-vector that appears instead of Ω is now depending on the coordinates (as in the case of
differential rotation) but no longer parallel to the rotation axis.
Concerning the baryonic number conservation, writing it in a Newtonian like way, we
have in the slow rotation limit
2 N[r]
(∂t + Ω ∂ϕ) ñ + div ñ
a[r]
−→
V = 0 (4.33)
where ñ is defined as ñ = n N 2 a, n being the baryonic number density. The natural generalization
of the anelastic approximation is then
div ñ −→
V = 0. (4.34)
As we are using the strong Cowling approximation, the background star appears in
the equations of motion only as “external” (from the point of view of the mode) data.
For any relativistic calculation, what we do is to calculate the background configuration
using the already existing code illustrated in Bonazzola et al. (1993) and then to use the
resulting lapse, shift, conformal factor and their derivatives with respect to the radial
coordinate in our equations.

E Polar / E Total
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
4.6 Strong Cowling approximation in GR 139
Fraction of polar energy versus time for 30 oscillations
0
0 10 20
t Ω
Figure 4.23 – Time evolution of the ratio between energy contained in the polar part
of the velocity and the total energy of the mode with the strong Cowling and anelastic
approximations and the free surface BC. The background star is a γ = 2 relativistic
rigidly rotating polytrope with 1.74 solar masses and a radius equal to 12.37 km. The
ratio between its kinetic energy and its mass energy was 10 −16 . We see that in spite of the
fact that the initial data are the linear Newtonian r-mode that is purely axial, as soon
as the calculation begins a polar counterpart of the mode appears as implied by Lockitch
et al. (2001).
Here we will only give one single example, showing we have in this relativistic case
with the strong Cowling approximation results similar to those obtained in the case of the
Newtonian differential rotation. We took a γ = 2 polytrope with 1.74 solar masses and a
radius equal to 12.37 km. The star was very slowly rotating (the ratio between its kinetic
energy and its mass energy was about 10 −16 ) and we took for a time unit the inverse of the
angular velocity. The anelastic approximation with the free surface BC was used and to
regularize the solution we added a degenerate viscosity with Es = 5 × 10 −5 once the final
equations were written in a Newtonian way. We insist on the fact that this viscous term
does not come from relativistic calculations and just aims at regularizing the solution. In
Figures 4.23, 4.24, 4.25, 4.26 and 4.27 exactly the same quantities as in the Section 4.5
are plotted. The conclusions for this preliminary relativistic calculation are the same as
in the Newtonian case : a polar counterpart of the velocity appears from the beginning
of the evolution and most of the time, the velocity is concentrated near the equator and
the surface.

140 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
V r
Sp(V r )
0.05
0
-0.05
0 10
t Ω
20
0.05
0.025
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.24 – Time evolution of the radial component of velocity at the point ( 1 ϑ , , 0) 2 2
for the same calculation as in Figure 4.23. The initial data are the linear r-mode that is
no longer an eigenvector and radial velocity appears very fast. The power spectrum of
the time evolution shows several peaks, but one of them has the same frequency as the
modes of Figures 4.25 and 4.26 and is the relativistic analog of the r-mode. But it is no
longer purely axial.
V θ
Sp(V θ )
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
0
0.2
10
t Ω
20
0.1
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.25 – Time evolution of the ϑ component of velocity in the same calculation as
in Figure 4.24. The curve and the associated power spectrum show that there is one mode
that also appears in the polar part with a frequency very close to the frequency of the
linear r-mode. See also the Figure 4.26.

S xx
Sp(S xx )
0.2
0.1
0
-0.1
4.6 Strong Cowling approximation in GR 141
-0.2
0
0.2
10
t Ω
20
0.1
0
0 2 4 6 8 10
3ω / Ω
Figure 4.26 – Time evolution of one of the two independent components of the Sij[t]
tensor that appears in the RR force. This calculation was done during the same run as
the results in Figures 4.24 and 4.25. We can see the almost monochromatic associated
spectrum with exactly the same frequency as the mode that appears in the previous
figures.
V θ
2
1.5
1
0.5
θ = π/2
θ = 9π/16
θ = 5π/8
θ = 21π/32
θ = 11π/16
θ = 3π/4
θ = 13π/16
θ = 7π/8
θ = 15π/16
θ = π
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
ξ / R
Figure 4.27 – ϑ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ. We
can see the kind of concentration of the motion near the surface and the equatorial plane.
This calculation was done with the strong Cowling and anelastic approximations and the
free surface BC. The background star is a γ = 2 relativistic rigidly rotating polytrope
with 1.74 solar masses and a radius equal to 12.37 km. The initial data are the Newtonian
linear l = m = 2 r-mode. This figure corresponds to the velocity after a time equal to 15
oscillations of the linear l = m = 2 r-mode.

142 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
4.7 Conclusion
This article deals with a new hydrodynamical code based on spectral methods in
spherical coordinates. This first version of the code was written to study inertial modes
in slowly rotating NS, but it can easily be modified to include fast rotation. As it was
explained in the Introduction, the slow rotation limit is a very good approximation for a
first step. The present version of the code can be used to study both the Newtonian case
and the relativistic case with the so-called strong Cowling approximation. Here, we have
given the main algorithms it uses and shown some tests of the linear version. The way we
overcame the numerical instability is also explained.
Furthermore, in order to work with very different time scales, we have introduced an
approximation to deal with mass (or baryonic number) conservation that proved itself
quite robust and useful to study inertial modes : the anelastic approximation. Even if this
approximation is not a necessary one and can be abandoned in further studies, it is very
useful to have an idea of the main properties of the inertial modes in slowly rotating stars.
The results presented in this paper were obtained in the linear case using very basic models
of NS, such as the divergence-free case with a rigid crust (Vr |r=1= 0) or a γ = 2 polytrope
with the anelastic approximation and free surface. Deeper studies in the GR framework
with more quantitative results on the effects of EOS, of stratification of the star and of
BC will follow. Despite the naive aspect of our studies, some common features appeared.
Indeed, whatever the approximation (divergence-free or anelastic) with different BC (rigid
crust for the divergence-free case and free surface for the anelastic approximation), we
saw the appearance of a polar part in the mode, as soon as the background is Newtonian
and differentially rotating, or relativistic and rigidly rotating (in the latter case, this
phenomenon is due to the frame dragging). Whether in the case of noisy initial data with
a radiation reaction force acting on them, or in the case of the free evolution of an initial
linear r-mode, from the very beginning the energy of the polar part is at least 1 % of the
energy of the axial part. This result is compatible with the analytical work by Lockitch
et al. (2001) who proved, in the relativistic framework, the existence of a nonvanishing
polar part of the velocity in a sequence of NS with a barotropic equation of state and
decreasing rotation rate. Furthermore, another interesting result that we obtained is the
“concentration of the motion” near the surface that quickly appears : after less than 15
periods of the linear r-mode in the calculations done up to now. Adding viscosity has
shown that this is a robust and physical feature. Moreover, it seems to neither depend
on the physical conditions or on the BC. This phenomenon is very similar to the results
found by Karino et al. (2001) with an eigenvectors calculation. But, if this is really a
singularity of the derivative of the velocity near the surface, as it seems to be in our time
evolutions, it would mean that a mode calculation with finite difference schemes can only
give quantitative results completely depending on the number of points. Indeed, with this
scheme, there is an intrinsic numerical viscosity that depends on the resolution. Moreover,
if this phenomenon is verified in future studies in GR, the stratification of the NS or the
physics of the crust could be very important to know if inertial modes are relevant for

GW emission.
4.8 Acknowledgments
4.8 Acknowledgments 143
We would like to thank E. Gourgoulhon and B. Carter for carefully reading this paper.
The numerous remarks of the anonymous referee were also very useful for us in trying to
improve this article. L. Blanchet and J. Ruoff gave us the opportunity to have friendly
and fruitful discussions. We would also like to thank the computer department of the
observatory for the technical assistance.

144 Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description

Chapitre 5
Modes inertiels dans des étoiles à
neutrons relativistes stratifiées
Sommaire
5.1 Etoiles relativistes en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire . . . . . . . . . . 154
5.3 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Le chapitre précédent a fini sur les premiers résultats relativistes issus du code hydrodynamique
construit pour l’étude des modes inertiels. Le but de leur présentation étant
uniquement d’illustrer, dans l’article, l’analogie entre le cas newtonien avec rotation
différentielle et le cas relativiste avec rotation rigide, la façon dont ils ont été obtenus n’a
pas vraiment été détaillée. C’est pourquoi, afin de mieux expliquer l’origine des équations
utilisées, et avant de présenter des résultats relativistes plus généraux et quantitatifs, ce
dernier chapitre commence par traiter de la description relativiste d’une étoile en rotation.
Pour ce qui est de l’hydrodynamique, l’étude relativiste se limitant pour le moment
au cas linéaire, l’équation d’Euler relativiste linéarisée est la seule considérée. Mais cette
équation est explicitée autant dans le cas d’une équation d’état barotrope que dans celui
d’une équation d’état non-barotrope, puisque cette dernière situation est celle retenue
dans le travail entrepris avec Silvano Bonazzola et Pawe̷l Haensel. Cette étude, ainsi que
les équations d’état qu’elle utilise, sont donc détaillées ensuite, et leur description aboutit
naturellement à la présentation de différents résultats relativistes obtenus. Ceux-ci
concernent les modes g dans une étoile non-barotrope qui n’est pas en rotation, l’effet de
la stratification sur les modes inertiels dans une étoile non-barotrope en rotation, ainsi
que le couplage des modes g avec les modes inertiels dans ce type d’étoiles.

146 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
5.1 Etoiles relativistes en rotation
5.1.1 Etoiles statiques et équations de Tolman-Oppenheimer-
Volkoff
La configuration la plus simple que l’on puisse envisager pour une étoile relativiste est
celle où, en plus d’être supposée à l’équilibre thermodynamique, chimique et mécanique,
l’étoile est considérée sans rotation 1 . Afin de résoudre les équations d’Einstein (1.10) à
l’aide de ces hypothèses et de la symétrie sphérique associée, on pose souvent la métrique
sous la forme 2
gµν dx µ dx ν = = −N 2 c 2 dt 2 + A 2 dr 2 + r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑ dϕ 2 ), (5.1)
où les fonctions N et A sont les inconnues gravitationnelles. Ce système de coordonnées,
dit de Schwarzschild, est tel que dans le cas stationnaire on ait N = N[r] et A = A[r].
Par analogie avec la métrique de Schwarzschild, on introduit parfois m[r] et ϕ[r] vérifiant
A[r] = 1 − 2GN m[r]
c2 −1/2 (5.2)
r
et
ϕ[r]
N[r] = exp
c2
. (5.3)
Par ailleurs, comme cela a déjà été mentionné dans la section 2.2.1, l’hypothèse de
matière froide catalysée (équilibre thermique et chimique) se traduit alors par le fait que
l’équation d’état effective à utiliser est barotrope. Ainsi, l’introduction des fonctions 3 m et
ϕ ainsi que la modélisation de la matière par un fluide parfait de tenseur énergie-impulsion
de la forme T µν = (ρ + P ) U µ U ν /c 2 + P g µν (où P est la pression, ρ la densité d’énergie
telle que ρ = n c 2 avec n densité de masse - toutes définies dans le référentiel du fluide -
et U la quadrivitesse de ce même fluide) ramènent la résolution des équations d’Einstein
à celle du système de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
dm
[r]
dr
=
ρ[r]
4 π r2
c2 dϕ
[r]
dr
=
1 −
(5.4)
2GN m[r]
c2 −1
GN m[r]
r
r2 + 4 π GN P [r]
r c2
(5.5)
dP
[r]
dr
=
1
dϕ[r]
− (ρ[r] + P [r]) ,
c2 dr
(5.6)
1 On néglige ici et par la suite l’existence d’une structure globale supplémentaire induite par des champs
à longue portée qui ne se limiteraient pas à influencer l’équation d’état de la matière nucléaire. On peut
citer, comme exemples de sources d’une telle structure, l’existence d’un champ magnétique [voir Bocquet
et al. (1995)] ou celle d’une éventuelle charge scalaire [voir par exemple Novak (1998)].
2 Afin de mettre en évidence les termes usuels qui subsistent à la limite newtonienne, c → +∞, le
système d’unités employé est momentanément tel que les constantes GN et c ne sont plus égales à l’unité.
3 dont les noms ne sont pas anodins, puisqu’à la limite newtonienne, m[r] est égale à la masse contenue
dans la sphère de rayon r et ϕ[r] au potentiel gravitationnel au point de rayon r.

5.1 Etoiles relativistes en rotation 147
qui, à la limite newtonienne (c → ∞), redonne les équations bien connues de l’hydrostatique
d’un fluide autogravitant à symétrie sphérique.
Etant données des conditions aux limites à la surface et à l’infini, ainsi que des conditions
de régularité à l’origine, ce système d’équations admet une solution unique et permet,
avec une équation d’état suffisamment réaliste, une description globale d’une étoile
à neutrons.
5.1.2 Etoiles stationnaires et approximation conforme
La notion de symétrie en relativité générale est définie rigoureusement à partir de celle
de vecteur de Killing. Ainsi, imposer qu’une configuration soit stationnaire revient à
supposer l’existence, pour l’espace-temps et les tenseurs physiques décrivant la matière,
d’un vecteur de Killing qui soit du genre temps à l’infini spatial. Dans le cas d’une étoile
en rotation stationnaire, la situation la plus symétrique possible est celle où en plus d’un
vecteur de Killing traduisant la stationnarité, il existe un vecteur de Killing exprimant
la symétrie axiale. Dans le cadre de l’étude d’étoiles relativistes isolées en rotation, on
peut donc supposer l’existence de :
- e0 vecteur de Killing du genre temps à l’infini spatial ;
- e3 vecteur de Killing du genre espace en tout point, sauf sur la surface du genre temps
nommée axe de rotation, où il s’annule, et tel que les orbites associées soient
fermées ;
- un espace asymptotiquement plat à l’infini (qui permet de retrouver les résultats de
la théorie newtonienne à la limite du champ faible) et tel que l’on ait, dans cette
limite, e0 · e0 = −1, e3 · e3 = +∞ et e0 · e3 = 0, où · désigne le produit scalaire
défini par la métrique gµν.
Sous ces hypothèses, les vecteurs e0 et e3 commutent, ce qui autorise à choisir un
système de coordonnées (t, x 1 , x 2 , ϕ), tel que e0 = ∂t et e3 = ∂ϕ. Par ailleurs, Carter (1969)
a démontré que la condition de circularité du tenseur énergie-impulsion source du champ
de gravitation (hypothèse qui traduit en quelques sortes l’absence de mouvements convectifs)
Tµν e0 ν ≡ α e0µ + β e3µ ,
Tµν e3 ν ≡ ρ e0µ + σ e3µ
permet d’écrire la métrique gµν sous la forme
ds 2 = gµν dx µ dx ν
= − N 2 − gϕϕ N ϕ2 dt 2 − 2 gϕϕ N ϕ dt dϕ + gabdx a dx b , (5.7)
où les fonctions N, N ϕ , gϕϕ, g11, g12 et g22 ne dépendent que des coordonnées x 1 et x 2 et
où a et b ne prennent que les valeurs 1 et 2. Dans le cas d’une étoile quasiment sphérique,

148 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
le choix de coordonnées du type sphérique, x 1 = r et x 2 = ϑ, est naturel et est retenu par la
suite 1 [pour plus de détails, voir aussi Carter (1987) dans Carter & Hartle (1987)]. Dans
ce cadre, on rencontre principalement deux classes de coordonnées :
- les coordonnées quasi-isotropes pour lesquelles grϑ ≡ 0 et gϑϑ ≡ r 2 grr ;
- les coordonnées de rotation lente qui imposent grϑ ≡ 0 et gϑϑ ≡ gϕϕ/ sin[ϑ] 2 .
Comme cela a été expliqué au début du chapitre 4, malgré leurs vitesses de rotation
rapides, les étoiles à neutrons peuvent être considérées en rotation assez lente. En effet, le
seul critère pertinent pour parler d’une rotation rapide ou lente n’est pas la valeur absolue
de la vitesse angulaire, mais le rapport ε entre cette dernière et la vitesse de Kepler de
l’objet (voir aussi la section 2.3). Or, on a vu dans le chapitre 4 que, même pour les étoiles
à neutrons les plus rapides connues, ce rapport est inférieur à 1/3. Il est donc légitime, en
première approximation, de linéariser les équations vis-à-vis de ce paramètre ε, ou bien,
de manière équivalente, en fonction de Ω. Cependant, en relativité générale comme en
physique newtonienne, ce qui provoque une déformation (par rapport à la sphère) d’une
étoile en rotation, ce sont les termes en Ω 2 . On note que ces termes traduisant la force
centrifuge sont bien indépendants du signe de Ω, comme on s’attend à ce que ce soit le
cas pour une déformation. Ainsi, si l’on se contente des équations obtenues au premier
ordre en Ω, les 2-surfaces du genre espace décrivant l’étoile à t et r fixés sont des sphères
pour lesquelles on doit avoir la relation gϑϑ ≡ gϕϕ/ sin[ϑ] 2 , ce qui justifie l’expression “coordonnées
de rotation lente” pour le deuxième type de coordonnées. Néanmoins, il existe
une approximation qui permet l’emploi de coordonnées étant à la fois quasi-isotropes et
du type de la rotation lente. Mais cette approximation conforme (ou de Isenberg-
Wilson-Mathews) est définie de manière plus naturelle lorsqu’on l’introduit dans le
cadre de la décomposition dite 3+1 des équations de la relativité générale, décomposition
déjà introduite dans le chapitre 4.
Sous des hypothèses liées au principe de causalité 2 , il est possible de décomposer
l’espace-temps E sous la forme d’une réunion continue d’hypersurfaces (Σt)t ∈ R du genre
espace
E =
Σt, (5.8)
t∈R
où t est la coordonnée temporelle qui paramètre la famille. Un système de coordonnées
global pour l’espace-temps est donc obtenu par la donnée de coordonnées (x1 , x2 , x3 )
sur chacune des hypersurfaces. Par cette décomposition la symétrie spatio-temporelle
relativiste semble perdue, mais il est ainsi assez aisé de formuler la relativité générale
de manière hamiltonienne [Voir Wald (1984) ou Misner et al. (1973)]. Or, la formulation
hamiltonienne d’une théorie permet :
1 On peut toutefois noter que les fonctions N, N ϕ et gϕϕ, pouvant être définies sans ambiguïté à
l’aide des seuls vecteurs de Killing e0 et e3 [voir Bonazzola et al. (1993)], sont en fait indépendantes des
coordonnées x 1 et x 2 adoptées.
2 Il s’agit grossièrement de l’existence d’une structure hyperbolique de l’espace-temps qui assure la
possibilité de définir un problème de Cauchy pour les équations de la relativité générale. Voir par exemple
Wald (1984) pour plus de détails.

5.1 Etoiles relativistes en rotation 149
- de quantifier plus facilement cette même théorie (bien que dans le cas de la gravitation
l’histoire est loin d’être terminée) ;
- d’écrire les équations différentielles à l’aide d’opérateurs temporels du premier ordre.
Ce second point est le plus important en relativité numérique, puisque des dérivées
d’ordres inférieurs sont toujours souhaitables dans ce contexte. Ainsi, dans ce formalisme,
l’espace est considéré comme une variété de dimension 3 ayant une courbure interne
(décrite par hij, restriction de gµν sur Σt) mais aussi externe, dont les évolutions temporelles
1 sont gouvernées par les équations d’Einstein. Cependant, puisque dans le travail
présenté ici l’espace-temps a toujours été considéré comme “gelé” (approximation de Cowling
forte : dEgµν ≡ 0), il n’est pas vraiment nécessaire d’entrer trop dans les détails de
ce formalisme.
Les objets dont les définitions sont utiles ici sont donc tout d’abord le (co)vecteur
unitaire n orthogonal aux hypersurfaces :
n = − N ∇t , (5.9)
où l’on a introduit le lapse N, scalaire positif permettant la normalisation 2 n · n ≡ −1
de n et traduisant la “dilatation temporelle” que perçoit un observateur de quadrivitesse
n par rapport à la coordonnées t. n étant un champ de norme −1 orthogonal aux
hypersurfaces, on définit le projecteur h sur ces dernières par
h = g + n ⊗ n , (5.10)
où g est le tenseur métrique quadridimensionnel et ⊗ le produit tensoriel. On peut montrer
que h est la métrique induite sur les hypersurfaces et permet donc de mesurer des
intervalles de longueur purement spatiaux. On décompose alors le vecteur e0 = ∂t en sa
composante appartenant à Σt et sa composante normale à cette même surface 3 . On introduit
alors le vecteur shift (voir la figure 5.1 pour une illustration à une dimension
spatiale)
N = − h · e0, (5.11)
qui permet d’écrire
e0 = N n − N . (5.12)
Par rapport aux coordonnées (t, x 1 , x 2 , ϕ) précédemment définies, on a donc
nµ = (−N,0) et Nµ = (0, g01, g02, Nϕ = g0ϕ) , (5.13)
1 La décomposition introduite sépare les équations d’Einstein en deux groupes : des équations
d’évolution temporelle, mais aussi des contraintes hamiltoniennes, de manière analogue à ce qu’il se
passe pour les équations relativistes de Maxwell lorsqu’elles sont écrites non plus pour le tenseur Fµν
mais pour les champs électriques et magnétiques.
2 Cette normalisation est liée au choix de signature et permet que n soit une quadrivitesse.
3 Toute cette présentation du formalisme 3 + 1 ne suppose absolument pas l’existence de vecteurs de
Killing.

150 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Nn t x
Σt+dt i= const
n
β
Σ t
Figure 5.1 – Décompositions selon le formalisme 3 + 1.
et si l’on écrit l’élément de longueur spatio-temporel ds 2 à l’aide de ces définitions, on
aboutit à
ds 2 = − N 2 − Ni N i dt 2 − 2 Ni dt dx i + hijdx i dx j , (5.14)
où les indices i et j sont spatiaux et varient de 1 à 3. Si l’on met cette écriture en parallèle
avec l’équation (5.7), on comprend aisément que les variables N et N ϕ employées
précédemment ne sont autres que le lapse et la composante contravariante selon ϕ du shift.
L’approximation introduite indépendamment par Isenberg & Nester (1980) [voir aussi
Isenberg (1977)] et par Wilson & Mathews (1989) est nommée approximation conforme,
puisqu’elle suppose que la partie spatiale de la métrique (hij donc) est conformément plate,
c’est-à-dire vérifie
h ≡ a η , (5.15)
où a est dit facteur conforme et η est la métrique plate de Minkowski. Supposer que
l’espace est conformément plat revient à “tuer” les ondes gravitationnelles. Cette remarque
pourrait faire penser que dans toute étude relativiste dont le but principal est
de contraindre des sources d’ondes gravitationnelles, cette approximation est malvenue.
Cependant, lorsque l’on cherche avant tout à caractériser la source elle-même, cette approximation
peut, au contraire, être très bonne dans un premier temps [voir par exemple
Isenberg (1977)]. En effet, c’est ici une sorte d’approximation “adiabatique”, puisque ce
que l’on néglige sont les conséquences, sur le système, de la perte d’énergie due à l’émission
de ces ondes. Mais le signal gravitationnel lui-même peut néanmoins être caractérisé par
l’emploi de formules du type de celle du quadrupôle.
Par ailleurs, Cook et al. (1996) ont montré que lorsque l’on étudie des configurations
stationnaires d’étoiles relativistes en rotation, l’approximation conforme est très bonne,
même pour des rotations très rapides d’objets très relativistes. Ainsi, si l’on utilise l’ap-

5.1 Etoiles relativistes en rotation 151
proximation de Cowling forte 1 , l’ajout de l’approximation conforme est d’autant meilleur.
L’emploi de l’approximation de rotation lente et de l’approximation conforme permet
donc d’introduire un système de coordonnées isotrope tel que l’élément infinitésimal de
longueur est défini sous la forme
ds 2 = − N 2 − a 2 r 2 sin[ϑ] 2 N ϕ2 dt 2 − 2 a 2 r 2 sin[ϑ] 2 N ϕ dt dϕ + a 2 dl 2 , (5.16)
où l’on a introduit le lapse, la composante selon φ du vecteur shift, le facteur conforme a
et l’élément de longueur spatial tridimensionnel plat usuel dl 2 . Par ailleurs, dans tout ce
qui suit, les trois fonctions inconnues N, N ϕ et a sont supposées ne dépendre que de la
coordonnées radiale x 1 = r, grâce au résultat de Hartle (1967) concernant l’approximation
de rotation lente.
5.1.3 Euler en rotation
Pour étudier, de manière linéaire, les modes inertiels dans une étoile relativiste en
rotation rigide lente avec approximation de Cowling forte, il est nécessaire de :
- se donner une solution décrivant la rotation non-perturbée (autant du point de vue des
variables décrivant le fluide que de celles décrivant le champ de gravitation) ;
- définir des variables qui décrivent la perturbation de cette configuration ;
- linéariser l’équation d’Euler relativiste (3.34) par rapport à la perturbation ainsi définie
et par rapport à Ω, vitesse de rotation de l’étoile, tout en considérant la métrique
fixée.
Le premier point peut être fait de manière presque analytique. En effet, il est connu que
la solution relativiste décrivant un fluide parfait en rotation rigide est une quadrivitesse
de la forme (sur la base naturelle associée aux coordonnées sphériques)
où
U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
β
1
0
0
Ω
, (5.17)
β 2 = − (g00 + 2 Ω g03 + Ω 2 g33) . (5.18)
Dans l’étude présentée ici, les coefficients de la métrique (ainsi que les profils de densité
de nombre baryonique et de pression) ont été obtenus de manière numérique grâce au code
spectral développé et décrit par Bonazzola et al. (1993). Par ailleurs, on peut remarquer
que ce code n’utilise pas l’approximation conforme, et que l’emploi de cette dernière dans le
travail hydrodynamique qui suit a pu ainsi être validé une fois encore : les coefficients de la
1 qui est un premier niveau d’approximation adiabatique qui se justifie par le raisonnement précédent
dans l’étude d’une instabilité séculaire. Voir les ordres de grandeurs résumés dans le tableau 4.2.

152 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
métrique (et autres profils) retenus sont des interpolations sous formes de combinaisons de
polynômes de Tchebychev des coefficients calculés numériquement, et l’écart relatif entre
ces interpolations et les valeurs calculées est inférieur à 1%, ce qui justifie bien l’utilisation
de l’approximation conforme dans les équations hydrodynamiques linéarisées. Par ailleurs,
la rotation lente autorise à réécrire la solution (5.17) sous la forme simplifiée
U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
N[r]
1
0
0
Ω
(5.19)
Pour définir la quadrivitesse perturbée, il reste suffisamment de liberté pour que la
tactique adoptée puisse être de chercher à obtenir des équations d’Euler relativistes assez
semblables aux équations newtoniennes. Pour cela, on peut ajouter à la vitesse (5.19) une
perturbation telle que l’on obtienne la vitesse totale
1 + dEU
0 [t, r, ϑ, φ]
2 U µ [t, r, ϑ, φ] = 1
N[r]
N[r]
a[r]
N[r]
a[r]
Ω +
dEU r [t, r, ϑ, φ]
2 dEU ϑ [t,r,ϑ,φ]
N[r]
a[r]
r
2 dEU ϕ [t,r,ϑ,φ]
r sin[ϑ]
(5.20)
Dans cette expression, on a introduit les variables dEU r , dEU ϑ et dEU ϕ qui ne sont
pas les composantes contravariantes d’un 3-vecteur spatial, mais les composantes “ortho-
gonales” d’un tel vecteur. On peut ainsi définir
−→
W [t, r, ϑ, φ] =
et l’on a alors
Deux remarques s’imposent :
dEU r [t, r, ϑ, φ]
dEU ϑ [t, r, ϑ, φ]
dEU ϕ [t, r, ϑ, φ]
(5.21)
−→
W 2 = (dEU r ) 2 + (dEU ϑ ) 2 + (dEU ϕ ) 2 . (5.22)
- ces variables sont notées comme des perturbations eulériennes de la vitesse, mais la
définition précédente reste valable et pertinente même dans une étude non-linéaire 1 ,
puisqu’elle permet de se “débarrasser” des termes provenant de la configuration
d’équilibre ;
- dEU 0 [t, r, ϑ, φ] n’est pas une véritable variable dynamique, mais se déduit de la condition
de normalisation de la quadrivitesse U · U = −1.
1 qui sera très probablement faite par la suite, la valeur de l’amplitude de saturation non-linéaire des
modes inertiels étant un point fondamental à connaître pour pouvoir juger de leur intérêt pour l’émission
d’ondes gravitationnelles.

5.1 Etoiles relativistes en rotation 153
La double linéarisation de l’équation d’Euler relativiste (3.34) par rapport à la perturbation
dEU et par rapport à Ω donne alors le système
(∂t + Ω ∂φ) dEU r
1 + dE f ∂rP
− 2 dEU ϕ
sin[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) r a ′
r N ′
r N + 1 − − a N
ϕ′
= 0 ,
2
(∂t + Ω ∂φ) dEU ϑ + dE
+ 2 dEU r sin[ϑ]
1
f
∂ϑP
r − 2 dEU ϕ cos[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) = 0 , (5.23)
(∂t + Ω ∂φ) dEU ϕ + dE
(Ω − N ϕ [r]) r a ′
a
1
f
∂ϕP
r sin[ϑ]
+ 1 − r N ′
N
+ 2 dEU ϑ cos[ϑ] (Ω − N ϕ [r]) = 0 ,
r N − ϕ′
où le signe ′ désigne la dérivation par rapport à la coordonnée radiale et où l’on a posé
f = ρ + P .
A ce système 1 , il faut ajouter la conservation du nombre baryonique
qui est équivalente à
∇µ (nb U µ ) = 0 , (5.24)
1 √
√ ∂µ −g nb U
−g µ = 0 , (5.25)
avec g déterminant de la métrique. Avec la métrique (5.16), on obtient
√ −g = N[r] a[r] 3 r 2 sin[ϑ] . (5.26)
Afin d’obtenir une écriture des équations du mouvement qui soit d’allure newtonienne,
il est utile de réécrire cette égalité sous la forme
√ −g = N[r] a[r] 3 e , (5.27)
dans laquelle on a introduit e = r 2 sin[ϑ], racine du déterminant de la 3-métrique spatiale
plate.
Ainsi, si l’on utilise également la forme de la configuration stationnaire (5.19) et le fait
que l’étoile stationnaire est à symétrie sphérique, l’équation (5.25) linéarisée par rapport
à la perturbation eulérienne peut être écrite
(∂t + Ω ∂ϕ) dEñ + ñ ∂tdEU 0 2 N
+ div ñ
a2 −→
W = 0 , (5.28)
1 qui redonne bien les équations newtoniennes lorsque l’on fait tendre N ϕ , a ′ /a et N ′ /N vers 0.
2

154 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
où l’on a défini ñ = nb N[r] 2 a[r] et introduit le vecteur −→ W [voir l’équation (5.21)] ainsi que
l’opérateur de divergence spatiale tridimensionnel usuel.
Or, la condition de normalisation de la quadrivitesse totale 1 implique que ∂tdEU 0 se
comporte en Ω 3 , et peut donc être négligé à l’approximation de la rotation lente. La
conservation du nombre baryonique est donc devenue l’équation quasi-newtonienne
(∂t + Ω ∂ϕ) dEñ +
2 N
div ñ
a2 −→
W
dans laquelle on observe toutefois un terme de redshift
N 2
a 2 .
= 0 , (5.29)
L’application de l’approximation anélastique (voir section 4.3.3) donne alors finalement
div ñ −→
W = 0 , (5.30)
qui est l’expression définitive employée dans le travail relativiste.
Pour que le système formé des équations (5.23) et (5.29) soit “fermé”, il manque encore
une équation d’état pour le fluide perturbé 2 , équation qui relie les perturbations
eulériennes de la pression et de la densité de nombre baryonique. Mais, puisque cette
dernière est absente de l’équation (5.30), il apparaît finalement que l’emploi de l’approximation
anélastique rend inutile cette équation supplémentaire si le fluide est supposé
barotrope et que l’on ne s’intéresse pas à la valeur de dEnb. En revanche, si l’équation
d’état n’est pas barotrope, plusieurs ingrédients restent à ajouter, comme il sera montré
après la présentation de ce premier cas plus simple.
5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire
5.2.1 Fluide barotrope
Un fluide est dit barotrope lorsqu’il obéit à une équation d’état ne dépendant que
d’un seul paramètre du type
P = P [nb] , (5.31)
où nb a été choisie comme variable. On note que dans le contexte relativiste, on rencontre
parfois des équations pour lesquelles on utilise la variable densité d’énergie totale
ρ, plutôt que la densité de nombre baryonique nb. Cependant, cette dernière quantité étant
conservée, elle a été préférée. Il faut cependant prendre soin de la définir d’une manière
covariante pour pouvoir utiliser de manière relativiste une équation d’état d’origine locale
1 qui, linéarisée, impose que U et dEU soient orthogonales.
2 On suppose en effet que l’équation d’état pour la configuration d’équilibre a déjà été utilisée pour la
détermination de cette dernière.

5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 155
et newtonienne. C’est-à-dire qu’il faut vérifier que nb est bien un scalaire vis-à-vis des
transformations de coordonnées. Ce dernier point est facilement démontré si l’on pose
nb = − n µ nµ , (5.32)
où n est le quadrivecteur courant décrivant le transport des particules. Ce quadrivecteur
est une variable vectorielle conservée (au sens relativiste du terme) reliée à la
quadrivitesse du fluide par
n ≡ nb U . (5.33)
Ces définitions peuvent sembler de vaines complications dans l’étude d’un seul fluide,
mais elles sont fondamentales pour la formulation variationnelle de l’hydrodynamique relativiste,
elle-même très utile lorsque l’on travaille avec plusieurs fluides. Pour plus de
détails, on pourra consulter Carter (1989) et Carter (2001), ce dernier article décrivant
l’hydrodynamique de superfluides relativistes.
Si l’on définit le potentiel chimique relativiste sous la forme
µ = ∂ρ
, (5.34)
∂nb
les principes de la thermodynamique permettent d’écrire, pour un fluide parfait à température
nulle, la relation dite fondamentale de la thermodynamique reliant les différentes variables
ρ + P = µ nb . (5.35)
On peut alors en déduire que, dans les équations d’Euler (5.23) avec équation d’état
barotrope, le terme dE( ∇P/f) permet d’introduire l’enthalpie relativiste
∇H[nb] =
∇P [nb]
, (5.36)
ρ[nb] + P [nb]
telle que le seul terme ne faisant pas intervenir la vitesse est ainsi la perturbation eulérienne
de cette grandeur, qui dérive d’un gradient.
Dans ces conditions :
- il est très facile de voir que l’on peut définir une quantité globale E, conservée dans
l’évolution hydrodynamique, qui permet de mieux déterminer les erreurs numériques
dues aux arrondis. On définit ainsi la pseudo-énergie par l’expression
E = 1
2
Star
dV ñ W 2 ; (5.37)
- l’emploi des algorithmes utilisés dans l’étude numérique et décrits dans l’appendice B
est simplifié, ces derniers reposant sur la décomposition d’un vecteur sous la forme
d’un gradient et d’un rotationnel, via le théorème de Helmholtz (voir chapitre 4).

156 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Lorsque l’équation d’état n’est pas barotrope, il est nécessaire de procéder autrement,
puisque l’on ne peut plus écrire
∇P
dE =
f
∇(dEH) . (5.38)
Cependant, pour que le code numérique ait à subir un minimum de modifications, il
est intéressant de chercher à décomposer dEP (et dEf) sous la forme
qui permet d’isoler les termes dérivant de gradients.
5.2.2 Fluide non-barotrope
dEP = dEPbaro + dEPnon−baro , (5.39)
Comme cela a déjà été expliqué dans le chapitre 3, les études d’oscillations hydrodynamiques
dans des fluides non-barotropes reposent souvent sur l’introduction de deux
facteurs de compression γ définis comme
∂ log[P ]
γeq. = , (5.40)
∂ log[nb]
pour la configuration d’équilibre et
γ1 =
∂ log[P ]
∂ log[nb]
eq.
pert.
, (5.41)
pour la configuration perturbée. Une fois obtenu γeq. à l’aide de l’équation d’état barotrope
initiale 1 , le facteur γ1 doit provenir d’une équation plus riche dépendant d’au moins un
autre paramètre. Si l’on s’intéresse à l’étude de modes stables, il existe une contrainte sur
ces facteurs γ. En effet, on montre que les modes g (voir chapitre 3), qui existent grâce
à ce degré de liberté supplémentaire, ont une fréquence liée à la fréquence de Brunt-
Väisälä [voir par exemple Cox (1980)], laquelle est proportionnelle à la racine carrée de
γ1 − γeq.. Pour qu’existent des modes g stables (fréquence réelle), il faut donc que
γ1 > γeq.. (5.42)
On a vu dans le chapitre 2 que les étoiles à neutrons sont très “froides” et que la
température ne joue donc qu’un faible rôle dans leur équation d’état. Mais malgré cela,
l’existence de plusieurs constituants (matière npe) à l’équilibre bêta peut permettre l’existence
de modes g à température nulle, comme l’ont suggéré Reisenegger & Goldreich
(1992). Ces modes, liés à la stratification du milieu, ont une fréquence non-nulle pour la
1 On parle ici de l’équation barotrope effective qui décrit la configuration d’équilibre et dont l’existence
relève de l’hypothèse de matière froide catalysée, comme cela a été expliqué dans la section 2.2.1. Voir
aussi Harrison et al. (1965).

5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 157
seule raison que le retour à l’équilibre bêta d’un élément de matière déplacé n’est pas
instantané. Il y a ainsi des indices adiabatiques différents pour le fluide à l’équilibre et le
fluide en mouvement.
Dans le cadre de l’étude des modes inertiels à l’intérieur d’une étoile à neutrons suffisamment
âgée, cette description est pertinente, puisque le chapitre 2 a montré que le
temps de retour à l’équilibre bêta dans une étoile de température 10 9 K est au minimum
de 20 secondes (si les réactions Durca sont autorisées) et peut même être de l’ordre du
mois (par processus Murca), alors que le temps dynamique des modes inertiels est de
quelques millisecondes (ordre de grandeur de la période de l’étoile).
Par ailleurs, les modes inertiels ayant des caractéristiques différentes selon que l’équation
d’état est barotrope ou non (voir la fin du chapitre 3), il était intéressant, dans le cadre
de l’étude linéaire entamée dans le chapitre 4, d’essayer de les décrire dans une étoile à
neutrons de température nulle obéissant à une équation d’état pour la matière npe valable
autant à l’équilibre bêta qu’en dehors de cet équilibre. Mais avant de présenter cette
équation [qui a été proposée par Prakash et al. (1988)], les équations macroscopiques retenues
pour l’étude numérique non-barotrope vont être décrites.
L’équation d’état analytique utilisée dépend de deux paramètres :
- la densité de nombre baryonique nb ;
- la fraction protonique xp (voir la section 2.3.2).
Cette équation ayant été obtenue dans un cadre non-relativiste, il faut une fois encore
prendre soin de la rendre covariante. Pour cela, on introduit non plus un courant de
transport baryonique, mais un courant neutronique et un courant protonique tels que
nX = nX UX , (5.43)
où X est un indice caractérisant l’espèce (n ou p), nX le courant, nX la densité de particules
mesurée dans le référentiel liée à l’espèce, et UX la quadrivitesse de cette dernière. On
pose alors
nX = − nX µ nXµ , (5.44)
puis
et
qui sont bien des scalaires de coordonnées.
nb = np + nn , (5.45)
np
xp =
np + nn
, (5.46)
En toute rigueur, trois scalaires différents peuvent être formés à l’aide de ces deux
vecteurs et devraient donc apparaître à la fois dans l’équation d’état et dans les équations

158 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
du mouvement si celles-ci étaient les plus générales possibles. De même, dans cette situation,
il faudrait prendre en compte deux équations d’Euler, une pour le fluide de neutrons
et l’autre pour le fluide de protons1 . Cependant, en supposant ces deux fluides en mouvement
unidimensionnel relatif (et en l’absence de force extérieures), Haensel (1980) a
montré que pour la matière symétrique le temps de disparition de ce mouvement relatif
par diffusion des liquides de Fermi est de l’ordre de τnp ∼ 10−18 T −2
9 s, alors que Baym
et al. (1969) ont estimé (en utilisant les sections efficaces dans le vide) que pour une
matière très asymétrique (xp ∼ 0.05), τnp ∼ 10−19 T −2
9 s. Ainsi, étant donnés les temps
caractéristiques des phénomènes étudiés, on peut raisonnablement considérer que les deux
composantes ont la même (quadri)vitesse, et le troisième scalaire
est inutile, puisque l’on a alors la relation
xnp = nn µ np µ , (5.47)
xnp ≡ nn np ≡ (1 − xp) xp (nb) 2 . (5.48)
Une fois donnée une pression dépendant de deux paramètres, on peut écrire le terme
dEP le plus général sous la forme
dEP = ∂P
dEnb +
∂nb xp
∂P
dExp . (5.49)
∂xp nb
Or, pour le décomposer de la même façon que dans l’équation (5.39), on a besoin de
dEPbaro que l’on écrit
dEPβ = dP
dnb
xp ≡ xpβ [nb]
dEnb = P
n γβ dEnb , (5.50)
où xp β [nb] est la fonction définie par l’équilibre bêta [donc par la relation (2.38)], et où le
facteur γβ est le γeq., puisque l’équilibre est caractérisé par un temps de retour à l’équilibre
bêta nul 2 .
Mais imposer qu’un élément de matière garde une composition constante au cours de
son déplacement est équivalent à imposer que la variation lagrangienne de xp soit nulle.
Pour les mouvements auxquels on s’intéresse, on peut ainsi écrire
dLP = P
n γF dLnb , (5.52)
1On devrait plutôt dire une pour la composante neutre du fluide et l’autre pour la composante chargée.
2A partir de l’équation dépendant des deux variables, on a évidemment
dP
dnb
=
xp ≡ xpβ [nb]
∂P
∂nb
+
xp
∂P
dxp
β [nb]
∂xp
. (5.51)
dnb
nb

où l’on a introduit
5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 159
γF =
∂ log[P ]
∂ log[nb] , (5.53)
xp
indice décrivant la perturbation pour laquelle la composition est “gelée” (Frozen). Par
ailleurs, la relation formelle générale liant les pertubarions lagrangiennes et eulériennes
par l’intermédiaire de la dérivée de Lie
permet d’écrire
où
est obtenu en inversant la relation xp β [nb].
dL − dE = £ξ, (5.54)
dLnb − dEnb = dnb
(dLxp − dExp) , (5.55)
dxpβ dnb
dxp β
Après quelques lignes de calcul, on aboutit à l’expression finale
dEP = dEPβ + P
qui est utilisée dans l’équation du mouvement.
nb
(5.56)
dLnb (γF − γβ) (5.57)
Mais dans cette dernière, le développement du terme (5.38) donne
∇P
dE =
f
∇dEP
f
− dEf
f 2 ∇P . (5.58)
Ainsi, en plus de la pression, on doit décomposer également la fonction f, pour obtenir
une expression du type
∇P
dE =
f
∇dEPbaro
+
f
∇dEPnon−baro
−
f
dEfbaro
f 2
∇P − dEfnon−baro
f 2
∇P , (5.59)
dans laquelle on peut “recombiner” les termes donnant un gradient et écrire
∇P
dE =
f
∇dEH + ∇dEPnon−baro
f
− dEfnon−baro ∇H ,
f
(5.60)
où l’enthalpie relativiste introduite est définie à partir de la configuration d’équilibre, et
sa perturbation à partir des perturbations eulériennes barotropes des grandeurs P et f.

160 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Il apparaît alors une différence entre le cas relativiste et le cas newtonien, puisque
dans ce dernier, plutôt que de trouver
∇P
dE , (5.61)
f
on a le terme
où n est la densité de masse.
dE
∇P
, (5.62)
n
Ainsi, dans le cas newtonien, il n’existe pas d’équivalent de dEfnon−baro, n étant directement
l’une des variables utilisées et non une fonction de l’une d’entre elles. On a donc
simplement
dE
∇P
n
= ∇dEH + 1
n
P
∇
n dLn
(γF − γβ) . (5.63)
En revanche, dans le cas relativiste, un calcul semblable à celui ayant mené à l’équation
(5.57) permet d’écrire
dEf = dEfβ + f
dLnb (ζF − ζβ) , (5.64)
nb
où l’on a posé [de manière similaire aux définitions (5.40) et (5.41)]
∂ log[f]
ζ =
∂ log[nb] . (5.65)
avec
Or, puique l’on a
f = ρ + P (5.66)
ρ = nb E , (5.67)
où E est l’énergie par baryon (voir section 2.3.2), et que l’on étudie le mouvement du
fluide lorsqu’il est perturbé à partir d’une configuration à l’équilibre bêta, on a
∂P
= 0 . (5.68)
∂xp nb
De cette manière, on montre l’égalité
(ζF − ζβ) = P
f (γF − γβ) , (5.69)
qui nous permet d’écrire finalement le terme dE( ∇P/f) apparaissant dans les équations
du mouvement sous la forme
∇P
dE =
f
∇dEH + 1
f
P
∇ dLnb (γF
P dLnb
− γβ) − (γF
nb f
− γβ) ∇H . (5.70)
nb

5.2 Equation d’état et hydrodynamique linéaire 161
Comme cela a déjà été expliqué, le terme dérivant de l’enthalpie n’apparaît pas en
dehors des équations d’Euler, et les algorithmes décrits dans l’appendice B (avec l’approximation
anélastique) sont tels qu’il n’obéit à aucune équation dynamique et joue un
rôle secondaire. Néanmoins, une équation supplémentaire décrivant la dynamique de dLnb
est nécessaire. Cette équation est assez simple à obtenir, puisqu’il suffit pour cela de traduire
le fait qu’au cours du mouvement la composition est gelée. En effet, cette condition
s’écrit
£U xp = 0 , (5.71)
où £ est la dérivée de Lie (voir la section 3.2.2).
Or, la version linéarisée de cette équation, la relation (3.41) reliant le quadridéplacement
lagrangien avec la quadrivitesse, la définition (5.20) de la quadrivitesse totale et l’approximation
anélastique (5.30) permettent alors d’écrire cette relation sous la forme d’une
équation d’advection linéarisée quasinewtonienne
(∂t + Ω ∂ϕ) dLnb =
N 2
a 2
−→
W · ∇nb , (5.72)
dans laquelle N et a sont respectivement le lapse et le facteur conforme.
Avec cette dernière équation dynamique, il ne manque plus que la donnée de l’équation
d’état P = P [nb, xp] pour que le système soit complet (à des conditions aux limites près).
5.2.3 Equation d’état non-barotrope de PAL
Le chapitre 2 a essayé de donner un aperçu de la complexité qu’il pouvait y avoir
à obtenir une équation d’état décrivant la matière nucléaire dans les étoiles à neutrons.
Cependant, si l’on veut pouvoir étudier non plus des configurations d’équilibre, mais la
dynamique de ces objets, le problème est bien plus difficile. En effet, dans le calcul de la
configuration stationnaire, on utilise l’hypothèse de matière froide catalysée et on suppose
ainsi que toutes les réactions possibles sont à l’équilibre. Or, lorsque la dynamique est en
jeu, ces divers équilibres peuvent être rompus, et l’on a besoin d’équations d’état obtenues
sans hypothèses d’équilibre, ou au moins, en première approximation, de coefficients de
transports. Le chapitre 2 a expliqué que, pour la matière npe, diverses études de physique
nucléaire ont montré que l’on peut écrire l’énergie par baryon pour la matière asymétrique
sous la forme
EN[nb, xp] = Eo nb, 1
+ S[nb] (1 − 2 xp)
2
2 , (5.73)
où le facteur S[nb] est dit énergie de symétrie et régit la valeur de la fraction protonique
à l’équilibre bêta (voir section 2.3.2).
Partant de ce résultat et des incertitudes qui subsistent pour la matière asymétrique,
Prakash et al. (1988) ont proposé, pour EN[nb, xp], une formule analytique dépendant de
plusieurs paramètres libres et qui :

162 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
- est en accord avec les résultats expérimentaux de collisions d’ions lourds et avec les
études de résonances nucléaires ;
- redonne les caractéristiques principales de la matière nucléaire qui nous environne ;
- reste causale à toutes les densités ;
- est suffisamment indéterminée (grâce aux paramètres libres) pour pouvoir correspondre
à plusieurs valeurs du module de compression de la matière nucléaire symétrique 1 .
Eo
où
Pour la partie symétrique, ils écrivent ainsi
nb, 1
=
2
3
5 E(0)
2
F u 3 + 1
A u
2
B uσ 1 + B ′
+ 3 Ci
uσ − 1
i =1,2
Λi
pF 0
3 pF
Λi
pF
− arctan ,
Λi
- E (0)
F est l’énergie de Fermi à la saturation (∼ 36 MeV) et u la densité baryonique en
unités de densité de saturation (voir chapitre 2). Le premier terme traduit ainsi le
fait que les nucléons sont, en première approximation, des gaz de Fermi ;
- les deuxième et troisième termes, dépendant des constantes A, B, B ′ et σ, rendent
compte des interactions statiques entre nucléons et sont choisis pour que l’interaction
reste causale ;
- les deux derniers termes miment la partie dynamique (qui dépend de l’impulsion) de
l’interaction nucléaire forte et les Λ sont des échelles caractéristiques associées aux
constantes de couplage Ci. Ainsi, le premier terme (choisi tel que C1 < 0 avec
Λ1 = 1.5 pF 0 ) est attractif à longue distance, alors que le second (C2 > 0 avec
Λ2 = 3 pF 0 ) reproduit l’aspect répulsif de l’interaction nucléaire forte à courte
distance.
Afin de séparer, dans la partie d’énergie de symétrie, le terme cinétique du terme
potentiel, Prakash et al. (1988) posent
3
S[nb] =
+ S0 F [u] , (5.74)
2 2
3 − 1
5 E(0)
F
u 2
3 − F [u]
où F [u] est une fonction indéterminée devant cependant être en accord avec les résultats
microscopiques connus. Ils envisagent donc les différents cas
− F [u] = u ;
− F [u]
2 u2
=
1 + u ;
− F [u] = √ u .
Les résultats qui vont être présentés par la suite sont à considérer comme un aperçu
d’un travail en cours. Ainsi, il existe d’autres paramétrages possibles de cette fonction S
1 grandeur fondamentale de la physique nucléaire qui intervient dans les modes de résonance monopolaires
des noyaux et est définie comme K∞ = 9 nb 2 (∂ 2 EN /∂ 2 nb)|nb = n0. Voir Shapiro & Teukolsky
(1983).

5.3 Résultats numériques 163
[voir par exemple Page & Applegate (1992)], mais ils ne seront pas mentionnés ici. De
même, seule la deuxième fonction F proposée par Prakash et al. (1988) sera utilisée par
la suite, avec des valeurs des paramètres donnant un module de compression de 180 MeV.
5.3 Résultats numériques
5.3.1 Configuration d’équilibre
Le premier test de l’implémentation de l’équation d’état a été l’obtention de configurations
d’équilibre similaires à celles décrites dans Prakash et al. (1988). Une fois cette
vérification effectuée, il a été nécessaire de procéder à quelques modifications. En effet,
l’équation d’état de Prakash et al. (1988) a été proposée pour rendre compte des propriétés
de la matière à des densités proches de la densité de saturation. Mais pour des
valeurs trop faibles, son comportement est pathologique du point de vue thermodynamique,
ce qui est catastrophique pour un code spectral tel celui utilisé et décrit dans
Bonazzola et al. (1993). Pour remédier à ce problème de manière physique, on a décidé
d’imposer à une valeur non-nulle de la densité la condition de surface rigide (Vr ≡ 0).
Cette condition n’est pas la seule pouvant être utilisée pour éviter les difficultés liées au
comportement non physique de l’équation d’état, l’important étant d’introduire une coupure.
Ainsi, une prochaine étape pourra consister à imposer comme condition à la surface
un changement de phase de la matière nucléaire, condition probablement plus proche de
la réalité à la frontière entre le noyau externe et l’écorce interne dans une étoile assez âgée.
Dans tout ce qui suit, une seule configuration d’équilibre sera utilisée. Elle consiste en
une étoile d’enthalpie centrale relativiste égale à 0.2 (densité baryonique correspondante
∼ 6.8 n0) de masse gravitationnelle égale à 1.1 masses solaires et de rayon équatorial
coordonné égal à 10.6 km.
5.3.2 Modes g dans une étoile à neutrons statique
Le premier calcul a consisté en celui du spectre des modes g. Afin de tester l’effet des
conditions aux limites, on a ainsi calculé ce spectre pour deux configurations ne différant
que par la valeur de la densité à laquelle la coupure a été imposée. On a choisi les valeurs
0.5 n0 et 1/3 n0. Pour obtenir ces spectres, on a utilisé comme configuration d’équilibre
l’étoile précédente sans rotation avec comme condition initiale une perturbation de densité,
mais pas de perturbation du champ de vitesse. Les résultats obtenus apparaissent
sur les figures 5.2 et 5.3.
Plusieurs conclusions sont immédiates :
- les spectres des modes g obtenus ont bien des fréquences correspondant aux ordres de
grandeur attendus (voir Reisenegger & Goldreich (1992)) ;
- les conditions aux limites semblent avoir une influence assez importante sur leurs valeurs.

164 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
∆n
log 10 (S p )
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
modes g avec coupure à 0.5 densités de saturation
0 50 100 150 200 250 300 t (ms)
-4
0 50 100 150 200 250 300
ν(Hz)
Figure 5.2 – Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 0.5 densités de saturation.
∆n
log 10 (S p )
0.06
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
modes g avec coupure à 0.33 densités de saturation
0 50 100 150 200 t (ms)
-4
0 50 100 150 200 250 300
ν(Hz)
Figure 5.3 – Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 1/3 densités de saturation

5.3 Résultats numériques 165
Il est à noter que, dans les spectres présentés ici, n’apparaissent que les modes g avec
m = ± 2. Cette restriction a été faite volontairement car, lorsque l’on s’intéresse aux modes
inertiels m = 2 dans une étoile en rotation, il n’y a couplage entre ces derniers qu’avec
les modes g de même nombre azimuthal, les équations hydrodynamiques retenues étant
linéaires. Par ailleurs, si l’on avait procédé à des calculs de modes g sur des temps plus
longs et avec un nombre de points spatiaux plus important, une propriété supplémentaire
des modes g aurait été observée (elle le fut dans des calculs qui ne seront pas illustrés ici,
n’apportant rien de plus qui soit fondamental) : il s’agit du fait que, pour les modes g de
très faibles fréquences (valeurs de l très grandes), les valeurs de ces fréquences tendent à
être également séparées.
5.3.3 Modes g dans une étoile en rotation
Le calcul suivant fut celui du spectre des modes g lorsque l’étoile est en rotation. On
s’attend dans ce cas à une levée de la dégénérescence du spectre, de telle façon que les
modes de fréquence ω0 dans l’étoile statique aient des fréquences valant
ω = ω0 ± m Ω , (5.75)
où Ω est la vitesse de rotation de l’étoile et m = 2 dans le cas considéré.
Partant des mêmes conditions initiales que précédemment (pas de vitesse) et fixant la
coupure à 1/3 densités de saturation, on a observé les variations du spectre et des champs
(densité et vitesse) en fonction de la vitesse angulaire. Les résultats obtenus apparaissent
sur les figures 5.4, 5.5, 5.6 et 5.7 qui illustrent respectivement la perturbation lagrangienne
de densité, la composante selon ϑ de la perturbation eulérienne de la vitesse, les
composantes du tenseur intervenant dans le quadrupôle de courant (voir chapitre 4) et
la composante radiale de la perturbation eulérienne de la vitesse, pour des valeurs de Ω
égales à 0 Hz, 50 Hz et 100 Hz.
La figure 5.4 montre aisément la levée de dégénérescence attendue. Lorsque l’étoile est
en rotation, les modes g avec m = 2 et ceux avec m = −2 se différencient. Lorsque l’on
observe la figure 5.5 on remarque la présence d’un autre mode dont l’amplitude croît avec
la vitesse angulaire, pour des conditions initiales identiques. Sa fréquence dépendant de la
vitesse angulaire de manière quasi-linéaire (on l’a vérifié en observant la faible variation
du rapport entre cette fréquence et Ω pour diverses valeurs de Ω), on peut affirmer en
toute confiance qu’il s’agit d’un mode inertiel. Cette affirmation est d’ailleurs confortée
par la figure 5.6 qui montre le spectre des composantes du tenseur de quadrupôle de
courant 1 . En effet, le mode qui domine ce spectre est le dernier observé qui serait donc
rendu instable si la force post-newtonienne de réaction à la radiation avait été incluse.
1 Dans cette figure, les valeurs obtenues lorsque la vitesse de rotation est nulle n’ont aucune signification
physique et ne résultent que des erreurs d’arrondis numériques. Cette première courbe permet ainsi de
vérifier que ces erreurs sont dues au formatage double-précision employé.

166 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Spectres de puissance de la perturbation de densité
pour différentes vitesses angulaires de l’étoile
S (∆n) p 0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
Ω= 0 Hz
0
0
0.05
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.04
0.03
0.02
0.01
Ω= 50 Hz
0
0
0.04
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.03
0.02
0.01
Ω= 100 Hz
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Figure 5.4 – Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 0.3 densités de saturation dans des étoiles de vitesse angulaire
variable.
Cependant, la figure 5.7 illustre un autre résultat très intéressant. En effet, le spectre
de la vitesse radiale ne fait pas apparaître ce mode inertiel. Ainsi, on peut affirmer qu’il
s’agit d’un mode r, puisque purement axial. En toute rigueur, l’absence de vitesse radiale
n’est pas suffisante pour affirmer qu’un mode est purement axial. Il faut aussi vérifier ses
propriétés de parité (voir chapitre 3), ce qui peut être fait très facilement grâce à l’emploi
de la décomposition de Helmholtz dans le code numérique (voir chapitre 4 et Appendice
B). Cependant, on peut montrer que seuls les modes axiaux sont associés à des valeurs
non-nulles du quadrupôle de courant. Le mode considéré apparaissant également dans le
spectre de ce dernier, il est bien axial. De plus, cette dernière remarque permet de conclure
que la présence des modes g dans le spectre 5.6 implique que la rotation les a doté d’une
composante axiale qui ne leur avait pas été donnée dans les conditions initiales.
5.4 Conclusions
Dans les calculs préliminaires issus d’un travail en cours en collaboration avec S. Bonazzola
et P. Haensel, ce qui semble être une sensibilité des modes g vis-à-vis de l’équation
d’état de la matière a été illustrée. Ces résultats ont également montré l’existence de modes
inertiels purement axiaux (les modes r) qui sont cependant couplés aux modes g, lesquels
semblent nécessairement comporter une partie axiale lorsque l’étoile est en rotation.
L’une des conséquences possibles de ce couplage entre modes r et modes g, ajouté
à l’apparente sensibilité de ces derniers vis-à-vis des conditions aux limites et/ou de
l’équation d’état de la matière, est que l’observation d’ondes gravitationnelles résultant
de l’instabilité CFS des modes r pourrait être un moyen de sonder l’intérieur des étoiles

5.4 Conclusions 167
Spectres de puissance de la composante θ de la vitesse
pour différentes vitesses angulaires de l’étoile
S (∆n) p 0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
Ω= 0 Hz
0
0
0.002
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
0.0015
0.001
0.0005
Ω= 50 Hz
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
0.002
0.0015
0.001
0.0005
Ω= 100 Hz
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
Figure 5.5 – Evolution temporelle de la composante ϑ de la perturbation eulérienne de
la vitesse et spectre associé. On observe la présence de modes inertiels en plus des modes
g, et le fait que le couplage entre ces deux types de modes semble croître avec la vitesse
angulaire.
Spectres de puissance du tenseur S ij
pour différentes vitesses angulaires de l’étoile
S (∆n) p 5e-20
4e-20
3e-20
2e-20
1e-20
Ω= 0 Hz
0
0
4e-05
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
3e-05
2e-05
1e-05
Ω= 50 Hz
0
0
5e-05
4e-05
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
3e-05
2e-05
1e-05
Ω= 100 Hz
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550
Figure 5.6 – Evolution temporelle des composantes du quadrupôle de courant et spectre
associé. On vérifie ici que les modes autres que g apparaissant dans le spectre de la
composante ϑ sont bien des modes inertiels. Voir texte pour plus de détails.

168 Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
Spectres de puissance de la composante radiale de la vitesse
S (∆n) p 0.001
0.0008
pour différentes vitesses angulaires de l’étoile
0.0006
0.0004
0.0002
Ω= 0 Hz
0
0
0.0008
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.0006
0.0004
0.0002
Ω= 50 Hz
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.0006
0.0004
Ω= 100 Hz
0.0002
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Figure 5.7 – Evolution temporelle de la composante radiale de la perturbation eulérienne
de la vitesse et spectre associé. Ce spectre permet de conclure que le mode inertiel observé
est bien un mode r purement axial. Voir texte.
à neutrons. En effet, puisqu’il est probable que nous disposerons dans le futur de données
multiples à recouper provenant des observations X, des mesures de paramètres postnewtoniens,
et d’éventuelles raies atomiques de matière en accrétion à la surface d’une
étoile à neutrons, nous serons aptes à calculer la masse, le rayon, la vitesse angulaire de
l’astre observé, et ainsi de trouver ce que serait le spectre des modes inertiels si l’étoile
était barotrope. La comparaison entre ce spectre idéalisé et le spectre gravitationnel observé
pourrait alors permettre de reconstruire celui des modes g et donc de contraindre
l’équation d’état de la matière nucléaire. Mais pour que ce scénario quasi-idéal puisse se
réaliser, il reste encore à étudier quelles sont les caractéristiques de la matière nucléaire
qui influent réellement sur le spectre des modes g et si cette influence est suffisamment importante
pour que le spectre gravitationnel soit un indicateur presque direct de ce qu’est
la physique nucléaire au cœur des étoiles à neutrons.

Conclusions et perspectives
“Pour un homme sans œillère, il n’est
pas de plus beau spectacle que celui de
l’intelligence aux prises avec une réalité
qui le dépasse.”
Albert Camus, Le Mythe de Sisyphe
La finalité de ce travail de thèse était d’apporter quelques contributions à notre
compréhension de ces objets “extraordinaires” que sont les étoiles à neutrons. A l’heure
actuelle, nous ne les percevons que de manière électromagnétique, et l’étude du phénomène
des pulsars reste l’un de nos meilleurs moyens d’investigation. Dans ce cadre, la première
partie de cette thèse a illustré l’importance de l’influence de la superfluidité des nucléons
dans une modélisation détaillée et “réaliste” de l’évolution thermique et cinétique d’un
pulsar. Des calculs de temps de retour à l’équilibre bêta en présence de différents types
de superfluidité ont été effectués (chapitre 2), et les résultats confirment la nécessité de
prendre en compte cet effet. Cette superfluidité peut ainsi faire en sorte que l’équilibre
bêta, brisé par la déformation de l’étoile au cours de son ralentissement, mette un temps
quasi infini à réapparaître, processus qui pourrait avoir des conséquences notables sur la
dynamique globale d’une étoile à neutrons en rotation. Mais plusieurs obstacles restent à
franchir avant qu’une analyse précise et contrainte ne soit réalisable. Parmi ces difficultés
figure notre connaissance imparfaite de l’équation d’état de la matière nucléaire à haute
densité, ce qui est précisément l’une des informations que l’on espère retirer de l’étude
des pulsars.
Cependant, les étoiles à neutrons en rotation étant des objets relativistes, un autre
moyen de sonder leur structure interne et de déterminer l’équation d’état de la matière
nucléaire à haute densité existera sous peu : l’analyse des ondes gravitationnelles qu’elles
peuvent émettre. De même que l’étude des oscillations stellaires nous a permis de mieux
comprendre la structure interne du Soleil, nous devrions pouvoir mieux appréhender
l’intérieur des étoiles à neutrons par leur spectre gravitationnel. Par ailleurs, puisque
les étoiles à neutrons sont dotées d’une structure complexe qui joue le rôle de filtre vis-àvis
de leur rayonnement électromagnétique, les ondes gravitationnelles sont certainement
notre moyen le plus efficace de scruter leur intimité.
La plus grande partie de cette thèse s’est intéressée à l’un des mécanismes par les-

170 Conclusions et perspectives
quels les étoiles à neutrons sont susceptibles d’émettre des ondes gravitationnelles de
manière conséquente : l’existence d’oscillations hydrodynamiques des étoiles à neutrons
en rotation, les modes inertiels, qui sont rendues instables par leur couplage au champ
gravitationnel. Plusieurs phénomènes physiques complexes étant susceptibles d’influencer
fortement l’évolution dynamique de ces modes, leur étude passe inévitablement par des
simulations numériques précises. Un code d’hydrodynamique relativiste reposant sur les
méthodes spectrales et dont le but est d’étudier les modes inertiels via des évolutions
temporelles bien contrôlées a été décrit (chapitre 4).
La calibration de ce code a permis de montrer la pertinence de l’approximation
anélastique qui autorise des calculs sur des échelles de temps suffisamment longues pour
qu’une instabilité séculaire parvienne à se développer. Le même outil numérique a ensuite
été amélioré pour l’étude des oscillations d’étoiles à neutrons stratifiées modélisées par une
équation d’état analytique non-barotrope provenant de la physique nucléaire (chapitre 5).
Cette dernière étape a rendu possible l’analyse de la sensibilité des modes de gravité, liés à
l’existence d’un gradient de composition, vis-à-vis de l’équation d’état. Elle suggère ainsi
l’existence d’une éventuelle dépendance des modes inertiels envers cette dernière, via leur
couplage avec les modes de gravité dans une étoile à neutrons en rotation. Si ce résultat
se confirme dans une étude plus approfondie en cours, ce couplage enrichirait le contenu
informatif du spectre gravitationnel des modes inertiels.
Par ailleurs, le code a initialement été construit pour réaliser une étude non-linéaire
des modes inertiels, les méthodes spectrales étant particulièrement bien adaptées à ce type
de problème. Le cas linéaire, certes plus simple, étant lui-même suffisamment riche, cet
objectif a momentanément été écarté. Cependant, cette question restant de première importance
pour juger de la pertinence des modes inertiels en tant que mécanisme d’émission
d’ondes gravitationnelles, elle fait partie des projets envisageables dans la continuité de
ceux présentés ici. Dans le même esprit, l’inclusion des équations de Maxwell pour traiter
la magnétohydrodynamique a déjà été commencée par Silvano Bonazzola.
A plus court terme, pour aller au-delà de la version la plus simple de l’approximation
de rotation lente, on peut envisager de prendre en compte une déformation de l’étoile
et d’abandonner l’approximation conformément plate. Bien que ces deux approximations
soient très bonnes pour les étoiles à neutrons observées à ce jour, l’étude sans leur utilisation
reste à réaliser pour bien comprendre leurs importances relatives. Néanmoins, il
existe une situation astrophysique probablement intéressante sur laquelle on pourrait rapidement
se pencher : l’évolution des modes inertiels dans une proto-étoile à neutrons en
rotation. Pour un tel objet, les modes g proviendraient d’une équation d’état dépendant à
la fois de la composition et d’une température non-nulle, mais les équations du mouvement
seraient très similaires à celles dérivées ici. Or, bien qu’étant moins relativistes que leurs
descendantes, les proto-étoiles à neutrons sont en rotation plus rapide que les premières, et
les modifications du spectre d’oscillations associées à l’existence d’une physique différente
peut peut-être donner naissance à des instabilités qui leur sont propres.

Remerciements 171
La liste est longue des personnes grâce auxquelles cette thèse a finalement abouti et
que je tiens à remercier ici. J’espère réussir à en oublier le moins possible, même si je ne
nommerai pas tous ceux auxquels j’ai pensé en rédigeant ces lignes.
A l’origine de ce travail se trouve évidemment Silvano Bonazzola, à qui je dois cependant
bien plus que cela, autant humainement que scientifiquement. Entre autres choses, je
lui suis très reconnaissant pour m’avoir fait confiance et pour m’avoir prouvé que, contre
toute attente de ma part, on pouvait réellement faire un travail scientifique au moyen
d’ordinateurs. Ma gratitude va également à l’autre initiateur de ce travail, Pawe̷l Haensel,
pour m’avoir offert ses multiples explications et conseils, qui ont eux-aussi débordé du
cadre scientifique, ainsi que pour avoir rendu mes séjours à Varsovie aussi plaisants.
Même s’ils n’ont pas vraiment pris part à ce travail, je suis fortement redevable envers
Eric Gourgoulhon et Jérôme Novak, qui m’ont montré que l’on pouvait être déjà fort occupés
mais toujours disponibles. Je les remercie vivement en espérant pouvoir leur rendre
la pareille un jour et n’avoir pas été trop insupportable.
Les diverses discussions scientifiques avec Brandon Carter, Kseniya Levenfish, Nik
Stergioulas, Johannes Ruoff, Nils Andersson, Luciano Rezzolla, Mourad Charikhi, Jean-
Marie Chesneau, Fabienne Jezequel et Fabien Ricco m’ont été fort utiles, tout en étant
agréables, et je les en remercie ici.
Cette thèse, ces trois années au DARC puis au LUTH, et les divers séjours à Varsovie
ou dans certains nœuds du Réseau Européen d’étude des sources d’ondes gravitationnelles
doivent leurs bons déroulements à de nombreuses personnes dont j’ignore parfois
les noms. Je suis ainsi particulièrement reconnaissant envers Nathalie Deruelle et Jean-
Michel Alimi pour m’avoir accueilli avec sympathie dans leurs laboratoires respectifs ; Ed
Seidel pour avoir rendu possible l’existence du Réseau Européen et pour l’orchestrer efficacement
; Cécile Rosolen pour avoir su rester stoïque et efficace malgré trois années
au cours desquelles elle a eu à supporter ma quasi-incompréhension face aux démarches
administratives ; Sylvie Gordon et Nathalie Reinhardt, ainsi que le personnel administratif
des divers lieux que j’ai fréquentés, pour m’avoir évité de trop me noyer dans ce genre
de démarches ; les nombreux chercheurs, thésards, postdocs et autres rencontrés à droite
et à gauche, en France ou ailleurs, pour m’avoir montré différents, mais sympathiques,
aspects de l’être humain que ce soit le midi à la cantine, lors de Cafés +, ou bien encore
pendant les diverses excursions nocturnes parallèles aux réunions du réseau. Parmi ces
derniers figurent évidemment José Maria Ibañez, José Antonio Font, José Antonio Pons
et tous ceux du Département d’Astronomie et d’Astrophysique de l’Université de Valence
dont je ne connais pas encore les noms, mais dont l’accueil est très amical.
Par ailleurs, je remercie les différents membres de mon jury, parmi lesquels Claude
Barrabes, pour avoir accepté d’en faire partie, Jacques Lebourlot pour l’avoir présidé
malgré un emploi du temps chargé, Michel Rieutord et Kostas Kokkotas pour avoir pris le

172 Remerciements
temps d’examiner et de rédiger des rapports sur mon travail, ainsi que Van Giai Nguyen
pour avoir accepté d’être rapporteur, même si les règles administratives en ont décidé
autrement.
Finalement, il serait injuste d’oublier les amis, qu’ils aient fait des gâteaux ou pas,
commenté ce mémoire ou pas, assisté à la soutenance ou pas, ils ont, chacun et chacune,
été présent(e)s à un moment ou à un autre et, à leur façon aidé cette thèse à aboutir.
De même, la plus grande part du mérite revient, sans l’ombre d’un doute, à mes parents
qui m’ont toujours laissé la liberté d’aller où je le souhaitais.

Appendice A
Géométrie différentielle
Sommaire
A.1 Rappels de topologie et variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Espaces vectoriels tangents et connexions . . . . . . . . . . . . 174
A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes . . . . . . . . . . 175
Dans cet appendice sont rassemblées les principales définitions permettant d’introduire
les idées de base du cadre mathématique de la relativité générale. Cette présentation ne
se veut aucunement exhaustive ni même la plus générale possible, et pour plus de détails,
on pourra consulter Misner et al. (1973), Wald (1984) ou encore Choquet-Bruhat et al.
(1982).
A.1 Rappels de topologie et variétés
⋆ (Ξ, I) est un espace topologique ssi Ξ est un ensemble d’éléments et I une collection
de sous-ensembles de Ξ vérifiant les propriétés suivantes :
- toute réunion d’éléments de I lui appartient ;
- toute intersection finie d’éléments de I lui appartient ;
- l’ensemble vide et Ξ sont des éléments de I.
Dans ces conditions, I définit une topologie et ses éléments sont nommés ouverts
pour cette topologie. Par la suite, on notera M l’espace topologique (Ξ, I).
Une notion importante pour un traitement global de l’espace-temps selon la relativité
(qui en donne une définition reposant sur le concept d’espace topologique) ne sera pas
abordée ici. Il s’agit de celle de la (para)compacité d’un espace topologique qui permet de
définir proprement l’intégration lorsque l’espace topologique a également été doté d’une
structure lisse.

174 Géométrie différentielle
⋆ M est un espace topologique séparé ou de Hausdorff ssi ∀(x, y) ∈ M 2 , ∃(U, V ) couple
d’ouverts tels que : x ∈ U, y ∈ V et U ∩ V = ∅.
⋆ M est une variété topologique de dimension n ssi M est un espace de Hausdorff
dont chaque point possède un voisinage homéomorphe 1 à un ouvert de R n .
⋆ Etant donné M, variété topologique, (U, ϕ) est une carte locale de M ssi
- U est un ouvert de M ;
- ϕ est un homéomorphisme de U dans W ouvert de R n . Les coordonnées de
ϕ(p) ∈ R n image de p ∈ M par ϕ, sont appelés coordonnées de p dans
la carte et notés ϕ(p) = (x 1 , .., x n ).
⋆ A est un atlas de classe Ck de M variété topologique ssi A est un ensemble (Ui, ϕi)i∈I
de cartes locales de M tel que
-
Ui ≡ M
i∈I
: ϕi(Ui ∩ Uj) → ϕj(Ui ∩ Uj) est une fonction de classe Ck de Rn dans lui-même. On dit que ces fonctions sont Ck compatibles.
- ∀(i, j), ϕj ◦ ϕ −1
i
⋆ (M, A) est une variété différentiable de classe C k ssi M est un espace de Hausdorff
et A un atlas de classe C k .
Pour la suite, par abus de notation, M désignera la variété différentiable qui sera
supposée, par simplicité, de classe C ∞ .
A.2 Espaces vectoriels tangents et connexions
⋆ Etant donnés M, variété différentiable, et F[M] espace des fonctions de M à valeurs
dans R, on nomme vecteur tangent à M en A une application V|A de F[M] dans
R qui est linéaire et vérifie la règle de Leibniz :
∀(f, g) ∈ F[M] 2 , V|A[fg] = g V|A[f] + f V|A[g].
⋆ L’ensemble TAM des vecteurs tangents à M en A est nommé espace vectoriel tangent
à M en A. On montre qu’il s’agit d’un espace vectoriel dont la dimension est
celle de M et qui, étant donné un système de coordonnées local (une carte locale),
admet pour base l’ensemble des dérivées partielles par rapport à ces coordonnées. On
note T M, l’ensemble des espaces vectoriels tangents, aussi nommé fibré tangent.
⋆ Un champ vectoriel V est une application de M dans T M telle que pour tout A
de M, V [A] est un vecteur tangent à M. T M est munie d’une structure de Lie
naturelle [., .] définie par : ∀X, Y ∈ T M 2 ,
[X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X.
1 Un homéomorphisme ϕ est une bijection bicontinue, i.e. ϕ et ϕ −1 sont continues.

A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes 175
Une fois définie cette structure de champ vectoriel sur M, on généralise de la même
façon que pour R n les notions de covecteurs (élément de T ∗ M = T1) et de tenseurs
d’ordres (p,q) quelconques (élément de T M p × T ∗ M q = T p q ), puis celle de champs
tensoriels, qu’il faut cependant encore enrichir pour pouvoir comparer des vecteurs connus
en différents points de M. Cette comparaison n’est en effet pas immédiate dans le cas
d’une variété.
⋆ On appelle connexion affine l’application ∇ de T M × T M dans T M qui vérifie
∀X, Y, Z ∈ T M 3 , ∀f ∈ F[M],
∇f·Y +ZX = f · ∇Y X + ∇ZX
∇X (f · Y + Z) = X[f] · Y + f · ∇XY + ∇XY.
⋆ Les tenseurs de torsion T et de courbure R d’une connexion ∇ donnée se définissent,
∀X, Y, Z ∈ T M 3 , par
T [X, Y ] = ∇XY − ∇Y X − [X, Y ]
R[X, Y ]Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ]Z.
Ces tenseurs de torsion et de courbure sont ceux qui permettent de dire si une variété
est plate ou non selon la connexion utilisée. Par ailleurs, en imposant à la connexion affine
certaines propriétés de compatibilité avec le produit tensoriel, on peut la généraliser à tous
les types de tenseurs et introduire une opération de dérivation commune.
⋆ La dérivation covariante D associée à la connexion affine ∇ est définie par
∀X ∈ T M, ∀A ∈ T p q , < DA, X > = ∇XA ,
où désigne l’opération de contraction tensorielle.
Etant donnée ces notions de connexion et de dérivation, on peut transporter des vecteurs
le long de courbes pour les comparer.
⋆ Une géodésique est une courbe transportée parallèlement à elle-même, ce qui signifie
que la dérivation covariante de son vecteur tangent par rapport à lui-même est nulle.
Cette notion généralise donc celle de ligne droite, mais les notions de distances et
d’angles étant fondamentales en relativité, celles-ci restent à introduire pour arriver enfin
à l’espace-temps de la relativité générale.
A.3 Métrique et variétés (pseudo)-riemanniennes
⋆ Une métrique g sur une variété M est un champ de tenseur de rang (0,2) symétrique
et non-dégénéré :
∀X, Y ∈ T M 2 , g[X, Y ] = g[Y, X] ∈ R , (∀Y ∈ T M, g[X, Y ] = 0 ) → X = 0 .

176 Géométrie différentielle
⋆ Une variété différentielle munie d’une métrique positive sera dit riemannienne et elle
sera dite pseudo-riemmannienne dans le cas contraire.
L’espace-temps de la relativité générale est donc une variété pseudo-riemannienne
telle que la métrique de signature (−, +, +, +) permet de mesurer des distances spatiotemporelles
(voir chapitre 1). Par ailleurs, l’existence d’une métrique définie sur une variété
riemmannienne introduit des isomorphismes naturels entre les différents espaces tensoriels,
exactement de la même façon que pour un espace euclidien ou minkowskien. Un
résultat important concernant les variétés riemanniennes est le fait qu’il existe une unique
connexion affine, dire de Levi-Civita, qui est compatible avec la métrique (la dérivée
covariante de la métrique est nulle) et sans torsion. Cette connexion est celle qui joue un
rôle fondamental en relativité générale, et elle permet de définir les tenseurs de courbure
apparaissant dans les équations d’Einstein (1.10).
⋆ On définit le tenseur de Riemann comme le tenseur de courbure de la connexion
de Levi-Civita, et le tenseur de Ricci comme une contraction de ce dernier (pour
plus de détails voir l’une des références citées en début d’appendice).
La dernière notion utile ici est celle de dérivée de Lie qui est indépendante de l’existence
d’une métrique ou non, et aurait donc pu être introduite dès que la structure de Lie de
T M a été signalée. Cependant, dans une théorie métrique, l’un des intérets principaux de
cette dérivée est de permettre de définir des symétries et des quantités conservées, ce qui
se fait par l’intermédiaire des vecteurs de Killing. La définition qui suit n’est pas la plus
intuitive pour comprendre sa signification ”physique”, mais elle est suffisamment simple
tout en étant complète et valable.
⋆ La dérivée de Lie £ d’un tenseur d’ordre (p, q) par rapport à un vecteur X est une
application de l’espace T p q dans lui-même qui vérifie :
- £X(S + T ) = £XS + £XT ,
- £X(S ⊗ T ) = (£XS) ⊗ T + S ⊗ (£XT ) ,
- S ∈ T M → £XS = [X, S] ,
- S ∈ F[M] → £XS = X[S] ,
- S ∈ T M et T ∈ T ∗ M → £X(S i Ti) = (£XS) i Ti + S i (£XT )i .
⋆ Un vecteur de Killing est un champ vectoriel K tel que £Kg = 0, où g est la métrique
de l’espace-temps. On montre que le produit scalaire entre un vecteur de Killing et
le vecteur tangent à une géodésique est une constante. L’existence de vecteurs de
Killing de l’espace-temps permet donc de définir des quantités conservées dans la
cinématique.

Appendice B
Spectral methods and vectorial
equations
Sommaire
B.1 Spirit of the spectral methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . 183
The numerical algorithm adopted to solve the NSE (or the EE) is based on the spectral
methods (SM) widely used in hydro or MHD problems. Before explaining this algorithm
in more details, in a first Appendix, we will begin with a short summary of the SM in
order to make more evident the peculiarity of the solving of vectorial equations like NSE.
Then in a second Appendix, we deal explicitly with EE and aim at explaining the way
we implemented the approximation done on the mass conservation equation.
B.1 Spirit of the spectral methods
Our group developed algorithms and routines library [Bonazzola & Marck (1990),Bonazzola
et al. (1999)] 1 allowing us to solve partial differential equations (PDE) in different
geometries, mainly in domains diffeomorphic to a sphere. First, with an example of scalar
PDE, we will look at the singularities contained in operators expressed in spherical-like
coordinates [see, for instance, the different components of the NSE : Equation (4.9)] and
1 In 1980, one of us (S.B.) started to build a library of routines based on spectral methods to solve
PDE in different geometries. Today, this library contains more than 700 routines written in FORTRAN
70 and 90 languages. These routines have a strict hierarchy and allow us to assemble codes in modular
way. We call this library “Spectra”. A part of this library (the highest in the hierarchy) was written
in C ++ language by J.A. Marck and E. Gourgoulhon in order to allow the use of an object oriented
language. This library is called “Lorene”. The code described in this section uses the “Spectra” library
and is written in FORTRAN 90 language.

178 Spectral methods and vectorial equations
at our choice of spectral basis. Then, we shall discuss the further difficulties that arise in
vectorial PDE and explain the way we overcome them.
B.1.1 The scalar heat equation
Consider the heat equation :
∂F
∂t
= α∆F + S (B.1)
where ∆F = ∂2F ∂r2 + 2 ∂F 1 + r ∂r r2 ( ∂2F ∂ϑ2 cos ϑ ∂F 1
+ + sin ϑ ∂ϑ sin ϑ2 ∂2F ∂ϕ2 ) is the Laplacian in spherical
coordinates, α the heat conductivity supposed to be constant, and S a source term (that
may include nonlinear terms if they exist). The idea of spectral methods is to look for the
solution of the Equation (B.1) on the form
F [r, ϑ, ϕ, t] =
∞
n,l,m=0
Fnlm[t] H l n[r] K m l [ϑ] Lm[ϕ] (B.2)
with (0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π) and where H l n[r], K m l [ϑ], Lm[ϕ] are a well
chosen complete set of functions. The problem is then to find the time evolution of the
coefficients Fnlm[t].
In a spherical geometry, it is quite natural to choose Lm[ϕ] = expimϕ and Km l [ϑ] =
P m
l [ϑ], where P m
l [ϑ] are the Legendre functions. With these choices, the Equation (B.1)
can be written
∂Flm[r,t]
∂t
∂2Flm[r,t] − α ∂r2 + 2 ∂Flm[r,t]
r ∂r
lp(l+1)
−
r 2
Flm[r, t] = Slm[r, t] (B.3)
where Slm[r, t] are the Fourier-Legendre coefficients of the function S at the radius r and
the instant t.
In order to handle the singularity at r = 0, we shall consider separately the cases l = 0
, l = 1 and l > 1 :
- For l = 0, we use the fact that a C 1 function symmetric with respect to the inversion
r → −r has its first derivative that vanishes at least as r at r = 0. Therefore, for
such a function, the term ∂2F ∂r2 + 2 ∂F is regular. Even Chebyshev polynomials T2n[r]
r ∂r
have this property, and the choice H 0 n[r] = T2n[r] (n ≥ 0) then satisfies the regularity
conditions.
- For l = 1, it is almost the same, but the final choice is H 1 n[r] = T2n+1[r].
- The case l > 1 is more delicate to handle. Indeed, it can be shown [See Bonazzola
& Marck (1990)] that for F [r, ϑ, ϕ, t] to be a C ∞ function, the coefficients Flm must
vanish as rl at r = 0. It means that the Flm[r, t] are symmetric with respect to the
inversion r → −r if l is even, and anti-symmetric in the opposite case. We shall

B.1 Spirit of the spectral methods 179
then distinguish the two cases l even and l odd.
Case l > 1 even
The functions H l n[r] = T2n[r] − T2n+2[r] are even and vanish as r2 at the origin. Therefore
the quantity ( d2
dr2 + 2 d lp(l+1)
− r dr r2 )Hl n[r] is regular at the origin and is retained.
Case l > 1 odd
The functions H l n[r] = (2n + 1)T2n+1[r] + (2n − 1)T2n+3[r] are anti-symmetric with
respect to the inversion r → −r and vanish as r3 at r = 0. Therefore the quantity
( d2
dr2 + 2 d lp(l+1)
− r dr r2 )Hl n[r] is also regular and completes our basis.
Note that by this way, we expand the solution with a set of functions that satisfy
minimal conditions of regularity, except for l = 0 and l = 1. It means that they vanish as
r 2 or r 3 , in order to make regular any term in the equation, instead of vanishing as r l as
they should to form a C ∞ function. Until now, in all the problems that our group treated,
these minimal regularity conditions were sufficient [see Bonazzola et al. (1999) for more
details]. But we shall see later that they make the Euler equations unstable.
To end with the scalar case, we shall show how the Equation (B.3) can be written
when the time discretization is performed and a second order implicit scheme used 1 :
F j+1 ∆t ∞
nlm − α 2 p=0 AlpnF j+1
j
plm = Fnlm + ∆t α 1 ∞ 2 p=0 AlpnF j
plm
Here Al jn = 〈Hl j Ol Hl n〉 is the matrix of the operator Ol = d2
dr2 + 2
r
+ Sj+1/2
nlm
. (B.4)
lp(l+1)
− . The index
d
dr r2 j + 1/2 means a quantity S computed at the time tj + ∆t/2, obtained by extrapolating
this quantity using its (known) values at time tj−1 and tj : Sj+1/2 = (3Sj − Sj−1 ) /2. The
left hand side (LHS) operator can be easily reduced to a pentadiagonal one, and then
inverted with a number of arithmetic operations that is proportional to the maximum
value Nmax of N.
In the case of a space dependent heat conductivity α[r, ϑ, ϕ], we can use a semi-implicit
method [see Gottlieb & Orszag (1977)]. It consists of solving the equation
F j+1
F j ∆t
nlm + 2 (a + br2 ) ∞ p=0 AlpnF j
plm + ∆t
∞ p=0 AlpnF j+1
plm
= (B.5)
j+1/2
nlm − (a + br2 ) ∆t
2
S j+1/2
nlm + (α − a − br2 ∞ ) p=0 AlpnFplm where a and b are two coefficients that satisfy the condition a + br 2 ≥ α everywhere and
that we choose in such a way that a + br 2 takes the same values as α at the boundaries.
1 Because of the use of Chebyshev polynomials, the Courant conditions for the explicit problem formulation
are quite severe. In the present case ∆ tmax is proportional to 1/N 4 max [see Gottlieb & Orszag
(1977)], therefore implicit or semi-implicit formulation of the problem is required.

180 Spectral methods and vectorial equations
The new matrix on the LHS is again a pentadiagonal matrix. Boundary conditions are
imposed by adding a homogeneous solution from the Equation (B.4) or from the Equation
(B.5) 1 . The reader can find in the quoted literature more details on the spectral methods,
and on how to implement boundary conditions.
To conclude, note that in the present example, we expand the solution in spherical
harmonics. But it turns out that in general it is more convenient to use linear combinations
of Chebyshev polynomials to treat the expansion in ϑ. The philosophy of the spectral
methods then consists of performing simple operations such as computing derivatives,
primitives, integrals, multiplications or divisions by r, r 2 , sin ϑ or cos ϑ in the coefficients
space, and by making multiplications of functions in the configuration space. If necessary,
the passage to a Legendre representation is performed with a matrix multiplication.
B.1.2 Analysis in vectorial case
Stability of numerical vectorial PDE
We have seen how to handle coordinates singularities appearing in scalar PDE when
spherical coordinates are used. But when treating vectorial PDE, as EE or NSE, the singularities
are more malicious : a single look at the components of NSE [Equation (4.9)]
should be sufficient to convince the reader. The singular terms cannot be handled only
by laying down analytical properties, as it was done in the above scalar equation. Indeed,
the dependence existing among the different spherical components must be taken into
account in order to make singular terms compensate each others. A simple example will
illustrate this crucial point.
Consider the following constant divergence-free vector V of Cartesian components :
Vx = 0, Vy = 0, Vz = 1. Its spherical components are Vr = − cos ϑ; Vϑ = sin ϑ; Vϕ = 0.
Then, we have div V = ∂Vr 2 + ∂r r Vr + 1 ∂Vϑ cos ϑ ( + r ∂ϑ sin ϑ Vϑ) = 0. A small error (for example a
round-off error) in the computation of components will obviously forbid an exact compensation
between the two singular terms 2Vr/r and 1
r (∂ϑVϑ
cos ϑ + sin ϑ Vϑ). The consequence is
the creation of high order coefficients and possible instabilities appearing in the iterative
process.
Indeed, we found that the hydrocode for solving linearized EE was unstable. As expected,
high frequency terms were exploding after few hundred timesteps (few periods
of the r-mode) either in the case of the anelastic approximation or in the case of the
incompressible approximation (div W = 0). As explained above, the main reason for this
instability was the nonexact compensation of the singular terms contained in the different
source terms in the Poisson Equations (B.22) and (B.24) (see below).
1 The case α[1, ϑ, ϕ] = 0 is called degenerate. In this case no BC are allowed, and a + b must be = 0.

B.1 Spirit of the spectral methods 181
To overcome this problem, we define two angular potentials Th and Po in a such a way
that
Wϑ = ∂ϑ Po − 1
sin ϑ ∂ϕ Th
Wϕ = 1
sin ϑ ∂ϕ Po + ∂ϑ Th.
(B.6)
If r Po and Th are any arbitrary set of regular functions, we are now sure that the corresponding
components Wϑ and Wϕ will make the divergent terms appearing in the vectorial
PDE compensate each other. Moreover, the system of Equations (B.6) can be easily inver-
ted. First, taking the angular divergence of Wϑ and W ϕ : divϑϕ W = (∂ϑ + cot ϑ )Wϑ + 1
sin ϑ ∂ϕ Wϕ
gives ∆ϑϕPo = divϑϕ W where ∆ϑϕ = ∂ 2 ϑ + cot ϑ∂ϑ + 1
sin 2 ϑ ∂2 ϕ. If divϑϕ W is then expanded
in spherical harmonics, we immediately have
1
Po,lm = −
lp(l + 1) (divϑϕ W )lm. (B.7)
It is the same to compute Th. Taking the angular curl of W , we obtain
where curlϑϕ ˜ W = − 1
sin ϑ (∂ϕWϑ − ∂ϑ(sin ϑ Wϕ)).
∆ϑϕTh = curlϑϕ ˜ W (B.8)
To complete this procedure, we have to guarantee that Wr can also compensate
the singular terms generated by the components Wϑ and Wϕ. A satisfactory way to
proceed is to take as a new variable the quantity div W . Indeed, once the quantity
g[r, ϑ, ϕ] = div W is known, it turns out to be easy to find Wr. Bearing in mind that
div W = ∂rWr + 2 Wr/r + 1/r2 divϑϕ W , we have, after an expansion in spherical harmo-
nics 1
Wr,lm = 1
r 2
r
u (u g[u, ϑ, ϕ] lm + lp(l + 1) Po,lm[u, ϑ, ϕ]) du. (B.9)
0
Thus, at each time-step, the strategy consists of calculating the potentials Po and Th,
and then in calculating back the components Wϑ and Wϕ. The component Wr is also
computed at each time step by using the Equation (B.9).
Finally, note that with this procedure, the potentials Po, Th and the component Wr
have the correct analytical behaviour on the axis ez, i.e they vanish as sin m ϑ. Thus, the
instability of the EE hydrocode was drastically reduced, but not completely suppressed.
It still kept on growing, but about ten times slower than before. The reason for this
residual instability was that, at each time step, the round-off errors did not have the
1 It is important to take into account the following properties of the spherical harmonics decomposition
of the functions Po and Th : for a given l the product by r of the component Wr,lm of W , a regular vectorial
function, vanishes as r l−1 . The corresponding poloidal part Po,lm behaves in the same way. The associated
toroidal part is T o,(l−1)m and is therefore a regular function.

182 Spectral methods and vectorial equations
correct analytical properties at r = 0. Indeed, they did not vanish as r l . Consequently
high spatial frequency terms were still generated that did not have the good analytical
properties and a runaway toward the instability was once again generated. To avoid this
phenomenon, we project, at each time step, all the scalar quantities (div W )lm[r], Po,lm [r]
and Th,lm [r] on a Legendre space P l n[r] in such a way to satisfy the analytical conditions.
Note that the necessity of this procedure is due to the fact that in the EE, solved with
spectral methods, no dissipative term (numerical or physical) is present. Consequently
the numerical instability are not damped.
Solving the vectorial heat equation
Now we give more details concerning the algorithm to solve vectorial PDE with spectral
methods. In solving NSE, we need to solve a vectorial heat equation that can be reduced
to an equation of the type
∂ ˆ B
∂t + ∇ ∧ (µ∇ ∧ ˆ B) = ˆJ (B.10)
where ˆ J is the divergence-free term of the source. We remember that it is obtained by the
decomposition of the source term J in a potential part ∇φ and a divergence-free part ˆ J :
J = ˆ J + ∇φ.
The Equation (B.10) can be written in the following form :
∂ B
∂t = µ △ B + (∇ ∧ B) ∧ ∇µ + ˆ J. (B.11)
From a numerical point of view, the term S = (∇ ∧ ˆ B) ∧ ∇µ is considered as a source
and is computed by a second order scheme using its values at the times tj−1 and tj−2.
Therefore, we have to solve the equation
with the condition ∇ · ˆ B = 0.
∂ B
∂t = µ∆ B + ˆ J + S (B.12)
The technique generally used was already described in Bonazzola et al. (1999). Nevertheless,
we adopted here a slightly different approach which gives more accurate results.
To solve the Equation (B.12) it is convenient to introduce the poloidal and toroidal
potentials Po and Th as defined in Appendix B.1.2. Here we will only consider the case
of µ = 1, as the semi-implicit scheme which must be used in the more general case is

B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations 183
straightforward. With a second order scheme, we have in the harmonic representation
P j+1
o,lm
P j
o,lm + ∆t
− 1
2 ∆t
1
2
d 2 P j+1
o,lm
dr 2
d 2 P j
o,lm
dr 2
+ 2
r
dP j+1
o,lm
dr
+ 2 dP
r
j
o,lm
dr
lp(l+1)
−
r 2
lp(l+1)
−
r 2
P j+1 2
o,lm −
P j 2
o,lm −
j+1
lm
r2 ˆ Br
r 2 ˆ Br
j
lm
= (B.13)
+ Π j+1/2
lm
where Π is the poloidal component of J ˆ+ S. 2
Note the presence of a singular term r2 Bj+1 r in
this equation. Bearing in mind that div ˆ B = 0 and that P j+1
o,lm vanishes as rl−1 , it is obvious
that there should be a compensation between these two terms. Nevertheless, we shall
slightly modify the Equation (B.13) in order to obtain more easily this compensation :
P j+1 1
o,lm − 2∆t P j
o,lm
− 1
r 2
+ ∆t
d 2 P j+1
o,lm
dr 2
1
2
j
ˆBr
lm + l P j
d 2 P j
o,lm
dr 2
+ 2
r
dP j+1
o,lm
dr
+ 2 dP
r
j
o,lm
dr
lp(l−1)
−
r 2
lp(l−1)
−
o,lm + ˆ j+1
Brlm
+ l P j+1
o,lm
r 2
P j+1
o,lm
P j
o,lm
+ Π j+1/2
lm
= (B.14)
Once P j+1
o,lm is known, ˆ B j+1
r,lm is obtained as explained above [see Equation (B.9), with g = 0].
Finally, the equation for the toroidal part of ˆ B reduces to an ordinary scalar heat
equation :
T j+1 1
h,(l−1)m +
2 ∆t
T j
h,(l−1)m + ∆t
1
2
d 2 T j+1
h,(l−1)m
dr 2
d 2 T j
h,lm
dr 2
+ 2 dT
r
j
h,(l−1)m
−
dr
2
+
r
dT j
h,lm
dr
where ϑ is the toroidal component of ˆ J + S.
lp(l − 1)
r2
lp(l − 1)
−
r2 T j
h,lm
.
T j+1
h,(l−1)m
+ ϑ j+1/2
(l−1)m
B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations
= (B.15)
In this section we shall show how to implement the different schemes proposed in the
Section 4.3 to handle the different time scales appearing in the EE for a slowly rotating
star. In all cases, for simplicity, we will only consider the linearized equations. First, we
will begin with the case where the exact system of equations must be solved. Then we
shall consider the implementation of physical approximations and finally the problem of
BC.

184 Spectral methods and vectorial equations
B.2.1 Exact Euler equations
As usual, we start by doing a decomposition of the velocity vector W in a divergence-
free component ˆ W and a potential one :
as
W = ˆ W +
∇Ψ, div ˆW = 0. (B.16)
In a second order time scheme, the divergence-free component of the EE is then written
while the potential part is
ˆW j+1 = ˆ W j + ∆t [−2 Ω ∧ W + F ] j+1/2
DF
(B.17)
Ψ j+1 = Ψ j − ∆t [ϕΩ + h + ϕ] j+1/2 . (B.18)
In the Equation (B.17), the subscript DF means the divergence-free component of the
external force. In the Equation (B.18), the subscript Ω is for the potential component of
the Coriolis force 2 Ω ∧ W , ϕ is the potential component of some other exterior force and
h is the variation of the enthalpy. Moreover, we also have the baryonic number (or mass)
conservation equation :
h j+1 = h j
− ∆t ˆWr + ∂Ψ
j+1/2 ∂H0
+ ΓH0∆Ψ
∂r ∂r
(B.19)
where H0 is the enthalpy of the nonperturbed configuration. In this explicit second order
scheme, the required typical value of the time step ∆t, which guarantees the numerical
stability, is determined by the term ∂rH0 that is much larger than the Coriolis term for a
slowly rotating NS.
The implicit version of the system of Equations (B.18), (B.19) is the following :
Ψj+1 = Ψj − ∆t 1
2 (hj+1 + hj ) + [ϕΩ + h + ϕ] j+1/2
hj+1 = hj − 1
2∆t
∂rΨj+1 + ∂rΨj + ˆ W j+1
r + ˆ W j
r ∂rH0 + ΓH0 (∆Ψj+1 + ∆Ψj )
where ˆ W j+1
r
(B.20)
is obtained from the Equation (B.17). Solving the above system of equations
reduces to invert, for each value of l and m an enneadiagonal (2 Nr × 9) matrix (9 diagonals)
where Nr is the number of degrees of freedom in r. The generalization to the NSE
is quite obvious and we shall not give more details about it.
B.2.2 Implementation of physical approximations
As it was already explained in the Section 4.3, for solving the EE or NSE, we chose
to use approximations in order to better control the results.

The divergence-free approximation
B.2 Solving Euler or Navier-Stokes equations 185
The spirit of this approximation consists of replacing the mass-conservation Equation
(B.19) by the condition
div W = 0 (B.21)
or equivalently Ψ = 0. The problem is then to find the enthalpy h in a such a way that
the condition (B.21) is satisfied. This can be done easily by solving the Poisson Equation
∆h − divF j+1/2 = 0 (B.22)
reached by taking the divergence of the EE. As the gradient of a harmonic function is a
divergence-free vector, such a function can then be added to a particular solution of the
Equation (B.22) in order to satisfy the boundary conditions. Once h is obtained, the EE
has to be solved with ˆ F = F − ∇h. If viscous terms are present, NSE case, a vectorial
type equation must be solved.
Anelastic approximation
As was already explained, the anelastic approximation consists of neglecting the term
∂th in the Equation (B.19). Once again, the game consists of finding the enthalpy h in a
such a way that the following equation is satisfied :
ΓH0 div W + Wr∂rH0 = 0. (B.23)
To find h, it is sufficient to derive with respect to time the Equation (B.23), and to
replace ∂tdiv ˜ W by its value reached from the EE. It gives
Γ H0 ∆h + ∂rH0∂rh = Γ H0 div F j+1/2 + F j+1/2
r ∂rH0 (B.24)
where F contains all the force terms (Coriolis force included).
The solution of the above equation is achieved with a semi-implicit scheme very similar
to the one used to solve the Equation (B.1). The problem is then reduced to solving the
following Equation (for simplicity, we shall consider only the case of a polytropic EOS) :
(γ − 1)(a + br 2 )∆h + 2br∂rh = ¯ H0∆h + ∂r ¯ H0∂rh + Γ H0 div ˜ F j+1/2 + ∂rH0F j+1/2
r
(B.25)
where a and b are two constants defined as was done in solving the Equation (B.1). The
LHS operator can be easily inverted and the Equation (B.25) can be solved by iteration [see
Gourgoulhon et al. (2001)]. Since the iteration at each time step is quite time consuming,
a more convenient strategy (although less accurate) consists of replacing h in the right
hand side of the Equation (B.25) by h j+1/2 .

186 Spectral methods and vectorial equations
B.2.3 Boundary conditions
It was already explained how to impose BC for the divergence-free case. For the system
of Equations (B.20) or the Equation (B.24), it is worth distinguishing the two cases :
either the enthalpy vanishes or does not vanish at the boundary of the integration domain.
Here we will only consider the case of EE. Indeed, for NSE we chose to take a viscosity
that vanishes at the surface to avoid the need of further BC.
If H0 |r=1 > 0, the solution is quite easy : the Equation (B.24) or the system of Equations
(B.20) admit a homogeneous solution that can be used to satisfy one BC.
If H0(1) vanishes, the system of Equations (B.20) or the Equation (B.24) are degenerate
and therefore no BC can be imposed. But we shall show that, in this case, the correct
BC are automatically satisfied.
Indeed, consider first the case of the linearized exact system of Equations (B.20). On
the surface of the nonperturbed star, we have ∂th + W · ∇H0 which is the correct BC.
The surface H0 + h = 0 then defines the profile of the perturbed star. To show that the
solution in the anelastic approximation also satisfies the BC, it is more convenient to first
examine the nonlinear case. Here, h is not infinitesimal, and the Equation (B.23) must be
replaced with the equation
Γ(H0 + h) div W + W · ∇(H0 + h) = 0 (B.26)
that is satisfied if h is a solution of the nonlinearized Equation (B.24) :
Γ (H0 + h) ∆h − div F j+1/2 + ( ∇h − F j+1/2 ) · ∇(H0 + h) = 0. (B.27)
Once again, the surface of the star is defined by H0 + h = 0. But from the Equation
(B.26) we have the correct BC : W · ∇(H0 + h) |H0+h=0 = 0. The surface of the star is
then an unknown quantity that is determined by the relation H0 + h = 0 in solving the
Equation (B.27) by iteration. This technique was developed in a different context in the
already quoted paper Gourgoulhon et al. (2001).
In the linear case, we have Wr = 0 at r = 1 [cf. Equation (B.23)], and the enthalpy
does not vanish on the nonperturbed surface of the star. But once again the free surface of
the star can be obtained by looking for the position where the total enthalpy H0 + h = 0
vanishes. This surface coincides within first order quantities with the nonperturbed surface
r = 1. Note that if γ > 0 the pressure P |r=1 ∝ h γ+1 |r=1 vanishes within terms o(h).

Liste des tableaux
Etoiles à neutrons
2.1 Caractéristiques typiques de divers objets astrophysiques. . . . . . . . . . . 33
2.2 Description sommaire des trois types de superfluidité considérés. . . . . . . 47
Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
4.1 Characteristic numbers implied in the dynamics of inertial modes of rotating
NS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 Typical values of the different time scales implied in the dynamics of inertial
modes of rotating NS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

188 LISTE DES TABLEAUX

Table des figures
Relativité générale et ondes gravitationnelles
1.1 La Croix d’Einstein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Décroissance de la période orbitale du pulsar binaire PSR B1913+16. . . . 12
1.3 Onde gravitationnelle plane de polarisation +. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Onde gravitationnelle plane de polarisation ×. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Onde gravitationnelle plane de polarisation droite. . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6 Sensibilité de l’interféromètre VIRGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Illustration comparée des sensibilités de divers détecteurs interférométriques. 25
1.8 Schéma de l’interféromètre VIRGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9 Schémas du projet spatial LISA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Etoiles à neutrons
2.1 Evolution schématique de la vie d’une étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Nébuleuse du Crabe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Evolution schématique d’une supernova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Schéma du principe d’émission d’un pulsar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Schéma de la structure interne d’une étoile à neutrons. . . . . . . . . . . . 39
2.6 Coupe représentant les principales caractéristiques de la structure interne
d’une étoile à neutrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Illustration des valeurs typiques des gaps de superfluidité. . . . . . . . . . . 47
2.8 Dépendance de la température critique vis-à-vis de la densité. . . . . . . . 49
2.9 Evolution thermique par processus Durca ou Murca. . . . . . . . . . . . . . 59
2.10 Evolution thermique par Durca en présence de superfluidité. . . . . . . . . 59
2.11 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité anisotrope B des neutrons.
Graphique 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.12 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité anisotrope C des neutrons.
Graphique 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.13 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité isotrope des protons.
Graphique 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.14 Facteur de réduction pour Murca branche n avec superfluidité isotrope des
protons. Graphique 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

190 TABLE DES FIGURES
2.15 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité anisotrope B des neutrons.
Coupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.16 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité anisotrope C des neutrons.
Coupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.17 Facteur de réduction pour Durca avec superfluidité isotrope des protons.
Coupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.18 Facteur de réduction pour Murca branche n avec superfluidité isotrope des
protons. Coupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Oscillations stellaires et modes inertiels en relativité générale
3.1 Fenêtre d’instabilité des modes f. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Champ de vitesse des modes r avec l = m = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Fenêtre d’instabilité des modes r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.4 Déferlante de modes r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Inertial modes in slowly rotating stars : An evolutionary description
4.1 Time evolution of the ϑ component of velocity on the equator for the linear
m = 2 r-mode in an incompressible and rigidly rotating newtonian fluid. . 120
4.2 Time evolution of the relative error in the energy before any improvement
of the conservation of energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Power spectra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4 Relative error and the number of steps per oscillation in logarithmic scales. 121
4.5 Logarithmic plots of time evolution of the relative error on energy. . . . . . 122
4.6 Time evolution of the ratio between energy and initial energy in an inviscid
and incompressible rigidly rotating fluid with an RR force. . . . . . . . . . 123
4.7 Time evolution of the radial component of velocity in an inviscid and incompressible
rigidly rotating fluid with Gaussian noise for initial data and
associated power spectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8 Time evolution of the ϑ component of velocity on the equator in an inviscid
and incompressible rigidly rotating fluid and associated power spectrum. . 124
4.9 Time evolution of one of the two independent components of the tensor
that appears in the RR force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.10 Time evolution of the radial component of the velocity in the equatorial
plane in ξ = 0.5 with the linear m = 2 r-mode for initial data in a rigidly
rotating γ = 2 polytrope. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.11 Time evolution of the radial component of velocity with Gaussian noise for
initial data and its power spectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.12 Time evolution of the ϑ component of velocity and the associated power
spectrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.13 Time evolution of one of the two independent components of the tensor
that appears in the RR force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

TABLE DES FIGURES 191
4.14 Time evolution of the radial component of velocity in a γ = 2 polytrope
with anelastic approximation and Gaussian noise for initial data. . . . . . . 131
4.15 Time evolution of the ϑ component of velocity. . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.16 Time evolution of one of the two independent components of the tensor
that appears in the RR force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.17 Time evolution of the ratio between energy contained in the polar part of
the velocity and the total energy of the mode in the anelastic approximation
with a free surface. The background star is assumed to be a γ = 2 polytrope
differentially rotating with the law corresponding to βn = 0.4. . . . . . . . 134
4.18 Time evolution of the radial component of velocity with the anelastic approximation
and a free surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.19 Time evolution of the ϑ component of velocity. . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.20 Time evolution of one of the two independent components of the tensor
that appears in the RR force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.21 ϕ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ. . . . 136
4.22 ϑ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ. . . . 136
4.23 Time evolution of the ratio between energy contained in the polar part of
the velocity and the total energy of the mode with the strong Cowling and
anelastic approximations and the free surface BC. The background star is
a γ = 2 relativistic rigidly rotating polytrope with 1.74 solar masses and a
radius equal to 12.37 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.24 Time evolution of the radial component of velocity at the point ( 1 ϑ , , 0). . 140
2 2
4.25 Time evolution of the ϑ component of velocity. . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.26 Time evolution of one of the two independent components of the tensor
that appears in the RR force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.27 ϑ component of the velocity versus the radius for several values of ϑ. . . . 141
Modes inertiels dans des étoiles à neutrons relativistes stratifiées
5.1 Décompositions selon le formalisme 3 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2 Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 0.5 densités de saturation. . . . . . . . . . . . 164
5.3 Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 1/3 densités de saturation . . . . . . . . . . . 164
5.4 Evolution temporelle de la perturbation lagrangienne de densité et spectre
des modes g avec coupure à 0.3 densités de saturation dans des étoiles de
vitesse angulaire variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.5 Evolution temporelle de la composante ϑ de la perturbation eulérienne de
la vitesse et spectre associé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.6 Evolution temporelle des composantes du quadrupôle de courant et spectre
associé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.7 Evolution temporelle de la composante radiale de la perturbation eulérienne
de la vitesse et spectre associé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

192 TABLE DES FIGURES

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Cette étude traite de différents aspects de la physique des étoiles à neutrons en rotation.
La première partie s’intéresse au phénomène des pulsars. L’effet de la superfluidité
des nucléons sur le temps de retour à l’équilibre bêta des réactions nucléaires responsables
du refroidissement d’un pulsar est étudié. Les calculs présentés sont une première
étape vers une modélisation détaillée de l’évolution cinétique et thermique d’un tel objet
dont on sait qu’il est composé de nucléons superfluides et que sa déformation, provoquée
par son ralentissement, implique une brisure de l’équilibre bêta. Cependant, la majeure
partie de ce travail est consacrée aux étoiles à neutrons en rotation en tant que sources
d’ondes gravitationnelles. Il est en effet connu que certains de leurs modes d’oscillations
(les modes inertiels) sont rendus instables par un couplage rétroactif avec les ondes gravitationnelles
qu’ils génèrent. Ce résultat étant obtenu pour l’hydrodynamique linéaire
d’un fluide parfait, deux incertitudes majeures persistent : la valeur de l’amplitude de saturation
non-linéaire, ainsi que l’impact de la viscosité dans une étoile réelle. Cette thèse
présente le premier code hydrodynamique relativiste utilisant les méthodes spectrales écrit
pour une étude précise des modes inertiels. La généralisation relativiste de l’approximation
anélastique née en physique de l’atmosphère y est introduite. Ce mémoire se conclut
par un travail qui sera étendu par la suite dans lequel le couplage des modes inertiels
aux modes de gravité est étudié à l’aide d’équations d’état valables hors-équilibre bêta.
Ces modes g semblant sensibles vis-à-vis de l’équation d’état, des résultats préliminaires
laissent penser que l’observation d’ondes gravitationnelles nées de modes inertiels couplés
aux modes de gravité pourrait être très instructive quant à l’équation d’état de la matière
nucléaire formant les étoiles à neutrons.
Spécialité : Physique Théorique
Mots-Clés
Relativité générale, Etoiles à neutrons, Hydrodynamique relativiste, Instabilités hydrodynamiques,
Modes inertiels, Ondes gravitationnelles, Processus URCA, Superfluidité,
Méthodes spectrales, Pulsar.
Laboratoire de l’Univers et de ses Théories,
Observatoire de Paris-Meudon,
5, place Jules Janssen, 92195 Meudon Cedex France