RECHERCHE DE MESURES INVARIANTES POUR L'ACTION ...

3.2. AC équicontinu suivant au moins une direction. — On s’intéresse dans un premier
temps aux classes C1. et C2. qui donnent le plus de contraintes topologiques.
Proposition 3.2. — Soient (A Z ,F) un automate cellulaire et Σ ⊂ A Z un sous-décalage F-
invariant ayant la propri´té faible de spécification. Supposons que (Σ,F) soit dans la classe C1..
Il existe alors z une configuration σ-periodique de période p tel que
⎧ ⎫
⎨
1 ∑ ⎬
M F,σ (Σ) = σ i (z)
⎩p
⎭ .
i=0,p−1
Démonstration. — D’après le théorème 3.1, il existe une configuration σ-périodique z de σ-
période p et N ∈ N tel que F N (Σ) = {σ i (z) : i ∈ [0,p−1]}. Ainsi pour toute mesure µ ∈ M σ (Σ),
on a Λ F (µ) = {σ i (z) : i ∈ [0,p − 1]}. Comme µ est σ-invariant, on en déduit le résultat.
Remarque. — Dans la proposition précédente, si de plus on suppose que Σ a la propriété de
spécification, alors il existe a ∈ A tel que µ = δ∞ a ∞.
Proposition 3.3. — Soient (A Z ,F) un automate cellulaire et Σ ⊂ A Z un sous décalage F-
invariant ayant la propriété faible de spécification. Supposons que (Σ,F) soit dans la classe
C2. et considérons m et p, les deux entiers correspondant respectivement à la prépériode et à
la période de la suite ultimement périodique (F n ◦ σ ⌊αn⌋ ) n∈N . On a alors :
{
}
1 ∑p−1
M F,σ (Σ) = F∗ i p
µ : µ ∈ M σ(F m (Σ)) .
i=0
Démonstration. — Étant donné que (F n ◦ σ ⌊αn⌋ ) n∈N est ultimement périodique de prépériode
m et de période p, on en déduit que pour toute mesure µ ∈ M σ (Σ) on a F m ∗ µ ∈ M σ (F m (Σ)).
Puis pour toute mesure µ ∈ M σ (F m (Σ)), la suite (F n ∗ µ) n∈N est périodique de période p. D’où
le résultat.
3.2.1. AC qui a des points d’équicontinuité suivant deux directions. — En s’inspirant de
[Gil87], on peut définir une notion plus faible de points d’équicontinuité. Dans [Sab07], on
généralise ces résultats à la dynamique directionnelle.
Définition. — Soient (A Z ,F) un AC et µ ∈ M σ (A Z ).
• Un point x ∈ A Z est un point de µ-presque équicontinuité de pente α (noté x ∈ Eq α (F,µ))
si pour tout ε > 0, on a µ(E α A Z (x,ε)) > 0.
• Soit U = (u n ) n∈N ∈ (A e ) N . La suite U est un mur µ-presque bloquant de pente α
d’épaisseur e si µ(W α (U,0)) > 0 où
W α (U,i) = {x ∈ A Z : F n ◦ σ ⌊nα⌋ (x) [0,e−1] = u n } pour tout i ∈ Z.
On a le théorème suivant qui caractérise les AC qui ont des points de µ-presque
équicontinuité :
Théorème 3.4 ([Sab08]). — Soient (A Z ,F) un AC, α ∈ R et µ une mesure σ-ergodique. Les
propositions suivantes sont équivalentes
1. Eq α (F,µ) ≠ ∅;
2. µ(Eq α (F,µ)) = 1;
3. pour tout e ≥ max(⌊α⌋ + 1 + s, −⌊α⌋ − r + 1), il existe un mur U µ-presque bloquant de
pente α et d’épaisseur e.
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