RECHERCHE DE MESURES INVARIANTES POUR L'ACTION ...

N = min(rN + ⌊Nα⌋,0)
s N = max(sN + ⌊Nα⌋,0)
∨ N
n=0 F −n ◦ σ −⌊nα⌋ P [−l,l]
N
U = [r,s]
0
−l 0 l ⌊αN⌋ − l ⌊α ′ N⌋ + l
rN + ⌊Nα⌋ − l
r N − l
P [rN −l,s N +l]
Figure 2. Inégalité vérifiée par l’entropie.
s N + l
On en déduit que :
h µ (F,α) = lim
l→∞
h µ (F,α, P [−l,l] ) ≤ ( max(s + α,0) − min(r + α,0) ) h µ (σ).
4.3. Entropie et directions de µ-presque équicontinuité. —
Proposition 4.2. — Soient (A Z ,F) un AC et µ ∈ M F,σ (A Z ) une mesure σ-ergodique. On a
h µ (F,α) = 0 pour toute direction de µ-presque équicontinuité α.
Démonstration. — Soient α ∈ A(F,µ) et l ∈ N. Pour tout N ∈ N, on note P N [−l,l] = ∨ N−1
n=0 F −n ◦
σ −⌊nα⌋ P [−l,l] . Par définition de l’entropie directionnelle d’une partition, on a :
h µ (F,α, P [−l,l] ) =
lim
N→∞
= lim
∫
≤
N→∞
( N−1
)
∨
F −n ◦ σ −⌊nα⌋ P [−l,l]
n=0
1
N H µ
∫
1
I
N P N (x)dµ(x)
[−l,l]
lim sup
N→∞
1
N I P N (x)dµ(x).
[−l,l]
Pour tout x ∈ A Z , on note Pl N (x) l’élément de P[−l,l] N contenant x. Pour tout N ∈ N,
on a E α (x,2 −l ) ⊂ P N
A Z l
(x). Comme (A Z ,F) est µ-presque équicontinu de pente α et µ est σ-
ergodique, pour µ-presque tout x ∈ A Z , on a µ(E α (x,2 −l )) > 0. Ainsi, pour µ-presque tout
A Z
x ∈ A Z , on en déduit que :
1
N I P N [−l,l]
(x) = − log(µ(P l N (x)))
≤ − log(µ(Eα (x,2 −l )))
A Z
N
N
Par intégration, on a h µ (F,α, P [−l,l] ) = 0 d’où h µ (F,α) = 0.
−→ 0.
N→∞
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