RECHERCHE DE MESURES INVARIANTES POUR L'ACTION ...
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α ′ α ′ α ′ α ′ α ′′ α ′′<br />
0 k<br />
l l + k j l + h<br />
⌊α ′ n⌋ + j<br />
⌊α ′′ N⌋ + k j + k<br />
Figure 1. µ-presque équicontinuité de pente α ′ et α ′′ et Λ µ (F).<br />
Exemple 3.1. — Soit A = {0,1}, on considère l’AC défini par F(x) i = x i−1 x i x i+1 pour tous<br />
i ∈ Z et x ∈ A Z . Cet AC est dans la classe C2.. Le mot 0 est un mot bloquant de pente 1 et −1,<br />
on en déduit que la seule mesure (F,σ)-invariante σ-fortement mélangeante vérifiant µ([0] 0 ) > 0<br />
est δ∞ 0∞. Dans ce cas particulier, il suffit que µ soit σ-ergodique pour obtenir le résultat.<br />
3.2.2. AC avec un cône d’expansivité. — Soient (A Z ,F) un AC et Σ ⊂ A Z un sous-décalage<br />
transitif de type fini F-invariant. Supposons que (Σ,F) soit N-expansif suivant une direction.<br />
D’après le théorème 3.1, on est dans la classe C5., il existe donc p/q ∈ Q (p,q ∈ N) tel que<br />
(Σ,F) soit N-expansif de direction p/q. Cela revient à dire que (Σ,F q ◦ σ p ) est N-expansif de<br />
direction 0. On peut alors utiliser les résultats de Nasu [Nas95]. Ainsi (Σ,F q ◦σ p ) est conjugué<br />
à un décalage complet. De plus, l’unique mesure d’entropie maximale sur (Σ,σ), la mesure de<br />
Parry λ Σ , est aussi la mesure d’entropie maximale de (Σ,F q ◦ σ p ).<br />
On ne connaît pas de résultats généraux sur les mesures (F,σ)-invariantes lorsque l’automate<br />
cellulaire est dans la classe C5.. Cependant les exemples étudiés dans cette classe montre<br />
une certaine rigidité dans l’ensemble des mesures (F,σ)-invariantes. Cela se traduit dans un<br />
premier temps par des formules d’entropie qui lient l’entropie directionnelle suivant des directions<br />
distinctes (section 4.5). Cette rigidité est toutefois assez bien comprise dans le cas des AC<br />
algébriques où on montre que certaine conditions forcent une mesure (F,σ)-invariante à être la<br />
mesure d’entropie maximale (section 5).<br />
4. Entropie métrique directionnelle et mesures (F,σ)-invariantes<br />
On s’intéresse ici à l’entropie directionnelle. Après avoir donné rapidement la définition<br />
de l’entropie métrique directionnelle pour une mesure (F,σ)-invariante, on s’intéresse aux<br />
contraintes imposées par la dynamique directionnelle sur l’entropie directionnelle. En particulier,<br />
pour AC bipermutatifs, l’entropie directionnelle est liée à l’entropie du décalage (section<br />
4.4). Ceci est principalement dûe à un transfert maximal d’information dans toutes les directions.<br />
Cette formule va être le point de départ de résultats de rigidité tels que nous allons les<br />
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