RECHERCHE DE MESURES INVARIANTES POUR L'ACTION ...

Démonstration. — On a h µ (F,α) = lim l→∞ h µ (F,α, P [−l,l] ) avec :
(
)
N∨
h µ (F,α, P [−l,l] ) = lim H µ P [−l,l] | F −n ◦ σ −⌊nα⌋ (P [−l,l] )
N→∞
n=1
)
∞∨
= H µ
(P [−l,l] | F −n ◦ σ −⌊nα⌋ (P [−l,l] ) .
Pour N ∈ N, on pose
n=1
r N = rN + ⌊Nα⌋ et s N = sN + ⌊Nα⌋.
Soit l ≥ s − r. Par bipermutativité de F, pour N ≥ 1, il est équivalent de connaître
(F n ◦σ ⌊nα⌋ (x) [−l,l] ) n∈[1,N] et F(x) [rN −l,s N +l] ; cela signifie que l’on a ∨ N
n=1 F −n ◦σ −⌊nα⌋ (P [−l,l] ) =
F −1 (P [rN −l,s N +l]). En prenant la limite lorsque N → ∞, avec la convention ∞ · 0 = 0, on en
déduit que :
∞∨
F −n ◦ σ −⌊nα⌋ (P [−l,l] ) = F −1 (P [∞.(r+α)−l,∞.(s+α)+l] ).
Ainsi on a :
n=1
h µ (F, P [−l,l] ) = H µ (P [−l,l] |F −1 P [∞.(r+α)−l,∞.(s+α)+l] ).
De manière similaire, par bipermutativité de F, la connaissance de F(x) [∞·(r+α)−l,∞·(s+α)+l]
et x [0,s−r−1] détermine x [−l,l] . On en déduit que :
Donc,
P [0,s−r−1] ∨ F −1 (P [∞.(r+α)−l,∞.(s+α)+l] ) = P [−l,l] ∨ F −1 (P [∞.(r+α)−l,∞.(s+α)+l] ).
h µ (P [−l,l] ,F) = H µ (P [0,s−r+1] |F −1 (P [∞.(r+α)−l,∞.(s+α)+l] )).
En prenant la limite lorsque l → ∞ et en utilisant le théorème de convergence des martingales,
on obtient h µ (F) = H µ (P [0,s−r−1] |B 1 ).
Pour les AC bipermutatifs, on a les formules générales suivantes :
Corollaire 4.5. — Soient (A Z ,F) un AC bipermutatif de voisinage compatible avec la permutativité
U = [r,s], µ ∈ M F,σ (A Z ) et α ∈ R. On a :
h µ (F,α) = ( max(s + α,0) − min(r + α,0) ) h µ (σ).
Remarque. — Les AC bipermutatifs réalisent donc l’égalité dans les formules de la proposition
4.1. En fait la permutativité permet d’obtenir une égalité à la place de l’inégalité (∗) dans
la preuve de la proposition 4.1.
Ces formules d’entropie sont à rapprocher de la notion d’exposants de Lyapunov introduite
par M. A. Shereshevsky [She92] et P. Tisseur [Tis00]. Dans le cas des AC permutatifs les
exposants de Lyapunov correspondent donc aux extrémités du voisinage de permutativité.
4.5. Entropie et directions d’expansivité. —
Théorème 4.6. — Soient (A Z ,F) un AC et µ ∈ M F,σ (Σ). On a h µ (F,α) > 0 pour tout
α ∈ B d (A Z ,F) ∪ B g (A Z ,F) si et seulement si h µ (σ) > 0.
On rappelle que si B(Σ,F) ≠ ∅ alors B d (A Z ,F) ∪ B g (A Z ,F) = R.
Démonstration. — Supposons que h µ (σ) > 0 et considérons α ∈ B d (Σ,F). D’après la définition
de l’expansivité à droite, il existe r ε ,r T ∈ N tels que pour tout x ∈ Σ, la connaissance de
(F k ◦ σ ⌊kα⌋ (x) [ 0,r ε ]) k∈[0,rT ] permet de déterminer x [ 0,r ε + 1].
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