RECHERCHE DE MESURES INVARIANTES POUR L'ACTION ...

Proposition 5.7. — Soit (A Z ,F) un AC de voisinage U = [0,r]. Il existe un AC ((A r ) Z ,G)
de voisinage U = [0,1] tel que le système dynamique (A Z ,F) soit conjugué à ((A r ) Z ,G) via la
conjugaison
φ r : (x i ) i∈Z ∈ A Z → ((x [ri,ri+r−1] ) i∈Z ) ∈ (A r ) Z .
De plus, on a :
(A Z ,F) est bipermutatif ⇐⇒ ((A r ) Z ,G) est bipermutatif;
(A Z ,F) est algébrique ⇐⇒ ((A r ) Z ,G) est algébrique;
(A Z ,F) est linéaire ⇐⇒ ((A r ) Z ,G) est linéaire.
Si µ ∈ M(A Z ) est σ-totalement ergodique alors φ r µ ∈ M((A r ) Z ) est σ (A r ) Z-totalement
ergodique. De plus, par conjugaison, h µ (F) > 0 est équivalent à h φrµ(G) > 0. Ainsi, comme
le suggère M. Pivato [Piv05], le théorème 5.3 s’adapte aux AC algébriques bipermutatifs sans
restriction sur le voisinage :
Corollaire 5.8. — Soit (A Z ,F) un AC algébrique bipermutatif de voisinage quelconque. Soit
µ une mesure de probabilité (F,σ)-invariante. Supposons que :
1. µ totalement ergodique pour σ ;
2. h µ (F) > 0;
3. Ker(F) ne contient pas de sous-groupe σ-invariant.
Alors µ = λ A Z.
Cette correspondance fonctionne seulement lorsque µ est supposée σ-totalement ergodique.
En effet si µ est seulement considérée σ-ergodique, la mesure φ r µ n’est pas nécessairement
σ (A r ) Z-ergodique. On ne peut donc pas utiliser cet argument dans le cas des théorèmes 5.4
et 5.5.
5.2.2. Propriétés d’ergodicité de l’action. — Les hypothèses (1) et (2) des théorèmes 5.4 et 5.5
caractérisent l’ergodicité de l’action (F,σ) sur l’espace mesuré (A Z ,B,µ). Comme on souhaite
caractériser des mesures (F,σ)-invariantes, par le théorème de décomposition ergodique, il est
naturel de supposer que µ est au moins (F,σ)-ergodique. Pour une mesure de probabilité (F,σ)-
invariante µ, on a les implications suivantes :
µ est (F,σ)-totalement ergodique ⇒ µ est σ-totalement ergodique
De plus :
⇒ µ est σ-ergodique ⇒ µ est (F,σ)-ergodique;
µ est σ-totalement ergodique ⇒ µ est (F,σ)-ergodique et I µ (σ) = I µ (σ k ) pour tout k ≥ 1.
Ainsi, l’hypothèse (1) du théorème 5.3 implique les hypothèses (1) et (2) du théorème 5.5 qui
impliquent les hypothèses (1) et (2) du théorème 5.4. Cependant, l’hypothèse d’ergodicité (1) du
théorème 5.1 ne peut pas être comparée aux hypothèses d’ergodicité du théorème 5.4. En effet,
nous connaissons des mesures de probabilité (F,σ)-ergodiques vérifiant I µ (σ) = I µ (σ k ) pour
un k ≥ 1 donné qui ne sont pas σ-ergodiques. Inversement, il existe des mesures de probabilité
qui sont σ-ergodiques mais qui vérifient I µ (σ) ≠ I µ (σ k ) pour tout k ≥ 1.
Considérons l’AC (A Z ,F) défini par A = Z/pZ avec p premier et F = aId+bσ. On remarque
facilement que p−1 est une période commune à tous les éléments de Ker(F). Ainsi l’hypothèse (2)
du théorème 5.2 implique l’hypothèse (2) des théorèmes 5.4 et 5.5. Pour utiliser le théorème 5.3
pour cette classe d’AC, la σ-totale ergodicité de µ est nécessaire. Cette propriété n’est pas
très éloignée de l’hypothèse (2) des théorèmes 5.4 et 5.5 concernant les ensembles σ-invarants.
Cependant ce genre d’hypothèse montre l’importance du caractère algébrique du système. La
propriété de (F,σ)-totale ergodicité de µ est plus restrictive. Avec une telle hypothèse M.
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