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Définition des pgcd
Définition (pgcd)
On dit que d ∈ A est un plus grand commun diviseur de a 1, . . . , a n si
d est un diviseur commun, c’est-à-dire que d | a 1, . . . , d | a n, et
d en est un plus grand : si c | a 1, . . . , c | a n alors c | d.
Ici on utilise donc le pré-ordre | donné par la divisibilité dans A.
Remarque
Dans un anneau quelconque, un pgcd de a 1, . . . , a n n’existe pas toujours. Si
un pgcd de a 1, . . . , a n existe, il n’est en général pas unique :
Si d est un pgcd de a 1, . . . , a n, tout associé d ′ ∼ d en est un autre.
Réciproquement, si d et d ′ sont deux pgcd de a 1, . . . , a n, alors d ∼ d ′ .