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L’algorithme d’Euclide
Observation clé pour l’algorithme d’Euclide
Pour tout a, b, c ∈ A on a Pgcd(a, b) = Pgcd(b, a) = Pgcd(b, a − bc).
Dans un anneau euclidien ceci permet une récurrence sur le stathme.
On a finalement le cas trivial Pgcd(a, 0) = Pgcd(a) = {a et ses associés}.
Algorithme 10.4 calcul du pgcd dans un anneau euclidien
Entrée:
Sortie:
deux éléments a 0 , b 0 ∈ A dans un anneau euclidien A
un pgcd de a 0 et b 0 dans A
a ← a 0 , b ← b 0 // invariant Pgcd(a, b) = Pgcd(a 0 , b 0 )
tant que b ≠ 0 faire
r ← a rem b, a ← b, b ← r // L’ensemble Pgcd(a, b) reste invariant
fin tant que
retourner a // Nous savons que a ∈ Pgcd(a, 0)