Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

Dominique Bakry 237
On obtient ainsi
P t (f)(x) = f(x) + t 2 f ′′ (x) + o(t),
ce qui donne la dérivée cherchée. On obtient ainsi dans ce cas la convergence
uniforme de Pt(f)−f
t
vers 1 2 f ′′ .
On obtient ainsi
P t+s (f) − P t (f)
s
On peut ainsi passer à la limite et obtenir
pour f ayant 3 dérivées bornées.
Ceci se récrit
= P t ( P s(f) − f
).
s
∂ t P t f = 1 2 P t(f ′′ )
(3.2) P t (f) − f = 1 2
∫ t
0
P s f ′′ ds.
Si f a seulement deux dérivées continues et bornées, on peut trouver une suite
de fonctions f n ayant trois dérivées continues et bornées telles que f n , f n ′ et f n
′′
convergent uniformément vers f, f ′ et f ′′ respectivement (prendre par exemple
f n = P 1/n (f)).
On peut ensuite à la limite dans la formule précédente (3.2). On obtient
alors le résulat en dérivant en t = 0, à condition de remarquer que, si f ′′ est
continue bornée, la fonction t ↦→ P t (f ′′ )(x) est continue.
Enfin, on démontre directement en dérivant sous le signe intégral que P t (f)
est de classe C ∞ pour toute fonction f bornée, et que
∂ t P t f = ∂2
P
∂x
2 t f.
Enfin, le fait que P t (f ′′ ) = (P t f) ′′ vient du fait que P t est une convolution,
et donc que P t commute aux dérivations.
La propriété de Markov a quelques conséquences intéressantes