Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

Dominique Bakry 245
est gaussien centré de covariance
∫
E(I(f i )I(f j )) =
R
f i (t)f j (t)dµ((t).
Démonstration. — Il n’y a qu’à recopier la démonstration faite pour la construction
de l’intégrale de Wiener par rapport au mouvement brownien (4.1), en
remarquant cette fois-ci que pour une fonction étagée f = ∑ i c i1 ]ti ,t i+1 ], on
aura
I(f) = ∑ c i (Y ti+1 − Y ti ),
i
et qu’alors
∫
E(I(f) 2 ) = f 2 (t)dµ(t) = ∑
R i
c 2 i (F (t i+1 ) − F (t i ).
5 Processus gaussiens de covariance donnée.
Un processus gaussien est une famille de variables aléatoires réelles (X t , t ∈
I), où I est un ensemble d’indices, qui est tel que, pour tout n-uplet (t 1 , . . . , t n )
d’éléments de I, la variable aléatoire (X t1 , . . . , X tn ) est une variable gaussienne
(à valeurs dans R n ).
La loi du processus est par définition la donnée pour tous les n-uplets
(t 1 , . . . , t n ) de la loi du vecteur (X t1 , . . . , X tn ).
Pour un processus gaussien, cette loi est entièrement caractérisée par la
donnée de l’espérance e(t) = E(X t ) et de la covariance K(s, t) = E(X t X s ) −
e(s)e(t).
On dira que le processus gaussien est centré si e(t) = 0. Quitte à changer
X t en X t − e(t), on pourra toujours supposer que le processus est centré.
Le noyau K(s, t) a la propriété fondamentale suivante
Proposition 5.1. Pour tout n-uplet (t 1 , . . . , t n ) de points de T , et tout n-uplet
(c 1 , .., c n ) de réels,
∑
c i c j K(t i , t j ) ≥ 0.
i,j