Chapitre 8 Le Mouvement Brownien - Institut de Mathématiques de ...

Dominique Bakry 249
est bien de covariance K(s, t).
Le problème ici est qu’en général on n’a l’identité (5.5) que presque sûrement
pour la mesure µ, et qu’il faut souvent travailler un peu pour avoir l’identité
partout (lorsque le noyau K(s, t) est continu pour une certaine toplogie, par
exemple, et qu’on arrive à montrer que l’identité (5.5) a lieu en tant que fonctions
continues sur T × T ).
Il n’est pas non plus toujours très facile de trouver les vecteurs propres de
l’opérateur K.
Lorsque T est un intervalle de R se pose ensuite le problème de savoir si
on peut trouver un processus (X t ) à trajectoires continues.
Le critère suivant est assez utile
Théorème 5.3. Si T est un intervalle de R et qu’il existe une constante C
telle que, pour tous les points s et t de T , on ait
E((X t − X s ) 2 ) = K(t, t) + K(s, s) − 2K(s, t)) ≤ C |t − s| ,
alors on peut trouver une version du processus X t qui est à trajectoires continues
sur T .
Démonstration. — Pour le voir, nous allons nous appuyer sur un critère que
nous ne démonterons pas (nous renvoyons pour cela à [5], p. 90, par exemple).
Supposons qu’il existe deux fonctions ɛ(h) et η(h) définies sur un voisinage
]0, δ] satisfaisant
∫ δ
ɛ(h) dh ∫ δ
0 h < ∞, η(h) dh
0 h < ∞, 2
et telles que
P (|X t+h − X t | ≥ ɛ(h)) ≤ η(h).
Alors, le processus X t admet une version à trajectoires continues.
Ici, pour des variables gaussiennes, si la variance de X t+h − X t est majorée
par Ch, alors
E((X t+h − X t ) 4 ) ≤ C ′ h 2 ,
et par l’inégalité de Markov
P(|X t+h − X t | ≥ ɛ) ≤ C ′ h2
ɛ 2 .
Il suffit alors de prendre ɛ(h) = h α , avec 0 < α < 1 4
, pour obtenir le résultat.
Enfin, un cas particulier important est celui des processus stationnaires.