IV - Aérodynamique instationnaire des profils - Master 2 en ...

Aéroélasticité en Aéronautique :
IV - Aérodynamique instationnaire des profils
jean-camille.chassaing@upmc.fr
December 15, 2011

Chap. IV - Aérodynamique instationnaire des profils
Plan du chapitre
1. Rappels élémentaires de Mécanique des Fluides
2. Opérateur incompressible pour un mvt harmonique en temp
• Ref. : T. Theodorsen, NACA-R-496, 1934
3. Opérateur supersonique pour un mvt harmonique en temp
• Ref. : I.E Garrick et S.I Rubinov, NACA-R-846, 1946
4. Opérateurs pour les rafales aérodynamiques discrètes:
◮ Variation d’incidence élémentaire ⇒ problème de Wagner
◮ Rafale sinusoidale ⇒ problème de Sears
◮ Rafale de type ”marche” ⇒ Problème de Kussner
5. Rafales aérodynamiques continues

Chap. IV - Aérodynamique instationnaire des profils
Objectifs
◮ Synthèse des travaux fondateurs des formulations analytiques des
forces et moments aérodynamiques instationnaire pour les profils en
mouvement (h, α, θ) ainsi que pour les turbulences atmosphériques
(rafales aérodynamiques)
Motivation: Avoir des données d’entrées analytiques en :
◮ Aéroélasticité: ⇒ Calcul de D F
◮ Aéro-servo-élasticité: ⇒ Formulation du problème de contrôle dans
le domaine temporel
◮ Aéroacoustique: ⇒ spectre ⇒ application analogie acoustique

0. Rafales aérodynamiques - introduction
Classification des rafales aérodynamiques

0. Rafales aérodynamiques - introduction
Historique des méthodes analytiques pour le calcul des charges
aéro

0. Rafales aérodynamiques - introduction
Points fondammentaux de l’analyse aérodynamique
◮ Petites perturbations
◮ Fluide non-visqueux
◮ Vitesse normale nulle sur le profil (i.e en z = z a)
◮ Condition de Kutta : Pas de saut de pression au B.F.
◮ Lacher tourbillonnaire depuis le B.F convectés par l’écoulement

1. Rappels de Mécanique des Fluides
Equations de conservation
◮ Hypothèse : Fluide non-visqueux, écoulement irrotationnel
◮ Cv masse : Dρ
Dt + ρdiv⃗ V = 0
◮ Cv qtée mvt :ρ D V ⃗
Dt = −gradp
D•
◮ Dérivée particulaire :
Dt = ∂•
∂t + V ⃗ grad•
◮ Relation isentropique : p/ρ γ = C te
◮ Conclusion : 5 eqs pour 5 inconnues (ρ, ⃗ V , p)
Fonction potentiel des vitesses
◮ rotV ⃗ = 0 ⇒ ∃ φ tq. V ⃗ = gradφ
◮ Objectif: Passer de 5 inconnues à 2 inconnues :
φ et a = √ (dp/dρ) = √ (γp/ρ)

1. Rappels de Mécanique des Fluides
Réduction du nombre d’inconnues
◮ Conditions à l’infini : ⃗ V ∞ = U ∞ ⃗e x , φ = U ∞x , p = p ∞
∫ p
∂φ
◮ Eq. de bernoulli :
∂t + (gradφ)2 dp 1
+ = U2 ∞
2
p ∞
ρ 1 2
◮ Eq. nonlinéaire pour le potentiel des vitesses :
[ ( ) ( )]
∆φ − 1 ∂ 2 φ
a 2 ∂t + ∂ ⃗V 2
⃗V
+ V
∂t 2
⃗ 2
.grad
2
= 0 (1)
◮ Problème de 2 eqs a 2 inconnues :
a 2 − a 2 ∞
γ − 1.
( )
= U2 ∞ ∂φ
2 − ∂t + (gradφ)2
2
(2)
◮ Question : Ecriture des eqs en incompressible ?

1. Rappels de Mécanique des Fluides
Théorie des petites perturbations
◮ L’objectif est de linéarisé l’équation en considérant que l’écoulement peut
se décomposer en une partie stationnaire auquel on superpose une
perturbation de petite amplitude
⎧
⎨
⎩
u = U ∞ + u ′ = U ∞ + φ ′ x
v = v ′ = φ ′ y
w = w ′ = φ ′ z
avec u ′ , v ′ , w ′

2. Opérateur incompressible pour un mvt harmonique en temp
Théorie des petites perturbations
◮ Toute analyse aéroélastique nécessite la connaissance des coefficients
aérodynamiques instantionnaires sur une grande plage de fréquence
réduite.
◮ Une expressions analytique relativement simple peut etre trouvée dans le
cas d’un écoulement incompressible et sous hypothèse de mouvement
harmonique du profil et d’amplitude faible.
◮ Cette approche a été etablie par T. Theodorsen en 1935 en assimilant le
profil à une plaque plane

2. Résultats de Theodorsen
Objectifs
◮ La solution analytique établie par Theodorsen consiste à trouver
l’expression du potentiel des vitesses perturbé φ ′ qui satisfasse :
∆φ ′ = 0 (5)
ainsi que la condition aux limites instationnaire sur le profil :
w a(x, z = z a, t) = ∂φ′
∂t ∣ = ∂za
z=za
∂t + U ∂za ; −b ≤ x ≤ b (6)
∂x
où z a(x, t) désigne le déplacement vertical instantanné :
z a(x, t) = −h − θ(x − ab) (7)
Calcul des charges aérodynamiques
L(t) = 2b
∫ 1
∫ 1
[p U (x ∗ ) − p L (x ∗ )] dx ∗ ; M ce(t) = 4b 2 (x ∗ − x ce)(p U (x ∗ ) − p L (x ∗ ))dx ∗
0
0

2. Résultats de Theodorsen
Résultats de Theodorsen
◮ Les charges aérodynamiques sont déterminées par :
[
( )
L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ+U∞ ˙θ−ab¨θ)+2πρ 1 ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b
2 − a [ (
M FA (t) = −πρ ∞b 3 1
2 ḧ + U∞ ˙θ 1
+ b
8 − a ) ]
¨θ
2
]
˙θ
avec k = bω/U ∞ la fréquence réduite
et C(k) la fonction de Théodorsen (fonction complexe à variable réelle)
( ) 1
◮ Moment au centre élastique: M ce(t) = M FA (t) + b
2 + a L(t)

2. Résultats de Theodorsen
Définition de la fonction de Theodorsen
◮ C(k) =
H (2)
1
H (2)
1 (k)
(k) + iH(2) 0 (k)
H n
(2) (k) désigne la fonction de Hankel de seconde espèce d’ordre n
Rappel : Fonction de Hankel
H n (2)(k) = J n (k) − iY n (k)
avec J n (k) et Y n (k) fonctions de Bessel de 1 iere et 2 ieme espèces

2. Résultats de Theodorsen
Rappel: Fonctions de Bessel
◮ Equation de Bessel : x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 )y = 0
◮ Solution de l’eq. d’ordre n (i.e. ν = n) : y = c 1J n(x) + c 2Y n(x)
◮ Formules utiles :
J 0(k) = 2 π
J 1(k) = − 2 π
∫ ∞
1
∫ ∞
1
sin(kx)
√
x
2
− 1 dk
xcos(kx)
√
x
2
− 1 dk;
Y0(k) = − 2 π
Y1(k) = − 2 π
∫ ∞
1
∫ ∞
1
cos(kx)
√
x
2
− 1 dk
xsin(kx)
√
x
2
− 1 dk

2. Résultats de Theodorsen
Fonction de theodorsen :
J1(J1 + Y0) + Y1(Y1 − J0) −(Y 1Y 0 + J 1J 0)
C(k) = F (k) + iG(k) = + i
(J 1 + Y 0) 2 + (Y 1 − J 0) 2 (J 1 + Y 0) 2 + (Y 1 − J 0) 2
◮
lim C(k) = 0.5 et lim C(k) = 1
k→∞ k→0
◮ Approximation utile : C(k) =
0.01365 + 0.2808ik − 0.5k
2
0.01365 + 0.3455ik − k 2

2. Résultats de Theodorsen
Bilan (1/2)
◮ Expression générale des charges aérodynamiques (rappel) :
⎧
]
⎪⎨
ˆL(k, M ∞) = −πρ ∞b 3 ω
[l 2 h (k, M ĥ ∞)
b + l θ(k, M ∞)ˆθ
⎪⎩
ˆM(k, M ∞) = −πρ ∞b 4 ω 2 [M h (k, M ∞) ĥ
b + M θ(k, M ∞)ˆθ
] (9)
◮ Th. de Theodorsen :
[
( )
L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ+U∞ ˙θ−ab¨θ)+2πρ 1 ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b
2 − a [ (
M FA (t) = −πρ ∞b 3 1
2 ḧ + U∞ ˙θ 1
+ b
8 − a ) ]
¨θ
2
]
˙θ
◮ Il est alors aisé d’identifier les coefficients aérodynamiques l h , l θ , M h , M θ

2. Résultats de Theodorsen
Bilan (2/2)
◮ Expression des coefficients aérodynamiques en incompressible:
l h (k) = 1 − 2iC(k)
k
l θ (k) = −a − i k − 2 C(k) − 2i C(k) ( ) 1
k 2 k 2 − a
M h (k) = −a + 2i C(k) ( ) 1
k 2 + a
M θ (k) = 1 8 + a2 − i ( ) 1
k 2 − a + 2C(k) ( ) 1
k 2 2 + a + 2i C(k) ( ) 1
k 4 − a2

3. Profil oscillant en écoulement supersonique
(Garrick et Rubinov, naca-r-846, 1946)
Formulation du problème
◮ Eq. pour le potentiel linéarisé ∗ : ∆φ ′ − 1
a 2 ∞
[ ] 2 ∂
∂t + ∂
U∞ φ ′ = 0
∂x
◮ Mouvement harmonique du profil ⇒ φ = ¯φ(x, z)exp(iωt) ,...
◮ L’eq. pour φ devient :
¯φ xx + ¯φ zz − 1 (−ω 2 ¯φ + 2iU ∞ω ¯φ
a∞
2 x + U∞ 2 ¯φ
)
xx = 0 (10)
◮ Conditions aux limites en z = z a:
{ pour x < 0 : ¯φ = 0 et ¯φx = 0
pour 0 < x < 2b : ¯φz = ¯w a
(11)
∗ Remarque : On notera par la suite φ = φ
′

3. Profil oscillant en écoulement supersonique
Principe de la méthode de résolution
◮ Transformée de Laplace pour la variable x :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Application à l’eq. (13)
d 2 Φ
dz 2
Φ(p, z) = L{ ¯φ(x, z)} =
W (p) = L{ ¯w a(x)} =
∫ ∞
∫ ∞
0
0
¯φ(x ∗ , z)e −px∗ dx ∗
¯w a(x ∗ )e −px∗ dx ∗ (12)
[
= λ2 Φ(p, z) avec λ 2 = (M∞−1)
2 p 2 +
2iωM ∞p
a ∞ (M∞ 2 − 1) − ω 2 ]
(M∞ 2 − 1)
La solution générale s’écrit :
Φ(p, z) = Ae λz + Be −λz (13)

3. Profil oscillant en écoulement supersonique
Résolution dans l’espace de Laplace
dΦ
◮ Conditions aux limites :
dz ∣ = W (p) et A = 0
z=za
◮ Solution finale pour Φ :
Retour à l’espace physique
Φ(p, z) = − W λ e−λz (14)
◮ Posons : ¯ω = kM 2 ∞/(M 2 ∞ − 1) , k = 2bω/U ∞ et x ∗ = x/(2b)
◮ Aprés calculs, la transformation de Laplace inverse de (14) s’écrit:
∫
⇒ ¯φ(x ∗ 2b
, ¯ω, z = z a ) = −√ ¯w a (ξ ∗ )K (ξ ∗ , x ∗ ) dξ ∗ (15)
M
2 ∞ − 1
où le noyau (kernel) K (ξ ∗ , x ∗ ) s’écrit dans le cas supersonique :
[ ]
K (ξ ∗ , x ∗ ) = e −i ¯ω(x ∗ −ξ ∗) ¯ω
J 0 (x ∗ − ξ ∗ ) (16)
M ∞

4. Rafales aérodynamiques
Remarques sur la solution de Theodorsen
• L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ + U ∞ ˙θ − ab¨θ)
} {{ }
L Γ =0
=−w 3/4 (t)
{[
}}( ) ]{
1
+ 2πρ ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b
2 − a ˙θ
} {{ }
L Γ
M Γ=0
{ [
( }} ) ( ) ]{
• M ce(t) = πρ ∞b 2 1
abḧ − U∞b 2 − a ˙θ − b 2 1
8 + a2 ¨θ
M Γ
{ ( ) }} [
( ) ]{
+ 2πρ ∞U ∞b 2 1 1
2 + a C(k) ḣ + U ∞θ + b
2 − a ˙θ
} {{ }
=−w 3/4 (t)

4. Rafales aérodynamiques
4.1 Extension à un mouvement arbitraire
◮ On décrit w 3/4 par sa transformée de Fourier :
w 3/4 (t) = 1 ∫ ∞
∫ ∞
f (ω)e iωt dω ⇒ f (ω, t) = w 3/4 (t)e −iωt dt
2π −∞
−∞
◮ Portance relative à une seule composante fréquencielle :
∆L Γ (ω, t) = −2πρ ∞U ∞bC(k)e iωt
◮ Application au cas d’un mvt quelconque :
L Γ (t) =
∫ ∞
−∞
f (ω)∆L Γ (ω, t)dω
◮ Expression finale des charges aérodynamiques :
L(t) = L Γ=0 (t) + L Γ (t) ;
M ce(t) = M γ=0 + b
( 1
2 + a )
L Γ (t)

4. Rafales aérodynamiques
4.2 Réponse aérodynamique à une variation d’incidence (1/2)
◮ Modèle de la rafale :
w 3/4 (t) =
{
0 t < 0
−Uα 0 t ≥ 0
(17)
◮ Passage dans le domaine fréquenciel :
w 3/4 (t) = 1 ∫ ∞
(
2π −∞
− U∞α0
iω
)
eiωt dω
(18)
◮ Posons s = U ∞t/b la distance en 1/2 corde parcourue par le profil aprés
t 0 = 0
◮ La portance s’écrit alors dans l’espace de Laplace :
∫ ∞
L Γ (s) = 2πρ ∞U∞bα 2 C(k)
0
−∞ ik
eiks dk
} {{ }
=Ψ WAG (s):Fonction de Wagner
(19)

4. Rafales aérodynamiques
4.2 Réponse aérodynamique à une variation d’incidence (2/2)
◮ On montre que: Ψ WAG (s) = 1(s) + 2 π
avec 1(s < 0) = 0 et 1(s ≥ 0) = 1
∫ ∞
0
G(k)
cos(ks)dk
k
◮ Approximations utiles :
Ψ WAG (s) ∼ s + 2 =
s + 4
∼= 1 − 0.165e −0.0455s − 0.335e −0.3s
◮ Rq: lim s→∞ Ψ WAG (s) = 1

4.3 Rafales aérodynamiques :
Réponse aérodynamique à une rafale sinusoidale (1/2)
Modèle de la rafale
iω
◮ w G (x, t) = ¯w G e
(
t −
x )
U ∞
⇒ Profil de la rafale verticale
convectée par l’écoulement
uniforme (U ∞ ⃗e x)
◮ Paramètres sans-dimensions: x ∗ = x/b ,
s = U ∞t/b , k = ωb/U ∞
⇒ w G (x ∗ , s) = ¯w G e ik(s−x∗ )
◮ Conditions aux limites sur le profil :
w G + w a = 0 ⇒ w a(x ∗ , s) = − ¯w G e iks e −ikx∗

4.3 Rafales aérodynamiques :
Réponse aérodynamique à une rafale sinusoidale (2/2)
Coefficients aérodynamiques
1. Posant ¯w a = − ¯w G e −ikx∗ on retombe sur le problème d’aéro. instat. pour
un mvt harmonique
2. Calcul de φ ′ avec cette nouvelle expression de ¯w a
3. Calcul de L et M ce :
{ L(t) = 2πρ∞U ∞b ¯w G S(k)e iωt
M ce(t) = b ( 1
2 + a) L(t)
où S(k) désigne la fonction de Sears :
S(k) = [J 0(k) − iJ 1(k)] C(k) + J 1(k)
4. Approximation: |S(k)| 2 ∼ = (1 + 2πk)
−1

4.4 Rafales aérodynamiques :
Réponse aérodynamique à une rafale de type ”marche” (1/2)
Modèle de la rafale ”shap edge gust”
◮ w G (x, t) = 1(U ∞t − b) w 0
⇒ Profil de la rafale verticale
convectée par l’écoulement
uniforme (U ∞ ⃗e x)
◮ Expression de w G à partir de sa T.F:
∫ ∞
w G (x, t) = w0
2π −∞
e iω(t−b/U∞−x/U∞)
iω
dω (20)
◮ Par application du principe de superposition, on trouve après calculs :
L G (s) = 2πρ ∞U ∞bw 0Ψ KUS (s)

4.4 Rafales aérodynamiques :
Réponse aérodynamique à une rafale de type ”marche” (2/2)
Fonction de Kussner
◮ Ψ KUS (s) = 1 ∫ ∞
2π −∞
S(k)
ik
eik(s−1) dk
◮ Approximations :
Ψ KUS
1 (s) = 1 − 0.5e −0.13s − 0.5e −s
Ψ KUS s(s + 1)
2 (s) =
s 2 + 2.82s + 0.8

4. Rafales aérodynamiques
4.5 Réponse d’un profil pour une rafale verticale quelconque
Calcul de L G
◮ Intégrale de Duhamel pour un acroissement de portance relatif à une
rafale indicielle de type ”marche”
∫ s
]
L G (s) = 2πρ ∞U ∞
[w G (0)Ψ KUS dw G (σ)
(s) +
dσ
ΨKUS (s − σ)dσ (21)
0
Calcul de L M
◮ Intégrale de Duhamel ⇒ portance pour un mvt arbitraire du profil

4.6 Applications : Réponse d’un avion à une rafale discrète
Hypothèses
1. Avion rigide en déplacement horizontal ( ⃗ V = U ∞ ⃗e x)
2. 1 seul DLL suivant ⃗e z (h > 0 pour z descendant)
3. Rafale uniforme suivant ⃗e z
4. Ecoulement quasi-stationnaire
Mise en équation
◮ Portance : L(t) = 1 2 ρ∞U2 ∞S dC L
dα
(
WG (x)
U ∞
+ ḣ
U ∞
)
◮ Equation du mouvement : mḧ(t) = −L(t) ⇒ ḧ(t) = −λ(W G + ḣ)
Solution (demo a faire en cours)
◮ Conditions initiales: h(t = 0) = ḣ(t = 0) = 0
◮ Aprés intégration : h(t) = ∫ t
0 W G (x)
[
e −λ(t−x) − 1
]
dx

4. Applications : Réponse d’un avion à une rafale discrète
Application à une rafale de type ”marche” (demo a faire en cours)
1. Rafale : w G (x, t) = 1(U ∞ t − b) w 0
2. Déplacement : h(t) = w 0
λ
(
1 − e
−λt ) − w 0 t
3. Accélération maximale: ḧ max = −λw 0
4. Facteur de charge relatif à la rafale:
∆n = ḧmax
g
= 1
2mg ρ ∞U ∞ S dC L
dα w 0 (23)

5. Rafales continues
Réponse d’un avion rigide à une turbulence atmosphérique
◮ Spectre de Liepmann ∗ pour une turbulence isotrope :
G(ω) = w 2 l t 1 + 3(ωl t /U ∞ ) 2
πU ∞ [1 + (ωl t /U ∞ ) 2 ] 2 (24)
avec
• w 2 : intensité de la turbulence
• l t : échelle de longueur caractéristique de la turbulence
• G(ω) : puissance spectrale de la turbulence
∗ Liepmann, H. W. ,1955, ”Extension of the Statistical Approach to Buffeting and Gust Response
of Wings of Finite Span”, Journal of Aeronautical Sciences, 22, pp. 197-200

5. Rafales continues
Rappels
◮ Echelle de longueur de la turbulence: l t =
∫ ∞
0
R(x ∗ )dx ∗
◮ Fonction d’auto-corrélation : R(x ∗ ) = w(x, t) w(x + x ∗ , t)
w 2
Modèle de rafale continue
◮ Turbulence convectée par l’écoulement : w = w
(
t −
x )
U ∞
◮ Théorie linéaire ⇒
L(t) = L M (h) + L G (w)
◮ Equation du mouvement (1 DLL) : mḧ + L M (h) = −L G (w)

5. Rafales continues
Portance engendrée par la turbulence
G L (ω) = |H L | 2 G(ω) (25)
• G : puissance spectrale de la rafale
• G L : puissance spectrale associée à la portance
• H L : admittance du système caractérisée
par la portance relative à une rafale sinusoidale
Accélération subie par le profil
G acc (ω) = |H acc | 2 G L (ω) (26)
• G acc : puissance spectrale associée à l’accéleration du profil
• H acc : admittance du système caractérisée
par l’accéleration du profil relative à une portance sinusoidale

5. Rafales continues
Portance relative à une rafale sinusoidale
L = 2πρ ∞U ∞w 0S(k)
} {{ }
e iωt avec |S(k)| 2 ∼ = (1 + 2πk)
−1
H L
Equations du mouvement
◮ 1DLL avec forcage sinusoidal :
(
U∞
m
b
) 2
h” = −L(τ) + F (τ) (27)
• τ = U ∞t/b : temps adim.
• h” = d 2 h/dτ 2
• h = h 0e iωt = h 0e ikτ et F (τ) = F 0e ikτ (forcage extérieur)

5. Rafales continues
Admittance avion (demo a faire en cours)
(
◮ Charge aérodynamique : L(τ) = π ρ∞U2 ∞
S 2C(k) ik )
2
b h0 − k 2 h 0
e ikτ
b
◮ Impédance complexe entre le forcage et le déplacement Z F −h
Eq. du mouvement sous la forme : Z F −h h 0 = F 0 ⇒ Z F −h = ...
◮ Admittance avion H acc: H acc = 1
Z acc
avec Z acc = −ω 2 Z F −h
Aprés calculs on obtient :
H acc = ḧ
F = 2
k
πρ ∞Sb (1 + 2m/πρ ∞Sb)k + 2G(k) − 2iF (k)
Réponse à la rafale turbulente
◮ Accélération : ḧ2 =
∫ ∞
0
|H acc| 2 |H F | 2 G(ω)dω