IV - Aérodynamique instationnaire des profils - Master 2 en ...
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IV - Aérodynamique instationnaire des profils - Master 2 en ...
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Aéroélasticité <strong>en</strong> Aéronautique :<br />
<strong>IV</strong> - Aérodynamique <strong>instationnaire</strong> <strong>des</strong> <strong>profils</strong><br />
jean-camille.chassaing@upmc.fr<br />
December 15, 2011
Chap. <strong>IV</strong> - Aérodynamique <strong>instationnaire</strong> <strong>des</strong> <strong>profils</strong><br />
Plan du chapitre<br />
1. Rappels élém<strong>en</strong>taires de Mécanique <strong>des</strong> Flui<strong>des</strong><br />
2. Opérateur incompressible pour un mvt harmonique <strong>en</strong> temp<br />
• Ref. : T. Theodors<strong>en</strong>, NACA-R-496, 1934<br />
3. Opérateur supersonique pour un mvt harmonique <strong>en</strong> temp<br />
• Ref. : I.E Garrick et S.I Rubinov, NACA-R-846, 1946<br />
4. Opérateurs pour les rafales aérodynamiques discrètes:<br />
◮ Variation d’incid<strong>en</strong>ce élém<strong>en</strong>taire ⇒ problème de Wagner<br />
◮ Rafale sinusoidale ⇒ problème de Sears<br />
◮ Rafale de type ”marche” ⇒ Problème de Kussner<br />
5. Rafales aérodynamiques continues
Chap. <strong>IV</strong> - Aérodynamique <strong>instationnaire</strong> <strong>des</strong> <strong>profils</strong><br />
Objectifs<br />
◮ Synthèse <strong>des</strong> travaux fondateurs <strong>des</strong> formulations analytiques <strong>des</strong><br />
forces et mom<strong>en</strong>ts aérodynamiques <strong>instationnaire</strong> pour les <strong>profils</strong> <strong>en</strong><br />
mouvem<strong>en</strong>t (h, α, θ) ainsi que pour les turbul<strong>en</strong>ces atmosphériques<br />
(rafales aérodynamiques)<br />
Motivation: Avoir <strong>des</strong> données d’<strong>en</strong>trées analytiques <strong>en</strong> :<br />
◮ Aéroélasticité: ⇒ Calcul de D F<br />
◮ Aéro-servo-élasticité: ⇒ Formulation du problème de contrôle dans<br />
le domaine temporel<br />
◮ Aéroacoustique: ⇒ spectre ⇒ application analogie acoustique
0. Rafales aérodynamiques - introduction<br />
Classification <strong>des</strong> rafales aérodynamiques
0. Rafales aérodynamiques - introduction<br />
Historique <strong>des</strong> métho<strong>des</strong> analytiques pour le calcul <strong>des</strong> charges<br />
aéro
0. Rafales aérodynamiques - introduction<br />
Points fondamm<strong>en</strong>taux de l’analyse aérodynamique<br />
◮ Petites perturbations<br />
◮ Fluide non-visqueux<br />
◮ Vitesse normale nulle sur le profil (i.e <strong>en</strong> z = z a)<br />
◮ Condition de Kutta : Pas de saut de pression au B.F.<br />
◮ Lacher tourbillonnaire depuis le B.F convectés par l’écoulem<strong>en</strong>t
1. Rappels de Mécanique <strong>des</strong> Flui<strong>des</strong><br />
Equations de conservation<br />
◮ Hypothèse : Fluide non-visqueux, écoulem<strong>en</strong>t irrotationnel<br />
◮ Cv masse : Dρ<br />
Dt + ρdiv⃗ V = 0<br />
◮ Cv qtée mvt :ρ D V ⃗<br />
Dt = −gradp<br />
D•<br />
◮ Dérivée particulaire :<br />
Dt = ∂•<br />
∂t + V ⃗ grad•<br />
◮ Relation is<strong>en</strong>tropique : p/ρ γ = C te<br />
◮ Conclusion : 5 eqs pour 5 inconnues (ρ, ⃗ V , p)<br />
Fonction pot<strong>en</strong>tiel <strong>des</strong> vitesses<br />
◮ rotV ⃗ = 0 ⇒ ∃ φ tq. V ⃗ = gradφ<br />
◮ Objectif: Passer de 5 inconnues à 2 inconnues :<br />
φ et a = √ (dp/dρ) = √ (γp/ρ)
1. Rappels de Mécanique <strong>des</strong> Flui<strong>des</strong><br />
Réduction du nombre d’inconnues<br />
◮ Conditions à l’infini : ⃗ V ∞ = U ∞ ⃗e x , φ = U ∞x , p = p ∞<br />
∫ p<br />
∂φ<br />
◮ Eq. de bernoulli :<br />
∂t + (gradφ)2 dp 1<br />
+ = U2 ∞<br />
2<br />
p ∞<br />
ρ 1 2<br />
◮ Eq. nonlinéaire pour le pot<strong>en</strong>tiel <strong>des</strong> vitesses :<br />
[ ( ) ( )]<br />
∆φ − 1 ∂ 2 φ<br />
a 2 ∂t + ∂ ⃗V 2<br />
⃗V<br />
+ V<br />
∂t 2<br />
⃗ 2<br />
.grad<br />
2<br />
= 0 (1)<br />
◮ Problème de 2 eqs a 2 inconnues :<br />
a 2 − a 2 ∞<br />
γ − 1.<br />
( )<br />
= U2 ∞ ∂φ<br />
2 − ∂t + (gradφ)2<br />
2<br />
(2)<br />
◮ Question : Ecriture <strong>des</strong> eqs <strong>en</strong> incompressible ?
1. Rappels de Mécanique <strong>des</strong> Flui<strong>des</strong><br />
Théorie <strong>des</strong> petites perturbations<br />
◮ L’objectif est de linéarisé l’équation <strong>en</strong> considérant que l’écoulem<strong>en</strong>t peut<br />
se décomposer <strong>en</strong> une partie stationnaire auquel on superpose une<br />
perturbation de petite amplitude<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
u = U ∞ + u ′ = U ∞ + φ ′ x<br />
v = v ′ = φ ′ y<br />
w = w ′ = φ ′ z<br />
avec u ′ , v ′ , w ′
2. Opérateur incompressible pour un mvt harmonique <strong>en</strong> temp<br />
Théorie <strong>des</strong> petites perturbations<br />
◮ Toute analyse aéroélastique nécessite la connaissance <strong>des</strong> coeffici<strong>en</strong>ts<br />
aérodynamiques instantionnaires sur une grande plage de fréqu<strong>en</strong>ce<br />
réduite.<br />
◮ Une expressions analytique relativem<strong>en</strong>t simple peut etre trouvée dans le<br />
cas d’un écoulem<strong>en</strong>t incompressible et sous hypothèse de mouvem<strong>en</strong>t<br />
harmonique du profil et d’amplitude faible.<br />
◮ Cette approche a été etablie par T. Theodors<strong>en</strong> <strong>en</strong> 1935 <strong>en</strong> assimilant le<br />
profil à une plaque plane
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Objectifs<br />
◮ La solution analytique établie par Theodors<strong>en</strong> consiste à trouver<br />
l’expression du pot<strong>en</strong>tiel <strong>des</strong> vitesses perturbé φ ′ qui satisfasse :<br />
∆φ ′ = 0 (5)<br />
ainsi que la condition aux limites <strong>instationnaire</strong> sur le profil :<br />
w a(x, z = z a, t) = ∂φ′<br />
∂t ∣ = ∂za<br />
z=za<br />
∂t + U ∂za ; −b ≤ x ≤ b (6)<br />
∂x<br />
où z a(x, t) désigne le déplacem<strong>en</strong>t vertical instantanné :<br />
z a(x, t) = −h − θ(x − ab) (7)<br />
Calcul <strong>des</strong> charges aérodynamiques<br />
L(t) = 2b<br />
∫ 1<br />
∫ 1<br />
[p U (x ∗ ) − p L (x ∗ )] dx ∗ ; M ce(t) = 4b 2 (x ∗ − x ce)(p U (x ∗ ) − p L (x ∗ ))dx ∗<br />
0<br />
0
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
◮ Les charges aérodynamiques sont déterminées par :<br />
[<br />
( )<br />
L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ+U∞ ˙θ−ab¨θ)+2πρ 1 ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b<br />
2 − a [ (<br />
M FA (t) = −πρ ∞b 3 1<br />
2 ḧ + U∞ ˙θ 1<br />
+ b<br />
8 − a ) ]<br />
¨θ<br />
2<br />
]<br />
˙θ<br />
avec k = bω/U ∞ la fréqu<strong>en</strong>ce réduite<br />
et C(k) la fonction de Théodors<strong>en</strong> (fonction complexe à variable réelle)<br />
( ) 1<br />
◮ Mom<strong>en</strong>t au c<strong>en</strong>tre élastique: M ce(t) = M FA (t) + b<br />
2 + a L(t)
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Définition de la fonction de Theodors<strong>en</strong><br />
◮ C(k) =<br />
H (2)<br />
1<br />
H (2)<br />
1 (k)<br />
(k) + iH(2) 0 (k)<br />
H n<br />
(2) (k) désigne la fonction de Hankel de seconde espèce d’ordre n<br />
Rappel : Fonction de Hankel<br />
H n (2)(k) = J n (k) − iY n (k)<br />
avec J n (k) et Y n (k) fonctions de Bessel de 1 iere et 2 ieme espèces
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Rappel: Fonctions de Bessel<br />
◮ Equation de Bessel : x 2 y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 )y = 0<br />
◮ Solution de l’eq. d’ordre n (i.e. ν = n) : y = c 1J n(x) + c 2Y n(x)<br />
◮ Formules utiles :<br />
J 0(k) = 2 π<br />
J 1(k) = − 2 π<br />
∫ ∞<br />
1<br />
∫ ∞<br />
1<br />
sin(kx)<br />
√<br />
x<br />
2<br />
− 1 dk<br />
xcos(kx)<br />
√<br />
x<br />
2<br />
− 1 dk;<br />
Y0(k) = − 2 π<br />
Y1(k) = − 2 π<br />
∫ ∞<br />
1<br />
∫ ∞<br />
1<br />
cos(kx)<br />
√<br />
x<br />
2<br />
− 1 dk<br />
xsin(kx)<br />
√<br />
x<br />
2<br />
− 1 dk
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Fonction de theodors<strong>en</strong> :<br />
J1(J1 + Y0) + Y1(Y1 − J0) −(Y 1Y 0 + J 1J 0)<br />
C(k) = F (k) + iG(k) = + i<br />
(J 1 + Y 0) 2 + (Y 1 − J 0) 2 (J 1 + Y 0) 2 + (Y 1 − J 0) 2<br />
◮<br />
lim C(k) = 0.5 et lim C(k) = 1<br />
k→∞ k→0<br />
◮ Approximation utile : C(k) =<br />
0.01365 + 0.2808ik − 0.5k<br />
2<br />
0.01365 + 0.3455ik − k 2
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Bilan (1/2)<br />
◮ Expression générale <strong>des</strong> charges aérodynamiques (rappel) :<br />
⎧<br />
]<br />
⎪⎨<br />
ˆL(k, M ∞) = −πρ ∞b 3 ω<br />
[l 2 h (k, M ĥ ∞)<br />
b + l θ(k, M ∞)ˆθ<br />
⎪⎩<br />
ˆM(k, M ∞) = −πρ ∞b 4 ω 2 [M h (k, M ∞) ĥ<br />
b + M θ(k, M ∞)ˆθ<br />
] (9)<br />
◮ Th. de Theodors<strong>en</strong> :<br />
[<br />
( )<br />
L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ+U∞ ˙θ−ab¨θ)+2πρ 1 ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b<br />
2 − a [ (<br />
M FA (t) = −πρ ∞b 3 1<br />
2 ḧ + U∞ ˙θ 1<br />
+ b<br />
8 − a ) ]<br />
¨θ<br />
2<br />
]<br />
˙θ<br />
◮ Il est alors aisé d’id<strong>en</strong>tifier les coeffici<strong>en</strong>ts aérodynamiques l h , l θ , M h , M θ
2. Résultats de Theodors<strong>en</strong><br />
Bilan (2/2)<br />
◮ Expression <strong>des</strong> coeffici<strong>en</strong>ts aérodynamiques <strong>en</strong> incompressible:<br />
l h (k) = 1 − 2iC(k)<br />
k<br />
l θ (k) = −a − i k − 2 C(k) − 2i C(k) ( ) 1<br />
k 2 k 2 − a<br />
M h (k) = −a + 2i C(k) ( ) 1<br />
k 2 + a<br />
M θ (k) = 1 8 + a2 − i ( ) 1<br />
k 2 − a + 2C(k) ( ) 1<br />
k 2 2 + a + 2i C(k) ( ) 1<br />
k 4 − a2
3. Profil oscillant <strong>en</strong> écoulem<strong>en</strong>t supersonique<br />
(Garrick et Rubinov, naca-r-846, 1946)<br />
Formulation du problème<br />
◮ Eq. pour le pot<strong>en</strong>tiel linéarisé ∗ : ∆φ ′ − 1<br />
a 2 ∞<br />
[ ] 2 ∂<br />
∂t + ∂<br />
U∞ φ ′ = 0<br />
∂x<br />
◮ Mouvem<strong>en</strong>t harmonique du profil ⇒ φ = ¯φ(x, z)exp(iωt) ,...<br />
◮ L’eq. pour φ devi<strong>en</strong>t :<br />
¯φ xx + ¯φ zz − 1 (−ω 2 ¯φ + 2iU ∞ω ¯φ<br />
a∞<br />
2 x + U∞ 2 ¯φ<br />
)<br />
xx = 0 (10)<br />
◮ Conditions aux limites <strong>en</strong> z = z a:<br />
{ pour x < 0 : ¯φ = 0 et ¯φx = 0<br />
pour 0 < x < 2b : ¯φz = ¯w a<br />
(11)<br />
∗ Remarque : On notera par la suite φ = φ<br />
′
3. Profil oscillant <strong>en</strong> écoulem<strong>en</strong>t supersonique<br />
Principe de la méthode de résolution<br />
◮ Transformée de Laplace pour la variable x :<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
Application à l’eq. (13)<br />
d 2 Φ<br />
dz 2<br />
Φ(p, z) = L{ ¯φ(x, z)} =<br />
W (p) = L{ ¯w a(x)} =<br />
∫ ∞<br />
∫ ∞<br />
0<br />
0<br />
¯φ(x ∗ , z)e −px∗ dx ∗<br />
¯w a(x ∗ )e −px∗ dx ∗ (12)<br />
[<br />
= λ2 Φ(p, z) avec λ 2 = (M∞−1)<br />
2 p 2 +<br />
2iωM ∞p<br />
a ∞ (M∞ 2 − 1) − ω 2 ]<br />
(M∞ 2 − 1)<br />
La solution générale s’écrit :<br />
Φ(p, z) = Ae λz + Be −λz (13)
3. Profil oscillant <strong>en</strong> écoulem<strong>en</strong>t supersonique<br />
Résolution dans l’espace de Laplace<br />
dΦ<br />
◮ Conditions aux limites :<br />
dz ∣ = W (p) et A = 0<br />
z=za<br />
◮ Solution finale pour Φ :<br />
Retour à l’espace physique<br />
Φ(p, z) = − W λ e−λz (14)<br />
◮ Posons : ¯ω = kM 2 ∞/(M 2 ∞ − 1) , k = 2bω/U ∞ et x ∗ = x/(2b)<br />
◮ Aprés calculs, la transformation de Laplace inverse de (14) s’écrit:<br />
∫<br />
⇒ ¯φ(x ∗ 2b<br />
, ¯ω, z = z a ) = −√ ¯w a (ξ ∗ )K (ξ ∗ , x ∗ ) dξ ∗ (15)<br />
M<br />
2 ∞ − 1<br />
où le noyau (kernel) K (ξ ∗ , x ∗ ) s’écrit dans le cas supersonique :<br />
[ ]<br />
K (ξ ∗ , x ∗ ) = e −i ¯ω(x ∗ −ξ ∗) ¯ω<br />
J 0 (x ∗ − ξ ∗ ) (16)<br />
M ∞
4. Rafales aérodynamiques<br />
Remarques sur la solution de Theodors<strong>en</strong><br />
• L(t) = πρ ∞b 2 (ḧ + U ∞ ˙θ − ab¨θ)<br />
} {{ }<br />
L Γ =0<br />
=−w 3/4 (t)<br />
{[<br />
}}( ) ]{<br />
1<br />
+ 2πρ ∞UbC(k) ḣ + U ∞θ + b<br />
2 − a ˙θ<br />
} {{ }<br />
L Γ<br />
M Γ=0<br />
{ [<br />
( }} ) ( ) ]{<br />
• M ce(t) = πρ ∞b 2 1<br />
abḧ − U∞b 2 − a ˙θ − b 2 1<br />
8 + a2 ¨θ<br />
M Γ<br />
{ ( ) }} [<br />
( ) ]{<br />
+ 2πρ ∞U ∞b 2 1 1<br />
2 + a C(k) ḣ + U ∞θ + b<br />
2 − a ˙θ<br />
} {{ }<br />
=−w 3/4 (t)
4. Rafales aérodynamiques<br />
4.1 Ext<strong>en</strong>sion à un mouvem<strong>en</strong>t arbitraire<br />
◮ On décrit w 3/4 par sa transformée de Fourier :<br />
w 3/4 (t) = 1 ∫ ∞<br />
∫ ∞<br />
f (ω)e iωt dω ⇒ f (ω, t) = w 3/4 (t)e −iωt dt<br />
2π −∞<br />
−∞<br />
◮ Portance relative à une seule composante fréqu<strong>en</strong>cielle :<br />
∆L Γ (ω, t) = −2πρ ∞U ∞bC(k)e iωt<br />
◮ Application au cas d’un mvt quelconque :<br />
L Γ (t) =<br />
∫ ∞<br />
−∞<br />
f (ω)∆L Γ (ω, t)dω<br />
◮ Expression finale <strong>des</strong> charges aérodynamiques :<br />
L(t) = L Γ=0 (t) + L Γ (t) ;<br />
M ce(t) = M γ=0 + b<br />
( 1<br />
2 + a )<br />
L Γ (t)
4. Rafales aérodynamiques<br />
4.2 Réponse aérodynamique à une variation d’incid<strong>en</strong>ce (1/2)<br />
◮ Modèle de la rafale :<br />
w 3/4 (t) =<br />
{<br />
0 t < 0<br />
−Uα 0 t ≥ 0<br />
(17)<br />
◮ Passage dans le domaine fréqu<strong>en</strong>ciel :<br />
w 3/4 (t) = 1 ∫ ∞<br />
(<br />
2π −∞<br />
− U∞α0<br />
iω<br />
)<br />
eiωt dω<br />
(18)<br />
◮ Posons s = U ∞t/b la distance <strong>en</strong> 1/2 corde parcourue par le profil aprés<br />
t 0 = 0<br />
◮ La portance s’écrit alors dans l’espace de Laplace :<br />
∫ ∞<br />
L Γ (s) = 2πρ ∞U∞bα 2 C(k)<br />
0<br />
−∞ ik<br />
eiks dk<br />
} {{ }<br />
=Ψ WAG (s):Fonction de Wagner<br />
(19)
4. Rafales aérodynamiques<br />
4.2 Réponse aérodynamique à une variation d’incid<strong>en</strong>ce (2/2)<br />
◮ On montre que: Ψ WAG (s) = 1(s) + 2 π<br />
avec 1(s < 0) = 0 et 1(s ≥ 0) = 1<br />
∫ ∞<br />
0<br />
G(k)<br />
cos(ks)dk<br />
k<br />
◮ Approximations utiles :<br />
Ψ WAG (s) ∼ s + 2 =<br />
s + 4<br />
∼= 1 − 0.165e −0.0455s − 0.335e −0.3s<br />
◮ Rq: lim s→∞ Ψ WAG (s) = 1
4.3 Rafales aérodynamiques :<br />
Réponse aérodynamique à une rafale sinusoidale (1/2)<br />
Modèle de la rafale<br />
iω<br />
◮ w G (x, t) = ¯w G e<br />
(<br />
t −<br />
x )<br />
U ∞<br />
⇒ Profil de la rafale verticale<br />
convectée par l’écoulem<strong>en</strong>t<br />
uniforme (U ∞ ⃗e x)<br />
◮ Paramètres sans-dim<strong>en</strong>sions: x ∗ = x/b ,<br />
s = U ∞t/b , k = ωb/U ∞<br />
⇒ w G (x ∗ , s) = ¯w G e ik(s−x∗ )<br />
◮ Conditions aux limites sur le profil :<br />
w G + w a = 0 ⇒ w a(x ∗ , s) = − ¯w G e iks e −ikx∗
4.3 Rafales aérodynamiques :<br />
Réponse aérodynamique à une rafale sinusoidale (2/2)<br />
Coeffici<strong>en</strong>ts aérodynamiques<br />
1. Posant ¯w a = − ¯w G e −ikx∗ on retombe sur le problème d’aéro. instat. pour<br />
un mvt harmonique<br />
2. Calcul de φ ′ avec cette nouvelle expression de ¯w a<br />
3. Calcul de L et M ce :<br />
{ L(t) = 2πρ∞U ∞b ¯w G S(k)e iωt<br />
M ce(t) = b ( 1<br />
2 + a) L(t)<br />
où S(k) désigne la fonction de Sears :<br />
S(k) = [J 0(k) − iJ 1(k)] C(k) + J 1(k)<br />
4. Approximation: |S(k)| 2 ∼ = (1 + 2πk)<br />
−1
4.4 Rafales aérodynamiques :<br />
Réponse aérodynamique à une rafale de type ”marche” (1/2)<br />
Modèle de la rafale ”shap edge gust”<br />
◮ w G (x, t) = 1(U ∞t − b) w 0<br />
⇒ Profil de la rafale verticale<br />
convectée par l’écoulem<strong>en</strong>t<br />
uniforme (U ∞ ⃗e x)<br />
◮ Expression de w G à partir de sa T.F:<br />
∫ ∞<br />
w G (x, t) = w0<br />
2π −∞<br />
e iω(t−b/U∞−x/U∞)<br />
iω<br />
dω (20)<br />
◮ Par application du principe de superposition, on trouve après calculs :<br />
L G (s) = 2πρ ∞U ∞bw 0Ψ KUS (s)
4.4 Rafales aérodynamiques :<br />
Réponse aérodynamique à une rafale de type ”marche” (2/2)<br />
Fonction de Kussner<br />
◮ Ψ KUS (s) = 1 ∫ ∞<br />
2π −∞<br />
S(k)<br />
ik<br />
eik(s−1) dk<br />
◮ Approximations :<br />
Ψ KUS<br />
1 (s) = 1 − 0.5e −0.13s − 0.5e −s<br />
Ψ KUS s(s + 1)<br />
2 (s) =<br />
s 2 + 2.82s + 0.8
4. Rafales aérodynamiques<br />
4.5 Réponse d’un profil pour une rafale verticale quelconque<br />
Calcul de L G<br />
◮ Intégrale de Duhamel pour un acroissem<strong>en</strong>t de portance relatif à une<br />
rafale indicielle de type ”marche”<br />
∫ s<br />
]<br />
L G (s) = 2πρ ∞U ∞<br />
[w G (0)Ψ KUS dw G (σ)<br />
(s) +<br />
dσ<br />
ΨKUS (s − σ)dσ (21)<br />
0<br />
Calcul de L M<br />
◮ Intégrale de Duhamel ⇒ portance pour un mvt arbitraire du profil
4.6 Applications : Réponse d’un avion à une rafale discrète<br />
Hypothèses<br />
1. Avion rigide <strong>en</strong> déplacem<strong>en</strong>t horizontal ( ⃗ V = U ∞ ⃗e x)<br />
2. 1 seul DLL suivant ⃗e z (h > 0 pour z <strong>des</strong>c<strong>en</strong>dant)<br />
3. Rafale uniforme suivant ⃗e z<br />
4. Ecoulem<strong>en</strong>t quasi-stationnaire<br />
Mise <strong>en</strong> équation<br />
◮ Portance : L(t) = 1 2 ρ∞U2 ∞S dC L<br />
dα<br />
(<br />
WG (x)<br />
U ∞<br />
+ ḣ<br />
U ∞<br />
)<br />
◮ Equation du mouvem<strong>en</strong>t : mḧ(t) = −L(t) ⇒ ḧ(t) = −λ(W G + ḣ)<br />
Solution (demo a faire <strong>en</strong> cours)<br />
◮ Conditions initiales: h(t = 0) = ḣ(t = 0) = 0<br />
◮ Aprés intégration : h(t) = ∫ t<br />
0 W G (x)<br />
[<br />
e −λ(t−x) − 1<br />
]<br />
dx
4. Applications : Réponse d’un avion à une rafale discrète<br />
Application à une rafale de type ”marche” (demo a faire <strong>en</strong> cours)<br />
1. Rafale : w G (x, t) = 1(U ∞ t − b) w 0<br />
2. Déplacem<strong>en</strong>t : h(t) = w 0<br />
λ<br />
(<br />
1 − e<br />
−λt ) − w 0 t<br />
3. Accélération maximale: ḧ max = −λw 0<br />
4. Facteur de charge relatif à la rafale:<br />
∆n = ḧmax<br />
g<br />
= 1<br />
2mg ρ ∞U ∞ S dC L<br />
dα w 0 (23)
5. Rafales continues<br />
Réponse d’un avion rigide à une turbul<strong>en</strong>ce atmosphérique<br />
◮ Spectre de Liepmann ∗ pour une turbul<strong>en</strong>ce isotrope :<br />
G(ω) = w 2 l t 1 + 3(ωl t /U ∞ ) 2<br />
πU ∞ [1 + (ωl t /U ∞ ) 2 ] 2 (24)<br />
avec<br />
• w 2 : int<strong>en</strong>sité de la turbul<strong>en</strong>ce<br />
• l t : échelle de longueur caractéristique de la turbul<strong>en</strong>ce<br />
• G(ω) : puissance spectrale de la turbul<strong>en</strong>ce<br />
∗ Liepmann, H. W. ,1955, ”Ext<strong>en</strong>sion of the Statistical Approach to Buffeting and Gust Response<br />
of Wings of Finite Span”, Journal of Aeronautical Sci<strong>en</strong>ces, 22, pp. 197-200
5. Rafales continues<br />
Rappels<br />
◮ Echelle de longueur de la turbul<strong>en</strong>ce: l t =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
R(x ∗ )dx ∗<br />
◮ Fonction d’auto-corrélation : R(x ∗ ) = w(x, t) w(x + x ∗ , t)<br />
w 2<br />
Modèle de rafale continue<br />
◮ Turbul<strong>en</strong>ce convectée par l’écoulem<strong>en</strong>t : w = w<br />
(<br />
t −<br />
x )<br />
U ∞<br />
◮ Théorie linéaire ⇒<br />
L(t) = L M (h) + L G (w)<br />
◮ Equation du mouvem<strong>en</strong>t (1 DLL) : mḧ + L M (h) = −L G (w)
5. Rafales continues<br />
Portance <strong>en</strong>g<strong>en</strong>drée par la turbul<strong>en</strong>ce<br />
G L (ω) = |H L | 2 G(ω) (25)<br />
• G : puissance spectrale de la rafale<br />
• G L : puissance spectrale associée à la portance<br />
• H L : admittance du système caractérisée<br />
par la portance relative à une rafale sinusoidale<br />
Accélération subie par le profil<br />
G acc (ω) = |H acc | 2 G L (ω) (26)<br />
• G acc : puissance spectrale associée à l’accéleration du profil<br />
• H acc : admittance du système caractérisée<br />
par l’accéleration du profil relative à une portance sinusoidale
5. Rafales continues<br />
Portance relative à une rafale sinusoidale<br />
L = 2πρ ∞U ∞w 0S(k)<br />
} {{ }<br />
e iωt avec |S(k)| 2 ∼ = (1 + 2πk)<br />
−1<br />
H L<br />
Equations du mouvem<strong>en</strong>t<br />
◮ 1DLL avec forcage sinusoidal :<br />
(<br />
U∞<br />
m<br />
b<br />
) 2<br />
h” = −L(τ) + F (τ) (27)<br />
• τ = U ∞t/b : temps adim.<br />
• h” = d 2 h/dτ 2<br />
• h = h 0e iωt = h 0e ikτ et F (τ) = F 0e ikτ (forcage extérieur)
5. Rafales continues<br />
Admittance avion (demo a faire <strong>en</strong> cours)<br />
(<br />
◮ Charge aérodynamique : L(τ) = π ρ∞U2 ∞<br />
S 2C(k) ik )<br />
2<br />
b h0 − k 2 h 0<br />
e ikτ<br />
b<br />
◮ Impédance complexe <strong>en</strong>tre le forcage et le déplacem<strong>en</strong>t Z F −h<br />
Eq. du mouvem<strong>en</strong>t sous la forme : Z F −h h 0 = F 0 ⇒ Z F −h = ...<br />
◮ Admittance avion H acc: H acc = 1<br />
Z acc<br />
avec Z acc = −ω 2 Z F −h<br />
Aprés calculs on obti<strong>en</strong>t :<br />
H acc = ḧ<br />
F = 2<br />
k<br />
πρ ∞Sb (1 + 2m/πρ ∞Sb)k + 2G(k) − 2iF (k)<br />
Réponse à la rafale turbul<strong>en</strong>te<br />
◮ Accélération : ḧ2 =<br />
∫ ∞<br />
0<br />
|H acc| 2 |H F | 2 G(ω)dω