Mesures, erreurs et incertitudes en physique-chimie - Union des ...

Mesures, erreurs et incertitudes en physique-chimie - René Moreau
Nous allons étudier ces séries de 19 mesures.
La moyenne des mesures de V 1 est 16,85 V.
Celle des mesures de V 2 est 15,12 V.
La moyenne de la différence V 1 −V 2 est évidemment égale à la différence des moyennes, soit 1,73 V et
la moyenne de la somme est égale à la somme des moyennes, soit 31,97 V.
L'écart-type
σ de la série des V 1 est de 97 mV ; celui de la série des V 2 ,
v 1
σ
v 2
, vaut 90 mV. Mais
l'écart-type σ d de la différence V 1 − V 2 n'est que de 11 mV, alors que σ s , écart-type de la somme V 1 + V 2
est égal à 187 mV !
Plusieurs tests (graphiques, comme ceux de Henry et de Dixon, ou numériques comme celui de Shapiro-Wilk)
montrent en outre que les échantillons de 19 mesures V 1 ou V 2 peuvent être considérés comme tirés de populations
normales [norme X 06-050]. C’est aussi le cas du logiciel « Incertitudes de mesure » distribué par le CNDP.
Constatons tout d'abord que les appareils étudiés peuvent encore être considérés comme bons : si l'on
prend comme incertitude ∆V 1 sur une mesure unique la quantité 2 σ v 1
, on trouve ∆V 1 ≈ 0,2 V, ce qui
correspond à une incertitude relative ∆V 1 / V 1 = 1,2 × 10 -2 , tandis que, dans les mêmes conditions,
∆V 2 / V 2 = 1,3 × 10 -2 .
En revanche, l'indication de la notice, spécifiant que l'incertitude est égale à 0,15 % de la valeur
affichée augmentée de la valeur correspondant à un digit, soit 35 mV pour V 1 et 33 mV pour V 2 , n'est
plus d'aucune actualité : ces quantités doivent être multipliées par trois !
Nous pouvons encore observer que la différence V 1 − V 2 et la somme V 1 + V 2 sont fournies avec la
même précision relative que chacune des tensions V 1 ou V 2 (l'incertitude relative sur V 1 − V 2 , comme
celle sur V 1 + V 2 , vaut 1,3 × 10 -2 ). Les mesures de V 1 et V 2 effectuées avec le même appareil, sont en
effet liées : on ne peut donc pas leur appliquer les règles de composition des incertitudes absolues des
variables aléatoires indépendantes.
Au demeurant, la mesure de V 1 − V 2 est bien plus précise en utilisant le même appareil pour mesurer
V 1 et V 2 qu'en prenant un appareil pour mesurer V 1 et un autre pour mesurer V 2 . Dans les mêmes
conditions, la mesure de V 1 + V 2 , elle, est moins précise.
Montrons-le simplement : tirons au sort, pour chaque mesure de V 1 par un appareil, le numéro de
l'appareil qui donnera V 2 . Un tirage a donné le résultat suivant :
V 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
V 2 15 1 12 3 9 17 6 11 19 14 13 10 7 18 8 2 5 16 4
Ainsi la différence V 1 − V 2 et la somme V 1 + V 2 seront évaluées en prenant pour V 1 l'indication de
l'appareil n°1 et pour V 2 celle de l'appareil n°15, puis on recommence ensuite avec les couples d'appareils
2 et 1, 3 et 12, etc. Autrement dit remplaçons les mesures liées V 1 et V 2 par des mesures indépendantes.
La pluridisciplinarité dans les enseignements scientifiques - Tome 2 : La place de l'expérience
Actes de l'université d'été, du 9 au 13 juillet 2001, Cachan
© Ministère de la Jeunesse, de l'Éducation nationale et de la Recherche /Direction de l'Enseignement scolaire- Eduscol le 01 avril 2003
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