Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

Introduction
Mesures de la
température et du flux
Température et flux
à identifier
Fig. 2: Pipeline
Le dernier exemple que l’on citera concerne la détection de contacts. On considère
un solide inclus dans un autre. A partir de mesures de déplacements sur la
frontière atteignable, on souhaite identifier les zones de contact et de frottement
entre ces deux solides. Cet exemple est illustré par la figure 3.
Zones de contact
à identifier
Déplacements
mesurés
Fig. 3: Inclusion
Depuis les travaux de J. Hadamard [HAD 23], le problème de Cauchy est connu
pour être mal posé et une importante instabilité numérique peut perturber
la résolution de ce type de problème, en particulier dans le cas de données bruitées.
Cette problématique fournit aux chercheurs un défi intéressant pour la mise au
point de méthodes numériques permettant d’approcher la solution du problème
de Cauchy. De nombreux travaux théoriques et appliqués portant sur ce sujet ont
été proposés. En voici une énumération non exhaustive :
F. Ben Belgacem et H. El Fekih ont posé les bases d’un cadre variationnel
adapté au problème de Cauchy et proposent une formulation, par le biais d’un
opérateur de Steklov-Poincaré associant une condition limite de Dirichlet à un
condition limite de Neumann, du problème de Cauchy comme un problème de
Steklov-Poincaré. Une analyse mathématique de ce problème est effectuée. Ils
proposent une investigation sur différentes méthodes et approximations numériques
de la solution et discutent la nécessité et la façon d’utiliser les méthodes de
régularisation. Avec M. Azaïez, ils s’intéressent également à la construction d’une
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Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2011ISAL0075/these.pdf
© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés