Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

Introduction
pression du gradient de la fonctionnelle dépendant des états adjoints préalablement
définis en utilisant la théorie du contrôle. On donne ensuite les espaces
et problèmes discrets pour l’approximation éléments finis des deux problèmes
bien posés associés à la méthode énergétique. On peut alors effectuer l’analyse
de convergence numérique de la méthode et on donne une estimation d’erreur
a priori tenant compte du bruit sur les données. A partir de cette estimation,
on donne une estimation de la valeur de la fonctionnelle lorsque les paramètres
optimaux sont atteints, on déduit alors de cette estimation un critère d’arrêt
dépendant du bruit et permettant de stopper l’algorithme d’optimisation avant
explosion numérique de la solution. La procédure numérique pour l’implémentation
de la méthode énergétique, puis des expérimentations numériques avec
données analytiques et singulières sont présentées.
Le troisième chapitre est dédié au problème de Cauchy parabolique. Comme
dans le deuxième chapitre, on étudie la méthode énergétique mais cette fois pour
l’équation de la chaleur évolutive. On s’intéresse également aux propriétés du
problème de minimisation par le biais de la théorie du contrôle. En plus de la
discrétisation en espace, on introduit un schéma d’intégration temporelle et on
effectue une analyse de convergence numérique tenant compte du bruit. Cela nous
conduit, comme précédemment, à l’écriture d’un critère d’arrêt adapté. La procédure
numérique est détaillée et des expérimentations numériques sont menées.
Ces tests numériques mettent en évidence les difficultés particulières dues aux
opérateurs paraboliques pour cette méthode, c’est à dire la présence d’un bruit
numérique perturbant le processus d’optimisation et l’accumulation d’erreur d’estimation
à chaque pas de temps pour la dérivation d’un critère d’arrêt.
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Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2011ISAL0075/these.pdf
© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés