Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

2. Problème de Cauchy stationnaire
Trouverutel que
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−∇. ( k(x)∇u ) =f dans Ω
k(x)∇u·⃗n =φ sur Γ m
u =T sur Γ m .
(2.1)
Ce problème est sévèrement mal posé. En effet, seule l’unicité d’une éventuelle
solution est assurée [ISA 97] et l’instabilité de cette hypothétique solution remet
en cause son existence.
Le problème de complétion de données associé au problème de Cauchy (2.1)
s’écrit
Trouver (η d ,τ d ) sur Γ u tels qu’il existeuvérifiant
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−∇. ( k(x)∇u ) =f dans Ω
u =T,k(x)∇u·⃗n =φ sur Γ m
u =τ d ,k(x)∇u·⃗n =η d sur Γ u .
(2.2)
Suivant la procédure décrite dans [AND 06], on introduit deux champs
distinctsu 1 etu 2 qui diffèrent par les conditions limites qui leur sont imposées.
Sur Γ m ,u 1 vérifie la condition de Dirichlet etu 2 la condition de Neumann et
inversement sur Γ u . On considère alors, pour tout couple (η,τ) correspondant
aux inconnues du problème de complétion de données, les deux problèmes bien
posés suivants dont les champsu 1 etu 2 sont solutions :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−∇. ( k(x)∇u 1
)
=f dans Ω
u 1 =T sur Γ m
k(x)∇u 1·⃗n =η sur Γ u ,
On considère la fonctionnelle
∫
E(η,τ) =
Ω
(2.3)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
−∇. ( k(x)∇u 2
)
=f dans Ω
u 2 =τ sur Γ u
k(x)∇u 2·⃗n =φ sur Γ m .
(2.4)
k(x) ( ∇u 1 (η)−∇u 2 (τ) ) 2
dx. (2.5)
La méthode énergétique consiste alors à résoudre le problème de minimisation
suivant :
(η ∗ ,τ ∗ ) = argmin
(η,τ)
E(η,τ). (2.6)
On a ainsi introduit explicitement les problèmes bien posés (2.3) et (2.4), la
fonctionnelle (2.5) et le problème de minimisation (2.6) pour la méthode énergétique.
Dans la section suivante, nous introduirons le cadre fonctionnel et variationnel,
notamment les espaces de traces pour les données et les inconnues.
Nous montrerons que la méthode énergétique permet bien d’identifier la solution
du problème de complétion de données et nous étudierons le problème de
minimisation.
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Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2011ISAL0075/these.pdf
© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés