Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

Introduction
partielles elliptiques, paraboliques ou hyperboliques. Ils donnent une preuve
alternative de la convergence de la méthode utilisant la théorie spectrale et
considèrent les problèmes avec données bruitées [BAU 01]. H. Egger et J. Leitão
étudient une méthode de régularisation non linéaire et une méthode de « surfaces
de niveau », LSM (Level Set Methods), qu’ils appliquent à un problème de
Cauchy elliptique [EGG 09].
Ce travail concerne une méthode, dite énergétique, pour la résolution du problème
de Cauchy introduite par S. Andrieux, T.N. Baranger et A. Ben Abda
[AND 05, AND 06]. Cette méthode consiste à introduire deux champs distincts,
chacun étant solution d’un problème bien posé auquel on a attribué une inconnue
et une donnée de Cauchy, et à minimiser l’écart entre ces deux champs. Dans le cas
d’un problème de thermique stationnaire, les données de Cauchy sont la température
et le flux sur la partie de la frontière accessible à la mesure et les inconnues
du problème de complétion de données sont la température et le flux sur la partie
de la frontière pour laquelle on ne dispose pas de conditions limites. On définit
ensuite une fonctionnelle dépendant des inconnues du problème de complétion de
données et mesurant l’écart entre les champs précédemment introduits que l’on
va ensuite chercher à minimiser. Les paramètres pour lesquels la fonctionnelle
atteint son minimum sont alors solution du problème de complétion de données
à une constante près dans le cas d’opérateur elliptique pour l’inconnue de Dirichlet.
De plus, les champs introduits sont alors égaux, à une constante près dans
le cas d’opérateur elliptique, et sont solutions du problème de Cauchy. Cette méthode
a été traitée et adaptée à différents problèmes : en thermique stationnaire
[AND 06, BAR 11], en élasticité linéaire [BAR 07, AND 08a], pour des opérateurs
elliptiques non linéaires, des équations d’évolution [AND 09, AND 08b], en
mécanique des fluides [ESC 08b, ESC 08a, ESC 10] ou à des problèmes d’électrocardiographie
en deux dimensions [HAR 10].
La méthode énergétique a permis d’obtenir des résultats prometteurs. Elle
présente l’avantage d’être facilement implémentable, d’être adaptable à différents
types de problèmes régis par des opérateurs elliptiques, paraboliques ou
hyperboliques voire non linéaires et de pouvoir prendre en compte une éventuelle
hétérogénéité ou anisotropie des matériaux. Néanmoins, comme de nombreuses
méthodes numériques d’approximation de solution de problèmes mal posés, elle
présente une importante instabilité numérique lorsque les données sont bruitées.
Les symptômes sont les suivants : lorsque les données de Cauchy sont compatibles,
la fonctionnelle tend vers 0 tandis que l’erreur d’approximation de la solution
tend vers l’erreur induite par les méthodes numériques de résolution des
équations aux dérivées partielles utilisées. Cependant, lorsque les données sont
bruitées, la fonctionnelle atteint un seuil non nul dépendant du bruit et l’erreur,
après avoir atteint une valeur minimale dépendant également du bruit, explose
numériquement.
La stratégie choisie pour la compréhension et la maîtrise de ce phénomène
est l’analyse mathématique et numérique de la méthode énergétique. Cette
méthode, consistant à minimiser une fonctionnelle dont les paramètres sont
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Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2011ISAL0075/these.pdf
© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés