Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

2. Problème de Cauchy stationnaire
Proposition 2.2.1 Si les données (φ,T) sont compatibles et si la solution
(η ∗ ,τ ∗ ) du problème de minimisation (2.6) existe, alors (η ∗ ,τ ∗ ) est solution du
problème de complétion de données (2.2) à une constante près pour l’inconnue de
Dirichlet. En outre, lorsque le minimum est atteint, on a
∇u 1 (η ∗ ) =∇u 2 (τ ∗ ) et u 1 (η ∗ ) =u 2 (τ ∗ ) +c dans ¯Ω oùcest une constante.
(2.8)
Démonstration : Si les données (φ,T) sont compatibles, il existe une unique
solutionu d au problème de Cauchy. L’unique solution du problème de complétion
de données est donc donnée par
(η d ,τ d ) = (u d|Γu ,k(x)∇u d·⃗n |Γu ) sur Γ u (2.9)
On a donc
d’où
Ce qui implique
u 1 (η d ) =u 2 (τ d ) =u d dans ¯Ω, (2.10)
0≤E(η ∗ ,τ ∗ )≤E(η d ,τ d ) = 0. (2.11)
∇u 1 (η ∗ ) =∇u 2 (τ ∗ ) et doncu 1 (η ∗ ) =u 2 (τ ∗ ) +c dans ¯Ω, oùcest une constante.
Par conséquent, pour toutx∈Γ,
u 1 (x;η ∗ ) |Γ =u 2 (x;τ ∗ ) |Γ +c =
=½{x∈Γ u}(x) (τ ∗ (x) +c) +½{x∈Γ m}(x)T(x) =u d|Γ (x)∈H 1/2 (Γ) (2.12)
etk(x)∇u 1 (x;η ∗ ) |Γ·⃗n =k(x)∇u 2 (x;τ ∗ ) |Γ·⃗n =
=½{x∈Γ u}(x)η ∗ (x) +½{x∈Γ m}(x)φ(x) =k(x)∇u d·n |Γ ∈H −1/2 (Γ). (2.13)
D’où, (η ∗ ,τ ∗ +c) = (η d ,τ d ).
La solution du problème de minimisation est donc bien solution du problème
de complétion de données à une constante près pour l’inconnue de Dirichlet.
De façon à se ramener à des problèmes homogènes, il est nécessaire d’introduire
la notion de relèvement des conditions limites de Dirichlet. Cependant, les
opérateurs de relèvement étant définis dans les espacesH s (Γ), il est nécessaire de
prolongerT etτ sur l’ensemble de la frontière. Il existe deux opérateurs linéaires
et continusP m etP u définis par
P m ∈ L ( H 1/2 (Γ m ),H 1/2 (Γ) ) , et P u ∈ L ( H 1/2 (Γ u ),H 1/2 (Γ) ) ,
P m g =g p.p. sur Γ m ,∀g∈H 1/2 (Γ m ), P u g =g p.p. sur Γ u ,∀g∈H 1/2 (Γ u ).
On pose alors
˜T =P m T et ˜τ =P u τ ∈H 1/2 (Γ). (2.14)
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Cette thèse est accessible à l'adresse : http://theses.insa-lyon.fr/publication/2011ISAL0075/these.pdf
© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés