Analyse numérique d'une méthode énergétique pour la résolution ...

2. Problème de Cauchy stationnaire
On peut alors majorer la norme de la différence entre les données exactes et
bruitées :
d’où
et donc
T(x)−aT(x)≤T δ (x)≤T(x) +aT(x), ∀x∈Γ m , (2.81)
−a
1 +a Tδ (x)≤T(x)−T δ (x)≤ a
1−a Tδ (x), (2.82)
‖T−T δ ‖ 1/2,Γm ≤ max
{ a
1−a , a
1 +a
}
‖T δ ‖ 1/2,Γm . (2.83)
En procédant de la même façon pour la condition limite de Neumann, le critère
d’arrêt (2.62) peut s’écrire de la façon suivante :
|E j −E j−1 |≤
a 2
(1−a) 2 (
‖T δ ‖ 2 1/2,Γ m
+‖φ δ ‖ 2 −1/2,Γ m
)
. (2.84)
Dans le cas d’applications réelles, la mise en évidence d’un tel critère d’arrêt ne
dépendant pas des données exactes inconnues nécessite évidemment une connaissance
suffisante de la forme du bruit de mesure.
2.4.2 Résultats numériques
On considère ici le problème de Cauchy suivant sur le domaine Ω donné par
la figure 2.2 :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∆u = 0 dans Ω
u =f D sur Γ m
∂u
∂⃗n =f N sur Γ m ,
(2.85)
oùf D etf N sont les données de Cauchy extraites de la solution que l’on souhaite
approcher.
Ω
Γ m
r 2 = 1
Γ u
r 1 = 0.5
Fig. 2.2: Anneau
2.4.2.1 Exemple analytique
Une solution analytique du problème précédent est donnée par
u(x,y) =e x cos(y). (2.86)
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© [R. Rischette], [2011], INSA de Lyon, tous droits réservés