ProblÃ¨mes de dynamique, sans Ã©nergie

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III. 1) N + mg + g = 0 . N N N Projetons sur le plan incliné et sur sa normale : ⎧⎪ mg sin θ− g = 0 ⎪ T g mg g g ⎨ ⎪N −mgcos θ = 0 T ⎪⎩ mg g mg mg g = kx = mg sin θ x = b sin θ 2.a) g + N + T + mg = 0 . Question 1 Question 2.a Question 2.b Question 3 T k x T = g N = mg s N = mg < µ x
λt 1) La solution générale de l’équation différentielle en y( t) est y = Aexp − . Si t = 0 , y = 0 ⇒ A = 0 : à m tout instant y = 0 , donc y reste constant au cours du temps. Comme à l’instant 0 y = 0 , cette égalité est aussi vraie à tout instant : P se meut dans le plan Oxz . Autre justification. Si, à l’instant t , le mobile est dans le plan Oxz avec une vitesse située dans ce plan, la force qu’il subit mg −λ ( v − u ) est aussi dans ce plan, qui contient aussi dr = vdt F et dv = dt ; donc, à l’instant t + dt , le m mobile est encore dans le plan Oxz avec une vitesse située dans ce plan. Comme, à l’instant 0, le mobile est dans le plan Oxz avec une vitesse située dans ce plan, on en déduit par récurrence qu’il y reste. λ 2) La solution générale de l’équation différentielle en x ( t) est x = Aexp( − t) + u . m ( ) λ x x ( 0x ) exp( ) Si t = 0 , x = v0 ⇒ A = v0 − u. D’où : x = v −u − t + u . m λ mg La solution générale de l’équation différentielle en z ( t) est z = Aexp( − t m ) − . λ λ z z ( 0z ) exp( ) Si t = 0 , z = v0 ⇒ A = v0 + w . D’où : z = v + w − t −w . m t m λ 3) x xdt x ( v0x u) ( 1 exp( t) ) 0 λ m t m λ = = ( 0z + )( 1− exp( − )) − 0 λ m λ 4) Si t grand, p( t ) 0 = ∫ = − − − + ut . z ∫ zdt z v w t wt . m ex − , d’où l’équation de l’asymptote : x ( v0x − u) + ut et m λ m z ( v0z + w) − wt . λ λ w m v0z 5) Au sommet, z = 0 exp( − t ) = t = ln( 1+ m v ), d’où après un peu de calcul : 0z + w λ w mv0z mw v0z zS = ln( 1 λ − λ + w ) . 2 2 v0z 1 2 v0z w 6) Sans freinage par l’air, au sommet z = − gt + v0z = 0 t = zS′ = − gt + v0zt = = g 2 2g 2g ; avec 2 freinage, comme m w λ = g , w z S ( 1 ln2 ) zS = − ; d’où = 2( 1− ln2) = 0,614 . g z ′ V. A. 1) Soit R = − Tu x + Nu y la réaction du sol sur la neige. Si la neige est en équilibre, R + mg = 0 , soit − T + mgsin α = 0 N −mgcos α = 0 T D’après la loi de Coulomb du frottement, tan s N = α
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