M7 -Séries de fonctions - TD 4

FST Saint Jérôme Premier semestre 2007/2008
Licence MI L2
M7 -Séries de fonctions - TD 4
Exercice 1
Soit (f n ) n≥1 et (g n ) n≥1 les suites de fonctions définies sur [0, +∞[ par
f n (t) = (−1)n
n + t
et
g n (t) = e−t√ n
n √ n .
Étudier la convergence de ∑ f n et ∑ g n . Là où ces séries convergent, étudier la continuité et la dérivabilité
de leur somme.
Exercice 2
Soit (f n ) n≥1 la suite de fonctions définies sur R par f n (t) =
(−1)n
n + n 2 t 2 .
1. Montrer que la série ∑ f n converge simplement sur R.
2. Pour tout a > 0, montrer que la série ∑ f n converge normalement sur ] − ∞, a] et sur [a, +∞[.
∞∑
3. En déduire que la fonction somme f = f n est continue sur R \ {0}.
n=1
4. Que peut-on dire de la convergence uniforme de la série ∑ f n sur [−a, a] ? Que peut-on dire de la
continuité de f en 0 ?
Exercice 3
t
Soit (f n ) n≥1 la suite de fonctions définies sur [0, +∞[ par f n (t) =
t 2 + n 2 .
1. Soit M > 0. Montrer que la série ∑ f n converge normalement sur [0, M].
∞∑
2. En déduire que la fonction somme f = f n est continue sur [0, +∞[.
n=1
3. Que peut-on dire de la convergence normale et uniforme de la série ∑ f n sur [0, +∞[ ?
4. Étudier la convergence de la série ∑ (−1) n f n sur [0, +∞[.
Exercice 4
Soit (f n ) n∈N la suite de fonctions définies sur R par f n (t) = nte −nt2 .
1. Montrer que pour tout t ∈ R \ {0}, la série ∑ e −nt2 est convergente. Calculer sa somme.
2. Soit a > 0. Montrer que la série ∑ f n converge normalement sur R\] − a, a[.
∞∑
3. En déduire l’expression de la fonction somme f = f n sur R \ {0}.
4. Montrer que la convergence de la série ∑ f n n’est pas uniforme sur R tout entier.
n=1
Exercice 5
Soit (f n ) n≥1 la suite de fonctions définies sur [−1, 1] par f n (t) = 1 n tn sin nt.
1. Montrer que la série ∑ f n converge simplement sur [−1, 1].
2. Soit a ∈]0, 1[.
(a) Montrer que la série ∑ f n ′ converge normalement sur [−a, a].
∞∑
(b) En déduire que la fonction somme f = f n est de classe C 1 sur ] − 1, 1[. Calculer f ′ .
x sin x
(c) Montrer que f(t) = arctan
pour t ∈] − 1, 1[.
1 − x cos x
3. Soit b ∈]0, 1[.
(a) Montrer que la série ∑ f n converge uniformément sur [−1, −b] et sur [b, 1].
n=1

(b) En déduire les valeurs de
∞∑
n=1
sin n
n
et de ∞ ∑
n=1
(−1) n sin n
.
n
Exercice 6
Soit (f n ) n∈N la suite de fonctions définies sur [0, +∞[ par f n (t) = (−1) n e −(n+1)t .
1. Montrer que la série ∑ f n converge sur ]0, +∞[ vers une fonction f continue.
∫ +∞
∞∑ (−1) n
2. Montrer que f(t)dt =
0
n + 1 .
n=0
∞∑ (−1) n
3. En déduire l’égalité
= − ln 2.
n
Exercice 7
On note ζ(t) =
∞∑
n=1
n=1
1
pour tout t tel que la série converge.
nt 1. Montrer que ζ est définie sur ]1, +∞[.
2. Montrer que ζ est infiniment dérivable sur ]1, ∞[.
3. Montrer que lim ζ(t) = 1.
t→+∞
4. (a) Montrer que la série de fonctions ∑ g n , où g n (t) = (−1)n+1
n
, converge uniformément sur [1, 2].
t
On note g sa somme.
(b) Montrer que lim g(t) = ln 2. On pourra utiliser le résultat de la question 3 de l’exercice 6.
t→1
(c) Montrer que la série ∑ ( )
1
n
− g t n (t) converge vers 2 1−t ζ(t) pour tout t ∈]1, 2].
(d) En déduire que ζ(t) ∼ 1
t−1 lorsque t → 1+ .
Exercice 8
En faisant apparaître des suites de fonctions, montrer que
∫ 1
t α−1 ∞
1.
t + 1 dt = ∑ (−1) n
pour tout α > 0 ;
n + α
2.
0
∫ 1
0
n=0
ln x
∞
1 − x dx = − ∑
n=1
1
n 2 .