Espaces de Sobolev

Chapitre 2
Espaces de Sobolev
2.1 Distributions tempérées
Dans cette partie, on va s’intéresser à une notion de fonctions généralisées. On a vu que S n est un espace
de Fréchet. On note S ′ n l’espace vectoriel des applications linéaires continues sur S n et on appelle cet
espace l’ensemble des distributions tempérées. Comme S n ⊂ L p (R n ) pour tout 1 ≤ p < ∞, par dualité
on a que L q (R n ) ⊂ S ′ n pour tout 1 < q ≤ ∞.
Remarque 2.1. Pour expliquer L q (R n ) ⊂ S n, ′ revenons au fait que le dual de L p (R n ) est L q (R n ) pour
1
p + 1 q = 1. À toute f ∈ Lq (R n ), on associe la forme linéaire continue
∫
L f : L p (R n ) ∋ ϕ ↦→ f(x)ϕ(x)dm n (x).
R n
La forme linéaire L f sur L p (R n ) est aussi une forme linéaire sur S n (car S n ⊂ L p (R n )). Ainsi, dire que
L q (R n ) ⊂ S ′ n est un abus pour dire en fait que L f ∈ S ′ n pour toute f ∈ L q (R n ).
L’espace S ′ n est muni de la notion de convergence suivante : une suite de distributions tempérées (T k ) k∈N
converge vers T dans S ′ n si pour tout f ∈ S n , la suite (T k (f)) k∈N est convergente de limite T (f) (c’est
une notion de convergence « simple » ou « faible »).
Définition 2.2. La transformée de Fourier d’une distribution tempérée T ∈ S ′ n est la distribution
tempérée notée ˆT (ou F(T )) définie par ˆT (f) = T ( ˆf) pour tout f ∈ S n .
Cette définition fournit bien un prolongement aux distributions tempérées de la définition de la transformée
de Fourier sur L 2 (R n ). En effet, ceci est à rapprocher de la propriété (1.5).
Exemple 2.3. Ceci nous permet, par exemple, de définir la transformée de Fourier de la fonction U
constante égale à 1 sur R. Pour tout ϕ ∈ S 1 , on a
∫
Û(ϕ) = U( ˆϕ) = ˆϕ(t)dm n (t) = ϕ(0) = δ 0 (ϕ).
Ici, δ 0 (“Dirac en 0”) est la forme linéaire qui à une fonction ϕ ∈ S 1 associe sa valeur en 0.
R
Proposition 2.4. Soit T ∈ S ′ n une distribution tempérée. Alors pour tout α ∈ N n , x α T et D α T sont
des distributions tempérées.
Remarque 2.5. La notation x α T est un abus pour désigner la distribution S n ∋ f ↦→ T (x ↦→ x α f(x)).
De même, D α T désigne la distribution S n ∋ f ↦→ (−1) |α| T (D α f).
Preuve. Comme pour tout f ∈ S n , on a (x ↦→ x α f(x)) ∈ S n , si T ∈ S ′ n, alors
(S n ∋ f ↦→ T (x ↦→ x α f(x))) ∈ S ′ n.
De même pour ( S n ∋ f ↦→ (−1) |α| T (D α f) ) puisque si f ∈ S n , alors D α f ∈ S n .
14

Proposition 2.6. L’ensemble des distributions tempérées est caractérisé par
S ′ n = {D α (x ↦→ P (x)f(x)), α ∈ N n , P polyôme, f continue bornée sur R n }.
Preuve. Il est clair d’après ce qui précède que l’ensemble à droite de l’égalité est inclus dans S ′ n. L’inclusion
inverse est admise.
On peut définir la convolution d’une distribution tempérée T ∈ S ′ n avec une fonction f de l’espace de
Schwartz S n de la manière suivante :
T ∗ f(x) = T (y ↦→ f(y − x)), x ∈ R n .
Théorème 2.7. Les conclusions (i), (ii) et (iii) du Théorème 1.5 restent vraies si on remplace f ∈
L 1 (R n ) par f ∈ S ′ n et g ∈ L 1 (R n ) par g ∈ S n .
2.2 Espaces de Sobolev
Pour s ∈ R, on définit
H s (R n ) =
{
) }
f ∈ S n;
(t ′ ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆf(t) ∈ L 2 (R n )
et pour f, g ∈ H s (R n ),
∫
〈f, g〉 s = (1 + |t| 2 ) s ˆf(t)ĝ(t) dmn (t).
R n
Théorème 2.8. L’espace H s (R n ) muni du produit scalaire 〈·, ·〉 s est un espace de Hilbert.
Preuve. Comme la transformée de Fourier est linéaire et comme L 2 (R n ) est un espace vectoriel, il est
clair que H s (R n ) est un espace vectoriel. Montrons maintenant que 〈·, ·〉 s : H s (R n )×H s (R n ) → C est un
produit scalaire. Tout d’abord, 〈·, ·〉 s est bien défini sur H s (R n ) × H s (R n ) et y est sesquilinéaire continu.
D’autre part, si f ∈ H s (R n ) vérifie 〈f, f〉 s = 0, alors la fonction R n ∋ t ↦→ (1 + |t| 2 ) s | ˆf(t)| 2 est nulle
presque partout (c’est une fonction positive dont l’intégrale est nulle), ce qui implique que ˆf est nulle
presque partout, et donc que f est nulle dans S n ′ puisque la transformée de Fourier est inversible dans
S n. ′ Il reste à montrer que (H s (R n ), 〈·, ·〉 s ) est complet. Soit (f k ) k∈N une suite de Cauchy de H s (R n ),
c’est-à-dire telle que ∫
(1 + |t| 2 ) s | ˆf p (t) − ˆf p (t)| 2 dm n (t) −−−−→ 0.
R n p,q→∞
On en déduit que (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆfk (t)) t∈R n est une suite de Cauchy de L 2 (R n ) qui est complet :
cette suite converge vers g ∈ L 2 (R n ). Donc g ∈ S n(R ′ n ) et comme t ↦→ (1 + |t| 2 ) − s 2 est à croissance
lente, t ↦→ (1 + |t| 2 ) − s 2 g(t) est aussi dans S n ′ (Proposition 2.6). Donc il existe f ∈ S n ′ telle que ˆf(t) =
(1 + |t| 2 ) − s 2 g(t) : f ∈ H s (R n ) et (f k ) k∈N converge vers f dans H s (R n ).
Proposition 2.9. Pour s 1 ≥ s 2 , on a H s1 (R n ) ⊂ H s2 (R n ) et l’injection est continue.
Preuve. Cela provient directement du fait que pour s 1 ≥ s 2 , on a (1 + |t| 2 ) s2 ≤ (1 + |t| 2 ) s1 pour tout
t ∈ R n .
Théorème 2.10. Soit s ∈ N. Alors H 0 (R n ) = L 2 (R n ) et pour s ≥ 1,
H s (R n ) = { f ∈ H s−1 (R n ); ∃ g 1 , ..., g n ∈ H s−1 (R n ) :
〈f, ∂ k ϕ〉 0 = −〈g k , ϕ〉 0 , ∀ k = 1, ..., n, ∀ ϕ ∈ C ∞ c (R n )} .
Preuve. On a
H 0 (R n ) =
{
f ∈ S n; ′ ˆf
}
∈ L 2 (R n )
∫
et 〈f, g〉 0 =
R n
ˆf(t)ĝ(t) dmn (t).
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Comme la transformée de Fourier est un isomorphisme isométrique de L 2 (R n ), on a directement
H 0 (R n ) = { f ∈ S n; ′ f ∈ L 2 (R n ) } ∫
= L 2 (R n ) et 〈f, g〉 0 = f(t)g(t) dm n (t),
R n
〈·, ·〉 0 étant le produit scalaire de L 2 (R n ). D’autre part, pour s ≥ 1, notons
E s = { f ∈ H s−1 (R n ); ∃ g 1 , ..., g n ∈ H s−1 (R n ) :
〈f, ∂ k ϕ〉 0 = −〈g k , ϕ〉 0 , ∀ k = 1, ..., n, ∀ ϕ ∈ C ∞ c (R n )} .
Soit f ∈ H s (R n ) : f ∈ H s−1 (R n ) d’après la Proposition 2.9. Soit k = 1, ..., n. On a t ↦→ (1 +
|t| 2 ) s−1
2 it k ˆf(t)) ∈ L 2 (R n ) car f ∈ H s (R n ) et |t k | ≤ (1 + |t| 2 ) 1 2 . Posons g k = F −1 (t ↦→ it k ˆf(t)) :
g k ∈ H s−1 (R n ) et on a pour tout ϕ ∈ Cc ∞ (R n )
〈f, ∂ k ϕ〉 0
(1)
= 〈 ˆf, ̂∂ k ϕ〉 0
(2)
= 〈 ˆf, (t ↦→ it k ˆϕ(t))〉 0
(3)
(4)
= 〈(t ↦→ −it k ˆf(t)), ˆϕ〉0 = −〈g k , ϕ〉 0 .
La première égalité vient de la formule de Parseval. L’égalité (2) vient du calcul de la transformée de
Fourier d’une dérivée. L’égalité (3) provient du fait que le produit scalaire est sesquilinéaire et enfin,
la dernière égalité vient encore de la formule de Parseval. Ceci nous donne donc l’inclusion de H s (R n )
dans E s . Inversement, soit f ∈ E s . Il faut montrer que (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆf(t)) ∈ L 2 (R n ). On sait par
hypothèse que f ∈ H s−1 (R n ) (donc que (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s−1
2 ˆf(t)) ∈ L 2 (R n ) et que pour tout k = 1, ..., n,
on a g k ∈ H s−1 (R n ), et donc que (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s−1
2 ĝ k (t)) ∈ L 2 (R n ). D’autre part, on a ĝ k (t) = it k ˆf(t)).
Ainsi, pour tout k = 1, .., n, on a
) (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s−1
2 ˆf(t)(1 + |t| 2 ) s−1
2 itk ˆf(t) ∈ L 1 (R n ),
ce qui peut s’écrire t ↦→ t k (1 + |t| 2 ) s−1 | ˆf(t)| 2 est intégrable pour tout k = 1, ..., n. On en déduit alors
facilement que f ∈ H s (R n ) car (1 + |t| 2 ) 1 2 ≤ 1 + max
k=1,...,n |t k| pour tout t ∈ R n .
Remarque 2.11. Soit s ∈ N. Alors
H s (R n ) = {f ∈ L 2 (R n ); D α f ∈ L 2 (R n ) ∀α ∈ N n , |α| ≤ s}.
Théorème 2.12. Pour s ∈ R, le dual topologique de H s (R n ) (i.e. l’espace vectoriel des applications
linéaires continues sur H s (R n ), noté (H s (R n )) ′ ) est isométriquement isomorphe à H −s (R n ).
Preuve. Soit Φ ∈ (H s (R n )) ′ . D’après le théorème de représentation de Riesz, il existe un unique ϕ ∈
H s (R n ) tel que Φ(f) = 〈f, ϕ〉 s pour tout f ∈ H s (R n ). On note g(t) = (1 + |t| 2 ) s 2 ˆϕ(t), t ∈ R n . Comme
ϕ ∈ H s (R n ), on a : g ∈ L 2 (R n ) ⊂ S ′ n. On note T = F(t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 g(t)) : T ∈ S ′ n car c’est la
transformée de Fourier d’une distribution tempérée. D’autre part, on a (1 + |t| 2 ) − s 2 F(T )(t) = g(−t)
pour tout t ∈ R n , donc T ∈ S ′ n et (t ↦→ (1 + |t| 2 ) − s 2 F(T )(t)) ∈ L 2 (R n ), ce qui donne, par définition,
que T ∈ H −s (R n ) et ‖T ‖ −s = ‖ϕ‖ s = ‖Φ‖ (Hs (R n )) ′. Montrons maintenant que T = Φ dans S ′ n. Soit
f ∈ S n , on a
Φ(f)
(1)
= 〈f, ϕ〉 s
(2)
= 〈(t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆf(t)), t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆϕ(t)〉0
(3)
= 〈(t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆf(t)), g〉0
(4)
= T (f).
La première égalité vient du théorème de représentation de Riesz. La deuxième égalité vient de la
définition du produit scalaire 〈·, ·〉 s . La troisième égalité vient de la définition de g et enfin, la quatrième
égalité vient de la définition de la distribution T . Ainsi, on vient de montrer que l’application Φ ↦→ T de
(H s (R n )) ′ dans H −s (R n ) est un isomorphisme isométrique.
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2.3 Équation de la chaleur
2.3.1 Cas stationnaire
On s’intéresse à l’équation
u − ∆u = f, p.p. dans R n (2.1)
pour f ∈ L 2 (R n ), où ∆u = ∂ 2 1u + ∂ 2 2u + ... + ∂ 2 nu, au sens de S ′ n. On cherche une solution u ∈ H 2 (R n )
vérifiant (2.1).
Théorème 2.13. Pour tout f ∈ L 2 (R n ), il existe une unique solution u ∈ H 2 (R n ) de (2.1) donnée par
(
u = F −1 t ↦→ 1 )
1 + |t| ˆf(t) 2 . (2.2)
Preuve. Unicité : supposons qu’il existe deux solutions u, v ∈ H 2 (R n ) de (2.1).On note alors w = u − v :
w ∈ H 2 (R n ) et vérifie w = ∆w. En appliquant la transformation de Fourier à cette dernière équation,
on obtient
ŵ(t) = −|t| 2 ŵ(t), p.p.
En effet, comme w ∈ H 2 (R n ), ses dérivées partielles secondes existent dans L 2 (R n ) et on a
F(∂ j ∂ k w)(t) = (it j )(it k )ŵ(t),
p.p.
Ainsi, pour presque tout t ∈ R n , on a (1 + |t| 2 )ŵ(t) = 0, et donc ŵ = 0 en tant que fonction de L 2 (R n ).
En appliquant la transformation de Fourier inverse, on obtient alors que w est la fonction nulle, et donc
que u = v.
Existence : on va montrer que la fonction donnée par (2.2) est effectivement solution de (2.1). Soit donc
u la fonction donnée par (2.2). On a alors
û(t) =
1
1 + |t| 2 ˆf(t), p.t. t ∈ R n .
Comme f ∈ L 2 (R n ), ˆf ∈ L 2 (R n ) et donc par définition de H 2 (R n ), on a u ∈ H 2 (R n ). De plus, on a
F(u − ∆u)(t) = û(t) +
n∑
|t k | 2 û(t) = (1 + |t| 2 )û(t) = ˆf(t), p.t. t ∈ R n ,
k=1
par définiton de u. Ainsi, en appliquant la transformée de Fourier inverse, on obtient que u est bien
solution de (2.1). De plus, on a ‖u‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 .
Remarque 2.14. On peut aussi considérer l’équation λu − ∆u = f ∈ L 2 (R n ) qui se résout de la même
manière, dès que λ ∈ C\] − ∞, 0].
Remarque 2.15. La même démonstration est valable si on considère des données f ∈ H s (R n ) pour un
s ∈ R. On trouvera alors une solution u ∈ H s+2 (R n ).
2.3.2 Cas d’évolution
On considère maintenant l’équation de la chaleur suivante
{ ∂u
∂t
− ∆u = 0 dans ]0, ∞[×Rn
u(0, x) = u 0 (x) dans R n ,
(2.3)
pour une donnée initiale u 0 ∈ L 2 (R n ). On cherche une solution u continue en temps (t), régulière en
espace (x) telle que pour tout x ∈ R n fixé, on a t ↦→ u(t, x) ∈ C ([0, ∞[) ∩ C 1 (]0, ∞[) et à t > 0 fixé,
x ↦→ u(t, x) ∈ S n .
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Théorème 2.16. Pour tout u 0 ∈ L 2 (R n ), il existe une unique solution u de (2.3) vérifiant que pour
tout x ∈ R n fixé, on a t ↦→ u(t, x) ∈ C ([0, ∞[) ∩ C 1 (]0, ∞[) et à t > 0 fixé, x ↦→ u(t, x) ∈ S n . Cette
solution est donnée par
1
u(t, x) =
e
(4πt) n 2
∫R − |x−y|2
4t u 0 (y)dy, t > 0, x ∈ R n . (2.4)
n
Preuve. Comme pour le problème (2.1), on va appliquer la transformée de Fourier, sur la variable d’espace
x à l’équation (2.3). L’unicité se prouve de la manière suivante. Supposons que l’on ait deux solutions u
et v vérifiant les propriétés du théorème. Alors on pose w = u − v et on a
∂w
= ∆w, w(0, x) = 0.
∂t
En appliquant la transformée de Fourier, on obtient à ξ ∈ R n fixé
ϕ ′ ξ(t) = −|ξ| 2 ϕ ξ (t), t > 0, ϕ ξ (0) = 0, (2.5)
où ϕ ξ (t) = F(x ↦→ w(t, x))(ξ) pour t > 0. Ainsi, (2.5) est une équation différentielle ordinaire du premier
ordre en t que l’on peut intégrer de la manière suivante :
ϕ ξ (t) = ϕ ξ (0)e −t|ξ|2 = 0.
Ce qui montre alors que w(t, x) = F −1 (ξ ↦→ ϕ ξ (t))(x) = 0.
Existence : on va montrer que la fonction u donnée par (2.4) est bien solution de (2.3) au sens que
l’on a donné dans le théorème. Il est clair que u vérifie les hypothèses de régularité demandées dans le
théorème. Seule la continuité en 0 mérite qu’on s’y attarde. On va d’abord s’intéresser au cas t > 0. On
a alors pour t > 0 fixé
u(t, x) = p t ∗ u 0 (x), x ∈ R n ,
où p t (x) = (2t) − n 2
e − |x|2
4t , la convolution ∗ ayant été définie par (1.1). Ainsi, on a
F(x ↦→ u(t, x))(ξ) = ˆp t (ξ)û 0 (ξ), ξ ∈ R n .
D’après le Lemme 1.9 et la formule de dilatation du Théorème 1.5 (iv), on a pour ξ ∈ R n et t > 0,
ˆp t (ξ) = e −t|ξ|2 . On a alors
( )
∂
F
∂t (p t ∗ u 0 ) (ξ) = ∂ ∂t (ˆp t(ξ)û 0 (ξ)) = −|ξ| 2 ˆp t (ξ)û 0 (ξ)
= −|ξ| 2 F(p t ∗ u 0 )(ξ) = F(∆(p t ∗ u 0 ))(ξ).
Comme la transformée de Fourier est inversible, ceci nous donne ∂u
∂t
= ∆u. Il reste à montrer que u est
continue en t = 0, c’est-à-dire que
lim ‖u(t, ·) − u 0‖ 2 = 0,
t→0 +
ou encore, comme la transformée de Fourier est isométrique,
lim ‖(ˆp t − 1)û 0 ‖ 2 = 0.
t→0 +
On a
sup |e −t|ξ|2 − 1| −−−→ 0,
ξ∈R n t→0 +
ce qui implique que
(
)
∣ ∣∣e −t|ξ|
‖u(t, ·) − u 0 ‖ 2 = ‖(ˆp t − 1)û 0 ‖ 2 ≤ sup
2 − 1∣
‖û 0 ‖ 2 −−−→ 0,
ξ∈R n t→0 +
où on a utilisé le fait que si f ∈ L 2 (R n ) et g ∈ L ∞ (R n ), alors fg ∈ L 2 (R n ) et ‖fg‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 ‖g‖ ∞ .
Remarque 2.17. On peut aussi traiter l’équation de la chaleur avec second membre où (2.3) devient
{ ∂u
∂t
pour des données f convenables.
− ∆u = f dans ]0, ∞[×Rn
u(0, x) = u 0 (x) dans R n ,
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