Espaces de Sobolev

Proposition 2.6. L’ensemble des distributions tempérées est caractérisé par
S ′ n = {D α (x ↦→ P (x)f(x)), α ∈ N n , P polyôme, f continue bornée sur R n }.
Preuve. Il est clair d’après ce qui précède que l’ensemble à droite de l’égalité est inclus dans S ′ n. L’inclusion
inverse est admise.
On peut définir la convolution d’une distribution tempérée T ∈ S ′ n avec une fonction f de l’espace de
Schwartz S n de la manière suivante :
T ∗ f(x) = T (y ↦→ f(y − x)), x ∈ R n .
Théorème 2.7. Les conclusions (i), (ii) et (iii) du Théorème 1.5 restent vraies si on remplace f ∈
L 1 (R n ) par f ∈ S ′ n et g ∈ L 1 (R n ) par g ∈ S n .
2.2 Espaces de Sobolev
Pour s ∈ R, on définit
H s (R n ) =
{
) }
f ∈ S n;
(t ′ ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆf(t) ∈ L 2 (R n )
et pour f, g ∈ H s (R n ),
∫
〈f, g〉 s = (1 + |t| 2 ) s ˆf(t)ĝ(t) dmn (t).
R n
Théorème 2.8. L’espace H s (R n ) muni du produit scalaire 〈·, ·〉 s est un espace de Hilbert.
Preuve. Comme la transformée de Fourier est linéaire et comme L 2 (R n ) est un espace vectoriel, il est
clair que H s (R n ) est un espace vectoriel. Montrons maintenant que 〈·, ·〉 s : H s (R n )×H s (R n ) → C est un
produit scalaire. Tout d’abord, 〈·, ·〉 s est bien défini sur H s (R n ) × H s (R n ) et y est sesquilinéaire continu.
D’autre part, si f ∈ H s (R n ) vérifie 〈f, f〉 s = 0, alors la fonction R n ∋ t ↦→ (1 + |t| 2 ) s | ˆf(t)| 2 est nulle
presque partout (c’est une fonction positive dont l’intégrale est nulle), ce qui implique que ˆf est nulle
presque partout, et donc que f est nulle dans S n ′ puisque la transformée de Fourier est inversible dans
S n. ′ Il reste à montrer que (H s (R n ), 〈·, ·〉 s ) est complet. Soit (f k ) k∈N une suite de Cauchy de H s (R n ),
c’est-à-dire telle que ∫
(1 + |t| 2 ) s | ˆf p (t) − ˆf p (t)| 2 dm n (t) −−−−→ 0.
R n p,q→∞
On en déduit que (t ↦→ (1 + |t| 2 ) s 2 ˆfk (t)) t∈R n est une suite de Cauchy de L 2 (R n ) qui est complet :
cette suite converge vers g ∈ L 2 (R n ). Donc g ∈ S n(R ′ n ) et comme t ↦→ (1 + |t| 2 ) − s 2 est à croissance
lente, t ↦→ (1 + |t| 2 ) − s 2 g(t) est aussi dans S n ′ (Proposition 2.6). Donc il existe f ∈ S n ′ telle que ˆf(t) =
(1 + |t| 2 ) − s 2 g(t) : f ∈ H s (R n ) et (f k ) k∈N converge vers f dans H s (R n ).
Proposition 2.9. Pour s 1 ≥ s 2 , on a H s1 (R n ) ⊂ H s2 (R n ) et l’injection est continue.
Preuve. Cela provient directement du fait que pour s 1 ≥ s 2 , on a (1 + |t| 2 ) s2 ≤ (1 + |t| 2 ) s1 pour tout
t ∈ R n .
Théorème 2.10. Soit s ∈ N. Alors H 0 (R n ) = L 2 (R n ) et pour s ≥ 1,
H s (R n ) = { f ∈ H s−1 (R n ); ∃ g 1 , ..., g n ∈ H s−1 (R n ) :
〈f, ∂ k ϕ〉 0 = −〈g k , ϕ〉 0 , ∀ k = 1, ..., n, ∀ ϕ ∈ C ∞ c (R n )} .
Preuve. On a
H 0 (R n ) =
{
f ∈ S n; ′ ˆf
}
∈ L 2 (R n )
∫
et 〈f, g〉 0 =
R n
ˆf(t)ĝ(t) dmn (t).
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