EXAMEN D'ANALYSE DE FOURIER - SESSION 1 La qualité de la ...

EXAMEN D’ANALYSE DE FOURIER - SESSION 1Universités d’Aix-Marseille 1, 2 et 3MASTER 1 - MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS - 2007-08Mercredi 9 janvier 2008 – 14h-17hLa qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note finale.Dans toute l’épreuve, on adopte la convention pour tout p ∈ [1, ∞[, pour f ∈ L p (R n ; C),( ∫ ) 1‖f‖ p = |f(x)| p pdm n (x) ,Roù dm n (x) = (2π) − n 2 dx. On rappelle que la transformée de Fourier pour une fonction f dansl’espace de Schwartz de R n est donnée par∫ˆf(ξ) = F(f)(ξ) = e −ix·ξ f(x) dm n (x), ξ ∈ R n .R nOn utilise aussi cette notation F(f) pour la transformée de Fourier d’une fonction f de L 1 (R) oude L 2 (R).On note f ∗ g la convolution entre les deux fonctions f et g, c’est-à-dire∫(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dyR nExercice 1. On se place ici en dimension 2.1. Soit s > 1 et u ∈ H s (R 2 ).(a) Montrer que û ∈ L 1 (R 2 ).(b) Montrer que u ∈ C 0 (R 2 ) (au sens “il existe v ∈ C 0 (R 2 ) telle que u = v p.p.” ; onconfond alors u et v).(c) Montrer qu’il existe une constante C s > 0 ne dépendant que de s > 1 (on donneraune valeur explicite de C s ) telle que‖u‖ L ∞ ≤ C s ‖u‖ H s.2. Soit 1 < s < 2. Montrer qu’il existe θ s ∈]0, 1[ ne dépendant que de s (on donnera unevaleur explicite de θ s ) telle que pour tout u ∈ H 2 (R 2 ), on ait‖u‖ H s ≤ ‖u‖ 1−θsH‖u‖ θs1 H. 23. Montrer qu’il existe une constante C > 0 ne dépendant de rien (on donnera une valeurpossible pour C) telle queu ∈ H 2 , ‖u‖ H 1 = 1 =⇒ ‖u‖ L ∞ ≤ C √ ln(1 + ‖u‖ H 2).Exercice 2. On définit sur R la fonction f qui vaut 1 xen x ≠ 0 et 0 en 0. On note E l’ensemble{(|x|) α, }E = g : R → R continue ; ∃c > 0, ∃α > 0 : |g(x)| ≤ c∀x ∈ R1 + |x| 2 .Pour g ∈ E, on définit∫L f (g) =Rfg dm 1 .1. Montrer que f est mesurable sur R. Justifier l’existence de L f (g) pour g ∈ E.2. Montrer que l’ensemble des fonctions g ∈ E ∩ S 1 n’est pas dense dans S 1 .

2 MASTER 1 - MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS - 2007-083. (a) On définit sur S 1 la forme ˜L f par˜L f (ϕ) = √ 1 ∫− ln |x|ϕ ′ (x) dx, pour tout ϕ ∈ S 1 .2πRJustifier l’existence de l’intégrale ainsi obtenue. Montrer alors que ˜L f est une distributiontempérée.(b) Montrer que ˜L f (g) = L f (g) pour tout g ∈ E ∩ S 1 .4. (a) Montrer que pour tout ϕ ∈ S 1 , on a∫1̂ϕ(x)F(˜L f )(ϕ) = lim √ dx.ε→0 + 2π ε≤|x|≤ 1 xε(b) Trouver une fonction h mesurable telle que∫F(˜L f )(ϕ) = hϕ dm 1 , pour tout ϕ ∈ S 1 .RExercice 3. Soit h la fonction de Heaviside définie sur R par h(x) = 1 si x ≥ 0 et h(x) = 0 six < 0.1. Montrer que h est une distribution tempérée.2. Calculer ĥ, la transformée de Fourier de h.3. Pour quel(s) s ∈ R a-t-on h ∈ H s (R) ?