Devoir maison 2

2010-2011 MA 402
Université Paul Cézanne
Calcul Différentiel
Devoir maison 2
Corrigé
On note E M d pRq et pour toute matrice M P E,
}Mx} 2
~M~ 2 sup .
xPR }x} d 2
x0
On note aussi O d pRq l’ensemble des matrices de E orthogonales, c’est-à-dire les matrices inversibles
dont l’inverse est égal à la transposée, et T d pRq l’ensemble des matrices de E triangulaires supérieures.
Toute matrice M P GL d pRq s’écrit de façon unique comme produit d’une matrice orthogonale et une
matrice triangulaire supérieure : M Q R avec Q P O d pRq et R P T d pRq. On définit alors deux
applications
F 1 : GL d pRq Ñ O d pRq, M ÞÑ Q
et
F 2 : GL d pRq Ñ T d pRq, M ÞÑ R.
Question 1. Montrer que pour toutes matrices A, B P E, ~A B~ 2 ¤ ~A~ 2 ~B~ 2 .
Correction 1. D’après la définition de la norme ~ ~ 2 appliquée successivement à A puis à B, on a
pour tout x P R d }ApBxq} 2 ¤ ~A~ 2 }Bx} 2 ¤ ~A~ 2 ~B~ 2 }x} 2 ,
ce qui implique que pour tout x P R d , x 0, on a
En prenant le sup xPR d
x0
}ApBxq} 2
}x} 2
¤ ~A~ 2 ~B~ 2 .
dans l’inégalité ci-dessus, cela donne l’inégalité cherchée.
Question 2. Montrer que l’application E E Q pA, Bq ÞÑ A B P E est continue.
Correction 2. Soit pA 0 , B 0 q P E E. Pour tout A, B P E, on a
A B A 0 B 0 A pB B 0 q pA A 0 q B 0 .
Comme ~ ~ 2 est une norme, on a (d’après l’inégalité triangulaire)
~A B A 0 B 0 ~ 2 ¤ ~A pB B 0 q~ 2 ~pA A 0 q B 0 ~ 2
et d’après l’inégalité montrée dans la question 1, on a alors
~A B A 0 B 0 ~ 2 ¤ ~A~ 2 ~B B 0 ~ 2 ~A A 0 ~ 2 ~B 0 ~ 2 ÝÝÝÝÝÝÝÝÝÑ
pA,BqÑpA 0 ,B 0 q
ce qui montre la continuité de l’application produit de E E dans E.
Question 3. Soit M P E inversible.
paq Soit N P E et x P R d tel que Nx 0. Montrer que
}x} 2 ¤ ~M 1 ~ 2 ~M N~ 2 }x} 2 .
0,

1
pbq En déduire que si ~M N~ 2 ¤
2~M1 ~ 2
, alors ker N t0u.
pcq En déduire que GL d pRq est un ouvert de E.
Correction 3. Si Nx 0, comme M est inversible, on peut écrire x M 1 pM Nqx. En prenant
la norme } } 2 de cette égalité, en utilisant l’inégalité montrée dans la question 1 successivement pour
M 1 , puis pour M N, on obtient
Si maintenant ~M N~ 2 ¤
}x} 2 ¤ ~M 1 ~ 2 ~M N~ 2 }x} 2 .
1
2~M1 ~ 2
, alors pour tout x P ker N,
}x} 2 ¤ ~M 1 ~ 2
1
2~M 1 ~ 2
}x} 2 ¤ 1 2 }x} 2,
ce qui implique que x 0. Ceci montre que ker N t0u. On vient donc de montrer que pour toute
1
matrice M P GL d pRq, toute matrice N dans la boule de centre M et de rayon
2~M1 ~ 2
¡ 0 est aussi
inversible (car de noyau réduit à t0u). Ceci montre bien que GL d pRq est un ouvert de E.
Question 4. paq Vérifier que pour tout vecteur y P R d , on a }y} 2 2 t y y.
pbq En déduire que pour toute matrice M P O d pRq, pour tout x P R d , on a }Mx} 2 }x} 2 .
pcq Démontrer que O d pRq est un borné de E.
Correction 4. Tout vecteur y P R d est représenté par une matrice colonne (d lignes, une colonne),
contenant les coordonnées y 1 , ..., y d de y dans la base canonique de R d . Le vecteur transposé t y est alors
représenté par une matrice ligne (une ligne, d colonnes) contenant les coordonnées de y. Le produit
d’une matrice ligne 1 d avec une matrice colonne d 1 est un scalaire qui est donné dans notre cas
par
t y y
ḑ
i1
y 2 i }y}2 2,
d’après la définition de la norme } } 2 .
Si M P O d pRq, on a t M M Id, et donc si on note y Mx pour x P R d , on a t y t x t M et donc
}Mx} 2 2 }y}2 2 t y y p t x t MqpMxq t xp t MMqx t x x }x} 2 2,
ce qui montre l’égalité cherchée.
On en déduit que toute matrice orthogonale a une norme ~ ~ 2 égale à 1, donc O d pRq borné :
O d pRq € B ~~2 p0 E , 1q.
Question 5. Justifier, en une ligne, que l’application “transposition” sur E est continue.
Correction 5. L’application “transposition” est linéaire sur E de dimension finie (dim E d 2 ), donc
elle est continue.
Question 6. Démontrer que O d pRq est un fermé de E. En déduire que O d pRq est compact.
Correction 6. L’ensemble O d pRq est l’image réciproque de tIdu, fermé de E, par l’application φ : E Ñ
E définie par ϕpMq t M M. Montrons que φ est continue : φ est la composée des applications
E Q M ÞÑ p t M, Mq P E E
(continue car la transposition et l’identité sont continues) et
E E Q pA, Bq ÞÑ A B P E
continue d’après la question 2. Ainsi, O d pRq est un fermé comme image réciproque d’un fermé par une
application continue.
On a montré dans la question 5 que O d pRq est borné. Ainsi, O d pRq est un fermé borné dans E de
dimension finie (égale à d 2 ), c’est donc un compact.
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Question 7. Montrer que T d pRq, l’ensemble des matrices de E triangulaires supérieures, est un fermé
de E.
Correction 7. Soit pR n q nPN une suite de R d pRq qui converge dans E vers une matrice M P E. On veut
montrer que M est triangulaire supérieure. Comme pR n q nPN converge vers M, chaque suite de coefficients
pr pnq
i,j q nPN converge vers m i,j , où R n pr pnq
i,j q 1¤i,j¤d et M pm i,j q 1¤i,j¤d . Comme pour 1 ¤ i j ¤ d, et
pour tout n P N, on a r pnq
i,j 0 (car R n est triangulaire supérieure), m i,j 0 pour 1 ¤ i j ¤ d (la
limite d’une suite constante égale à 0 vaut 0), ce qui implique que M est triangulaire supérieure. Ainsi,
toute suite de T d pRq convergente dans E a sa limite dans T d pRq ; autrement dit, l’ensemble T d pRq est
fermé dans E.
Question 8. Soit pM n q nPN une suite de GL d pRq qui converge vers une matrice M P GL d pRq. Supposons
que pF 1 pM n qq nPN ne converge pas vers F 1 pMq.
paq Montrer qu’alors il existe ε ¡ 0 et ϕ : N Ñ N strictement croissante tels que
~F 1 pM ϕpnq q F 1 pMq~ 2 ¥ ε.
pbq Démontrer qu’il existe Q P O d pRq et ψ : N Ñ N strictement croissante tels que
pcq Montrer que ~Q F 1 pMq~ 2 ¥ ε.
F 1 pM ϕpψpnqq q ÝÝÝÑ
nÑ8 Q.
pdq En utilisant le fait que M F 1 pMq F 2 pMq, montrer que la suite pF 2 pM ϕpψpnqq qq nPN converge et
que sa limite R est triangulaire supérieure.
peq En déduire que Q F 1 pMq et R F 2 pMq et aboutir à une contradiction. Conclure.
Correction 8. Le fait que pF 1 pM n qq nPN ne converge pas vers F 1 pMq implique qu’il existe ε ¡ 0 tel que
pour tout n P N, il existe N n ¡ n tel que ~F 1 pM ϕpnq q F 1 pMq~ 2 ¥ ε. (1)
Pour cet ε, on va construire, par récurrence, une fonction ϕ : N Ñ N strictement croissante telle que
la conclusion du paq soit vérifiée. On applique (1) à n 1 et on note ϕp1q N 1 . Supposons que ϕpkq
est construit pour k P t1, ..., Ku. On applique (1) à n ϕpKq et on note alors ϕpK 1q N ϕpKq : la
fonction ϕ ainsi construite est évidemment strictement croissante (puisque N n ¡ n pour tout n P N) et
vérifie ~F 1 pM ϕpnq q F 1 pMq~ 2 ¥ ε par construction.
La suite pF 1 pM ϕpnq qq nPN ainsi construite est une suite de O d pRq qui est compact d’après la question 6.
On peut donc extraire de pF 1 pM ϕpnq qq nPN une suite pF 1 pM ϕpψpnqq qq nPN (avec ψ : N Ñ N strictement
croissante) qui converge vers une matrice Q P O d pRq.
Comme d’après paq, ~F 1 pM ϕpnq q F 1 pMq~ 2 ¥ ε pour tout n P N, ceci est encore vrai si on remplace n
par ψpnq et donc pour tout n P N, on a
ε ¤ ~F 1 pM ϕpψpnqq q F 1 pMq~ 2 ÝÝÝÑ
nÑ8 ~Q F 1pMq~ 2 .
Comme les inégalités sont conservées par passage à la limite, on en déduit que ~Q F 1 pMq~ 2 ¥ ε.
Comme M ϕpψpnqq F 1 pM ϕpψpnqq q F 2 pM ϕpψpnqq q et F 1 pM ϕpψpnqq q P O d pRq, on a
F 2 pM ϕpψpnqq q t F 1 pM ϕpψpnqq q M ϕpψpnqq .
On a vu que la suite pF 1 pM ϕpψpnqq qq nPN était convergente vers Q et que l’application “transposition”
était continue (question 5), donc la suite
t F 1 pM ϕpψpnqq q converge vers t Q. D’autre part, d’après
nPN
l’hypothèse de la question 8, la suite pM n q nPN est convergente vers M ; cela est vrai aussi pour toute
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suite extraite. Comme le produit E E Q pA, Bq ÞÑ A B P E est continu (d’après la question 2), on
en déduit que
F 2 pM ϕpψpnqq q t F 1 pM ϕpψpnqq q M ϕpψpnqq ÝÝÝÑ
t Q M.
nÑ8
Enfin, comme T d pRq est fermé et que F 2 pM ϕpψpnqq q P T d pRq, on en déduit que la limite t Q M de la
suite pF 2 pM ϕpψpnqq qq nPN appartient à T d pRq, donc est triangulaire supérieure ; notons-la R.
On a alors l’égalité R t Q M ou encore M Q R, avec Q P O d pRq et R P T d pRq. D’après l’unicité de
la décomposition d’une matrice de GL d pRq en un produit d’une matrice orthogonale et d’une matrice
triangulaire supérieure, on en déduit que F 1 pMq Q et F 2 pMq R. Or l’égalité F 1 pMq Q contredit
le fait que ~Q F 1 pMq~ 2 ¥ ε.
On en conclut donc que pour toute matrice M P GL d pRq, pour toute suite pM n q nPN de GL d pRq qui
converge vers M, la suite pF 1 pM n qq nPN converge vers F 1 pMq : ceci montre que F 1 est continue sur
GL d pRq.
Question 9. Montrer que F 2 est continue.
Correction 9. L’application F 2 est continue comme produit et composée d’applications continues. En
effet, pour tout M P GL d pRq, on a
F 2 pMq t F 1 pMq M.
Ceci montre que F 2 ppt F 1 , id E q où p : pA, Bq ÞÑ A B est continue sur E E d’après la question 2,
t : M ÞÑ t M est continue d’après la question 5, id E : M ÞÑ M est continue sur E de manière évidente
et F 1 est continue sur GL d pRq d’après la question 8.
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