EXAMEN D'ANALYSE DE FOURIER - SESSION 2 La qualité de la ...

EXAMEN D’ANALYSE DE FOURIER - SESSION 2Universités d’Aix-Marseille 1, 2 et 3MASTER 1 - MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS - 2007-08Mardi 24 juin 2008 – 9h-12hLa qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note finale.Dans toute l’épreuve, on adopte la convention pour tout p ∈ [1, ∞[, pour f ∈ L p (R n ; C),( ∫ ) 1‖f‖ p = |f(x)| p pdλ n (x) ,Roù λ n est la mesure de Lebesgue sur R n . On rappelle que la transformée de Fourier pour unefonction f dans l’espace de Schwartz de R n est donnée parˆf(ξ) = F(f)(ξ) = 1 ∫e −ix·ξ f(x) dλ(2π) n n (x), ξ ∈ R n .2R nOn utilise aussi cette notation F(f) ou ˆf pour la transformée de Fourier d’une fonction f deL 1 (R n ) ou de L 2 (R n ).On note f ∗ g la convolution entre les deux fonctions f et g, c’est-à-dire∫(f ∗ g)(x) = f(x − y)g(y)dλ n (y)R nQuestion de coursMontrer que la convolution de deux fonctions de L 2 (R n ) est une fonction de C 0 (R n ).Exercice 1. On se place ici en dimension 1. On veut trouver tous les sous-espaces fermés deL 2 (R) invariants par translation.1. Soit M un sous-espace fermé de L 2 (R) vérifiant : pour tout f ∈ M, f α ∈ M pour toutα ∈ R, où f α (x) = f(x−α), x ∈ R. On note ˆM = { ˆf, f ∈ M}, l’ensemble des transforméesde Fourier de fonctions de M.(a) Montrer que ˆM est un sous-espace fermé de L 2 (R).(b) Montrer que ˆM est invariant par multiplication par les fonctions e α , α ∈ R, oùe α (ξ) = e iαξ , ξ ∈ R.2. On note P la projection orthogonale de L 2 (R) sur ˆM.(a) En remarquant que pour tout f ∈ L 2 (R), la fonction f − P f est orthogonale àmontrer que pour tout g ∈ L 2 (R), on a F((f − P f)P g) = 0.(b) En déduire que f · P g = P f · P g = P f · g p.p.3. Soit g(ξ) = e −|ξ| , ξ ∈ R.(a) Montrer que g est un représentant d’une classe de fonctions de L 2 (R) (dans la suite,on confondra g et sa classe). On pose φ = P gg .(b)(i) Montrer que φ ∈ L 2 loc (R).(ii) Montrer que pour tout f ∈ L 2 (R), on a P f = φ · f p.p.(iii) En déduire que φ ∈ L ∞ (R).(c) En utilisant le fait que P est une projection, montrer que φ 2 = φ p.p.4. On choisit un représentant de la classe de φ que l’on note ϕ. On note E l’ensemble despoints de R où ϕ s’annule.ˆM,

2 MASTER 1 - MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS - 2007-08(a) Montrer que E est un ensemble mesurable de R.(b) Montrer que si f ∈ ˆM, alors f s’annule p.p. sur E.c) En déduire que ˆM = {f ∈ L 2 (R); f = 0 p.p. sur E}.5. Montrer que si M est un sous-espace de L 2 (R) tel que ˆM est de la forme de l’ensemble du4.(c), alors M est un sous-espace fermé de L 2 (R), invariant par translations.Exercice 2. On se place ici en dimension 2. Pour p ∈ [1, ∞], on note L p l’espace L p (R 2 ; C)(où R 2 est muni de la mesure de Lebesgue). Si u ∈ L 2 , on note û la transformée de Fourier deu. Pour s ∈ R, s ≥ 0, on rappelle que H s (R 2 ) = {u ∈ L 2 t.q. (1 + | · | 2 ) s 2 û ∈ L 2 } et que‖u‖ H s = ‖(1 + | · | 2 ) s 2 û‖ L 2.1. Soit s > 1 et u ∈ H s (R 2 ).(a) Montrer que û ∈ L 1 (R 2 ).(b) Montrer que u ∈ C 0 (R 2 ) (au sens “il existe v ∈ C 0 (R 2 ) telle que u = v p.p.” ; onconfond alors u et v).(c) Montrer que1‖u‖ L ∞ ≤2 √ π(s − 1) ‖u‖ H s.2. Soit 1 < s < 2 et u ∈ H 2 (R 2 ). Montrer que[Utiliser l’inégalité de Hölder.]‖u‖ H s3. On pose C = √ e2π. Montrer que≤ ‖u‖ 2−sH‖u‖ s−11 H. 2u ∈ H 2 (R 2 ), ‖u‖ H 1 = 1 =⇒ ‖u‖ L ∞ ≤ C √ ln(1 + ‖u‖ H 2).[Pour a > 1, on pourra chercher le minimum pour s ∈]1, 2[ de la fonction s ↦→ √ as−1s−1, etdistinguer selon les valeurs de a.]Soit β > 0, montrer qu’il existe C β , ne dépendant que de β, t.q. :u ∈ H 2 (R 2 ), ‖u‖ H 1 ≤ β =⇒ ‖u‖ L ∞ ≤ C β√ln(1 + ‖u‖H 2).