Espaces de Sobolev

More documents

Recommendations

Info

2.3 Équation de la chaleur 2.3.1 Cas stationnaire On s’intéresse à l’équation u − ∆u = f, p.p. dans R n (2.1) pour f ∈ L 2 (R n ), où ∆u = ∂ 2 1u + ∂ 2 2u + ... + ∂ 2 nu, au sens de S ′ n. On cherche une solution u ∈ H 2 (R n ) vérifiant (2.1). Théorème 2.13. Pour tout f ∈ L 2 (R n ), il existe une unique solution u ∈ H 2 (R n ) de (2.1) donnée par ( u = F −1 t ↦→ 1 ) 1 + |t| ˆf(t) 2 . (2.2) Preuve. Unicité : supposons qu’il existe deux solutions u, v ∈ H 2 (R n ) de (2.1).On note alors w = u − v : w ∈ H 2 (R n ) et vérifie w = ∆w. En appliquant la transformation de Fourier à cette dernière équation, on obtient ŵ(t) = −|t| 2 ŵ(t), p.p. En effet, comme w ∈ H 2 (R n ), ses dérivées partielles secondes existent dans L 2 (R n ) et on a F(∂ j ∂ k w)(t) = (it j )(it k )ŵ(t), p.p. Ainsi, pour presque tout t ∈ R n , on a (1 + |t| 2 )ŵ(t) = 0, et donc ŵ = 0 en tant que fonction de L 2 (R n ). En appliquant la transformation de Fourier inverse, on obtient alors que w est la fonction nulle, et donc que u = v. Existence : on va montrer que la fonction donnée par (2.2) est effectivement solution de (2.1). Soit donc u la fonction donnée par (2.2). On a alors û(t) = 1 1 + |t| 2 ˆf(t), p.t. t ∈ R n . Comme f ∈ L 2 (R n ), ˆf ∈ L 2 (R n ) et donc par définition de H 2 (R n ), on a u ∈ H 2 (R n ). De plus, on a F(u − ∆u)(t) = û(t) + n∑ |t k | 2 û(t) = (1 + |t| 2 )û(t) = ˆf(t), p.t. t ∈ R n , k=1 par définiton de u. Ainsi, en appliquant la transformée de Fourier inverse, on obtient que u est bien solution de (2.1). De plus, on a ‖u‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 . Remarque 2.14. On peut aussi considérer l’équation λu − ∆u = f ∈ L 2 (R n ) qui se résout de la même manière, dès que λ ∈ C\] − ∞, 0]. Remarque 2.15. La même démonstration est valable si on considère des données f ∈ H s (R n ) pour un s ∈ R. On trouvera alors une solution u ∈ H s+2 (R n ). 2.3.2 Cas d’évolution On considère maintenant l’équation de la chaleur suivante { ∂u ∂t − ∆u = 0 dans ]0, ∞[×Rn u(0, x) = u 0 (x) dans R n , (2.3) pour une donnée initiale u 0 ∈ L 2 (R n ). On cherche une solution u continue en temps (t), régulière en espace (x) telle que pour tout x ∈ R n fixé, on a t ↦→ u(t, x) ∈ C ([0, ∞[) ∩ C 1 (]0, ∞[) et à t > 0 fixé, x ↦→ u(t, x) ∈ S n . 17
Théorème 2.16. Pour tout u 0 ∈ L 2 (R n ), il existe une unique solution u de (2.3) vérifiant que pour tout x ∈ R n fixé, on a t ↦→ u(t, x) ∈ C ([0, ∞[) ∩ C 1 (]0, ∞[) et à t > 0 fixé, x ↦→ u(t, x) ∈ S n . Cette solution est donnée par 1 u(t, x) = e (4πt) n 2 ∫R − |x−y|2 4t u 0 (y)dy, t > 0, x ∈ R n . (2.4) n Preuve. Comme pour le problème (2.1), on va appliquer la transformée de Fourier, sur la variable d’espace x à l’équation (2.3). L’unicité se prouve de la manière suivante. Supposons que l’on ait deux solutions u et v vérifiant les propriétés du théorème. Alors on pose w = u − v et on a ∂w = ∆w, w(0, x) = 0. ∂t En appliquant la transformée de Fourier, on obtient à ξ ∈ R n fixé ϕ ′ ξ(t) = −|ξ| 2 ϕ ξ (t), t > 0, ϕ ξ (0) = 0, (2.5) où ϕ ξ (t) = F(x ↦→ w(t, x))(ξ) pour t > 0. Ainsi, (2.5) est une équation différentielle ordinaire du premier ordre en t que l’on peut intégrer de la manière suivante : ϕ ξ (t) = ϕ ξ (0)e −t|ξ|2 = 0. Ce qui montre alors que w(t, x) = F −1 (ξ ↦→ ϕ ξ (t))(x) = 0. Existence : on va montrer que la fonction u donnée par (2.4) est bien solution de (2.3) au sens que l’on a donné dans le théorème. Il est clair que u vérifie les hypothèses de régularité demandées dans le théorème. Seule la continuité en 0 mérite qu’on s’y attarde. On va d’abord s’intéresser au cas t > 0. On a alors pour t > 0 fixé u(t, x) = p t ∗ u 0 (x), x ∈ R n , où p t (x) = (2t) − n 2 e − |x|2 4t , la convolution ∗ ayant été définie par (1.1). Ainsi, on a F(x ↦→ u(t, x))(ξ) = ˆp t (ξ)û 0 (ξ), ξ ∈ R n . D’après le Lemme 1.9 et la formule de dilatation du Théorème 1.5 (iv), on a pour ξ ∈ R n et t > 0, ˆp t (ξ) = e −t|ξ|2 . On a alors ( ) ∂ F ∂t (p t ∗ u 0 ) (ξ) = ∂ ∂t (ˆp t(ξ)û 0 (ξ)) = −|ξ| 2 ˆp t (ξ)û 0 (ξ) = −|ξ| 2 F(p t ∗ u 0 )(ξ) = F(∆(p t ∗ u 0 ))(ξ). Comme la transformée de Fourier est inversible, ceci nous donne ∂u ∂t = ∆u. Il reste à montrer que u est continue en t = 0, c’est-à-dire que lim ‖u(t, ·) − u 0‖ 2 = 0, t→0 + ou encore, comme la transformée de Fourier est isométrique, lim ‖(ˆp t − 1)û 0 ‖ 2 = 0. t→0 + On a sup |e −t|ξ|2 − 1| −−−→ 0, ξ∈R n t→0 + ce qui implique que ( ) ∣ ∣∣e −t|ξ| ‖u(t, ·) − u 0 ‖ 2 = ‖(ˆp t − 1)û 0 ‖ 2 ≤ sup 2 − 1∣ ‖û 0 ‖ 2 −−−→ 0, ξ∈R n t→0 + où on a utilisé le fait que si f ∈ L 2 (R n ) et g ∈ L ∞ (R n ), alors fg ∈ L 2 (R n ) et ‖fg‖ 2 ≤ ‖f‖ 2 ‖g‖ ∞ . Remarque 2.17. On peut aussi traiter l’équation de la chaleur avec second membre où (2.3) devient { ∂u ∂t pour des données f convenables. − ∆u = f dans ]0, ∞[×Rn u(0, x) = u 0 (x) dans R n , 18
Page 1 and 2: Chapitre 2 Espaces de Sobolev 2.1 D
Page 3: Comme la transformée de Fourier es

Espaces de Sobolev

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?