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Travaux dirigés de physique
Université de Montpellier 2
IUT génie biologique, première année
Année universitaire 2012-2013
Université de Montpellier 2
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Avant propos
Ce fascicule regroupe les énoncés des exercices qui seront corrigés au fil des séances
de travaux dirigés (TD) de physique.
De façon générale, ils seront traités dans l’ordre, avec une moyenne de deux à trois
exercices par séance.
Pour chaque chapitre, un exercice (en moyenne), indiqué dans le titre par une étoile
(⋆), est corrigé en annexe du fascicule. Préparez le sans regarder cette correction. Si
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vous n’y arriverez pas, elle vous aidera. Vous ne serez ainsi pas bloqué(e), au moins
sur cet exercice, et cela vous donnera des idées pour les autres exercices. Il sera
corrigé rapidement lors de la séance, vous pourrez alors poser des questions si vous
n’avez pas saisi certains points de la correction écrite.
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1

I- Analyse dimensionnelle
1 Ordres de grandeur
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diamètre est égal à la hauteur. Quelle est cette hauteur sachant que la masse volumique ρ P t du platine est
de 21, 4 g.cm −3
3) Sachant que la Terre compte environ 6 milliards d’habitants que son rayon est de 6400 km et que les
océans occupent les 2/3 de la surface terrestre, calculer l’aire disponible par habitant sur les continents.
Quelle est la densité moyenne de population
4) Calculer le volume moyen occupé par une molécule H
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2 O dans l’eau, à 298 K et à la pression atmosphérique.
En déduire la distance moyenne entre molécules (masse molaire de l’eau : M = 18 g.mol −1 ,
nombre d’Avogadro : N A = 6, 023 · 10 23 mol −1 ).
2
2 Systèmes d’unités ⋆
1) Il faut environ 8 minutes à la lumière pour se propager du Soleil jusqu’à la Terre. Quelle est la distance
approximative Terre-Soleil
2) Le kilogramme étalon est réalisé en platine sous la forme d’un cylindre droit, à base circulaire, dont le
On note [X] la dimension physique de la grandeur X. On l’exprime dans la base L, M, T , I, θ
(longueur, masse, temps, intensité et température). Ainsi, pour une vitesse v : [v] = L.T −1 .
1) Quelles sont les unités dans le système international des grandeurs de la base L, M, T , I, θ Donner
la dimension et l’unité : d’une force, d’une puissance, d’une pression, d’une charge électrique.
2) Montrer que les unités suivantes correspondent à une seule dimension : N.m, kW.h, e.V , g.cm 2 .s −2 .
Par quels facteurs numériques passe-t-on de l’un à l’autre
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3 Chute d’une bille dans un fluide
Dans un fluide, une bille de rayon r animée d’une vitesse v est soumise à une force de frottement
donnée par F = −6πηrv, où η est la viscosité du fluide.
1) Quelle est la dimension de η
2) Lorsque la bille est lâchée sans vitesse initiale à l’instant t = 0, sa vitesse s’écrit pour t > 0 : v =
a(1 − exp(− t )), où a et b sont deux grandeurs qui dépendent des caractéristiques du fluide. Quelles sont
b
les dimensions de a et b
3) Si ρ désigne la masse volumique du fluide, trouver une combinaison simple Re = ρ α v β r γ η δ qui soit
sans dimension (parmi les différents choix possibles on prendra α = 1). On obtient ainsi le nombre de
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Reynolds qui permet de caractériser le régime d’écoulement d’un fluide (laminaire ou turbulent).
4 Temps de vol d’un projectile
Un projectile de masse m est tiré avec une vitesse initiale ⃗v faisant un angle α avec un plan horizontal.
L’accélération de gravité est notée g.
1) Donner les dimensions de g.
2) En variant l’angle α on se rend compte que le temps de vol t v , c’est-à-dire l’intervalle de temps entre
l’instant du départ et l’instant où le projectile atterrit, est proportionnel à sin α. Proposer une relation
fonctionnelle (trouver les exposants β, γ et δ) pour le temps de vol du type :
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t = k × sin α × m β × v γ × g δ .
2

3) Sachant que pour un angle α = 30 o , un projectile de masse m = 1 kg tiré avec une vitesse initiale
v = 9, 81 m · s −1 vole pendant une durée t = 1, 00 s, trouver la formule donnant t (calculer la valeur k).
5
Université
Vitesse de propagation
de
d’une
Montpellier
onde
2
La vitesse de propagation d’un mouvement vibratoire de long d’une corde tendue dépend de sa masse
m, sa longueur l et de sa tension F . Déterminer, par analyse dimensionnelle, l’expression de la vitesse en
fonction de m, l, F et d’une constante sans dimension notée k.
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3

II- Réfraction
données - vitesse de la lumière dans le vide : c ≃ 3 · 10 8 m.s −1 , constante de Planck :
h ≃ 6, 6 · 10 −34 J.s −1 , longueur d’onde du rouge : λ
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R ∼ 750 nm, longueur d’onde du violet :
2
λ v ∼ 400 nm
6 Spectre des ondes électromagétiques
Compléter le tableau ci-dessous :
λ 0 (nm) 20 850
f (Hz) 7 · 10 14
ω (rad.s −1 ) 2.3 · 10 15
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7 Prisme
Energie (J)
8 · 10 −19
Domaine Rayon x Ultra-violet
Le tableau ci-dessous donne les valeurs des indices de réfraction, pour quelques substances, et pour
les deux couleurs extrêmes du spectre visible. Ces valeurs montrent que l’on peut en général négliger la
variation de l’indice de l’air, devant celles du verre ou de l’eau.
n Air Verre Eau
Violet 1,000278 1,680 1,3435
Rouge 1,000276 1,596 1,3311
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Reproduire le prisme avec une base de 15 cm. Tracer
soigneusement la marche de ce rayon lumineux dans le
prisme, avec l’hypothèse qu’il s’agit de lumière violette,
puis de lumière rouge. Les données nécessaires sont regroupées
dans le tableau ci-dessus. Conclure quant au comportement
d’un faisceau de lumière blanche, et retrouver les
positions relatives des bandes violettes et rouge sur l’écran
Université
d’observation, telles que constaté
de
lors
Montpellier
de l’expérience de décomposition
de la lumière blanche par un prisme, dite ex-
2
périence de Newton.
Un rayon de lumière blanche arrive sur la face d’un prisme isocèle, avec un angle d’incidence i = 60 o . Le
prisme est taillé dans du verre ordinaire.
8 Utilisation de la loi de Descartes ⋆
Une substance inconnue possède un angle critique de α = 42 o lorsque le deuxième milieu est l’eau.
Sachant qu’un faisceau lumineux provenant de cette substance possède un angle d’incidence de i 1 = 28 o ,
quel sera l’angle de réfraction dans l’eau
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4

9 Reflexion totale
On fixe une tige de longueur L au centre d’un disque en liège de rayon
R et perpendiculairement au disque (figure ci-dessous). On le place à
l’envers (tige en bas) à la surface de l’eau.
Exprimer (en fonction de R et de n eau , l’indice de l’eau) la longueur
maximale de la tige pour que cette dernière ne soit jamais visible de
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l’extérieur de l’eau.
Application numérique : calculer le rapport L/R maximal en prenant
n eau = 1, 33.
10 Fibre optique
1) On considère une fibre optique constituée par un cylindre centrale (le cœur) d’indice n
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2 et d’une gaine
cylindrique d’indice n 1 < n 2 . Montrer que tout rayon situé dans un plan méridien de la fibre et faisant un
angle θ avec l’axe reste prisonnier de la fibre si θ < β où est β un angle que l’on exprimera en fonction
de n 1 et n 2 .
L
R
2) Soit L la longueur de la fibre et c la vitesse de la lumière dans le vide ; calculer la différence de temps
mis par le rayon mettant le moins de temps pour parcourir la fibre et celui mettant le plus de temps.
3)
Université
Application numérique : n 2 = 1.6,
de
n 1 = 1,
Montpellier
c = 3.10 8 m/s et pour L prendre successivement
2
L = 1 m,
100 m et 10 km.
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5

III- Formation d’images
11 Formule de conjugaison et construction graphique ⋆
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1) Rappeler les conditions de Gauss relatives à une lentille.
2) A l’aide d’une lentille convergente de vergence C = +25 δ, observe un objet de hauteur h = 1, 0 cm
et situé à d = 6, 0 cm de la lentille.
a) Par application de la formule de conjugaison, déterminer la position de l’image, sa taille et comparer
son sens par rapport à celui de l’objet.
b) Retrouver ces résultats à l’aide d’une construction graphique à l’échelle 1. Comparer l’image obtenue
à l’objet observé (grandissement et sens). L’image est-elle réelle Pourquoi
12 Image virtuelle
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1) Par application de la formule de conjugaison, déterminer la position de l’image, sa taille et son sens.
A l’aide d’une lentille convergente de vergence C = +20 δ, on observe un objet de hauteur h =
1, 0 cm et situé à d = 3, 0 cm de la lentille.
2) Retrouver ce résultat à l’aide d’une construction graphique à l’échelle 1.
3) L’image est-elle réelle Pourquoi
4) Dans ces conditions, la lentille constitue une loupe : expliquer pourquoi.
13 Lentille plan-convexe
Une lentille plan-convexe est un bloc de verre d’indice n, limité par une face plane et une face
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sphérique de rayon R et de centre C. Elle reçoit sur sa face plane un rayon lumineux parallèle à une
distance h de l’axe optique (figure ci-dessous).
1) Rappeler la loi de Descartes sur la réfraction.
2) Pourquoi le rayon n’est-il pas dévié à la traversée de la surface plane
3) On suppose que les angle i et r sont suffisamment faible pour que leurs sinus et tangente soient peu
différents de l’angle exrimé en radian. Montrer que i = h/R. En déduire l’expression de r en fonction de
h, R et n.
rayon R
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C
h
i
a
O F’
4) Calculer l’angle a en fonction de h, R et de n.
5) En supposant que la lentille est mince, déduire de la question 4) l’expression de la distance focale f ′ de
la
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lentille, en fonction de R et de n.
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6) Que vaut f ′ lorsque n ≃ 1 Est-ce normal
6
r

7) Déduire de la question 5) que la lentille est d’autant plus convergente que le rayon est petit et que
l’indice n est grand.
14
Université
Utilisation des formules
de Montpellier
de conjugaison et de grandissement
2
On observe sur un écran l’image d’un objet perpendiculaire à l’axe optique, de dimension 1 cm. L’objet
est situé à 15 cm devant la lentille et l’écran est placé à 30 cm de celle-ci.
1) En utilisant la formule de conjugaison, calculer la distance focale de la lentille. En déduire sa vergence.
2) Calculer la taille de l’image.
3) On rapproche l’objet précédent de la lentille : l’image est maintenant droite et trois fois plus grande
que l’objet. Donner la valeur du grandissement transversal du montage, et en déduire une relation entre
les grandeurs algébriques OA et OA ′ .
4) En utilisant la formule de conjugaison des lentilles minces, exprimer OA en fonction de la distance
focale de la lentille. Faire l’application numérique.
5) Où est placé l’objet par rapport à la lentille
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15 Microscope
Un microscope possède un objectif L 1 (O 1 , f 1 ′ = 0, 5 cm) et un oculaire L 2 (O 2 , f 2 ′ = 2 cm). Un objet
lumineux AB est observé. On définit la distance ∆ par ∆ = F 1F ′ 2 = 12, 3 cm.
1) A quelle position placer AB, par rapport à l’instrument, pour obtenir une vision à l’infini. Déterminer
la puissance intrinsèque P i du microscope (rapport entre l’angle sous lequel on voit l’objet en sortie et la
taille de l’objet).
2) On observe désormais les globules du sang humain de dimension 7 µm. Quel est l’angle sous lequel on
voit un globule à travers l’instrument, pour une visée à l’infini
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3) Du fait de la structure granulaire de la rétine, l’œil ne peut distinguer deux points que si l’angle sous
lequel il les voit est au moins égal à ɛ = 1, 5 ′ . Trouver en fonction de ɛ, ∆ f 1 ′ et f 2, ′ la taille l du plus petit
objet dont les points A et B sont vus distinctement à travers le microscope. Calculer l et comparer cette
valeur à la longueur d’onde moyenne du rayonnement utilisé. Conclure.
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7

IV- Electricité
Données communes : masse d’un électron m e = 0, 911.10 −30 kg ; Charge électrique d’un électron
q = −1, 6.10 −19 Coulomb.
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16 Fil de cuivre soumis à une différence de potentiel
1) Le cuivre possède les caractéristiques suivantes : masse volumique 8, 9 g/cm 3 ; masse molaire 63, 5 g ;
capacité calorifique 0, 385J/K/g.
Sachant qu’il libère en moyenne 1,2 électrons par atome à la température ambiante, calculer N, nombre
d’électrons libres par unité de volume.
2) On dispose d’un fil de cuivre de diamètre 0, 2 mm et de longueur 10 m. Déterminer la résistivité, la
conductivité, la résistance et la conductance de ce fil. On rappelle que la mobilité des électrons dans le
cuivre est µ ≃ 4, 4 · 10 −3 C · s/kg .
Université
3) On applique une tension de 1 volt
Montpellier
aux extrémités de ce fil. Déterminer 2:
– la vitesse moyenne des électrons libres dans le cuivre,
– la densité de courant,
– le courant,
– la puissance fournie par le générateur de 1V.
17 Cuve de compteur Coulter
Un compteur type COULTER permet de dénombrer des globules rouges. De façon simplifiée, il est
constitué d’une cuve remplie de sang mis en mouvement par une différence de pression, d’un orifice de
passage ne laissant passer qu’un seul globule rouge à la fois et d’un générateur de tension.
1) En l’absence de globule rouge dans l’orifice central, calculer la résistance électrique présentée le sang
entre les points A et D en prenant ρ sang = 0, 1 Ω.m.
2) Calculer l’intensité du courant fournie par le
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vue par l’oscilloscope dans les mêmes conditions.
3) Lorsqu’un globule rouge, parfaitement isolant du
point de vue électrique en courant continu, passe
dans l’orifice central, il l’obstrue complètement. Que
deviennent alors la tension vue par l’oscilloscope et
le courant délivré par le générateur D’après vous,
que compte-t-on pour déterminer la quantité de globules
rouges présents dans la cuve
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18 Electrophorèse
générateur (U=1V et R = 1000 Ω) ainsi que la tension
On fait migrer des macromolécules chargées électriquement dans une solution pour électrophorèse.
La tension appliquée est de 100 Volts et la distance entre les électrodes est de 10 cm.
On mesure qu’au bout d’une demi-heure, les macromolécules ont migré de 6 cm. Déterminer leur
mobilité dans cette solution (unités SI).
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8

19 Mesure d’une résistance tissulaire : comparaison des méthodes
à 2 et 4 électrodes
On souhaite mesurer la résistance électrique d’un tissu biologique. Pour ce faire, on y injecte un
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courant I et on mesure avec un voltmètre la tension qui apparaît à ses bornes (méthode à 2 électrodes)
(figure 1) .
1) Comment détermine-t-on la résistance tissulaire avec cette méthode (on suppose que le voltmètre n’absorbe
aucun courant)
2) Si des résistances parasites apparaissent au niveau des électrodes (figure 2), quel est l’inconvénient de
cette méthode
3) Montrer que la méthode a 4 électrodes (figure 3) permet de s’affranchir de ce problème à partir du
moment où le courant absorbé par le voltmètre est nul.
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9

V- Radioactivité
données : masse d’un électron : m
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e = 9, 1.10 −31 kg, masse d’un proton : m
Montpellier
p = 1, 673.10 −27 kg, masse
d’un neutron : m n = 1, 675.10 −27 kg
2
20 Atomes
Indiquer le nombre de protons, de neutrons et d’électrons présents dans chacun des atomes suivants :
40
20Ca
52
24Cr
132
54 Xe
21 Décroissance radioactive d’une source de plutonium ⋆
Une masse m d’élément radioactif contenu dans une source scellée diminue au cours du temps selon
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la loi exponentielle suivante : m(t) = m 0 exp(−λt) où m 0 est la masse initiale d’élément radioactif, λ est
la constante radioactive reliée à la période T de l’élément.
1) La période T de décroissance radioactive se définissant comme l’intervalle de temps au cours duquel
statistiquement la moitié des noyaux subiront une désintégration, N(t + T ) = N(t) , montrer que la constante
radioactive λ est reliée à la période de l’élément par l’expression : λ = ln 2 2
2) Un container renferme une source radioactive constituée par m 0 = 50 mg de plutonium 239 P u provenant
d’un réacteur nucléaire. La période radioactive T du plutonium est de 24 000 ans. Tracer dans un graphe
ln m(t) en fonction de t sur 100 000 ans.
3) Combien d’années faut-il attendre pour que la masse de plutonium radioactif ne soit plus que 1% de la
masse initiale
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4) Combien de noyaux y a-t-il dans un échantillon de cet isotope à l’instant t = 0
5) En déduire l’activité de l’échantillon.
6) Combien de noyaux reste-t-il 10 000 ans plus tard Quelle est alors l’activité de l’échantillon
22 Décroissance radioactive
Un échantillon de l’isotope 131
53 I a eu son activité divisée par 16 en 32 jours.
1) Tracer qualitativement sur un graphe à deux échelles linéaires la décroissance de l’activité en fonction
du temps : l’unité de temps sera la période T de l’isotope ; on indiquera a(t = 0) = a
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0 ; ainsi que les
valeurs de a(t = nT ) pour n = 1, 2, 3 et 4, en fonction de a 0 , n et des puissances de 2.
2) En déduire la période T de 131
53 I
3) Quelle est la masse du radio-isotope 131
53 I correspondant à une activité de 1, 85 · 10 8 Bq
23 Production et désintégration du technetium 99m T c
Le technétium 99m T c (état excité de 99 T c), est émetteur de rayons γ utilisés en médecine nucléaire
pour détecter les tumeurs cervicales (γ caméra) :
99m
43 T c → 99
43 T c + γ
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10
T .

La période de désintégration T 2 de 99m T c est de 6 heures.
Le 99m T c est lui-même produit par la désintégration β− du molybdène 99 Mo, dont la période T 1 est de
66,5 heures :
99
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42Mo → 99m
43 T c + e − + ¯ν.
On désignera avec l’indice 1 les paramètres radioactifs (période, constante radioactive, activité) relatifs
à l’élément 99 Mo, qui subit la réaction de désintégration à l’origine de la production du 99m T c, et ceux
relatifs au technétium 99m T c seront désignés avec l’indice 2.
Les réactions nucléaires de filiation peuvent alors se schématiser :
99 Mo → 99m T c → 99 T c
(1) → (2) → (3)
λ 1 λ 2
1. Variation en fonction du temps du nombre de noyaux N 1 (t) de 99 Mo et activité a 1 (t)
a) Exprimer la variation dN 1 du nombre N 1 de noyaux (1) pendant l’intervalle de temps dt (expression
littérale en fonction de N 1 , λ 1 ).
b) En déduire l’expression littérale de la variation da 1 de l’activité a 1 en fonction de a 1 , λ 1 .
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c) Résoudre l’équation différentielle de la question b) pour retrouver la loi de variation de a 1 en fonction
du temps (on posera a 10 = activité du radioélément (1) au temps initial).
2. Variation en fonction du temps du nombre de noyaux N 2 (t) de 99m T c et activité a 2 (t)
a) Exprimer la variation dN 2 du nombre N 2 de noyaux (2) pendant l’intervalle de temps dt en fonction de
N 1 , λ 1 , N 2 , λ 2 ).
b) Trouver l’expression da 2 de l’activité a 2 en fonction de a 2 , a 1 , λ 2 , que l’on arrangera sous la forme
d’une équation différentielle :
da
K
Université de
1
Montpellier
2
dt + K 2a 2 = f(t)
2
où K 1 et K 2 des constantes.
c) Vérifier que la solution de l’équation différentielle (question 2b) est :
λ ( 2
a 2 (t) = a 10 e
−λ 1 t − e ) −λ 2t
.
λ 2 − λ 1
3. Tracés des variations a 1 (t) et a 2 (t)
A l’instant initial on dispose d’une source 99 Mo dont l’activité vaut a 10 = 8, 5 Ci. Cette source ne
contient pas de technétium : a 2 (t = 0) = 0.
a) Calculer l’activité a 1 du 99 Mo et l’activité a 2 du 99m T c au temps t = 10 h.
Université
b) L’activité a 2 du 99m T c
de
passe par
Montpellier
un maximum. Déterminer le temps t max 2pour lequel le maximum est
atteint et les valeurs a 2 (t max ) et a 1 (t max ).
On rappelle qu’une fonction admet un extremum quand sa dérivée s’annule (Sachant qu’au départ l’activité
est nulle, l’activité va commencer par croître, donc le premier extremum sera un maximum)
c) Compléter le tableau de valeurs :
t (h) 0 10 ... 90 100
a 1 (t) (Ci) 8,5
a 2 (t) (Ci) 0
et tracer sur un même graphe les variations de a
Université de Montpellier
1 et a 2 .
d) Si, pour que cette source soit utilisable en Médecine nucléaire, il faut que l’activité a
2
2 de l’échantillon
soit supérieure ou égale à 5 Ci, estimer à l’aide de la courbe dans quel intervalle de temps cette source
peut être utilisée.
11

24 Période physique et période biologique
L’iode 131
53 I a une période de décroissance radioactive T p = 8 jours. L’activité initiale d’une source
radioactive constituée de 131
53 I est a 0 = 400 µCi.
1) Pour que l’activité de la source s’abaisse à 100 µCi, combien de temps faut-il attendre
2) Donner l’expression (en fonction de T p et a 0 ) de l’évolution de l’activité de la source en fonction du
temps.
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La totalité de l’iode de la source précédente est en fait injectée dans la thyroïde d’un patient. La
diminution de l’activité de l’iode contenu dans la thyroïde résulte alors à la fois de la décroissance radioactive
et de l’élimination biologique (qui satisfait elle aussi à une loi exponentielle caractérisée par une
période de décroissance T b ). La période effective de décroissance de l’iode dans la thyroïde est alors T .
3) La période effective T est-elle supérieure ou inférieure à T p Justifier votre réponse.
4) Donner l’expression de la variation du nombre de noyaux pendant dt.
5) Donner l’expression (en fonction du temps, de T
Université de Montpellier
b , T p et de a 0 ), de l’évolution de l’activité de l’iode
contenu dans la thyroïde.
2
6) L’activité de l’iode dans la thyroïde mesurée 6 jours après l’injection est 200 µCi. Calculer la période
T b d’élimination biologique.
25 Dispersion des photons dans l’espace
On considère une source ponctuelle émettant de façon isotrope N particules par seconde. Imaginons
que cette source soit placée au centre d’une sphère de rayon r.
1) Combien de particules sortent par la surface totale de la sphère par seconde
2) Combien de particules sortent d’une surface δS de la sphère par seconde (on rappelle que la surface
d’une sphère de rayon r vaut 4πr 2 .)
3) Si δS représente la surface d’entrée d’un détecteur, en déduire la loi théorique donnant le taux de
comptage en fonction de la distance r (distance source-détecteur).
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4) Une source radioactive ponctuelle, localisée à 2 cm de
profondeur dans le tissu musculaire, émet de façon isotrope
des photons. Combien de photons sortiraient par seconde
d’une sphère de muscle centrée sur la source de 2 cm de
rayon sachant que la moitié des photons est absorbés par le
muscle et que l’activité de la source correspond à l’émission
de N
Université
0 = 37000 photons par seconde.
5) détecteur de fenêtre de surface
Montpellier
5 cm 2 , est placé à 20
2
cm de la source précédente. Calculer le nombre de photons
qui arrivent chaque seconde sur la fenêtre du détecteur (on
négligera l’atténuation des photons dans l’air).
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12

VI- Hydrostatique
Valeurs numériques : On donne : ρ Hg = 13.6 g/cm 3 , ρ air = 1.16 kg/m 3 , ρ He = 0.160 kg/m 3 et
ρ eau = 10 3 kg/m 3 .
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26 Pressions océaniques
Quelle est la pression dans l’océan à une profondeur h
Vérifier l’homogénéïté de cette formule.
Application numérique : pour h = 10 m, h = 1000 m, h = 11035 m (fosse des Mariannes, Pacifique
Est). On prendra g = 10 m.s −2 et P 0 = 10 5 P a pour la pression atmosphérique.
27 Poussée d’Archimède ⋆
Université iceberg est constitué
de
d’eau
Montpellier
douce provenant des glaciers (contrairement
2
à la banquise qui est constituée
d’eau salée congelée). Sa masse volumique est donc identique à celle d’un glaçon. La présence de
sel dans les océans modifie la masse volumique de l’eau de mer : l’eau des océans a une masse volumique
plus importante que l’eau du robinet. Prenant ρ glace = 0.91 kg/L et ρ ocean = 1.025 kg/L, calculer le
rapport entre le volume émergé (V e ) et le volume immergé (V i ) d’un iceberg dans l’océan.
28 Pression artérielle
1) La pression atmosphérique moyenne est de 1, 013.10 5 P a. Exprimer cette pression en mm de Hg et en
m d’eau. On prendra g = 9.81m/s 2
2)
Université
Quelle est la pression artérielle moyenne
de Montpellier
au niveau du cœur en P a sachant qu’elle 2est plus grande que
la pression extérieure d’environ 120 mm Hg
3) La pression du sang varie selon l’endroit du corps. En supposant que la distribution du sang dans le
corps est en équilibre hydrostatique, calculer, en P a puis en mm Hg, la différence de pression sanguine
entre les pieds et le cœur, et entre le cerveau et le cœur pour une personne debout et immobile On prendra
ρ = 10 3 kg/m 3 pour le sang, 1, 3 m pour la distance pied-cœur et 50 cm pour la distance cœur-tête.
29 Ballon météorologique
Un ballon météorologique a une masse m de 5 kg lorsqu’il est vide. Son rayon est R
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b = 3 m lorsqu’il
est gonflé à l’hélium. Il porte une charge M de 10 kg.
1) Montrer que le ballon peut décoller.
2) Quelle est la charge maximale qu’il peut transporter
30 Barrage ⋆
Déterminer la résultante des forces de pression sur la surface plane et verticale d’un barrage bloquant
en amont une retenue d’eau de longueur L, largeur l, et de hauteur h.
Application numérique : L = 10 km, l = 200 m, h = 50 m.
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13

VII- Tension superficielle
31 Traction d’une barre rectiligne
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film de liquide est étendu sur un cadre métallique dont l’un des côtés
est constitué d’une barre mobile de longueur l. On notera γ le coefficient
de tension superficielle de l’interface liquide-air.
1) Quelle est la dimension de γ Rappeler son unité de mesure.
2) Quelle est l’expression de la force F exercée par le film de liquide
sur la barre
3) Application numérique : γ = 40 · 10 −3 S.I. et l = 10 cm.
F
l
32 Loi de Jurin ⋆
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On plonge dans l’eau un tube capillaire de diamètre d = 0, 1 mm, le tube dépassant d’une longueur
l = 0, 50 m de la surface libre du liquide dans la cuve. On suppose que l’eau mouille parfaitement le
verre. Le coefficient de tension superficielle eau-air est γ = 0, 075 N.m −1 .
1) Déterminer la hauteur h à laquelle l’eau monte dans le tube à partir de la loi de Laplace.
33 Flottabilité
Données : masse volumique de l’eau ρ e = 1 g.cm −3 ; masse volumique de l’acier ρ acier = 7 g.cm −3 ;
tension superficielle de l’eau γ = 7·10 −2 N.m −1 ; accélération de la pesanteur g = 10 m.s −2 ; 2/π = 0, 8
.
On dispose de trois aiguilles à coudre en acier, assimilées à des cylindres parfaits, dont les dimensions
sont les suivantes :
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Longueur L (mm)
Diamètre D (mm)
Aiguille n o 1 40 mm 1 mm
Aiguille n o 2 80 mm 1,5 mm
Aiguille n o 3 100 mm 2,5 mm
On dépose délicatement et successivement chacune des aiguilles à la surface d’une eau propre. L’eau
ne mouille pas les aiguilles car celles-ci ont été enduites d’une fine couche de graisse, déposée volontairement
ou par contact avec les doigts. On ne tient pas compte de la poussée d’Archimède dans tout ce
problème.
A. L’aiguille n o 1 est déposée sur un petit carré de papier mouchoir préalablement posé sur l’eau. Le
papier s’imbibe d’eau et coule. On constate que l’aiguille flotte, ce que nous allons essayer d’expliquer.
A1) Exprimer littéralement la masse m de l’aiguille en fonction de L, D et ρ acier .
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A2) En déduire l’expression de la norme F p de la force de pesanteur F ⃗ p qui s’applique à l’aiguille, en
fonction des mêmes paramètres et de l’accélération de la pesanteur g. Application numérique.
A3) Le schéma ci-dessous représente la géométrie des forces que subirait l’aiguille à moitié immergée
dans l’eau. C’est dans cette configuration que F t , la norme de la force totale de tension de surface ⃗ F t
opposée par l’eau à l’aiguille, serait la plus grande.
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14

F t/2 F t/2
On souhaite mesurer le coefficient de tension superficielle d’un liquide donné. Pour cela, on se sert du
dispositif expérimental décrit dans la figure suivante. Un anneau métallique de rayon R est suspendu à un
dynamomètre et est plongé dans le liquide. On tire alors doucement et délicatement sur l’ensemble pour le
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remonter petit à petit. L’anneau ressort du liquide et entraîne avec lui un film cylindrique de liquide (voir
figure). Juste avant que le film ne se rompe, la lecture du dynamomètre indique la force totale exercée :
1) Exprimer la force exercée par le film de liquide sur l’anneau.
2) Avec un anneau de diamètre d = 6 cm et de masse m = 6, 5 g, on
utilise successivement de l’eau et de l’éthanol : on mesure des forces totales
F tot à l’arrachement de 89 mN et 73 mN. Calculer les coefficients
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de tension de surface pour ces deux liquides.
F
p
Le diamètre de l’aiguille étant très petit devant sa longueur, on néglige la contribution à F t des in-
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terfaces réalisées par l’eau avec les extrémités de l’aiguille. Exprimer la norme F t de la force totale de
tension de surface exercée sur la tige en fonction de γ et de L.
A4) Expliquer ce qu’il advient de l’aiguille selon que F t ≤ F p ou que F t > F p .
A5) Calculer numériquement F t et comparer à F p . Le résultat est-il cohérent avec la flottaison de l’aiguille
B. La même expérience est maintenant menée avec les deux autres aiguilles.
B1) Déduire de la réponse aux questions A2) et A4) qu’il existe un diamètre maximum, D
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max , au delà
duquel une aiguille doit couler. Exprimer D max en fonction de γ, g et ρ acier .
B2) Calculer D max numériquement. Cette valeur est-elle compatible avec la simplification faite à la question
A3) pour exprimer F t Indiquer pour chacune des deux aiguilles si elle flotte ou si elle coule.
34 Arrachement d’un anneau : méthode de Wilhelmy de mesure de
la tension de surface
poids (P ) de l’anneau et tension de surface due au film de liquide (F s ). On notera γ le coefficient de
tension superficielle.
On prendra g = 10 m.s −2 pour l’accélération de la pesanteur.
3) Comparer aux valeurs obtenues par d’autres méthodes en utilisant des
produits ultra-purs : γ eau = 0, 072 N.m −1 et γ ethanol = 0, 023 N.m −1 .
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15

VIII- Fluides parfaits
35 Conservation du débit
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Si la vitesse dans un tuyau de 30 cm de diamètre est de 0, 5 m/s, quelle est la vitesse d’un jet de
7, 5 cm de diamètre sortant d’une buse fixée au tuyau
36 Fluide dans une canalisation ⋆
On considère une canalisation AB où s’écoule de l’eau (masse volumique ρ, viscosité négligeable),
considérée comme un fluide parfait. Les diamètres respectifs de la canalisation en A et B sont respectivement
D A = 11 cm et D B = 4 cm. Le point B se trouve placé plus bas de h = 2 m que le point A. La
pression en A est P
Université
A = 5 · 10 5 P a. Calculer, en fonction de D
de Montpellier
A , D B , h, ρ et g (accélération de pesanteur)
la pression en B.
2
Application numérique : prendre v A = 4 m · s −1 , ρ = 10 3 kg · m −3 et g = 10 m · s −2 .
37 Etude d’un siphon
Soit un siphon de diamètre d alimenté par un récipient rempli d’eau,
de grande dimension par rapport à d et ouvert à l’atmosphère (pression
P atm = 10 5 P a).
1) Calculer, en fonction de d, H, ρ et g (accélération de pesanteur) la
vitesse moyenne du fluide en S (sortie du siphon) puis le débit volumique
Q
Université
v du siphon.
Application numérique : g = 10 m
de
· s −2 , d =
Montpellier
10 mm, H = 0.5 m.
2
2) Donner l’expression de la pression P M au point M en fonction de P atm ,
h, H, ρ et g.
3) Représenter l’allure de la pression P M en fonction de h. h peut-il prendre
n’importe quelle valeur
A
M
h
H
S
38 Vidange d’un réservoir
On considère un réservoir comportant une ouverture
de diamètre d. On
Université de
veut comparer
Montpellier
le débit
2
de vidange de ce réservoir, d’une part avec la
seule ouverture, et d’autre part en prolongeant
l’ouverture par un tube vertical de longueur L
(voir la figure ci-contre). Le liquide sera par
ailleurs considéré parfait (viscosité nulle).
1) Déterminer, dans les deux cas, la vitesse du liquide à la distance verticale L en dessous du trou du fond
du réservoir, ceci lorsque le réservoir est rempli d’une hauteur h.
2) Quelle est la vitesse du liquide au niveau de l’ouverture du fond du réservoir dans les deux cas
3) En déduire le débit de vidange dans l’un et l’autre cas. Quel est le dispositif le plus efficace
4) Quelle est la longueur maximale de tube que l’on peut utiliser sans qu’il y ait cavitation Que vaut le
débit
Université
pour cette longueur
de Montpellier 2
Application numérique : h = 5 m ; d = 20 cm ; pression de vapeur du liquide à 20 o C = 2, 34 kP a.
16
d
h
L
d

IX- Ecoulements visqueux
39 Ecoulement dans une seringue ⋆
Université de Montpellier 2
1) On rappelle que pour un fluide visqueux, la perte de charge par unité de longueur ∆P
d’un fluide de
λ
viscosité η, qui s’écoule dans un tube horizontal de longueur λ, de rayon R avec un débit volumique Q,
est donnée par la loi de Poiseuille : ∆P
λ
1a) Quelle est l’équation aux dimensions de la viscosité
1b) Exprimer la perte de charge par unité de longueur ∆P/λ en fonction de la vitesse moyenne ¯v d’écoulement
du fluide.
1c) Dans un capillaire de rayon R = 8 µm, la perte de charge par unité de longueur est de 2, 6·10 6 P a.m −1 .
La vitesse moyenne d’écoulement du sang est de 4 mm.s −1 . Calculer la viscosité η du sang.
= 8ηQ .
πR 4
2) On considère une seringue en verre de rayon intérieur R et de longueur L dans laquelle coulisse sans
Université
frottement un piston de même
de
diamètre.
Montpellier
La seringue, prolongée par une 2aiguille de rayon intérieur r, de
longueur λ, est remplie d’un sérum de viscosité η à injecter dans la veine d’un patient. On supposera la
seringue horizontale.
La pression dans la veine est P v = P 0 + δP , avec P 0 = 10 5 P a et δP = 2 · 10 4 P a.
2a) Comparer les pertes de charge dans l’aiguille et dans la seringue, en calculant ∆Pa
∆P s
en fonction de λ,
L, r, et R.
Application numérique : R = 10 mm ; r = 0, 2 mm ; λ = L/3.
2b) Sachant qu’il faut 10 secondes pour injecter 10 cm 3 de sérum et que la viscosité du sérum est η =
3 · 10 −3 S.I., calculer la perte de charge dans l’aiguille. On donne λ = 2 cm (on prendra 1/π = 0,32).
3a) On suppose que la seringue est horizontale de telle sorte qu’il n’y ait pas d’effets venant de la gravité.
Calculer, en fonction de R, r, de la masse volumique ρ du sérum et du débit Q la différence de pression
dans
Université
la seringue.
de Montpellier 2
3b) Quelle pression p doit exercer l’opérateur sur le piston pour injecter dans les conditions précédentes
le sérum (masse volumique du sérum ρ = 0, 9 g/cm 3 ).
40 Transfusion sanguine
On rappelle l’expression de la loi de Poiseuille : Q = π(r 4 /8)(P A − P B )/(ηL) où Q est le débit
volumique (volume par seconde), r le rayon de la canalisation, η la viscosité du fluide et L la longueur de
canalisation séparant les points A et B. La différence de pression ∆p = P A − P B entre la pression en un
point A et la pression en un point B situé en aval du point A est appelée perte de charge et est due aux
frottements entre le fluide qui s’écoule et la paroi immobile de la canalisation.
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Lors d’une transfusion sanguine, le sang (de masse volumique ρ s ) provenant d’une bouteille surélevée
doit s’écouler avec un débit de 4 cm 3 à la minute par un tube jusqu’à l’aiguille plantée dans la veine du
patient. Cette aiguille a un diamètre intérieur de D a = 0, 8 mm et une longueur L a = 4 cm. La bouteille
est surélevée afin que la surface libre du sang dans la bouteille est à une hauteur h A par rapport à l’entrée
de l’aiguille. La bouteille et la surface libre du sang sont à la pression atmosphérique. Le diamètre du tube
reliant la bouteille à l’aiguille est assez grand pour qu’on puisse négliger la perte de charge dans le tube
par rapport à la perte de charge due à l’aiguille.
1) Donner l’expression de la perte de charge ∆p 1 entre les extrémités de l’aiguille en fonction de Q, L a ,
D a et η s , la viscosité du sang. Calculer la valeur numérique de ∆p 1 .
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17

2) En utilisant l’équation de Bernoulli et en négligeant les effets visqueux à l’intérieur du tube, donner
l’expression de la différence de pression ∆p 2 entre la sortie du tube et la surface libre du sang dans la
bouteille, en fonction de Q, D
Université
a , ρ s , h
de
a et g. Calculer la valeur numérique de ∆p
Montpellier
2 .
3) Sachant que la pression du sang dans la veine dépasse la pression atmosphérique de ∆p
2
v = 2000 P a,
calculer la hauteur h A à laquelle doit être la surface du sang dans la bouteille. Application numérique.
Données : masse volumique du sang ρ s = 1 g.cm −3 ; accélération de la pesanteur g = 10 m.s −2 ; viscosité
du sang η s = 0, 004 P a.s .
41 Viscosimètre capillaire vertical
La vidange d’un réservoir cylindrique de diamètre D se fait par un tube
capillaire de diamètre d et de longueur totale L, placé verticalement, enfoncé
par un trou situé en bas du réservoir. On note z la hauteur du liquide
Université
(de masse volumique ρ) dans
de
le réservoir,
Montpellier
mesurée à partir de l’extrêmité
2
basse du capillaire. La pression extérieure est P atm .
1) la vitesse du fluide est faible dans le réservoir : v ≃ 0. Calculer, en fonction
de P atm ,L, z, ρ, g (accélération de pesanteur) la pression du fluide au
niveau de l’extrêmité haute du capillaire.
2) la perte de charge par unité de longueur ∆P d’un fluide de viscosité η,
λ
qui s’écoule dans un tube de longueur λ, de rayon R avec un débit volumique
Q, est donnée par la loi de Poiseuille : ∆P = 8ηQ . En déduire
λ πR 4
l’expression du débit Q du fluide en sortie du capillaire, en fonction de η,
L, z, ρ, g et d.
3) Etablir l’expression de la durée dt qu’il faut attendre pour que la hauteur du liquide dans le réservoir
passe
Université
de l’altitude z à z + dz (dz étant
de
la variation
Montpellier
de hauteur du fluide, dz < 0).
2
4) En déduire que la durée τ pour que la surface du fluide dans le réservoir passe de l’altitude z 0 à l’altitude
z 1 a pour expression :
5) Application numérique : L = 12, 7 cm, D = 2, 75 cm, d = 1, 20 mm, g = 9, 8 m · s −2 . Le liquide
est de l’eau (masse volumique ρ = 10 3 kg · m −3 ). la durée pour que la surface passe de z 0 = 20 cm à
z 1 = 15 cm vaut τ = 44 s. Calculer la viscosité de l’eau.
6) Calculer, en fonction de z 0 , L, d, g, η et ρ la vitesse maximal du fluide dans le capillaire. Faire ensuite
l’application numérique.
7) On a supposé jusqu’à présent que la vitesse du fluide est négligeable dans tout le révervoir. En appliquant
l’équation de Bernoulli
Université de
entre
Montpellier
la surface libre du réservoir et l’entrée
2
du capillaire, montrer (en
faisant l’application numérique) que le terme où la vitesse apparaît est effectivement négligeable.
42 Vases communiquants
τ = 32LD2 η
ln z 0
.
ρgd 4 z 1
Deux réservoirs cylindriques de diamètre D sont remplis d’un même liquide de masse volumique ρ.
Un tuyau horizontal de diamètre d relie entre eux les fonds de ces réservoirs. La hauteur de liquide dans
le premier réservoir est h 1 , celle du deuxième est h 2 .
1) On suppose que d est beaucoup plus petit que D. Montrer que la vitesse de la surface libre du premier
réservoir est négligeable devant la vitesse du fluide à l’entrée du tuyau.
2)
Université
Comparer les vitesses du fluide
de
à l’entrée
Montpellier
et la sortie du tuyau de communication.
2
18
L
D
d
z
z o

3) Le diamètre D est réservoirs étant beaucoup plus grand que celui du tuyau, on peut négliger, dans
ces réservoirs, les effets venant de la viscosité. Par application du théorème de Bernoulli, exprimer la
différence de pression entre l’entrée et la sortie du tuyau en fonction et D, d, h 1 , h 2 , ρ et g (accélération
de pesanteur).
4)
Université
On note η la viscosité du fluide.
de
On rappelle
Montpellier
que pour un fluide visqueux, la perte 2de charge par unité
de longueur ∆P d’un fluide de viscosité η, qui s’écoule dans un tube horizontal de longueur λ, de rayon
λ
R avec un débit volumique Q, est donnée par la loi de Poiseuille : ∆P = 8ηQ . En déduire, en fonction de
λ πR 4
η, ρ, h 1 , h 2 , d, g et la longueur L du tuyau le débit volumique Q dans le tuyau horizontal.
5) Application numérique : ρ = 10 3 kg · m −3 , h 1 = 50 cm, h 2 = 20 cm, d = 1 cm, g = 10 m · s −2 ,
L = 10 cm, η = 10 −3 P a.s. Calculer Q.
6) Quel résultat trouverait-t-on pour un fluide parfait (viscosité négligeable) Commenter.
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19

X- Gaz parfaits
43 Masse volumique d’un gaz
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On considère le dihydrogène comme un gaz parfait.
1) Calculer la masse volumique du dihydrogène dans les conditions normales (T = 25 o C, P 0 = 10 5 P a)
sachant que la masse atomique molaire de l’hydrogène vaut 1 g.mol −1 . Donner le résultat en g/L puis en
kg/m 3 .
2) Calculer la masse volumique du dihydrogène dans les conditions : P = 5.10 5 P a et T = 200 o C.
44 Variation de la masse d’air sous une serre ⋆
Une serre a un volume V = 5000 m 3 . L’air qu’elle contient est à pression atmosphérique P
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0 =
1, 013.10 5 P a.
Quelle est la variation de la masse d’air sous la serre entre la nuit et le jour, la température nocturne étant
T 1 = 5 o C et la température diurne T 2 = 30 o C
Donnée : masse volumique de l’air dans les conditions normales (P 0 et T = 0 o C) : ρ 0 = 1, 29 kg.m −3 .
45 Bulle d’oxygène
Une algue située à la profondeur h 0 = 10 m sous la surface de la mer (masse volumique ρ mer =
10 3 kg · m −3 ) produit une bulle de dioxygène de diamètre d 0 = 1 mm. L’accélération de la pesanteur
vaut g = 10 m · s −2 et la pression atmosphérique vaut P
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atm = 10 5 P a. On néglige les effets venant de la
tension de surface.
2
1) Exprimer, en fonction de h 0 , ρ mer , g et P atm la pression P 0 du gaz à l’inérieur de la bulle.
2) La bulle remonte la surface de la mer et se trouve maintenant à la profondeur h (h < h 0 ). En
supposant que le gaz dans la bulle se comporte comme un gaz parfait et que sa température demeure
constante, déterminer, en fonction de P atm , g, ρ, h, h 0 et d 0 , l’expression du diamètre de la bulle.
3) Application numérique : calculer le diamètre de la bulle lorsqu’elle arrive à la surface.
46 Evolution d’un gaz parfait dans un cylindre
Un cylindre vertical, de section s = 100 cm 2 est clos à sa partie supérieure par un piston de masse
négligeable, mobile sans frottement.
1) Quelle masse de diazote faut-il introduire dans le cylindre pour que le piston se soulève à une hauteur
h 0 = 1 m au dessus du fond (l’air extérieur et le diazote sont à la même température T = 20 o C) (masse
atomique molaire de l’azote : M N = 14 g/mole, constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.k −1 .mole −1 ,
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pression atmosphérique P 0 = 10 5 P a)
2) On pose sur le piston une surcharge de masse M = 20 kg. Le piston s’enfonce et, après quelques
oscillations, se fixe à une hauteur h 1 au dessus du fond. La température du cylindre est maintenue à
T = 20 o C. Calculer la hauteur h 1 d’équilibre (on prendra pour l’accélération de pesanteur g = 10 m.s −2 ).
3) On chauffe maintenant le contenu du cylindre jusqu’à la température T ′ = 100 o C tout en maintenant
la surcharge en place. A quelle hauteur h ′ 1 le piston va-t-il se fixer
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20

47 Atmosphère isotherme
L’atmosphère est assimilée à un gaz parfait de masse molaire
M air , soumise à la pesanteur d’accélération uniforme g. L’axe
(Oz) est vertical, z = 0 correspondant au niveau du sol. Les propriétés
physiques de l’atmosphère sont uniformes sur une couche
d’égale altitude z et on note P (z) la pression et ρ(z) la masse
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volumique de l’air à l’altitude z. On note P 0 la valeur de la pression
en z = 0. On suppose que la température T est indépendante
de l’altitude z. On note R la constante des gaz parfaits
(R = 8, 32 S.I.).
1) A votre avis, la pression de l’air augmente-t-elle ou diminue-telle
avec l’altitude
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dm = P (z)M airS
pression=P(z+dz)
pression=P(z)
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8) Sachant que la pression au niveau de la mer vaut P 0 = 1, 013 · 10 5 P a, déterminer la valeur de la
pression :
– en haut d’un immeuble de 20 m de haut situé au bord de la mer.
– en haut du mont blanc (altitude 4810 m).
– en haut de l’Everest (altitude 8800 m).
On prendra M
Université
air = 29 g/mole, T = 5 o C et g = 10 m.s −2 .
de Montpellier 2
z+dz
z
altitude
dz
surface = S
masse d’air = dm
0 pression=P(0)
sol
2) Calculer, en fonction de R, P (z), T et M air la masse volume ρ(z) à l’altitude z.
3) Montrer que la masse d’air contenu dans le volume délimité par les plans horizontaux (imaginaires) de
surface S distants de la hauteur dz, l’un étant à l’altitude z, l’autre à l’altitude z + dz vaut :
4) Exprimer, en fonction de S et P (z) la force exercée sur le plan horizontal de surface S situé à l’altitude
z par l’atmosphère située en dessous de ce plan. Cette force est-elle dirigée vers le haut ou le bas
5) Exprimer, en fonction de S et P (z + dz) la force exercée sur le plan horizontal de surface S situé à
l’altitude z + dz par l’atmosphère située au dessus de ce plan. Cette force est-elle dirigée vers le haut ou
le bas
P (z+dz)−P (z)
≃ dP
dz
6) On rappelle que
dz
deux plans précédents, montrer que :
RT
dz
. En écrivant la condition d’équilibre pour le gaz contenu entre les
dP
P (z) = −M airg
RT dz.
7) En intégrant la relation précédente entre les altitudes 0 et z, exprimer P (z) en fonction de P 0 , T , R,
M air , g et z.
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21

XI- Premier principe de la thermodynamique
48 Gaz parfait ⋆
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Une enceinte de volume 1 L contient 0, 1 mole d’hélium (masse molaire M He
= 4 g/mol) à la
température de 27 o C.
1) Calculer la vitesse quadratique moyenne, la pression et l’énergie cinétique moyenne d’une molécule.
2) Calculer l’énergie interne molaire, puis l’énergie interne massique et l’énergie interne du système.
3) La capacité thermique massique à volume constant (C v ).
49 Paroi mobile entre gaz parfaits
Deux gaz parfaits monoatomiques sont placés dans deux compartiments d’une enceinte thermiquement
isolée. Ils sont séparés par une paroi conductrice de la chaleur. Cette paroi est dans un premier
temps fixe. Le gaz de gauche occupe un volume V 1 , sa pression est P 1 . Celui de droite occupe un volume
V 2 , sa pression est P 2 . La température commune des deux gaz est T .
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On libère la paroi de telle sorte qu’elle peut maintenant coulisser.
1) Calculer, la température T ′ atteinte lors du nouvel équilibre.
2) Calculer la pression des deux gaz (en fonction de V 1 , V 2 , P 1 , P 2 et T ).
50 Mélange de gaz parfaits
Deux gaz parfaits monoatomiques sont placés dans deux compartiments d’une enceinte thermiquement
isolée. Ils sont séparés par une paroi thermiquement isolée. Le gaz de gauche occupe une volume
Université de Montpellier V 1 , sa pression est P 1 et sa température T 1 . Celui de droite occupe un volume V 2 , sa pression est P 2 et
sa température est T 2 . On ouvre un orifice dans la paroi, de telle sorte que les deux gaz se mélangent.
Calculer, en fonction de T 1 , V 1 , P 1 , T 2 , V 2 et P 2 , la température T ′ atteinte lors du nouvel équilibre.
51 Respiration
1) Calculer la capacité thermique massique à pression constante (C p ) d’un gaz parfait diatomique (on
rapelle que l’énergie interne massique d’un telle gaz vaut U = 5 RT/M, M étant la masse molaire.
2
2) Une personne respire 12 L d’air par minute à la température de 20 o C et le rejette à 45 o C. En considérant
que l’air est un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mole, calculer la quantité de chaleur
Université
fournie pour le réchauffement de l’air
Montpellier
respiré en une journée (hypothèse 2simplificatrice : la composition
de l’air reste inchangée entre l’inspiration et l’expiration sous une pression constante d’une atmosphère).
Données : masse volumique de l’air ρ = 1, 24 kg.m −3 .
52 Compression d’un gaz parfait
1) Rappeler l’expression de l’énergie interne d’un gaz parfait monoatomique en fonction de la température
T , le nombre de moles n et la constante des gaz parfaits R.
Un récipient fermé par un piston étanche de section s contient un gaz parfait monoatomique à la
température T
Université
0 et à la pression P 0 . Le volume initial est V
de Montpellier
0 . Ce récipient est isolé thermiquement, de telle
sorte qu’il n’y a pas d’échange thermique avec l’extérieur.
2
2) On pose brusquement une masse m 0 sur le piston. Celui-ci s’enfonce, le volume passe de V 0 à V 1 .
22

2a) Exprimer, en fonction de m 0 , s, g (accélaration de pensanteur), P 0 , V 0 et V 1 le travail fourni au gaz
durant la transformation.
2b) En déduire les expressions de T
Université de
1 (température finale) et V
Montpellier
1 en fonction de m
2
0 , s, g, P 0 , V 0 et de
T 0 .
3) On dispose la même masse m 0 sur le piston, mais sous forme de grains de sable placés un à un. A tout
moment, le gaz est alors à l’équilibre : P V = nRT .
Lorsque la masse passe de m à m+dm, la pression passe de P à P +dP , le volume passe de V à V +dV ,
et la température passe de T à T + dT .
3a) Que vaut le travail des forces de pression extérieures lorsque le volume passe de V à V + dV
3b) En appliquant le premier principe de la thermodynamique, en déduire que −P dV = 3 nRdT où
2
n est le nombre de moles.
3c) En utilisant l’équation d’état du gaz parfait, en déduire la relation liant P , V , dP et dV .
3d) En déduire les expressions du volume final V 2 et de la température finale T 2 en fonction de m 0 , s,
g, P
Université
0 , V 0 , et de T 0 .
4) Application numérique : Calculer le volume final et la température finale dans les deux cas (questions
2 et 3) en prenant P 0 = 10 5 P a, V 0
Montpellier
= 1 L, T 0 = 20 o C, s = 10 cm 2 , m 0 = 210 kg et g = 10 m.s −2 .
53 Gaz de van der Waals
L’équation d’état d’un gaz de van der Waals monomoléculaire et son énergie interne s’écrivent :
( )
P + a n2
(V − bn) = nRT U = 3 nRT −
V 2 an2
2 V
où n est le nombre de moles, T la température, V le volume et P la pression. a et b sont deux paramètres
ne dépendant ni de n, V , P ou T .
1) Pour quelles valeurs de a et b le gaz de van der Waals a-t-il le comportement d’un gaz parfait
2) Quelles sont les dimensions des paramètres a et b
3) On fait subir au gaz une compression lente à température constante T : le volume passe de V à V/2.
Université Montpellier 2
Calculer W , le travail reçu au cours de cette transformation.
4) En déduire la quantité de chaleur Q reçue par le gaz au cours de cette transformation.
5) Application numérique : pour l’argon, on a a = 0, 138 J · m 3 · mol −1 , b = 3, 1 · 10 −5 m 3 · mol −1 ,
n = 200 mol, V = 0, 024 m 3 . Calculer W et Q pour T = 300 K.
54 Détente de gaz réels
L’énergie interne d’un gaz réel diatomique pour expression U = 5
Université de Montpellier
2
2
Université de Montpellier 2
23
n2
nRT − a , où n est le nombre de
V
moles, T la température, V le volume. a et b sont deux paramètres.
n moles de gaz sont placées dans un compartiment de volume V d’une enceinte thermiquement isolée
constituée de deux comprtiments. Le second compartiment, de volume V , est vide. Le température du gaz
est T i .
1) On ouvre une vanne de communication entre les deux compartiments. Calculer, en fonction de V , a et
b la variation de température.
2) Que vaudrait cette variation pour un gaz parfait monomoléculaire
3) Application numérique : en considérant des gaz constitués de 200 mole · m −3 , remplir le tableau cidessous.
gaz H 2 N 2 O 2 Cl 2
a (kP a.dm 6 )/mol 2 ) 24,7 140,8 137,2 657,4
∆T ( o C)

A
Corrections
Exercice 2 :
1)
Université
Unité de L : m (mètre) ; unité de
de
M : kg
Montpellier
(kilogramme) ; unité de T : s (seconde) 2; unité de I : A (ampère)
; unité de θ : K (Kelvin).
• [force] = [masse] × [acceleration] = M · L · T −2
• [puissance] = [energie]·[temps] −1 = [masse]·[vitesse] 2 ·[temps] −1 = M ·L 2 ·T −2 ·T = M ·L 2 ·T −3
• [pression] = [force]/[surface] = M · L · T −2 · L −2 = M · L −1 · T −2
• [charge] = [intensite] · [temps] = I · T .
2) • [N.m] = [force] · [longueur] = (M · L · T −2 ) · L = M · L 2 · T −2 .
• [kW.h] = [puissance] · [temps] = (M · L 2 · T −3 ) · T = M · L 2 · T −2 .
puissance
{ }} {
Université
• [e.V ] = [charge]·[tension]
de
= [charge]·[
Montpellier 2
tension · intensite]·[intensite] −1 = [charge]·[puissance]·
[intensite] −1 = (I · T ) · (M · L 2 · T −3 ) · I −1 = M · L 2 · T −2
• [g.cm 2 .s −2 ] = [masse] · [longueur] 2 · [temps] −2 = M · L 2 · T −2 .
• 1 N.m = 1 kg · m 2 · s −2
• 1 kW.h = 10 3 × 3600 W.s = 3, 6 · 10 6 kg · m 2 · s −2
• 1 e.V = 1, 6 · 10 −19 C.V = 1, 6 · 10 −19 kg · m 2 · s −2
• 1 g.cm 2 .s −2 = 10 −3 × 10 −4 kg · m 2 · s −2 = 10 −7 kg · m 2 · s −2
Exercice 8 :
Université
On note n inc l’indice de réfraction de la
Montpellier
substance inconnue. L’angle critique 2lorsque le deuxième
milieu est l’eau étant α, on en déduit que :
)
Université de Montpellier 2
Exercice 11
Par application de la formule de conjugaison :
Université de Montpellier 2
=1
{ }} {
n inc × sin(α) = n eau × sin(90) = n eau ⇒ n inc =
n eau
sin(α) .
En appliquant la loi de Descartes lorsque l’angle d’incidence est i 1 , on obtient, en notant i 2 l’angle de
réfraction :
n inc × sin(i 1 ) = n eau × sin(i 2 ) ⇒ sin(i 2 ) = n inc
n eau
× sin(i 1 ) =
i 2 = sin −1 ( sin(i1 )
sin(α)
= sin −1 ( sin(28)
sin(42)
n eau
sin(α) × 1
)
≃ 44, 6 o .
× sin(i 1 ) = sin(i 1)
n eau sin(α) .
1) Condition de Gauss : tous les rayons lumineux pénétrant dans les lentilles sont peu inclinés sur l’axe
principal et restent au voisinage de cette axe.
2a) La vergence vaut C = 25 δ, la distance focale image de la lentille vaut donc f ′ = 1/25 = 0, 04 =
4 cm.
1
OA − 1
′ OA = 1 ⇒ 1 = 1
OF ′ OA ′ OA + 1
OF ′
24

L’objet étant situé à 6 cm à droite de la lentille, OA = −6 cm. La distance focale vaut 4 cm donc
OF ′ = 4 cm. Donc :
1
= − 1 OA ′ 6 + 1 4 = 1 12 ⇒ OA′ = 12 cm.
L’image
Université
est donc située à 12 cm à
de
droite de
Montpellier
la lentille.
2
Pour connaître la taille de l’image, on utilise :
A ′ B ′
AB = OA′
OA ⇒ A′ B ′ = AB · OA′
OA
On suppose de AB > 0 (objet vers le haut) : AB = 1 cm. On trouve :
A ′ B ′ = 1 × 12 = −2 cm.
−6
L’image est donc inversée et de taille 2 cm.
Université
2b) Le schéma ci-dessous
de
est fait à
Montpellier
l’échelle 1/2. Pour trouver la position 2et la taille de l’image, on trace
un premier rayon issu du point B et partant parallèlement à l’axe optique. Le rayon émergeant coupe l’axe
optique en F ′ . On trace ensuite le rayon issu de B et pasant par le point 0 (centre optique). Ce rayon n’est
pas dévié par la lentille et coupe le premier au point B ′ .
B
A’
A
F
O F’
Université de Montpellier 2
B’
Exercice 21
1) N(t + T ) = N(t)
2
⇒ m(t + T ) = m(t)
2
⇒ exp (−λ(t + T )) = 1 2 exp(−λt)
⇒ exp(−λt) exp(−λT ) = 1 2 exp(−λt) ⇒ exp(−λT ) = 1 2 ⇒ −λT = ln 1 2
= − ln 2.
λ est donc reliée à T par la relation :
λT = ln 2
Université de Montpellier 2
2) La constante radiactive vaut λ = ln 2/24000 ≃ 2, 89 · 10 −5 an −1 .
m(t) = m 0 exp(−λt) ⇒ ln(m(t)) = ln(m 0 ) − λt = ln(m 0 ) − ln(2) t : il faut donc tracer une droite
T
d’ordonnée à l’origine ln(m 0 ) = 3, 91 et passant au point de coordonnées :
(100000, ln(m 0 ) − ln(2) 100000)=(100000; 1, 024)
24000
ln (m(t))
5
4
3
2
Université de Montpellier 2
temps (an)
1
0
20000
40000 60000 80000 100000
25

3) m(t) = 0, 01 · m 0 → 0, 01 = exp(−λt) → ln(0, 01) = −λt ⇒ t = ln(100)
λ
1, 6 · 10 5 ans.
= 24000×ln(100)
ln(2)
≃
4) Pour 239 P u, le nombre de nucléons vaut A = 239. En négligeant la différence entre la masse d’un
proton
Université
et d’un neutron, et en négligeant
de
la masse
Montpellier
des électrons devant celle des protons,
2
on trouve que la
masse d’un atome de plutonium 239 vaut m pu ≃ 239 × m p . Le nombre de noyaux (à l’instant t = 0) vaut
donc :
N P u = m 0
=
m P u
50 · 10 −6
239 × 1, 67 · 10 = 1, 25 · −27 1020 .
5) L’activité est le nombre de désintégration par unité de temps, c’est-à-dire λ×N pu = 2,89·10−5 ×1,25·10 20
365×24×3600
≃
1, 15 · 10 8 Bq.
6) Au bout de 10 000 ans, il reste :
1, 25 · 10 20 × exp ( −2, 89 · 10 −5 × 10 000 ) ≃ 9, 34 · 10 19 noyaux.
Université de Montpellier 2
L’activité vaut donc 2,89·10−5 ×9,34·10 19
≃ 8, 65 · 10 7 Bq.
365×24×3600
Exercice 27
La masse totale de l’iceberg est :
m totale = ρ glace (V e + V i ) .
Le poids de l’iceberge est donc : P oids = ρ glace (V e + V i ) g La poussée d’archimède est égale au poids
de l’eau de mer déplacée par le glaçon = ρ
Université de
ocean V
Montpellier
i g.
Poussée d’Archimède = force vers le haut ; Poids = force vers le bas. A l’équilibre, les deux forces se
compensent ⇒ poids = poussée d’Archimède ⇒
2
Conclusion : V e /V i = ρ ocean /ρ glace − 1.
Application numérique :
V e
V i
=
Exercice 30 :
ρ glace (V e + V i ) g = ρ ocean V i g ⇒ V e
+ 1 = ρ ocean
V i
1, 025
0, 91
− 1 ≃ 0.13 = 13%.
ρ glace
Université
La pression qu’exerce
de
l’eau sur
Montpellier
le barrage dépend de la profondeur z en 2dessous de l’eau :
P (z) = P atm + ρgz
Cette pression n’est pas la même en haut et en bas du barrage. On considère dans un premier temps la
force exercée par l’eau sur une tranche horizontale de barrage, comprise entre les profondeur z et z + dz,
où dz est une hauteur suffisamment petite pour négliger la variation de pression sur cette hauteur.
Université de Montpellier 2
26

0
Université
air
de Montpellier 2
df z
z + dz
h
dz
eau
roche
On note df la force exercée par l’eau sur cette tranche horizontale de barrage.
force = pression × surface ⇒ df = P (z) · ldz,
car la surface de la tranche de barrage vaut ldz.
Université
La force totale est la somme des forces
Montpellier
s’appliquant sur toutes les tranches 2de barrages :
f eau =
∫ h
0
df =
∫ h
0
(P atm + ρgz) ldz =
∫ h
0
P atm ldz+
Application numérique : f
Université
totale = 103 ×10×50 2 ×200
= 2, 5 · 10 9 N.
2
de Montpellier 2
Exercice 32 :
où R est le rayon du tube ; en effet, la surface à la forme d’une calotte sphérique de rayon R, les deux
rayons qui interviennent dans la loi de Laplace sont donc les mêmes et valent R = d/2 (car le liquide
mouille parfaitement le verre).
Université de Montpellier 2
Le fluide étant immobile, on peut appliquer la loi de l’hydrostatique entre les points A et B (qui sont bien
situés au sein du liquide) :
Université de Montpellier 2
∫ h
0
∫ h
ρglzdz = P atm lh+ρgl
0
zdz = P atm lh+ρgl h2
2 .
De l’autre côté du barrage, l’air exerce aussi un force de pression, mais en sens inverse (la pression de
l’air est constante, contrairement à celle de l’eau) : f air = hlP atm . La force totale vaut donc :
f totale = f eau − f air = ρglh2 .
2
D’après la loi de Laplace, la pression juste en dessous de la surface du haut (au point A) vaut :
P A = P atm − 2γ R ,
P atm
P atm
2 γ
000 111
000 111
000 111
000 111 A
000 111 R
000 111
000 111
000 111
h
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
000 111
P
000 111 atm
000 111
00000000000000
11111111111111
000 111
00000000000000
11111111111111 B
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
P B = P A + ρgh ⇒ P A = P B − ρgh = P atm − ρgh car P B = P atm .
27

On en déduit que :
P atm − ρgh = P atm − 2γ R ⇒ ρgh = 2γ R ,
et donc :
Université de Montpellier 2
Exercice 36 :
h = 4γ
ρgd = 4 × 0.075
= 0, 3 m = 30 cm.
10 3 × 10 × 0.1 · 10−3 En appliquant la formule de Bernoulli entre les points A et B on obtient :
1
2 ρv2 A + P A + ρgz A = 1 2 ρv2 B + P B + ρgz B ⇒ P B = P A + 1 2 ρ ( )
vA 2 − vB
2 + ρg (zA − z B )
• z
Université
A − z B = +h (axe z orienté vers le haut pour utiliser la formule de Bernoulli).
de Montpellier 2
• D’après la conservation du débit entre les points A et B on a :
On en conclut que :
Application numérique :
π
4 D2 A · v A = π 4 D2 B · v B ⇒ v B = D2 A
v A .
P B = P A + 1 2 ρv2 A
Université
P B = 5 · 10 5 + 1 de Montpellier 2
2 × 103 × 4
(1 2 −
Exercice 39 :
1a)
∆P
λ
[P ] = [F orce][surface] −1 = [masse][acceleration][surface] −1 = M · L · T −2 .L −2 = M · L −1 · T −2 .
[λ] = L
[Q] = [volume] · [temps] −1 = L 3 · T −1 .
Université
On en déduit que :
de Montpellier 2
[η] = L4 · M · L −1 · T −2
= M · L −1 · T −1 .
L · L 3 · T −1
η =
Université de Montpellier 2
(
1 −
D 2 B
( DA
D B
) 4
)
+ ρgh
( ) 11 4
)
+ 10 3 × 10 × 2 ≃ 0, 7 · 10 5 P a
4
= 8ηQ
πR ⇒ η = πR4 ∆P
4 8λQ ⇒ [η] = [R]4 [∆P ]
[λ][Q]
1b) Lorsque la vitesse est constante sur toute une section : Q = vitesse × surface. Lorsque la vitesse
varie d’un point à l’autre de la section : Q = ¯v × surface. D’où : Q = πR 2¯v.
1c)
2a)
( P
λ
)
R
2
8¯v
⇒ ∆P
λ
8η (πR2¯v)
=
πR 4
= 8η¯v
R 2 .
= 2, 6 · 106 × (8 · 10 −6 ) 2
8 × 4 · 10 −3 = 0, 0052 P a.s.
28

2r
2R
Université de Montpellier
L
2
Le débit Q est le même dans la seringue et dans l’aiguille.
• Dans l’aiguille, ∆P a = λ · 8ηQ .
πr 4
• Dans la seringue, ∆P s = L · 8ηQ
En faisant le rapport, on obtient :
πR 4 .
Université de Montpellier 2
Exercice 44 :
T
P
Université
0 V = n
de
1 RT
Montpellier
0
1 = n 0 RT 0 ⇒ n 1 = n 0 .
T 1
2
Université
∆m = ρ 0 × V
de
·
Montpellier 2
Exercice 48 :
λ
∆P a
∆P b
= λ · R4
L · r 4 .
Application numérique : ∆P a /∆P b = 1/3 × 10 4 /0, 2 4 ≃ 2, 1 · 10 6 . On peut donc négliger la perte de
charge dans la seringue face à celle dans l’aiguille.
On note n 1 et m 1 le nombre de moles dans la serre et la masse d’air à la température T 1 .
On note n 2 et m 2 le nombre de moles dans la serre et la masse d’air à la température T 2 .
On note n 0 et m 0 le nombre de moles dans la serre et la masse d’air à la température T 0 = 0 C .
D’après la loi des gaz parfaits :
De même :
n 2 = n 0
T 0
T
Comme la masse est proportionnelle au nombre de mole : m 1 = m 0
T
0 T 1
et m 2 = m 0 0 T 2
. La variation de la
masse d’air sous la serre est donc :
( T0
∆m = m 1 − m 2 = m 0 − T )
0
.
T 2 T 1
Or, m 0 = ρ 0 × V d’où :
1)
• En désignant par m la masse d’une molécule :
• P = nRT
Université de Montpellier 2
T 2
( T0
− T )
(
0
273
= 1, 29 × 5000 ×
T 2 T 1 273 + 5 − 273 )
≃ 522 kg.
273 + 30
1
2 m〈v2 〉 = 3 √ √
√
√√√ √ √
2 k 3kB T
BT ⇒ 〈v 2 〉 =
m = 3(R/N A )T 3RT 3 · 8, 32 · 300
= =
≃ 1370 m.s −1 .
M He /N A M He 4 · 10 −3
V
= 0,1×8,32×300
10 −3 ≃ 2, 5 · 10 5 P a.
• 〈E c 〉 = 3 2 k BT = 3RT
2N A
= 3×8,32×300
2×6,02·10 23 ≃ 6, 2 · 10 −21 J.
29

2)
• Pour un gaz parfait monoatomique (comme l’hélium), l’énergie interne d’un gaz renfermant N moles
de gaz vaut U = 3N RT . Donc pour une mole :
2
Université
U molaire
de
= 3 Montpellier 2
2
3 × 8, 32 × 300
RT = ≃ 3744 J.
2
• La masse des N moles vaut M He N. Donc, l’énergie interne massique vaut :
U massique =
U 3N
masse = RT 2
M He N = 3RT =
2M He
3 × 8, 32 × 300
2 × 4 · 10 −3 ≃ 9, 4 · 10 5 J.kg −1 .
• L’énergie interne du système vaut :
RT =
3 × 0, 1 × 8, 32 × 300
2
≃ 374, 4 J.
U = 3N 2
Université de Montpellier 2
3) Considérons un volume V de gaz parfait, contenant une nombre N de moles. On fait subir au gaz la
transformation thermodynamique suivante : le volume étant maintenu fixe, on fait passer sa température
de T à T + δT . Au cours de cette transformation, le gaz à reçu une certaine quantité de chaleur δQ. Par
définition de la capacité thermique à volume constant :
δQ = c v δT.
On calcule δQ grâce au premier principe de la thermodynamique :
δU = δW + δQ.
δU est la variation d’énergie interne. Lors de la transformation, l’énergie interne passe de
Université de Montpellier 2
3N RT à 2
3N
R(T + δT ). Donc : 2
δU = 3N 2 R(T + δT ) − 3N 2 RT = 3N 2 RδT
Par ailleurs, δW = −P δV , où P est la pression et δV la variation de volume. Puisque le volume est
constant au cours de la transformation, δV = 0 et donc, δW = 0. Donc :
δU = δW + δQ ⇒ 3N 2 RδT = 0 + c vδT ⇒ c v = 3N 2 R.
c v
masse =
3N
2 R
N · M He
= 3
2M He
R.
Capacité thermique massique =
Université de Montpellier 2
Application numérique :
C v =
3 × 8, 32
2 × 4 · 10 ≃ 3120 J · −3 K−1 · kg −1 .
Université de Montpellier 2
30

B
Formulaire (mathématiques)
Voici les principales formules mathématiques utiles pour la résolution des exercices :
B.1
Université
Logarithme et exponentielle
de Montpellier 2
ln(1) = 0 ln(a × b) = ln(a) + ln(b) ln ( a b) = b · ln(a)
ln ( ( )
1
a)
= − ln(a) ln
a
b = ln(a) − ln(b) exp(0) = 1
exp(−a) = 1
exp(a + b) = exp(a) × exp(b) exp (ln(x)) = ln (exp(x)) = x
exp(a)
B.2 Trigonométrie
adjacent
x
Université de Montpellier 2
hypothenuse
B.3 Surfaces et volumes
Université de Montpellier 2
a × g(x)
Université de Montpellier 2
oppose
côté opposé
côté adjacent
sin(x) =
hypothénuse
cos(x) =
hypothénuse
sin(−x) = − sin(x)
cos(−x) = cos(x)
sin ( π
− 2 x) = cos(x) cos ( π
− 2 x) = sin(x)
B.4 Dérivées
tan(x) =
Si |x| ≪ 1 alors : sin(x) ≃ x et tan(x) ≃ x (x en radians)
Surface d’un disque de rayon R : S = πR 2
Surface d’une sphère de rayon R : S = 4πR 2
Volume d’une sphère de rayon R : V = 4 3 πR3
Volume d’un cylindre droit de hauteur h, de rayon R : V = πR 2 h
f(x)
g(x) + h(x)
g(x) × h(x)
h [g(x)]
f ′ (x)
g ′ (x) + h ′ (x)
a × g ′ (x)
g(x) × h ′ (x) + g ′ (x) × h ′ (x)
g ′ (x) × h ′ [g(x)]
7
Université de Montpellier 2
côté opposé
côté adjacent
f(x) f ′ (x) remarques
1 x n nx n−1
2 a 0 se déduit de la formule 1 avec n = 0
3 ax a se déduit de la formule 1 avec n = 1
a
4 − a 2
se déduit de la formule 1 avec n = −1
x
x
1
5 ln(x) x > 0
x
6 exp(ax) a exp(ax)
√ x
1
2 √ se déduit de la formule 1 avec n = 1/2
x
8 sin(ax) a cos(ax) x en radians
9 cos(ax) −a sin(ax) x en radians
31

B.5 Intégrales
Ci-dessous, F est une primitive de f.
f(x)
Université de Montpellier 2
g(x) + h(x)
ag(x)
F(x)
G(x) + H(x)
aG(x)
f(x) F(x) remarques
1 x n 1
n+1 xn+1 n ≠ −1
2 a ax se déduit de la formule 1 avec n = 0
1
3 ln(x) x > 0
x
1
4 exp(ax) exp(ax)
a sin(ax)
x en radians
a
1
5 cos(ax)
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6 sin(ax) − 1 cos(ax) x en radians
a
∫ b
a
∫ b
a
f(x)dx = [F(x)] b a
= F(b) − F(a)
(f(x) + g(x)) dx =
∫ b
a
∫ b
a
f(x)dx +
∫ b
∫ b
α · f(x)dx = α f(x)dx
a
a
g(x)dx
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