introduction à la logique

Logique
Il est apparu dès l'antiquité la nécessité de développer la logique, et sa formalisation
commence avec Artistote qui la develope pour contrer les sophistes et
l'utilisation qu'ils font du langage.
L'un des premiers exemples est le suivant :
Socrate est un homme et Tous les hommes sont mortels donc Socrate est
mortel.
Toutefois, on se rend vite compte qu'il faut un formalisme très précis pour éviter
des dérives :
Tous ce qui est rare est cher et un cheval bon marché, c'est rare donc un
cheval bon marché est cher. Le problème vient ici du fait que les termes sont mal
dénit.
1. Table de vérité
On nommera assertion un énoncé qui ne fait pas intervenir de variables et qui
peut prendre les valeures VRAI ou FAUX. Par exemple 2 ∈ R (VRAI), i ∈ C
(VRAI), i ∈ Z (FAUX), tous les hommes sont mortels (VRAI), ...
Par contre, x ∈ R n'est pas une assertion, car l'énoncé x ∈ R dépend de la
variable x.
On peut alors se demander si une assertion est vrai ou fausse.
Donnons nous deux assertions A et B. On peut alors leurs associer de nouvelles
assertions : nonA , A et B, A ou B, A ⇒ B (implique) , A ⇔ B (équivaut à).
1.1. L'opérateur non : négation logique. On prend simplement le contraire
A
V RAI
F AUX
nonA
F AUX
V RAI
1.2. L'opérateur ou. Pour que l'assertion soit vraie, il faut que l'une ou l'autre
des assertions soit vrai, mais pas forcément les deux.
Exemple : Être ou ne pas être, les deux n'étant pas incompatible 1 .
A B A ⇒ B
V RAI V RAI V RAI
V RAI F AUX V RAI
F AUX V RAI V RAI
F AUX F AUX F AUX
Par exemple (1 ≥ 0)ou(0 ≥ 1) est vrai. Mais (0 ≥ 1)ou(1 ≥ 2) est faux.
1. cf. toutefois le chat de Schrödinger
1

1.3. L'opérateur et. Pour que l'assertion soit vraie, il faut que les deux soient
vraies : une glace à la vanille et au citron.
Exemple : Du pain et des jeux : c'est ce dont le public romain avait besoin selon
Juvénal, il faut les deux.
A B A ⇒ B
V RAI V RAI V RAI
V RAI F AUX F AUX
F AUX V RAI F AUX
F AUX F AUX F AUX
Par exemple (1 ≥ 0)et(0 ≥ 1) est faux (car au moins l'un est faux).
On montre, à l'aide de table de vérité, que non(AetB) = (nonA)ou(nonB). On
en déduit alors que (AetB) = non((nonA)ou(nonB)).
1.4. L'opérateur ⇒. Par dénition, on a (A ⇒ B) = non(Aet nonB).
Exemple : Je pense donc je suis (ce n'est pas une équivalence en général).
A B A ⇒ B (nonA)ouB
V RAI V RAI V RAI V RAI
V RAI F AUX F AUX F AUX
F AUX V RAI V RAI V RAI
F AUX F AUX V RAI V RAI
Le fait que le vrai implique le vrai est vrai (2 première ligne) est ce qui nous
importe le plus. Par contre, le fait que le faux implique n'importe quoi (3ème et
4ème lignes) est vrai peut être déroutant. Toutefois, on peut s'en convaincre en
regardant l'exemple de Russel suivant : si 2 + 2 = 5 alors je suis l'archevêque de
Canterbury (trouver la preuve !).
Regardons le principe de contraposition qui dit que si A ⇒ B est vrai si et
seulement si non(B ⇒ nonA) est vrai (c'est une conséquence formelle de la table
de vérité).
1.5. L'opérateur ⇔. C'est la conjonction de A ⇒ B et de B ⇒ A. Par dénition
on a donc (A ⇔ B) = ((A ⇒ B)et(B ⇒ A)).
On a donc la table de vérité suivante
A B A et B A ou B A ⇒ B A ⇔ B
V RAI V RAI V RAI V RAI V RAI V RAI
V RAI F AUX F AUX V RAI F AUX F AUX
F AUX V RAI F AUX V RAI V RAI F AUX
F AUX F AUX F AUX F AUX V RAI V RAI

En regardant toutes les dénitions des opérateurs introduits ci-dessus, on voit que
tout les connecteurs peuvent se ramener à non et à ou. Ceci est très important
en électronique.
On peut démontrer énormément de règles diérentes. Nous allons en donner
quelques unes.
i) (AouB)ouC = Aou(BouC)
ii) Aet(BetC) = (AetB)etC
iii) (Aou(BetC)) = (AouB)et(AouC)
iv) (Aet(BouC)) = (AetB)ou(AetC).
v) non(AouB) = (nonA)et(nonB).
1.6. Des assertions qui sont toujours vraies. On peut construire des assertions
qui sont toujours vraies, par exemple :
i) Aou(nonA), c'est le principe du tiers exclus : une chose ou son contraire est
forcément vraie ;
ii) non(Aet(nonA)), principe de non-contradiction : une chose ne peut pas être
fausse en même temps que son contraire)
iii) ((A ⇒ B)et(B ⇒ B)) ⇒ (A ⇒ B), transitivité de l'implication, Socrate est
un homme et tous les hommes sont mortels donc Socrate est mortel.
2. Quantificateur
Nous passons maintenant aux prédicats qui sont des énoncés qui dépendent d'une
ou plusieurs variables. Par exemple, x est un entier pair, (x ∈ C).
On dispose de deux qanticateurs ∀ et ∃ qui permettent de remplacer les variables
par des valeurs prisent dans des ensembles.
Par exemple, si A(x) est une assertion dépendant de la variable x, on peut écrire
∀x ∈ E A(x)
qui signie : pour tout élément x pris dans E, l'assertion A(x) est vraie.
Ainsi, on pourrait considérer les exemples suivants
∀x ∈ Z, x est un entier pair (cette assertion est fausse)
∀x ∈ R, x ∈ C (vraie).
Revenant à un prédicat abstrait A(x), on peut aussi écrire
∃x ∈ E A(x)
qui signie : il existe un élément de l'ensemble E tel que la relation A(x) soit
vraie.
Exemples :
∃x ∈ Z, x est un entier pair (vraie)

∃x ∈ C, x ∈ Z (vraie).
Utilisant des quanticateurs sur des prédicats, on obtient ainsi des assertions,
qu'on peut connecter : non(∀x ∈ Zxest un entier pair), (vraie).
On montre alors les équivalences suivantes :
i) non(∀x, A(x)) équivaut à ∃x, nonA(x) (appliqué à la situation précédente,
on voit que cela veux dire qu'il existe des entiers qui ne sont pas pair).
ii) non(∃x, A(x)) et ∀x, nonA(x).
iii) non(∀x(P (x) ⇒ Q(x))) équivaut à ∃x(P (x)et non(Q(x))) (très utile ! !).
3. Type de démonstration
3.1. Démonstration directe. A ⇒ B.
n est impair ⇒ n 2 est impair.
3.2. Démonstration par contraposée. nonB ⇒ nonA.
cf. l'exemple de Russel : comme je ne suis pas l'archevêque de Canterbury, alors
2 + 2 ≠ 5.
S'il pleut, le sol est mouillé ! Donc si le sol n'est pas mouillé, il ne pleut pas.
n 2 est pair ⇒ n est pair.
3.3. Démonstration par l'absurde. On suppose que que B est vraie et on
essaie d'aboutir à nonA. On a alors A et nonA qui est toujours faux, ce qui
contredit le principe de non-contradiction.
√
2 est irrationel, qui fut l'un des premiers exemples de démonstration par l'absurde
et qui date de l'antiquité grecque. On suppose que √ 2 = p/q avec p et q
premiers entre eux (par de diviseurs communs), ... 2 , on nit par montrer que p
et q ont forcément un facteur commun, ce qui est absurde.
3.4. Disjonction des cas. Dans un énoncé dépendant de paramètres, on regarde
les diérentes valeurs des paramètres et on conclut selon les cas.
Si on veut résoudre le système, pour m ∈ R
{
mx + y = 1
x + my = m 2
qui équivaut à {
y = 1 − mx
x(1 − m 2 ) = m(m − 1)
Si m ∉ {−1, 1} alors x = m(m−1)
1−m 2 donc y = ...
Si m = −1 alors x.0 = 2 donc il n'y a pas de solution.
2. remplissez !

Si m = 1 alors la dernière `équation équivaut à 0 = 0 donc on peut prendre x
quelconque et y = 1 − x.
3.5. Démonstration par récurrence. On a une hypothèse P (n) qui dépend
d'un entier et on souhaite la montrer pour tous les entiers : si P (0) est vraie et
que pour tout n ≥ 0 on a P (n) ⇒ P (n + 1) alors P (n) est vraie pour tout n ≥ 0.
Il faut faire bien attention aux étapes, et on compare ce procédé à la montée d'un
échelle. Pour pouvoir monter tout en haut, il sut de savoir monter sur le premier
barreau (qui possède un statut particulier) puis, étant sur un certain barreau, de
savoir passer au suivant.
3.5.1. Premier exemple. Considérons la propriété P (n) armant que pour tout
entier n on a 1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2n + 1) = (n + 1) 2 .
Cette propriété est vraie pour n = 0 ! Supposons maintenant qu'elle est vraie au
rang n. Alors au rang n + 1 on a
1+2+3+· · ·+(2n+1)+(2n+3) H.R. 3
= (n+1) 2 +2n+3 = n 2 +4n+4 = (n+2) 2 .
3.5.2. Un contre-exemple. Considérons l'hypothèse P (n) armant que n = n+1.
Par récurrence, supposons le résultat vrai au rang n et démontrons le au rang
n + 1 :
n + 2 = (n + 1) + 1 H.R.
= n + 1.
Donc la propriété serait vraie... si on avait initialisé la récurrence !
3.5.3. La suite de Fibonacci. Suite de Fibonacci : on considère la suite u n dénie
par u 0 = 0, u 1 = 1 et pour tout n ≥ 1 on a
On souhaite montrer que
c'est un calcul direct car
u n = 1 √
5
((
1 + 1 + √ 5
2
u n+1 = u n−1 + u n .
1 + √ ) n (
5
−
2
= 3 + √ 5
2
=
(
1 − √ ) n )
5
2
1 + √ ) 2
5
.
2
On voit que le seul problème est en fait de trouver la formule de récurrence !