GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS)

Chapitre 2
GRILLE HORNER - LOI DU
RESTE (RAPPELS)
Définition 2.1 (Division euclidienne)
Effectuer la division euclidienne du polynôme A(x) par le binôme (x − a), c’est déterminer les
polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que
{ A(x) = (x − a).Q(x) + R(x)
R(x) est constant. On note alors le reste par r.
Vocabulaire
Le polynôme A(x) est divisible par x − a lorsque le reste de la division est égal à 0, c’est-àdire
lorsque A(x) = (x − a).Q(x).
Le polynôme A(x) se factorise alors en produit de (x − a) et du quotient.
Exemple
Le polynôme x 4 − 5x 3 + 3x 2 + 9x − 6 est divisible par x − 2 puisque x 4 − 5x 3 + 3x 2 + 9x − 6 = (x −
2)(X 3 − 3x 2 − 3x + 3).
Exemple introductif
Soit à diviser p(x) = −5x 3 + 2x 4 + x + 1 par x − 2 (rem. : a = 2).
2x 4 − 5x 3 + 0x 2 + x + 1 x − 2
————
Disposition pratique : la grille de HORNER
11

CHAPITRE 2. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 12
Cette règle est une disposition simplifiée de la méthode des coefficients indéterminés.
Les coefficients du dividende
{ }} {
2 −5 0 1 1
| + + + +
La valeur de a ←− 2 ↓ 4 −2 −4 −6
2 −1 −2 −3 −5
} {{ }
Les coefficients du quotient
} {{ }
Le reste
On obtient
Q(x) = · · ·
Le degré du quotient est le degré du dividende diminué de 1.
Loi du reste
Reprenons l’exemple et remarquons que P (2) = · · ·
Le reste de la division d’un polynôme en x par x − a est égal à la valeur numérique du
polynôme pour x = a.
En effet, par la division euclidienne on a obtenu
Mais alors, en particulier, si x = a :
Conséquence
P (x) = (x − a)Q(x) + r
P (a) = (a − a)Q(a) + r
= 0 Q(a) + r
= r
Le polynôme P (x) est divisible par (x − a) ⇐⇒ P (a) = 0
Application
Soit à factoriser le polynôme P (x) = x 2 + x − 2.
Les diviseurs entiers du terme indépendant sont : ...
⎧
P (1) = · · ·
⎪⎨
P (−1) = · · ·
Calculons
P (2) = · · ·
⎪⎩
P (−2) = · · ·
⇒
⇒
⇒
⇒
On a donc P (x) = · · ·
Exercice 2.2
Calculer le quotient et le reste de la division de A(x) par B(x) dans chaque cas

CHAPITRE 2. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 13
Exercice 2.3
1 A(x) = x 2 + 5x + 6
Q(x) = x + 3
B(x) = x + 2
R(x) = 0
2 A(x) = 3x 3 − 8x 2 + 7x − 2
Q(x) = x 2 − 2x + 1
B(x) = 3x − 2
R(x) = 0
3 A(x) = −8x 4 − 2x 3 − x 2 + 5x + 6
Q(x) = −2x 3 + x 2 − x + 2
B(x) = 4x + 3
R(x) = 0
4 A(x) = −8x 4 − 23x + 15x 5 + 6 + 22x 2
Q(x) = −3x 3 + 4x 2 − 5x + 2
B(x) = 3 − 4x − 5x 2 R(x) = 0
5 A(x) = x 3 + 6x 2 + 3x − 7
Q(x) = x 2 + 4x − 5
B(x) = x + 2
R(x) = 3
6 A(x) = −2x 3 + 3x 2 + 5x − 4
Q(x) = −2x + 3
B(x) = x 2 − 1
R(x) = 3x − 1
7 A(x) = x − x 3 − 1 − 2x 2
Q(x) = − 1 2 x2 + 1 2
B(x) = 4 + 2x
R(x) = −3
8 A(x) = 4x 2 − x 3 + 7 + 2x 5 − 6x
Q(x) = −x 2 + 2
B(x) = 4 − 3x − 2x 3 R(x) = 8x 2 − 1
9 A(x) = x 5 − x 7 + 3 − 6x + 5x 2 + 2x 4 + 7x 3 Q(x) = x 4 + 2x 2 − 1
B(x) = 3x − x 3 + 2
R(x) = x 2 − 3x + 5
10 A(x) = x 3 + 3x 2 − 7x + 3
Q(x) = x 2 + 4x − 3
B(x) = x − 1
R(x) = 0
11 A(x) = 6 − 4x + x 3
Q(x) = x 2 − 3x + 5
B(x) = x + 3
R(x) = −9
12 A(x) = 5x 2 − 2x 3 − 3 + 4x
Q(x) = −2x 2 − x + 1
B(x) = x − 3
R(x) = 0
13 A(x) = 2x 3 − 4x − 5 − x 2
Q(x) = 2x 2 − 3x − 1
B(x) = x + 1
R(x) = −4
14 A(x) = 6x 5 − 3x 4 − 2x + 6 − 10x 2
Q(x) = 2x 3 − x 2 + 4
B(x) = −2 + 3x 2 3 x − 4
R(x) = 2 3 x − 2
15 A(x) = 0, 4x 2 − 0, 05x − 4
Q(x) = 0, 5x + 1, 5
B(x) = 0, 8x − 2, 5
R(x) = −0, 25
16 A(x) = −x 6 + 19
6 x5 −5x 4 + 17
12 x3 − 20 9 x2 + 11
3 x−1 Q(x) = 3
B(x) = − 2 2 x4 − 1 4 x3 − x + 1 3
3 x2 + 2x − 3
R(x) = 0
17 A(x) = 6x 4m − x 3m − 82x 2m + 81x m + 36 Q(x) =
B(x) = 2x m − 3
R(x) = 0
Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste.
1.
x 2 +2x+3x 4 −2
x+1
3.
1−4x+3x 3 +6x 4
x+ 1 2
5.
x 3 +(a−b)x 2 −2a 2 x−2ab(a+b)
x−a−b
2.
6x 3 −x+x 2 − 1 2
x− 1 2
4.
x 4 −2x 3 y+x 2 y 2 −2xy 3
x−2y
6.
3x 3 +a √ 3x 2 −9a 2 x−3a 3√ 3
x−a √ 3
Exercice 2.4
Les divisions suivantes se font-elles exactement? Calculer le quotient et le reste (n ∈ IN).
x
1. 3 −a 3
x
x−a
2. 5 +a 5
x−a
3.
x n −a n
x−a
4.
x n +a n
x−a

CHAPITRE 2. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 14
Exercice 2.5
Déterminer k pour que les divisions suivantes donnent comme reste r .
Exercice 2.6
1)
x 3 +x 2 −x−k
x−1
r = 0
r = −5
2)
3x 3 −4x 2 +kx+3
x−2
3)
3a 3 +a 2 −ka+2
a+1
r = 2k − 1
4)
k 2 x 3 −kx 2 −10x
x+3
r = −6
5)
kx 4 +kx 3 y+kx 2 y 2 −40xy 3 +3y 4
x−3y
r = 0
Déterminer a et b pour que le polynôme p soit divisible à la fois par d 1 et d 2 . Factoriser le polynôme
obtenu.
1) p = ax 4 + bx 3 − 8x 2 − 4x + 5 d 1 = x − 1 d 2 = x + 1
2) p = ax 4 + bx 3 + ax 2 − bx − 2 d 1 = x + 1 d 2 = x + 2
3) p = ax 4 − 10x 2 y 2 − bxy 3 + (b − 1)y 4 d 1 = x + y d 2 = x − 3y
Exercice 2.7
Décomposer
Exercice 2.8
1)p = x 2 + 2x − 35 sachant que p(5) = 0
2)p = 2x 2 + √ 3x − 3 sachant que p(− √ 3) = 0
3)p = 2x 3 − 15x 2 + 19x − 6 sachant que p(1) = p(6) = 0
4)p = x 3 + ( √ 3 − √ 2 − √ 6)x 2 − (3 √ 2 − 2 √ 3 + √ 6)x + 6 sachant que p( √ 2) = p(− √ 3) = 0
Factoriser les polynômes suivants:
1. x 3 − 4x 2 + x + 6
2. 2x 3 + 3x 2 − 3x − 2
Exercice 2.9
Simplifier les fractions suivantes :
3. x 3 − 7x − 6
4. x 3 − 6x 2 + 11x − 6
5. x 3 + 6x 2 + 11x + 6
6. 2x 3 − 5x 2 − 4x + 3
1.
x 3 −3x 2 −4x+12
x 3 −6x 2 +11x−6
Exercice 2.10
2.
2x 3 −5x 2 −4x+3
4x 2 −4x+1
3.
x 3 +x 2 −9x−9
x 3 +3x 2 −x−3
4.
x 3 −7x−6
x 3 +2x 2 −x−2
1. Les restes des divisions du polynômes p par (x − 1) et par (x − 2) sont respectivement 2 et 6.
Calculer le reste de la division de p par (x − 1)(x − 2).
2. Les restes des divisions du polynômes p par (x + 1) et par (x − 1) sont respectivement 3 et −1.
Calculer le reste de la division de p par (x 2 − 1).
Exercice 2.11
Déterminer les réels a et b pour que le polynôme ax 4 + bx 3 + 1 soit divisible par
1. x 2 − 1 2. (x − 1) 2 3. (x + 1) 2
Dans chacun des cas, précisez le quotient.

CHAPITRE 2. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 15
Exercice 2.12
Dans chaque cas, déterminer un polynôme de degré 4
1. qui possède 4 racines rélles distinctes.
2. qui possède uniquement 3 racines réelles distinctes.
3. qui possède uniquement 2 racines rélles distinctes.
4. qui possède 1 et une seule racine réelle.
5. qui ne possède aucune racine réelle.
Décomposer x 5 − 1 en un produit de 3 facteurs réels.
Exercice 2.13
1. Déterminer les paramètres a et b du polynôme suivant :
P (x) = x 3 + (a + b + 2)x 2 + (ab + 2a + 2b)x + 2ab
de telle façon que le reste de la division par (x − 2) soit égal à 5, et que le reste de la division
par (x + 1) soit égal à 5 4 .
2. En exploitant ces seules données (sans effectuer la division), déterminer quel sera le reste de la
division de P (x) par (x − 2)(x + 1)
Exercice 2.14
Quelles conditions faut-il imposer aux nombres réels a et b pour que le polynôme
x 4 + x 3 + ax 2 + bx + 1
possède deux racines réelles distinctes et opposées ?
Exercice 2.15
Si z 1 , z 2 , z 3 désignent les trois racines du polynôme
24z 3 − 26z 2 + 9z − 1
Calculer
1
z1
2 + 1 z2
2 + 1 z3
2
Suggestion : identifier le polynôme et sa décomposition en facteurs pour obtenir la somme, le produit
et la somme des produits 2 à 2 des racines
Exercice 2.16
Pour quelles valeurs réelles de m le trinôme
mx 2 + 2mx + 1
possède-t-il deux racines distinctes dans l’intervalle ] − 2, 0[.
Exercice 2.17
Factoriser
3x 4 − 11x 3 + 9x 2 + 4x − 4
sachant que l’équation f(x) = 0 admet deux racines dont le produit vaut −1.
Exercice 2.18

CHAPITRE 2. GRILLE HORNER - LOI DU RESTE (RAPPELS) 16
Soit un polynôme de degré trois, à coefficients réels
P (x) = x 3 − ax 2 + bx − c
Déterminer tous les réels a, b, c tels que le polynôme P (x) admette ces mêmes nombres a, b, c comme
racines.
Exercice 2.19
Déterminer les polynômes P (x) de degré trois, à coefficients réels, tels que :
1. Le coefficient de x 3 dans P (x) est égal à 1 ;
2. P (x) s’annule lorsque x = 2 √ 2 et lorsque x = −2 √ 2
3. Le reste de la division de [P (x)] 2 par x − 3 est égal à 4.
Exercice 2.20
Voici la courbe d’un polynôme de degré 4 :
Soit P (X) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ce polynôme.
Trouver les coefficients c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , c 4 afin de déterminer ce polynôme.
Exercice 2.21
Voici la courbe d’un polynôme de degré 4 :
Soit P (X) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 ce polynôme.
Trouver les coefficients c 0 , c 1 , c 2 , c 3 , c 4 afin de déterminer ce polynôme.