Calcul algébrique.

Série 8. Chaque expression algébrique dans chacune des case est la différence entre celle du dessus à gauche etcelle du dessus à droite.x² x²-9xx2x1Série 9. Complète le tableau.. x-2 x-1 x x+1 x+2x-2x-1xx+1x+2Série 7. Et puis, il faut un peu s’en sortir avec des fractions. Ramène les expressionssuivantes en une seule fraction.1 ) 1 xx2)x 2 2 1 x3 33) 1 x 2 x5 2 44)x 1 1 x 25 )23xx 1x6 )1xx5 x3x1 1x7) 2x 2xx42013-2014 math Werner

2. Les polynômes.Exprime algébriquement le volume de la partie A de l’objet ci-dessous puis de la partie B puisenfin du volume total. Développe l’expression que tu as trouvée.xX+2ABx-2x-3X+2Volume de A =Volume de B =Volume total =Vol. total =……………………………………………………………………..…L’expression algébrique obtenue ci-dessus s’appelle un polynôme de variable x.C’est en réalité une fonction, on l’écrira souvent p(x)Il est du……… degré car …..Le terme du 3 ème degré est :Le terme du 2 ème degré est :Le terme du 1 er degré est :Il n’y a pas de terme de degré 0 ou terme indépendantDéfinitions1. Un monôme à une variable est une expression algébrique ne comportant qu’un produit d’unréel par une puissance entière de cette variable. Le réel est appelé coefficient de la variable.Ex : 2x² ; -3x³ ; -0,02x ; ½y ….2. Des monômes sont semblables s’ils ont la même partie littéraleEx : -3x³ ; 5x³ ; -0,02 x³3 . Un polynôme est une somme de monômes.Ex : -3x³ + 5x² - 3x + 4Un polynôme comprenant deux termes s’appelle un binôme. Ex : -2x+5Un polynôme comprenant 3 termes s’appelle un trinôme . Ex : -3x³ + x – 5Un polynôme comprenant 4 termes s’appelle un quadrinôme. Ex : -2x³ + x² + 3x – 14. Le terme indépendant dans un polynôme est le terme ne comprenant pas la variable.5. On dit qu’un polynôme est réduit si tous les termes semblables ont été additionnés6. On dit qu’un polynôme est ordonné si les puissances de la variable apparaissent dans l’ordredécroissant.7. On dit qu’un polynôme est complet si dans le polynôme réduit, il y a un terme représentantchaque puissance depuis la plus élevée jusqu’au terme indépendant.8. La valeur numérique d’un polynôme est le réel que l’on obtient quand on remplace lavariable par un réel donné.2x52013-2014 math Werner

Ex : soit p(x) = -3x² + 5x – 7 alors p(-2) = -3(-2)² + 5(-2) – 7 = -29Opération sur les polynômes.Addition, soustraction et multiplication.Soit p(x) = -4x³ + 2x² - 5x + 3 et q(x) = 3x³ - 6x + 9Calcule p(x) + q(x) .Calcule p(x) – q(x)Calcule p(x) . q(x)Division d’un polynôme par (x-a).a) Rappel : la division euclidienne.C’est la division que l’on faisait à l’école primaire quand on n’avait pas encore rencontré lesdécimaux. Quand la division ne se faisait pas exactement, il y avait un reste.Exemple : Soit à diviser 535 par 4 . en disposition de calcul écrit.Vocabulaire :535 s’appelle le………………….. on le notera ………4 s’appelle le ……………………… on le notera …………..…… s’appelle ……………………..on le notera………………….s’appelle ………………….on le notera.Relation fondamentale qui lie toutes ces valeurs :b) Exemple.Soit à diviser 3x³ -2x² +4x + 1 par (x-3)Première disposition : le calcul écrit3x³ -2x² + 4x + 1 x - 362013-2014 math Werner

2. Détermine la valeur de m pour que 3x³-2x²+mx-1 soit divisible par x+13. Détermine la valeur de m pour que -2x²+3x+m soit divisible par x-23) Factoriser, c’est transformer une expression en produit.Mots clé : mettre en évidence, produits remarquables, Hörner, groupement,D’abord, quelques situations qui montrent l’utilité de la factorisation.a) Calcule mentalement en trouvant une méthode qui te faciliterait le travail.A 7, 31 15 7, 31 2 7,31 3 B 0, 8 5, 6 1, 7 5, 6 0, 1 5,6 9 8 5C 9, 5 9, 5 9,5 11 11 1127 60D 0, 71 0, 71 0,71 17 7 7 7b) Calcule rapidement l’aire totale de la figure ci-contre.(les proportions ne sont pas respectées)1,251,750,51,252,51,253,25 1,25c) Réfléchis aux situations suivantes et tu découvriras la principale raison de tout le travail que nous allonsfaire sur la factorisation.On essaye de deviner des nombres. Donne différentes possibilités.Leur somme égale 12Leur somme égale 0Leur produit égale 10Leur produit égale 1Leur produit égale -1Leur produit égale 0Conclusion :d) Quand je multiplie deux nombres consécutifs, j’obtiens 0. Peux-tu les trouver ?e) Le produit de deux nombres pairs consécutifs est égal à 0. Trouve toutes les possibilités.f) Le produit de 4 nombres consécutifs est égal à 0. Trouve toutes les possibilités ;82013-2014 math Werner

Techniques de factorisation d’une expression algébrique.Rappel : factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit. Une expression seratotalement factorisée si on a pu l’écrire sous la forme d’un maximum des facteurs.1 ère méthode : la mise en évidence.Exemples1) 2x + 2y = 2 (x + y)2) ax + ay = a(x + y)3) a² + ab = a(a + b)4) 6a²b + 9ab² = 3ab (2a + 3b )5) 3x(x-y) – 2y(x-y) = (x-y) (3x – 2y)Lorsque l’on parvient à identifier des développements du type ka + kb - kc, on peut factoriser cesdéveloppements en mettant le(s) facteur(s) commun(s) en évidence.ka + kb - kc = k ( a + b - c )Cette démarche est la démarche inverse de la...................................................Exercices : factorise en mettant le maximum de facteurs en évidence.3 3312a 3b5xy 15xy5a³ 5a 7a² 7a624xy 36x12a² 8a8a² 12a³ 4a 25a 75a³5 3a) 2ab 2ab) 12cd² 8cc) 40x 60xd) 4a²b² 6ab² 8a³b6ax 2x 2bx32a³16a²12a³b 6ab² 8a³b 4a³ 8a² 12a9 625a 75ab56a³b 48ab72a² 48aa a a³e)2b(c d) 3( c d)( a 3)( x 4) (5 x)(a 3) 4(2x y) 5x(y 2x)5( a b) 3( a b)²3( x y)² 4( x y)³f) 7( x y)² ( x y) 3x(x y)5x(a b) 3y(b a) 7a(2a b) 2( b 2a)²(2a 3)( a 3) ( a 7)(3 2a)3( a 1)( a 1) 3(1 a)²Dans la série suivante, il faut d’abord grouper deux à deux les termes. (méthode des groupements)a³ a²b ax bx3xy 3x² 2ay 2axg) 8ax 8bx ay by12ax 8x 9ay 6ya³ 3a²b ab² 3b³2 ème méthode : utilisation des produits remarquables.Rappel : a² - b² = (a+b) (a -b) (différence de deux carrés)a² + 2ab + b² = ( a+b)² (trinômes carré parfait)a² - 2ab + b² = (a-b)²92013-2014 math Werner

2013-2014 math Werner10Exemples :1) a² - 16 = (a-4)(a+4)2) 9a²b² - 25y² = (3ab -5y)(3ab+5y)3) 4a²+4a + 1 = (2a + 1)²4) 9x² - 12x + 4 = (3x – 2)²Exercices :Série 1.a)1²49²36²25²²9²169²xyxbabxb)36²49²25²²²16²²9141²bayxbabac)1662581161616814488444444yxbababayxd)²16²²³50³32³²7²7²2²2axaabbaaayxbae))²2(3²16)²(29)²(²4²9)²3(11)²(baayxbaxbbaaf))²9(²100²36)²4()²(31)²(2)²3(2)²(5)²4(25)²(3yxxyyxbbyxyxaasérie 2a)bxaxbaxxaabbxx²18²81²4928²418²16²102512²4b)³²2²3624²4²2³12896²182736²12babbaxxxxxbbaac)²12²416²41²bbaaxx23²916²25²1529²xyyxbabasérie 3Mise en évidence, différence de carrés et trinômes carrés parfaitsa)63²2³4025²161491812²21644xxxxxaxxab)4516³16²²24³4810040²492)²(3)5)(2()2)(2(3xyxbabaabxxxyxayxac)³²2329²36³271²216²4344babaaaaaaxxaax

d)16a² (3a1)²x³ 2x² x 2( a 4y)(x b) (2a y)(b x)a²x² 4x² a² 4a² a 14e)a4b4 c2x² 6x 184a² 4a 1 4b² a² 2ab b²83x² 2x133 ème méthode : Factorisation d’un polynôme par la méthode d’Hornernotions à revoir : les polynômes et le vocabulaire lié à ceux-ci : réduit, ordonné, degré, complet, termeindépendant, valeur numérique, la division par Horner et le théorème du reste…L’idée : rechercher par quels binômes du type (x-a) le polynôme à factoriser se divise exactement. Effectuercette division et écrire le polynôme sous la forme de dq (diviseur fois quotient)Marche à suivre.Soit à factoriser le polynôme x³-4x²-11x+30.1 ère étape : rechercher par quel binôme du type (x – a) ce polynôme pourrait se diviser.La valeur de a doit être un diviseur du terme indépendant : 30Essayons. A) Divible par x-1 ? le reste de cette division = p(1) = 1³-4.1²-11.1+30 = 16B) Divisible par (x + 1) ? reste = p(-1) = (-1)³ - 4.(-1)² - 11.(-1) +30 = 36c) Divisible par x-2 ? reste = p(2) = 2³-4.2²-11.2+30 = 0 ça marche ! ! !2 ème étapeEffectuons alors la division par la disposition d’horner.1 -4 -11 302 2 -4 -301 -2 -15 0Q(x) = x²-2x-153 ème étapeOn a alors x³-4x²-11x+30 = (x-2) ( x²-2x-15)4 ème étapeOn pourrait alors essayer de factoriser x²-2x – 15 par la même méthode.Il est inutile d’essayer de diviser par les binômes qui n’ont pas fonctionnés plus haut.N’oublions pas que le valeurs de a doivent être diviseurs du terme indépendant. Ici 15.Essayons x-3. Reste = p(3) = 3²-2.3-15 = -12Essayons x+3. Reste = p(-3) = (-3)²-2.(-3)-15 = 0. Ça marche ! Effectuons la division.1 -2 -15-3 -3 151 -5 0Q(x) = x-5 On a donc x²-2x-15 = (x+3)(x-5)5 ème étapeOn a donc réussi à factoriser notre polynôme de départ et on peut écrireX³-4x²-11x+30 = (x-2)(x+3)(x-5)Utilisation : si on avait du résoudre l’équation x³ -4x² -11x +30 = 0On aurait factorisé en (x-2)(x+3)(x-5) = 0 et on aurait trouvé les 3 solutions possibles : 2 , -3 et 5.112013-2014 math Werner

11) 12(x + 2)³ - 3(x + 2)12) (a – b) – (a – b)x 413) –3x 9 + 3x 514) 2x³ - 7x15) 16a 4 b² - 24a²b³ + 9b 416) x²(a² - 4) – (a² - 4)17) (a + 1) 4 – (a + 1)²18) 125x³(x– y)² - 45x(3x + 2y)²19) (a² + b² - c²)² - (a² - b² + c²)²20)(a – 1)²3- a²1221) 2x³ + 5x² - 4x – 322) 2x³ + 3x² - 23x – 1223) x 4 + 5x³ - 15x² - 45x + 5424) 24x – 4 + 5x 4 – 6x³ - 19x²4. Applications de la factorisation25) x² - 8x + 1226) x² - 14x + 1327) x² - 22x + 8528) x² - 4x – 529) x² + 10x + 1630) x² - 115x + 150031) x² - 4x – 3232) x² + 5x – 1433) x² + 20x + 1934) x² - 4x – 1235) x³ + 9x² + 11x – 2136) x³ + 2x² - 5x – 637) x 4 + 2x³ - 16x² - 2x + 1538) x 4 – 7x ³ + 17x² - 17x + 639) x 5 + 3x 4 – 16x – 48I) Règle du produit nulSi abc = 0 alors a=0 ou b= 0 ou c = 0Résous les équations suivantes en utilisant le principe ci-dessus.2x 9 0 2x² 5x(2x 1)² 1 0a)x² 5x 0x² 2x 1 0x(x 4) 5( x 4)b) 3x² 48(3x 1)² 4x² 0 5x² 21x²x² 8 08x³18x²4x³ 4x² x 4d) Devinette ! Quand je multiplie par 9 un nombre et que j’ajoute 9 au résultat, j’obtiens la somme du carré etdu cube du nombre de départ. Quel est ce nombre ? Y a-t-il une solution unique ?xe) Le volume d’une boîte parallélépipédique doitêtre égal à 30 cm 3 . Le deuxième côté doit avoir 2x - 2cm de moins que le premier et le troisième, 3 cmde moins que le premier. Est-ce possible ? Si oui,trouve la ou les solutions.c)x(1 x) ( x 1)x²(3x 1)² ( x 3)²x - 3162013-2014 math Werner

II) Fractions rationnelles.Simplification d’une fraction : rappel.On ne peut simplifier une fraction que par un FACTEUR commun au numérateur et dénominateur.ac bcEn aucun cas, on ne peut simplifier une fraction par un terme commun.abAinsi :abccn,’est PAS simplifiable.Pour simplifier une fraction, il faut donc commencer par factoriser le numérateur et le dénominateur et ensuitesimplifier par les éventuels facteurs communs.Exemple :4x² 94x²12x 9(2x 3)(2x 3)(2x 3)²2x 32x 3Exercices :3x 61)x² 42a 62)4a123x²12x123)x² 5x 6x²14)x³1x³ 3x² 45)2x³163x 66)x² 2x3a² ab7)6ab 2b²x³ 2x² x 28)x² 3x 2x² 259)25 5x3x² 310)4 4x172013-2014 math Werner

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