ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

Fig. 1 – Zones de confiance pour 4 divergences avec les mêmes donnéesNaturellement, les zones grandissent avec la confiance et sont convexes.On remarque tous de suite que la figure obtenue pour le χ 2 se distingue : leszones sont circulaires et particulièrement grandes. Il s’agit en fait d’un casparticulier à bien des égards. La divergence du χ 2 , point fixe de la conjugaisonconvexe, donne toujours des régions en ellipses, ici très proche de cercles carnos données sont réparties indépendamment et de la même façon suivant desdeux axes. On peut aussi remarquer que ces zones sortent de l’enveloppeconvexe des observations pour le χ 2 , et même du support de la loi, le carré[0, 1] 2 . C’est le cas pour des valeurs de α proche de 1 ou des données en petitnombre, comme pour la figure 3. Ceci tient au fait que certains poids sontnégatifs. En effet, avec cette divergence, si l’on impose à la mesure Q d’êtreune probabilité, il n’existe pas de solution à la minimisation. Pour certainesvaleurs de µ, pourtant hors de l’enveloppe convexe des données, on peut alorstrouver des mesures Q telles que la divergence reste acceptable.Il peut être judicieux de faire varier le nombre de données, pour observerla variation des surfaces en fonction de ce nombre.Fig. 2 – Zones de confiance pour 100 données uniformesFig. 3 – Zones de confiance pour 10 données uniformesPour les données en faible quantité, on note que les zones s’adaptent bienau données, comme c’est classique pour la vraisemblance empirique. Il y abien sûr une particularité pour le χ 2 , qui ne peut qu’adapter les axes del’ellipse, et explose si les données sont en très faible quantité (dans la figure3, la ligne de niveau correspondant à 99% est hors du cadre, et est doncinvisible).4.2 Sur le choix de la divergenceOn peut étudier des données de tous types avec nos 4 divergences, pouressayer de mieux saisir leurs différences. Il apparaît sur nos simulations, cequi est conforme à la théorie (comportement asymptotique), que dès que lenombre de données est important (supérieur à 25), les surfaces sont fortement15