ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

BDémonstrations des résultatsB.1 Preuve du Théorème 3.1La preuve suit les grandes lignes de Owen (1990). Tout d’abord, si q < p,on peut, par une nouvelle paramétrisation, se ramener à des données de tailleq, ce qui permet de démontrer le résultat si on le prouve pour q = p. Cecirevient à supposer que la matrice de variance-covariance (notée Σ) des X iest inversible. La convexité de C η,n,ϕ ∗ découle immédiatement de celle de ϕ ∗et de la linéarité de l’intégrale. Comme on a supposé les X i de loi continue,les X i sont distincts avec probabilité 1.Pour démontrer le Théorème 3.1, il nous faut nous assurer de l’existencede η n (µ) et de βn ϕ (µ), au moins pour certains µ. D’après Owen (2001),chap. 11, p. 217 pour S la sphère des vecteurs unités de R p ,inf Pr[(X −θ∈S µ)′ θ > 0] > 0.On pose alors ε = inf θ∈S Pr[(X − µ) ′ θ > 0] et on remarque que Glivenko-Cantelli nous donnesup[Pr −P n ][(X − µ) ′ θ > 0]θ∈SPr p.s.−−−→n→∞ 0d’où l’on déduit inf θ∈S P n [(X −µ) ′ θ > 0] > ε pour n assez grand. Ceci signifie2qu’en prenant n assez grand, tout µ appartenant à l’enveloppe convexe despoints formés par l’échantillon est admissible.On rappelle également le lemme suivant : voir Owen (2001),Lemme B.1 (Négligeabilité) Soit (Y i ) n i=1 une suite de variables aléatoiresindépendantes et identiquement distribuées et ∀ n ∈ N,∑Z n = max i=1,..,n |Y i |.Si E [Y1 2 ] < ∞, alors, en probabilité, Z n = o(n 1/2 ) et 1 nn i=1 |Y i| 3 = o(n 1/2 ).Rappelons que le programme d’optimisation dual d’après (2.1) vaut{ n∑}n∑βn ϕ (µ) = sup λ ′ (µ − X i ) − ϕ(λ ′ (X i − µ)) . (Dual)λ∈R p i=1i=1La condition au premier ordre impliquée par (Dual) nous permet d’affirmerque la dérivée par rapport à λ j de la partie droite est nulle, pourj ∈ {1, ..., p}. Il vient les conditions suivantesn∑∀ j ∈ {1, ..., p} 0 = (X j i − µj )[1 + ϕ (1) (λ ′ (X i − µ))]i=1donc 0 = g(λ) = 1 nn∑(X i − µ) [1 + ϕ (1) (λ ′ (X i − µ))]i=119