ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

5 ConclusionCe travail généralise la validité des raisonnements sur la vraisemblanceempirique menés par Owen (1990) aux ϕ-divergences. On gagne un choixétendu de métriques pour une méthode qui ne suppose que peu de chosessur le modèle sous-jacent aux données. Ce travail propose des pistes pourchoisir la divergence en fonction du nombre de données et pour éviter lesproblèmes d’implémentation, en particulier en introduisant la famille desQuasi-Kullback.AQuelques éléments de calcul convexe.Le lemme suivant simplifie la recherche des fonctions convexes dont onconnaît la conjuguée et réciproquement (voir Borwein & Lewis 1991) :Lemme A.1 (Involutivité de la conjugaison) Quelle que soit ϕ convexe,il y a équivalence entre les assertions suivantes :(i) ϕ = (ϕ ∗ ) ∗ ,(ii) ϕ est fermée, c’est-à-dire que son graphe G = {(x, ϕ(x)), x ∈ R} estfermé,(iii) ϕ est semi-continue inférieurement.Grâce à ces méthodes, il est assez simple d’obtenir les tableaux 3 et 4 quipermettent de calculer les conjuguées convexes utilisées dans ce travail.Fonction h f(x) f(ax) f(x + b) af(x)Fonction h ∗ g(x) = f ∗ (x) g ( )xag(x) − bxag ( )xavalidité ∀a ≠ 0 ∀b ∀a > 0Tab. 3 – Propriétés élémentaires17