ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

s’explique en partie par le théorème 2.1, qui donne des conditions d’existencede solutions seulement pour des mesures signées. Le fait de ne pas imposer quela mesure soit de masse 1 facilite l’optimisation, mais demande de reformulerla contrainte sur le paramètre recherché. En effet, on a E Q [µ] = Q(1) · µ. Onécrit alors le paramètre d’intérêt T Q [X] = E Q[X]. mais demande de prendreQ(1)des précautions avec la contrainte sur le paramètre recherché. En effet, enimposant E Q [X − µ] = 0, on définit µ comme une moyenne renormalisée :µ = E Q[X]Q(1) .Intuitivement, pour généraliser de la méthode de vraisemblance empirique,on considère la valeur empirique de la fonctionnelle définie parM(R, µ) =inf {I ϕ ∗(Q, R)}{Q≪R, T Q [X]=µ E Q [X−µ]=0}pour R ∈ P, i.e. la minimisation d’un contraste sous les contraintes imposéespar le modèle. Si le modèle est vrai, i.e. E P [X] = µ E P [X − µ] = 0 pour laprobabilité P sous-jacente, alors on a clairement M(P, µ) = 0. Un estimateurde M(P, µ) à µ fixé est simplement donné par l’estimateur plugin M(P n , µ),qui n’est rien d’autre que β ϕ n (µ)/n. Cet estimateur peut donc permettre detester M(P, µ) = 0 ou dans une approche duale de construire une région deconfiance pour µ.On suppose que ϕ satisfait les hypothèses suivantes :Hypothèses 3.1 (i) ϕ vérifie les hypothèses 2.1,(ii) La dérivée seconde de ϕ est minorée par m > 0 sur d(ϕ) ∩ R + (≠ ∅).Il est simple de vérifier que les fonctions et divergences données dans lapartie précédente vérifient cette hypothèse supplémentaire. L’hypothèse (ii)est vérifiée en particulier lorsque ϕ (1) est elle-même convexe (entraînantϕ (2) (x) croissante donc ≥ ϕ (2) (0) > 0 sur R + ), ce qui est le cas pour toutesles divergences étudiées ici. Pour le cas de la moyenne et pour Q dans M n(et donc de masse 1), on peut réécrire les contraintes de minimisation sousla formeT (Q−Pn)[X − µ] = µ − ¯µ, où ¯µ = E Pn [X].Il vientE (Q−Pn)[X − µ] = µ − ¯µ, où ¯µ = E Pn [X].βn ϕ (µ) = n inf {I ϕ ∗(Q, P n)}Q∈M n, E Q [X−µ]=0{= n inf Iϕ ∗(Q, P n ) ∣ E(Q−Pn)TQ∈M (Q−Pn)[X − µ] = µ − ¯µ }n{∫}= n sup λ ′ (µ − ¯µ) − ϕ(λ ′ (X − µ))dP n .λ∈R pΩ8