ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

3 Extension de la méthode de vraisemblanceempirique aux ϕ-divergences.L’objectif de ce chapitre est d’étendre la méthode de vraisemblance empiriqueà des ϕ-divergences autres que celle de Kullback ou les Cressie-Read,et de montrer en quoi les résultats obtenus par Owen (1990) et tous ceuxrécemment obtenus dans la littérature économétrique sont essentiellementliés aux propriétés de convexité de la fonctionnelle I ϕ ∗. Nous nous restreignonsici au cas de la moyenne multivariée pour simplifier l’exposition et lespreuves, mais les résultats sont également valides pour des contraintes demoments plus générales en nombres finis, de la forme :E P [m(X, θ)] = 0où m est une fonction régulière de X × R p dans R r avec r ≥ p.3.1 Vraisemblance empiriqueOn considère une suite de vecteurs aléatoires X, X 1 , · · · , X n de R p , n ≥ 1,indépendants et uniformément distribués de loi de probabilité P dans unespace de probabilité P. On note Pr la probabilité sous la loi jointe P ⊗nde (X 1 , ..., X n ). On cherche alors à obtenir une région de confiance pourµ 0 = E P X = ∫ XdP sous l’hypothèse que V P (X) est une matrice définie positive.Pour cela dans l’optique traditionnelle de Von Mises, on construit la probabilitéempirique P n = 1 n∑ ni=1 δ X iavec δ x (y) = 1l {y=x} , qui est l’estimateurdu maximum de vraisemblance non-paramétrique de P , dans le sens où ellemaximise, parmi les lois de probabilités, la fonctionnelle L(Q) = ∏ ni=1 Q({x i})où ∀i ∈ {1, ..., n}, {x i } représente le singleton x i = X i (ω), pour ω ∈ Ω fixé.On ne s’intéresse donc ici qu’à l’ensemble P n des probabilités Q dominéespar P n , c’est-à-dire de la forme, Q = ∑ ni=1 q iδ Xi , q i ≥ 0, ∑ ni=1 q i = 1.On définit une région de confiance pour la moyenne µ 0 , selon le principede la vraisemblance empirique, comme suit{C η,n = µ∣ E Q[X − µ] = 0, Q ∈ P n , R n (Q) = L(Q) }L(P n ) ≤ η {n∑n∑∏ }ni=1= µq∣ i (X i − µ) = 0, q i ≥ 0, q i = 1, R n (Q) =q i≤ η ,i=1i=1∏ ni=1où η est déterminé par la précision 1 − α que l’on veut atteindre pour larégion de confiance : Pr(µ 0 ∈ C η,n ) = 1 − α. L’intérêt de la définition de C η,nvient de l’observation suivante de Owen (1988) :∀µ ∈ R p , Pr(µ ∈ C η,n ) = Pr(η n (µ) ≥ η)61n