ϕ-Divergence empirique et vraisemblance empirique généralisée

De même, en effectuant un développement limité de ϕ autour de 0 dansl’expression de β ϕ n (µ), il vientβn ϕ (µ) = −n.λ ′ n(¯µ − µ) − ∑ ni=1 ϕ (λ′ n(X i − µ))= −n.λ ′ n(¯µ − µ) − ∑ ( )n (λ ′n (X i −µ)) 2i=1ϕ (2) (0) + ˜α2 i,n= −n.λ ′ n(¯µ − µ) − γ(2) (0)(nλ ′ 2 nS n λ n ) − ∑ ni=1 ˜α i,n= −nλ ′ n(¯µ − µ) − ∑ n−n γ(2) (0)2i=1 ˜α i,n(˜λ′ n S n˜λn − 2 ˜λ ′ γ (2) (0) n(¯µ − µ) + (¯µ−µ)′ Sn−1(¯µ − γ (2) (0) µ)′ Sn−1 (¯µ − µ) − ∑ ni=1 ˜α i,n− γ(2) (0)n˜λ ′ 2 nS n˜λn − n(¯µ−µ)′ Sn−1 (¯µ−µ)=n= n(¯µ−µ)′ Sn−12ϕ (2) (0)(¯µ−µ)− γ(2) (0)2γ (2) (0)2n˜λ ′ nS n˜λn − ∑ ni=1 ˜α i,n)(¯µ−µ)ϕ (2) (0) 2où ‖˜α i,n ‖ ≤ ˜B|λ ′ n(X i − µ)| 3 , pour ˜B > 0, en probabilité, ce qui donne :n∑‖ ˜α i,n ‖ ≤ ˜Bn∑3 ‖λ n ‖ 3 ‖(X i − µ)‖ 3 = O P (n −3/2 ) · n · o P (n 1/2 ) = o P (1)i=1i=1De plus, comme on sait que λ n = O P (n −1/2 ), ˜λ n = o P (n −1/2 ), S n = O P (1),¯µ − µ = O P (n −1/2 ) et n(¯µ − µ) ′ Sn−1 (¯µ − µ)2ϕ (2) (0)β ϕ n (µ)B.2 Preuve du Théorème 3.2en loi−−−→n→∞en loi−−−→n→∞χ2 (p).χ2 (p), il vientInégalité exponentielle Pour alléger les notations, on note βn(µ) ε = βn Kε .D’après l’égalité (Dual) donnant βn(µ) ε et en développant K ε au voisinage de0 on a}βn(µ) ε = sup{nλ ′ (µ − ¯µ) − 1 n∑(λ ′ (X i − µ)) 2 K ε (2) (t i,n )λ∈R p 2i=1}car K (2)εβ ε n(µ) ≤ supλ∈R p {nλ ′ (µ − ¯µ) − 1 2supλ∈R p {nλ ′ (µ − ¯µ) − 1 2n∑(λ ′ (X i − µ)) 2 εi=1≥ ε. Si l’on pose l = ελ,}n∑(λ ′ (X i − µ)) 2 ε =i=11ε supl∈R p {nl ′ (µ − ¯µ) − 1 221,}n∑(X i − µ) ′ ll ′ (X i − µ) .i=1