programme - Université de Mons

LES FACULTéS DES SCIENCES APPLIQUéESEn Communauté française, le titre professionnel universitaire d’ingénieur civil est conféré conjointementau grade académique de master en sciences de l’ingénieur (master ingénieur civil). Les études qui yconduisent sont organisées à :BRUXELLES, par la Faculté des Sciences Appliquées de l’ULB ;LIEGE, par la Faculté des Sciences Appliquées de l’ULg ;LOUVAIN-LA-NEUVE, par l’Ecole Polytechnique de Louvain de l’UCL ;MONS, par la Faculté Polytechnique de Mons de l’UMONSLES éTUDESLa formation d’ingénieur civil comporte cinq années d’études : trois années de bachelier et deux annéesde master.Les trois années de bachelier constituent le premier cycle, les deux années de master le deuxième cycle.La réussite des études de base de premier cycle confère le grade académique de bachelier en sciencesde l’ingénieur, orientation ingénieur civil ou ingénieur civil architecte. La réussite des études de base dedeuxième cycle confère le grade académique de master ingénieur civil.Les grades académiques de deuxième cycle délivrés par les institutions universitaires de la Communautéfrançaise de Belgique sont les suivants :Master ingénieur civil des mines et géologueMaster ingénieur civil en chimie et science des matériauxMaster ingénieur civil physicienMaster ingénieur civil électricienMaster ingénieur civil électromécanicienMaster ingénieur civil en aérospatialeMaster ingénieur civil mécanicienMaster ingénieur civil biomédicalMaster ingénieur civil en informatiqueMaster ingénieur civil en informatique et gestionMaster ingénieur civil en mathématiques appliquéesMaster ingénieur civil des constructionsMaster ingénieur civil architecte3

soit un diplôme, titre ou certificat d’études similaire à ceux mentionnés aux literas précédents délivré parla Communauté flamande, par la Communauté germanophone ou par l’Ecole royale militaire;soit d’un diplôme, titre ou certificat d’études étranger reconnu équivalent à ceux mentionnés aux literas précédentsen application de la loi, d’un décret, d’une directive européenne ou d’une convention internationale.LES SESSIONS DE L’EXAMEN D’ADMISSIONChaque faculté organise deux sessions d’examen d’admission.Les examens portant sur les matières mathématiques ont lieu, pour la première session, durant lapremière quinzaine de juillet, la proclamation des résultats a lieu avant le 15 juillet.Pour la seconde session, ces mêmes examens se situent durant la première quinzaine de septembre,la proclamation a lieu avant le 15 septembre.En principe les examens portant sur les autres matières se déroulent également durant ces périodes.Toutefois, il est possible que certaines facultés soient amenées à placer des examens portant sur lesmatières non mathématiques à d’autres dates. Les étudiants qui doivent présenter l’épreuve complètesont donc priés de prendre contact avec le secrétariat des facultés pour obtenir l’horaire des examens.A réussi, l’étudiant qui obtient une note supérieure ou égale à10/20 dans chacune des matières et unemoyenne de 12/20 sur l’ensemble des épreuves. En cas d’échec en 1 ère session, l’étudiant peut êtredispensé en 2 ème session des épreuves pour lesquelles il a obtenu une note au moins égale à 12/20.Les notes correspondantes font alors l’objet d’un report.Ce report ne peut cependant être obtenu que si les deux sessions sont présentées au sein d’une mêmefaculté. Il est également strictement limité aux deux sessions de la même année académique.6

DéTAIL DES MATIèRES MATHéMATIQUES1) AnalyseRappel des propriétés de R.Généralités sur les fonctions :domaine de définition ;opérations sur les fonctions : addition, soustraction, multiplication, composition ;fonctions réciproques ;maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle ;parité ;périodicité ;comparaison des graphiques de fonctions : f(x), f(x)+a, f(x+a), k f(x), f(kx) ;fonctions exponentielles et logarithmiques.Continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle.Continuité à gauche, à droite.Limite des valeurs d’une fonction.Asymptotes.Lien entre limite et continuité.Calcul de limites y compris dans les cas classiques d’indétermination.Nombre dérivé et fonction dérivée :définitions ;propriétés des fonctions dérivables sur un intervalle ;calcul de la dérivée :- de fonctions usuelles ;- d’une somme, d’un produit, d’un quotient de fonctions dérivables ;- de la composée de deux fonctions ;- d’une fonction réciproque d’une autre.Théorèmes classiques et applications :théorèmes de Rolle et des accroissements finis ;liaison entre le signe de la dérivée première et la croissance d’une fonction dérivable, applicationà la recherche d’extrema ;liaison entre la concavité du graphique d’une fonction et le signe de la dérivée seconde, applicationà la construction du graphique d’une fonction.Primitive et intégrale d’une fonction continue, intégration par parties, par substitution.Applications de l’intégrale au calcul des aires planes et des volumes de solides de révolution.7

82) AlgèbreCalcul dans le corps R des nombres réels : opérations fondamentales, valeur absolue, puissances rationnellesdes nombres réels positifs, radicaux.Le corps C des nombres complexes : définition, opérations fondamentales, représentation géométrique,forme trigonométrique, formule de Moivre, racines nièmes.Emploi et applications des polynômes à coefficients réels ou complexes, à une ou plusieurs variables :identités remarquables ;zéros d’un polynôme dans R et dans C ;divisibilité des polynômes ; division polynomiale avec reste ;division d’un polynôme en x par x-a, loi du quotient et du reste ;quotients remarquablesfactorisation des polynômes.Opérations sur les fractions rationnelles.Premier degré :propriétés de la fonction ax+b ;compatibilité, résolution de systèmes d’équations et discussion de systèmes n x n à 1 paramètre (n ≤ 3) ;matrices réelles m x n (où m et n n’excèdent pas 3) ; opérations fondamentales : transposée, opposée,multiplication par un nombre réel, somme et produit de deux matrices, inversion de matrices carrées ;déterminants d’ordre 2 et 3 : propriétés et application à la résolution des systèmes linéaires ;inéquations et systèmes d’inéquations à une inconnue ;problème du premier degré avec discussion ;Analyse combinatoire sans répétition.Binôme de Newton.Progressions arithmétiques et géométriques : définitions et propriétés.Notions probabilistes de base et statistique descriptive élémentaires :probabilité d’un événement ;événements compatibles, incompatibles, dépendants, indépendants, contraires ;paramètres de position : modes, médiane, moyenne ;paramètres de dispersion : étendue, variance, écart-type.Deuxième degré :équation à une inconnue à coefficients réels ou complexes ;résolution propriétés des racines ;résolution d’équations réductibles au deuxième degré, bicarrées, irrationnelles ;discussion de l’équation à coefficients réels ;propriétés de la fonction ax 2 + bx + c ;résolution et discussion des inéquations à coefficients réels ;problèmes du deuxième degré avec discussion.

3) Trigonométrie et calcul numériqueConnaissance des valeurs particulières classiques des fonctions trigonométriques et cyclométriques.Connaissance et applications des formules donnant :sin (-a), cos (-a), tg (-a) ;sin (π±a), cos (π±a), tg (π±a) ;sin (π/2±a), cos (π/2±a), tg (π/2±a) ;sin (a±b), cos (a±b), tg (a±b),sin p ± sin q, cos p ± cos q ;sin 2a, cos 2a, tg 2a , 1 ± cos 2a ;sin a, cos a, tg a en fonction de tg a/2.Résolution d’équations du type a cos x + b sin x = c.Résolution d’équations trigonométriques et représentation de l’ensemble des solutions sur le cercletrigonométrique.Résolution d’inéquations trigonométriques simples et représentation graphique de l’ensemble des solutions.Relations entre les angles et les côtés d’un triangle rectangle et d’un triangle quelconque (règles dessinus et des cosinus).Résolution de triangles.Calcul d’une expression numérique comportant les fonctions usuelles (fonctions trigonométriques etcyclométriques, fonction exponentielle, fonction logarithme, puissance et racines).Applications.( N.B. : La résolution des questions ne requiert que l’utilisation des formules trigonométriques cidessus.Toute autre formule trigonométrique utilisée doit être démontrée. )4) Géométrie synthétique plane et dans l’espaceLongueur d’un segment, alignement, amplitude d’un angle, mesures des longueurs.Angles adjacents, somme d’angles, angles complémentaires et supplémentaires.Triangles; quadrilatères (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, quelconque); cercles;périmètre, aire et propriétés de ces figures.Symétries, translations, rotations et homothéties : propriétés et constructions.Recherche de points fixes et d’invariants.Propriétés des triangles.Médiatrices, hauteurs, bissectrices, médianes.Théorème de Pythagore - Caractérisation d’un triangle rectangle.Caractérisation d’un triangle rectangle par son inscriptibilité dans un demi-cercle.Cercles inscrit et circonscrit.Figures isométriques ; isométrie des triangles.9

Figures semblables ; similitude des triangles.Angles opposés par le sommet, angles alternes-internes : propriétés.Somme des angles d’un triangle et propriétés relatives aux angles des polygones convexes.Angles au centre, angles inscrits.Angles à côtés parallèles, angles à côtés perpendiculaires.Théorème de Thalès dans le plan et dans l’espace et sa réciproque.Théorèmes de la hauteur - Orthocentre - Centre de gravité (barycentre).Vecteur et calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace, propriétés.Produit scalaire dans le plan et dans l’espace et propriétés.Lieux géométriques : médiatrice, bissectrice, cercle, parabole, ellipse et hyperbole.Positions relatives de deux droites, d’une droite et d’un plan, de deux plans.Parallélisme dans le plan et dans l’espace.Problèmes de constructions dans l’espace :Point de percée d’une droite dans un plan.Section plane d’un cube, d’un tétraèdre ou d’un parallélépipède rectangle.Orthogonalité ; perpendiculaire commune à deux droites gauches et plan médiateur.Homothéties dans le plan et dans l’espace.Aires et volumes de : cube, parallélépipède rectangle sphère, cône, cylindre, prisme, pyramide, troncsde cône et de pyramide.Représentation à main levée de ces volumes.10

5) Géométrie analytique plane et dans l’espaceGéométrie analytique plane :Equations vectorielle(s), paramétrique(s), cartésienne(s) d’une droite.Equation cartésienne du cercle.Distance entre deux points, cercle.Distance d’un point à une droite.Résolution de problèmes d’intersections.Conditions d’orthogonalité, parallélisme, angle de deux droites.Coniques : définitions géométriques et équations cartésiennes dans un repère orthonormé dont undes axes est parallèle à un axe de symétrie de la conique.Applications :Intersection d’une droite et d’une conique;Tangentes à une conique;Réduction par translation;Equations en coordonnées polaires d’une conique.Problèmes de lieux.Géométrie analytique dans l’espace :Equations vectorielle(s), paramétrique(s), cartésienne(s) d’un plan, d’une droite.Equation cartésienne de la sphère.Distance entre deux points.Distance d’un point à une droite.Distance d’un point à un plan.Résolution de problèmes d’intersections.Conditions d’orthogonalité et de parallélisme.Problèmes de lieux.11

EXEMPLES DE QUESTIONS EN MATHéMATIQUES1) Analyse1. Soient la fonction ƒ de R 0 dans R 0 définie par :ƒ(x) = (2x+1)e -2xet C la courbe d’équation y = ƒ(x) (C est le graphe de ƒ).a) Calculer ƒ’(x) et ƒ’’(x).b) Déterminer une équation cartésiennede la tangente à C au point d’abscisse 0des asymptotes (éventuelles) de Cc) Etablir le tableau des variations de ƒ, ƒ’ et ƒ’’ contenant :- les racines de ƒ, ƒ’ et ƒ’’ (pour les valeurs approchées des racines non entières utiliserune décimale).- Les signes de ƒ’(x) et de ƒ’’(x)- Les extréma de ƒ, les domaines de croissance et de décroissance de ƒ.- Les points d’inflexion de ƒ et les domaines de concavité vers le haut et vers le bas de ƒ.d) Tracer soigneusement le courbe C d’après le résultat du c).e) Sans nouveau calcul, tracer le graphe de la fonction g (de R dans R) définie par :g(x) = ƒ a (|x|)f) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel a le nombre de solutions de l’équationƒ(x) = a2. Etudier la fonction :ƒ(x) = (x+a)2x+2aen discutant, s’il y a lieu, selon la valeur du paramètre a R.En particulier, déterminer :a. le domaine de définition de ƒ,b. le domaine de continuité de ƒ,c. les asymptotes éventuelles,d. croissance / décroissance / extrema,e. concavité / points d’inflexion.Esquisser le graphe de ƒ.13

3. Calculez la limite suivante :€limx →0€ 4. a) Calculer€1+ x −1.31+ x −1∫b) En déduire€1− x 2 dx∫x 21− x 2 dxc) Soit€u 2xf (x) = ∫ du0 1− u 2€Calculerf '( 1 2 ) .dx5. Calculer l’intégrale (indéfinie) : I(λ) = ∫x€2 + 2x + λDiscuter les différents cas d’après les valeurs de λ.( λ constante réelle)6. a) Calculez le volume obtenu en faisant tourner autour de l’axe des x la surfacedéterminée pary 2 ≤ x exp(-x 2 ) et 0 ≤ x ≤ ab) Déterminez a pour que ce volume soit égal à π /4.14

2) Algèbre1. La somme des trois chiffres d’un nombre naturel est 17.En ajoutant le chiffre des dizaines au double du chiffre des centaines on obtient 22.La différence entre le nombre et celui obtenu en inversant l’ordre des chiffres est 495.Quels sont les nombres possibles qui vérifient ces propriétés ?2. Trois grues effectuent le déchargement d’un navire, chacune avec sa vitesse de transbordementpropre. Cette vitesse représente le volume de marchandise déchargée par unité de temps.Pour vider complètement le navire, il faut 6 jours si elles travaillent toutes les trois ensemble defaçon ininterrompue. Par contre, si seulement la première et la deuxième fonctionnent, il faudra 12jours. Enfin, si l’on fait travailler d’abord la première seule pendant 10 jours, le déchargement peutensuite être terminé en 2 jours par la première et la troisième travaillant ensemble.On demande le nombre de jours nécessaires à chaque grue pour effectuer le déchargement toute seule.Mettez d’abord le problème en équation, ensuite résolvez-le. Expliquez votre raisonnement.3. Discuter le systèmeax + (1-a)y + (1-a)z = a 2ax + (1+a)y + (1+a)z = a - a 2x + y + z = 1 - aoù a est un paramètre réel.4. Résoudre dans IR l’équation :4 x − 3 x + 1 2= 3 x− 1 2− 2 2x€5. Résoudre dans les complexes l’équation :iz 2 − (1+ i)z = 2(i −1)€6. Résoudre dans les réels l’inéquation :6x −113x − 2 ≤ 1 x€15

3) Trigonométrie et calcul numérique1. Résoudre l’équation :1+ sin x + sin2x + sin3x = cos x − cos2x + cos3xet représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.€2. Sachant que sinx-cosx=0,23. Calculer sin2x4. Soient a, b deux nombres réels strictement positifs tels que ab < 1, démontrer que :a) Arctg a + Arctg1a = π 2πb) Arctg a + Arctg b

4) Géométrie et géométrie analytique1. On donne un triangle ABC. Le milieu de [B, C] est M et G’ est le symétrique par rapport à Mdu centre de gravité G du triangle. On note D l’intersection de AB avec CG’, E celle de DGavec BG’ et F celle de AE avec CD. Montrer que :a. les droites AC, BG’ et la parallèle à BC menée par D sont concourantes ;b. DF = FG' = G'C .2. Par un point A, on mène deux tangentes AM et AN à un cercle de centre O. Par un point E del’arc MN, € on mène une troisième tangente BEC au cercle où les points B et C sont les pointsd’intersection de la troisième tangente avec les tangentes AM et AN.On vous demande :- de réaliser un dessin clair et précis du problème posé ;- de déterminer en fonction de la distance AM le périmètre du triangle ABC.3. Si O est le centre du cercle circonscrit à un triangle ABC (O est le point d’intersection des médiatrices)et si M est un point quelconque du plan, démontrer que OM est orthogonal au vecteurMA 2BC + MB 2CA + MC 2AB.€€4. € On considère € une pyramide € de sommet S et dont la base est un quadrilatère convexe (plan)€ €ABCD.Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si le plan ABCD est parallèle auxdroites d’intersection des plans SAB et SCD d’une part, SBC et SAD d’autre part.5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé OXY, on considère un triangle rectangle isocèleOAB posé sur les axes, avec OA = OB = a- Déterminer analytiquement l’ensemble des points M du plan tels que les pieds des 3perpendiculaires abaissées de M sur les 3 côtés (éventuellement prolongés) du triangleappartiennent à une circonférence centrée à l’origine O.- Dessiner les différents éléments, avec a = 6 cm.6. Dans un plan muni d’un repère orthonormé d’origine O et d’axes X et Y, on donne les pointsfixes A(5, 0) et B(-5, 0). Un point M parcourt le cercle γ de diamètre BA. Par M, on abaisse surBA la perpendiculaire MP (P est situé sur BA). Déterminez le lieu géométrique du centre ducercle inscrit au triangle OMP.17

7. L’espace est rapporté au système d’axes orthonormés OXYZ.On donne les points A, B, et C, de coordonnées respectives (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) qui avecO constituent quatre sommets d’un cube.On appelle DE l’arête du cube, parallèle à OZ, la plus éloignée de OC. Et on nomme M lepoint milieu de DE (NB. D est dans le plan Z=0).a. Déterminez une équation cartésienne du plan perpendiculaire à CM en C.b. Calculez les coordonnées du point de percée S de DE dans ce plan.c. Calculez le volume de la pyramide de sommet S et de base OADB.d. Calculez l’angle entre CS et CA.e. Déterminez des équations cartésiennes de la droite CM.f. Calculez la distance qui sépare CM de l’origine O.g. Calculez l’angle entre AM et MC.18

Académie Universitaire «Louvain»Ecole Polytechnique de LouvainRue Archimède, 1 Bte L6.11.011348 LOUVAIN-LA-NEUVETél. : 010.47.24.65Fax : 010.47.24.66Mail : admission-polytechnique@uclouvain.beWeb : http://www.uclouvain.be/eplAcadémie Universitaire «Wallonie-Bruxelles»Faculté des Sciences Appliquées de l’U.L.B.Av. F.D. Roosevelt, 50C.P. 165/011050 BRUXELLESTél. : 02.650.40.93Fax : 02.650.27.81Mail : calonso@admin.ulb.ac.beWeb : http://www.ulb.ac.be/facs/polytechFaculté Polytechnique de l’UMONSRue de Houdain, 97000 MONSTél. : 065.37.40.30Fax : 065.37.40.34Mail : info.polytech@umons.ac.beWeb : http://www.umons.ac.be/polytechAcadémie Universitaire «Wallonie-Europe»Faculté des Sciences Appliquées de l’ULgGrande Traverse, 12Sart Tilman, Bât. B374000 LIEGE ITél. : 04.366.94.36Fax : 04.366.95.75Mail : examenadmission.inge@ulg.ac.beWeb : http://www.facsa.ulg.ac.be