cours 3.pdf - ENS de Cachan - Antenne de Bretagne

Propriétés Soit X = (X n ) n≥0 un processus F-adapté et T un F-t.a.(a.) X T est (F n∧T ) n≥0 -adapté (et donc F-adapté car F n∧T ⊂ F n pour chaque n ≥ 0).(b.) Si X est une F-(sous ; sur)-martingale, X T est une F-(sous ; sur)-martingale.Reprenons l’exemple de la marche aléatoire symétrique issue de 0 notée S = (S n ) n≥0 . Un argument de martingalepermet de retrouver le résultat T < ∞ p.s. : comme S T est une martingale inférieure à 1, elle converge p.s. vers uneva intégrable. Or, la probabilité que S converge est nulle. Comme S = S T sur {T = ∞}, ceci ne peut se produire quesi IP (T = ∞) = 0.Par ailleurs, IE(S n∧T ) = IE(S 0 ) = 0 pour chaque n ≥ 0, alors que IE(S T ) = 1. Comme S n∧T → S T = 1 p.s. lorsquen → ∞, on est donc devant un paradoxe, en apparence du moins ... En réalité, (S n ) n≥0 ne possède pas les propriétésrequises pour pouvoir justifier l’interversion de la limite en n et de l’espérance. Pour que le résultat attendu soit valide,il faut en fait donner des conditions supplémentaires. C’est l’objet du résultat ci-dessous :Théorème [Théorème d’arrêt de Doob] Soit X = (X n ) n≥0 une F-(sous ; sur)-martingale et T un F-t.a. Alors,la va X T est intégrable, et on a IE(X T )(≥; ≤) = IE(X 0 ) dans chacun des trois cas suivants :(1.) T est bornée ;(2.) X est bornée et T < ∞ p.s. ;(3.) T est intégrable et il existe K > 0 tel que pour tout n ≥ 1 : |X n − X n−1 | ≤ K p.s.2