THEOREMES D'ARRETS POUR LES MARTINGALES - ENS de ...

THEOREMES D’ARRETS POUR LES MARTINGALESPRÉPARATION À L’AGRÉGATION EXTERNE DE MATHÉMATIQUES DE L’UNIVERSITÉ RENNES 1 1ANNÉE 2011/20121. EQUI-NTEGRABILITELes propriétés de cette section sont valables pour toute suite de v.a.r.Définition 1.1 Une famille (X i ) i∈I de v.a.r. est dite équi-intégrable (EI) ou uniformément intégrable siPropriétés 1.1lim supk→∞ i∈I(1.) Si (X i ) i∈I est EI, elle est aussi bornée dans L 1 ;E[|X i |1 (|Xi |≥k)] = 0.(2.) Si il existe ε > 0 tel que sup i∈I E[|X i | 1+ε ] < ∞, (X i ) i∈I est EI ;(3.) Si sup i∈I |X i | ∈ L 1 , (X i ) i∈I est EI ;(4.) Pour toute v.a.r. intégrable Z, la famille {E[Z|B], B sous-tribu} est EI.Le résultat fondamental suivant s’apparente à un théorème de type "convergence dominée" :P LThéorème 1.1 Soient (X n ) n et X des v.a.r. Si X n → X, on a : (Xn ) n est EI ⇐⇒ X1n → X.2. CONVERGENCE L 1 DES MARTINGALESThéorème 2.1 Soit (X n ) n une sous-martingale. Alors, (X n ) n est EI ⇐⇒ (X n ) n converge p.s. et dans L 1 .La martingale de Galton-Watson 2 (Z n /m n ) n≥0 est EI si la loi de reproduction, i.e. la loi de ξ1 1 , est de carréintégrable et m = Eξ1 1 > 1 : en effet, on peut montrer que EZ2 n+1 = var(ξ )+m2 EZn, 2 et donc que (Z n /m n ) n≥0est borné dans L 2 . Il existe donc une v.a.r. intégrable W (non nulle) telle que l’on ait p.s. : Z n ∼ m n W.Théorème 2.2 Soit (X n ) n une (F n ) n -sous-martingale EI et X ∞ sa limite. Alors ∀n : X n ≤ E[X ∞ |F n ] p.s.Lorsque (X n ) n est une martingale EI, on a donc X n = E[X ∞ |F n ] p.s. et pour chaque n : on dit que la martingale(X n ) n est fermée. En tant que martingale EI, la martingale de Doob est convergente p.s. et dans L 1 . Onpeut préciser la limite :Théorème 2.3 [DOOB] Soit Z une v.a.r. intégrable, (F n ) n une filtration et F ∞ = σ(∪ n F n ). Alors,E[Z|F n ] p.s.,L 1−→ E[Z|F ∞ ].Pour le critère quadratique, E[Z|F n ] est la meilleure approximation de Z sachant F n . On ne peut doncespérer récupérer la totalité de l’information que si Z est F ∞ -mesurable, car alors E[Z|F ∞ ] = Z p.s.1. Benoît Cadre - ENS Cachan Bretagne2. (Z n ) n≥0 est défini par récurrence par Z 0 = 0 et Z n+1 = ∑ Z ni=1 ξ in+11, pour (ξi n)i,n≥1 i.i.d. intégrables et à valeurs dans N

3. TEMPS D’ARRETPour une filtration (F n ) n , on notera F ∞ = σ(∪ n F n ).Définition 3.1 Soit (F n ) n une filtration. Une v.a. T à valeurs dans N ∪ {∞} est un (F n ) n -temps d’arrêt(t.a.) si ∀n, {T = n} ∈ F n ou bien, de façon équivalente, si ∀n, {T ≤ n} ∈ F n .Noter que, alors, {T = ∞} ∈ F ∞ .Exemples 3.1• Une v.a. entière et p.s. constante est un t.a. pour toute filtration ;• INSTANT DE 1ÈRE ENTRÉE DANS UN BORÉLIEN. Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et B unborélien de R. Avec la convention inf /0 = ∞, la v.a. T = inf{n : X n ∈ B} est un (F n ) n -t.a.• Si k ∈ N, en adoptant la convention sup /0 = 0, S = sup{n ≤ k : X n ∈ B} n’est en général pas un t.a.Propriétés 3.1 Soient S,T deux (F n ) n -t.a. Alors S ∨ T , S ∧ T et S + T sont des (F n ) n -t.a.Définition-Proposition 3.2 Soit T un (F n ) n -t.a. On noteF T = { A ∈ F ∞ : A ∩ {T = n} ∈ F n , ∀n } = { A ∈ F ∞ : A ∩ {T ≤ n} ∈ F n , ∀n } .La classe d’événements F T est une tribu, appelée tribu des événements antérieurs à T .Noter que σ(T ) ⊂ F T , l’égalité étant fausse en général. Il faut comprendre cette tribu de la manière suivante: si (F n ) n≥0 est la filtration naturelle du processus (X n ) n≥0 et T est un t.a. relatif à cette filtration, l’informationcontenue dans F T comprend, d’une part, la valeur de T et d’autre part, les valeurs de X 0 ,··· ,X T .Propriétés 3.2 Soient S,T deux (F n ) n -t.a. Alors, F S∧T = F S ∩ F T et en particulier, si S ≤ T , F S ⊂ F T .Propriété 3.3 Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et T un (F n ) n -t.a. p.s. fini. On note X T l’applicationdéfinie pour chaque ω ∈ Ω par X T (ω) = X T (ω) (ω). Alors X T est une v.a.r. F T -mesurable.Définition 3.3 Soit (X n ) n un processus (F n ) n -adapté et T un (F n ) n -t.a. On appelle processus arrêté àl’instant T le processus X T = (X T n ) n défini pour chaque n par X T n = X n∧T .Il faut remarquer ici que pour chaque n, X T n est F n∧T -mesurable et donc F n -mesurable.4. THEOREMES D’ARRET POUR LES MARTINGALESThéorème 4.1 [THÉORÈME D’ARRÊT 1] Soit (X n ) n une (F n ) n -sous-martingale et S,T deux (F n ) n -t.a.bornés tels que S ≤ T . Alors, X S ,X T ∈ L 1 et de plus, E[X T |F S ] ≥ X S p.s.Exercice 4.1 Soit S = (S n ) n≥0 , la marche aléatoire simple symétrique issue de 0 et définie sur les entiersrelatifs, et T l’instant de 1ère entrée dans l’état 1. En utilisant le théorème ci-dessus, montrer que T < ∞p.s.Dans cet exemple, on a donc 1 = ES T ≠ ES 0 = 0 : ainsi, dans le théorème précédent, l’hypothèse debornitude des t.a. joue un rôle essentiel. Lorsque ce n’est pas le cas, il faut pouvoir préciser le comportementasymptotique de la martingale.2

Pour un processus (X n ) n qui converge, on note X ∞ sa limite et on convient que X T = X ∞ sur l’événement{T = ∞}.Théorème 4.2 [THÉORÈME D’ARRÊT 2] Soit (X n ) n une (F n ) n -sous-martingale, et S,T deux (F n ) n -t.a.(finis ou non) tels que S ≤ T p.s. Si (X n ) n est EI, alors X S ,X T ∈ L 1 et E[X T |F S ] ≥ X S p.s.Une conséquence de ce théorème est que si (X n ) n est une (F n ) n -martingale EI, {X T , T un (F n ) n -t.a.} estune famille EI.Exercice 4.2 [RUINE DU JOUEUR] Un joueur joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. Si il fait "pile"(resp. "face"), il gagne 1$ (resp. perd 1$). Il s’arrête de jouer lorsque son gain vaut 0 ou m ≥ 1. Sa fortuneavant de commencer le jeu est 0 ≤ k ≤ m. Montrer que le jeu finira par s’arrêter, et calculer la loi du gainlorsque la partie est terminée.5. DECOMPOSITION DE DOOBDéfinition 5.1 Soit (X n ) n≥0 un processus stochastique et (F n ) n≥0 une filtration. On dit que (X n ) n≥0 est(F n ) n≥0 -prévisible si, pour tout n ≥ 0, X n est F n−1 -mesurable (avec la convention F −1 = {/0,Ω}).En clair, le processus (X n ) n≥0 est (F n ) n≥0 -prévisible si, à l’instant n, l’information disponible F n permetde connaître la valeur prise par X n+1 : on peut donc "prédire" la valeur future.Théorème 5.1 [DÉCOMPOSITION DE DOOB] Soit (X n ) n≥0 une (F n ) n≥0 -sous-martingale. Il existe unedécomposition unique de (X n ) n≥0 sous la forme X n = X 0 + M n + A n p.s. pour tout n, avec :• (M n ) n≥0 une (F n ) n≥0 -martingale telle que M 0 = 0 p.s. ;• (A n ) n≥0 est prévisible, croissant, et A 0 = 0 p.s..Remarque 5.1 Le processus (A n ) n se calcule par récurrence, en utilisant la relationA n+1 − A n = E[X n+1 |F n ] − X n .Le théorème 5.1 est souvent utilisé sous la forme suivante : si Y = (Y n ) n≥0 est une martingale de carréintégrable, (Y 2 n ) n≥0 est une sous-martingale. Le processus prévisible et croissant (A n ) n≥0 intervenant dansla décomposition de Doob de (Y 2 n ) n≥0 est appelé crochet de la martingale Y, et est noté 〈Y〉 n . En particulier,si Y 0 = 0, on a la relation EY 2 T = E〈Y〉 T , pour tout t.a. borné T .Exercice 5.1 Soient ξ 1 ,ξ 2 ,··· des v.a.r.i.i.d. dont la loi est de carré intégrable, et M = (M n ) n≥0 le processusdéfini par M 0 = 0 et M n = ξ 1 + ··· + ξ n pour n ≥ 1.a. Montrer que si ξ est centrée, alors 〈M〉 n = nEξ 2 .b. Dans le contexte de l’exercice 4.1, en déduire que T /∈ L 1 .c. Soit S un t.a. pour M, avec ES < ∞. Montrer l’identité de Wald : EM S = ESEξ .Exercice 5.2 Deux joueurs, André et Berthe, jouent simultanément à pile ou face, chacun avec sa proprepièce, qui est équilibrée. Les joueurs lancent la pièce, jusqu’à ce que l’un d’entre eux ait fait r piles de plusque son adversaire. Il est alors déclaré vainqueur de la partie. Montrer que le nombre de jeux d’une partieest fini, et même intégrable. Calculer le nombre moyen de jeux.A titre de complément, et pour bien voir à quel point la convergence des martingales de carrés intégrablesest liée à celle de leur crochet :3

Théorème 5.2 [LFGN POUR LES MARTINGALES] Soit X = (X n ) n≥0 une martingale de carré intégrable.(i) Pour P-p.t. ω ∈ {〈X〉 ∞ < ∞}, la suite (X n (ω)) n≥0 converge.(ii) Soit f : R + → R + croissante telle que ∫ ∞0 (1 + f (x)) −2 dx < ∞. Pour P-p.t. ω ∈ {〈X〉 ∞ = ∞} :X n (ω)f (〈X〉 n (ω)) → 0.6. APPLICATION : UNE STRATEGIE DE DECISIONUne usine produit des composants électroniques qui peuvent sortir défectueux de la chaîne de fabrication.Le nombre de pièces fabriquées étant gigantesque et l’examen de chaque pièce étant relativement coûteux,il est impensable d’évaluer la qualité de toute sa production. Dans la suite, p 0 désigne la probabilité, inconnue,qu’une pièce soit défectueuse.Un acheteur cherchera à n’accepter un stock de pièces tel que p 0 ≥ p a qu’avec une probabilité ≤ β etl’industriel cherchera à ne rejeter un stock tel que p 0 ≤ p i (avec 0 < p i < p a < 1) qu’avec une probabilité≤ α (α,β ∈]0,1[). Comment répondre à ces deux exigences ?Il s’agit donc de construire une stratégie de décision respectant les consignes ci-dessus. Dans la suite, x k = 1si le k-ième composant électronique est défectueux, et 0 sinon. Puis,z k = x k ln p ap i+ (1 − x k )ln 1 − p a1 − p i.Le test séquentiel du rapport de vraisemblance est la stratégie de décision suivante :On examine successivement des pièces du stock. Après l’examen de la n-ième pièce, trois décisions doivent être envisagées :⊲ examiner la (n + 1)-ème pièce, si z 1 + ··· + z n ∈]lnβ,ln(1/α)[;⊲ rejeter le stock, si z 1 + ··· + z n ≥ ln(1/α) ;⊲ accepter le stock, si z 1 + ··· + z n ≤ lnβ.Vérifions maintenant que cette stratégie répond aux exigences. Pour p ∈]0,1[, soit P p la probabilité sur{0,1} N dont la restriction à {0,1} n vaut B(p) ⊗n pour tout n ≥ 1. On considère l’échantillon canonique(X 1 ,X 2 ,···) sur ({0,1} N ,P p ). Par analogie au cas où le nombre d’observations est fixé, on défini la vraisemblancedu sous-échantillon (X 1 ,··· ,X n ) de loi B(p) ⊗n parL n (p) = L n (X 1 ,··· ,X n ; p) = p ∑n i=1 X i(1 − p) n−∑n i=1 X i.En notant pour chaque k ≥ 1 :on a alorsZ k = X k ln p ap i+ (1 − X k )ln 1 − p a1 − p i,S n = ln L n(p a )L n (p i ) = Z 1 + ··· + Z n .La stratégie de décision consiste à arrêter l’examen des pièces à partir de la ν-ème, où{ν = inf n ≥ 1 :L n (p a )L n (p i ) ≥ 1 α ou L n(p a )}L n (p i ) ≤ β = inf{n ≥ 1 : S n /∈]lnβ,ln 1 }α [ .4

Soit E p l’espérance sous la loi P p . Posons m p = EZ 1 et S 0 = 0. Comme (S n∧ν − n ∧ ν m p ) n≥0 est une P p -martingale et |S n∧ν | ≤ max(|lnα|,|lnβ|), on déduit que ν ∈ L 1 (P p ) si m p ≠ 0 (le cas m p = 0 est traité parun argument similaire). En particulier, ν est P p -p.s. fini pour tout p ∈]0,1[, donc l’algorithme de décision aune fin.De plus, la vraisemblance L ν (p) de l’observation (X 1 ,··· ,X ν ) a un sens. Pour toute fonction à valeurspositives φ, on a( Lν (p a ))E pa φ(X 1 ,··· ,X ν ) = E piL ν (p i ) φ(X 1,··· ,X ν ) .Par suite,(P pa Sν ≤ lnβ ) ( Lν (p a ))= E piL ν (p i ) 1 ({ L ν (pa)Lν (p i ) ≤β} ≤ β et P pi Sν ≥ ln(1/α) ) ( Lν (p i ))= E paL ν (p a ) 1 { L ν (p i ) ≤ α.Lν (pa) ≤α}Par ailleurs, on vérifie que :(P p0 Sν ≥ ln(1/α) ) (≤ P pi Sν ≥ ln(1/α) ) ≤ α si p 0 ≤ p( iet P p0 Sν ≤ lnβ ) (≤ P pa Sν ≤ lnβ ) ≤ β si p 0 ≥ p a .En conclusion, la stratégie de décision rempli les conditions imposées : si p 0 ≤ p i , la probabilité de rejeter lestock en adoptant cette stratégie est ≤ α et, si p 0 ≥ p a , la probabilité d’accepter le stock avec cette stratégieest ≤ β.REFERENCES• P. Billingsley, Probability and Measure, 3rd Edition, Wiley, 1995.• D. Dacunha-Castelle et M. Duflo, Probabilités et statistiques - Tome 2 : Problèmes à temps mobile (Courset Exercices), Masson, 1983.• R. Durrett, Probability : Theory and Examples, 4th Edition, Cambridge University Press, 2010.• D. Foata et A. Fuchs, Processus stochastiques - Processus de Poisson, chaînes de Markov et martingales,Dunod, 2002.• J. Neveu, Martingales à temps discret, Masson, 1972.• J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2 : maîtrise agrégation, Cassini, 2001.• D. Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press, 1991.5